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TeX
\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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\usepackage{mathtools} % \xRightarrow
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\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references
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\usepackage{tabto}
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{csquotes} % \enquote{}
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\usepackage{subfig} % multiple figures in one
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\usepackage{parskip} % nicer paragraphs
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\usepackage{xifthen} % \isempty
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\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment
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\usepackage{pst-solides3d}
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\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.7}
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\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
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\usepackage{caption} % get newlines within captions
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\usepackage{tikz} % draw
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\usepackage{tikz-3dplot} % draw
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\usepackage{tkz-fct} % draw
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\usepackage{tkz-euclide} % draw
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\usetkzobj{all} % tkz-euclide
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\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing}
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\usepackage{tqft}
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\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
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\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
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\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
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\usepackage{../shortcuts}
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
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pdftitle = {Fragen zu Definitionen}
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}
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\allowdisplaybreaks
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\chapter{Fragen zu Definitionen}
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\section*{1.) Definition topologischer Raum}
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\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}%
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Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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folgenden Eigenschaften
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\begin{defenumprops}
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\item $\emptyset, X \in \fT$
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\item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
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\item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
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so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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\end{defenumprops}
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Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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$A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
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\end{definition}
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Ich glaube es ist unnötig in (i) zu fordern, dass $\emptyset \in \fT$ gilt,
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da man das mit (iii) bereits abdeckt:
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Sei in (iii) die Indexmenge $I = \emptyset$. Dann muss gelten:
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$\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
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\section*{4.) Knotendiagramm:}
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\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
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Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine
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Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
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$|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in D$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
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Ist ${\color{red}(\pi|C)}^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
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wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
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\end{definition}
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Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
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sein?
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\section*{5.) Isotopie/Knoten}
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\begin{definition}
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Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
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\textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
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\[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
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gibt mit
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\begin{align*}
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H(z,0) &= \gamma_1(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}\\
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H(z,1) &= \gamma_2(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}
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\end{align*}
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und für jedes
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feste $t \in [0,1]$ ist
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\[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^2, z \mapsto H(z,t)\]
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ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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\end{definition}
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Fehlt hier nicht etwas wie \enquote{$\forall z \in S^1$} (nun rot ergänzt).
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\section*{6.) Basisbeispiele}
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\begin{itemize}
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\item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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die zugleich eine Basis ist?
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\item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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die keine Basis ist?
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\item Kennst du ein Beispiel für eine Basis in einem Topologischen Raum,
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|
die keine Subbasis ist?
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\end{itemize}
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\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
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\begin{definition}%
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Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
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\begin{defenum}
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\item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
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$X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
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offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
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von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
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\item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
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Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
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sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
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\item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
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wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
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Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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$X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
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wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
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offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
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Teilmenge von
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\[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
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ist.
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\end{definition}
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Wieso wird bei der Mannigfaltigkeit mit Rand nicht gefordert, dass
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sie eine abzählbare Basis haben soll? Sollte man nicht vielleicht
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hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
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\section*{11.) Produkttopologie}
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\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
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Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
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$U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
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Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
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gilt.
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$\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
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ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
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$\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
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ist eine Basis von $\fT$.
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\end{definition}
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Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?
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\section{12.) $\Delta^2$ explizit}
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Wie sieht der Standard-Simplex der dim. 2, also $\Delta^2$, explizit
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notiert aus? Praktisch ist das ja die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren
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$e_0, e_1, e_2$ (also $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$),
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also ein Polyeder mit vier Flächen im $\mdr^3$ (jedoch kein regelmäßiges Tetraeder, oder?)
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Das ist dann nur das Gitter dieses Polyeders, aber nicht die Flächen
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oder sogar etwas innerhalb vom Polyeder, oder?
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\end{document}
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