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\section*{Aufgabe 5}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
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$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
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liefert.
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\[\sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q} \text{ für } q = 1, \dots, p\]
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\subsection*{Teilaufgabe c}
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\paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
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maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
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\paragraph{Lösung}
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Als erstes stellen wir fest, dass die Knoten nicht symmetrisch (d.h.
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gespiegelt bei $\frac{1}{2}$) sind. TODO: Warum ist das wichtig?
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$\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
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Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln. Somit können
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wir nicht Ordnung 4 erreichen.
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Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
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geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden.
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Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung 2 zu sichern:
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\begin{align}
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b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
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b_1 &= \frac{1}{4}\\
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b_2 &= \frac{3}{4}
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\end{align}
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Diese Gewichte $b_1, b_2$ erfüllen die 1. und 2. Ordnungsbedingung.
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\begin{align}
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\frac{1}{3} &= \sum_{i=1}^2 b_i \cdot c_i^2\\
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&= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}\\
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&= \frac{1}{3}
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\end{align}
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Damit ist auch die 3. Ordnungsbedingung und mit den Knoten maximale Ordnung erfüllt.
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