\section*{Aufgabe 5}
\subsection*{Aufgabe}
Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.

Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient 
berechnet.

Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?

\subsection*{Lösung}
Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann 
die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also 
\begin{itemize}
    \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
    \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
    \item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
\end{itemize}

Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
symmetrische Quadraturformel in (A).

Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
\begin{align}
    \nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\\
    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\\
    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3
\end{align}

Für (C) muss zusätzlich gelten:
\begin{align}
    \nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
\end{align}

TODO: Und weiter?
