mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-24 22:08:04 +02:00
babf174579
Aufgabe 4 mit anderem Lösungsweg (der etwas näher an der Vorlesung ist) bearbeitet. Lösung von Aufgabe b ist 24, so habe es auch viele in Facebook geschrieben.
43 lines
1.4 KiB
TeX
43 lines
1.4 KiB
TeX
\section*{Aufgabe 4}
|
|
\textbf{Aufgabe}:
|
|
|
|
\[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
|
|
\item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\textbf{Lösung}:
|
|
|
|
Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
|
|
|
|
\[p(x) = \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)\]
|
|
|
|
Berechne Lagrangepolynome:
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
L_0(x) = \frac{x-b}{a-b} \\
|
|
L_1(x) = \frac{x-a}{b-a}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
So erhalten wir:
|
|
|
|
\[p(x) = f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\]
|
|
|
|
Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
|
|
|
|
\[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
|
|
\[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
|
|
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
|
|
\[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
|
|
|
|
\subsection*{Teilaufgabe b)}
|
|
Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
|
|
Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
|
|
|
|
\textbf{Lösung:}
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
\int_0^4 p(x) dx = \int_0^2 p(x)dx + \int_2^4 p(x)dx = 24
|
|
\end{align}
|