LaTeX-examples/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

\section*{Aufgabe 3}
\subsection*{Teilaufgabe a)}
\begin{align}
	L_0(x) &= - \frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
	L_1(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
	L_2(x) &= - \frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
	L_3(x) &= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
\end{align}

Damit ergibt sich:
\begin{align}
	p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
\end{align}
Anmerkung: Es ist in der Klausur allerdings nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen außer es wird explizit verlangt. (Das spart viel Zeit) % Anmerkung hinzugefügt von Felix Benz-Baldas

\subsection*{Teilaufgabe b)}
Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:
\begin{align}
	f[x_0] &= 7,           &f[x_1] &= 1,       & f[x_2] &= -1,     & f[x_3] = 7\\
	f[x_0, x_1] &= -6,     &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
	f[x_0, x_1, x_2] &= 2, &f[x_1, x_2, x_3] &= 5\\
	f[x_0, x_1, x_2, x_3] &= 1
\end{align}

Insgesamt ergibt sich also
\begin{align}
	p(x) &= 7 - (x+1) \cdot 6 + (x+1) \cdot x \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)
\end{align}