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TeX
\section*{Aufgabe 3}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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\begin{enumerate}
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\item Selbstabbildung: \\
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Sei $x \in D := [1.75 , 2]$.
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Dann:
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\begin{align}
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F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2
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\end{align}
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und: \\
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\begin{align}
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F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
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\end{align}
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\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
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\item Kontraktion: \\ %TODO:
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%\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
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%\textbf{Beweis:}
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%z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
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$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
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\begin{align}
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|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
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\end{align}
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Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
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\begin{align}
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|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
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\end{align}
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Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
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\end{enumerate}
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Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
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