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TeX
\chapter*{Vorwort}
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Dieses Skript wird/wurde im Wintersemester 2013/2014
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von Martin Thoma geschrieben. Es beinhaltet die Mitschriften aus
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der Vorlesung von Prof. Dr. Herrlich sowie die Mitschriften einiger
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Übungen und Tutorien.
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An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige
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Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb
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danken, der als Vorlage für dieses Skript diente. Tatsächlich basiert
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die Struktur dieses Skripts auf der Vorlesung von Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich
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und ganze Abschnitte konnten direkt mit \LaTeX{} umgesetzt werden.
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Vielen Dank für die Erlaubnis, Ihre Inhalte in diesem Skript einbauen
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zu dürfen!
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Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt
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haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen.
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Das Skript ist kostenlos über \href{http://martin-thoma.com/geotopo/}{martin-thoma.com/geotopo}
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verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Klebebindung) für ca. 10 Euro hätte,
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kann mir eine Email schicken (info@martin-thoma.de).
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\section*{Was ist Topologie?}
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Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
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und umformen zur Würfeloberfläche oder
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der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
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oder zu einem Torus $T^2$. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
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unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$S^2$]{
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\input{figures/s2.tex}
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\label{fig:s2}
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}%
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\subfloat[Würfel]{
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\input{figures/cube.tex}
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\label{fig:cube}
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}%
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\subfloat[Pyramide]{
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\input{figures/pyramid.tex}
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\label{fig:pyramide}
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}
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\subfloat[$\mdr^2$]{
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\input{figures/plane-r2.tex}
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\label{fig:plane-r2}
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}%
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\subfloat[$T^2$]{
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\input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
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\label{fig:torus}
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}
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\label{fig:formen}
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\caption{Beispiele für verschiedene Formen}
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\end{figure}
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\section*{Erforderliche Vorkenntnisse}
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Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$),
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Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$)
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und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Auch die
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Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen sollte bekannt sein und
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der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und
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Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen.
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Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.
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Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume,
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lineare Unabhängigkeit und und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus
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\enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II}
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wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt.
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Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein
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\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu
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haben.
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