2013-09-17 14:55:57 +02:00
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\section*{Aufgabe 5}
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2013-09-21 15:23:53 +02:00
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\subsection*{Aufgabe}
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Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
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$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
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Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
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$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
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berechnet.
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Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
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\subsection*{Lösung}
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Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
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die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
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\begin{itemize}
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\item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
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\item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
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\item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
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\end{itemize}
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Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
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mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
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symmetrische Quadraturformel in (A).
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Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
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\nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\\
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\nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\\
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\nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3
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\end{align}
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Für (C) muss zusätzlich gelten:
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\begin{align}
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\nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
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\end{align}
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TODO: Und weiter?
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