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TeX
\section*{Aufgabe 2}
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\subsection*{Teilaufgabe i}
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Es gilt:
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\begin{align}
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2x - e^{-x} &= 0\\
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\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
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\end{align}
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Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
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monoton fallend.
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Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
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Schnittpunkt für $x \leq 0$.
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Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
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Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
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Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
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gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
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Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
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ein mal.
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Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
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Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
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und diese liegt in $[0,1]$.
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\subsection*{Teilaufgabe ii}
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\begin{align}
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2x - e^{-x} &= 0\\
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\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
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\Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
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\stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
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\Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
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\end{align}
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Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
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Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
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Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
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Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
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gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
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irrelevant.
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TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln.
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Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man
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bessere Abschätzungen machen kann.
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$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
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\begin{align}
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\|\frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \| -e^{-x-y}(e^{x} - e^{y})\| &\leq \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \|-e^{-x-y} \| \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
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\end{align}
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TODO: Beweis ist noch nicht fertig
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$F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
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\begin{align}
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\|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \| \ln(\frac{2y}{2x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
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\Leftrightarrow \| \ln(\frac{y}{x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|
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\end{align}
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TODO: Beweis ist nicht mal wirklich angefangen
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Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
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ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
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(vgl. Python-Skript)
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\subsection*{Teilaufgabe iii}
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\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
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Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602
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