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% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
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\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
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\section{Homotopie von Wegen}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie
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|
\enquote{zueinander verschieben} kann.]{
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\input{figures/topology-homotop-paths.tex}
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|
\label{fig:homotope-wege-anschaulich}
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|
}\hspace{1em}%
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\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
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\input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
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\label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
|
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}
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\label{Formen}
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\caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
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\end{figure}
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\begin{definition}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
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$\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
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d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop},
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wenn es eine stetige Abbildung
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\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
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und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
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$H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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\item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
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Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{korollar}
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\enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
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Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{itemize}
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\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
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\item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
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nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
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Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
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|
H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
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|
H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
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|
$\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
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|
$\gamma_2$
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\end{itemize}
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$\qed$
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
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Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
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\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
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|
aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
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nicht homöotop.
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|
\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
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Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
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|
sind homöotop.
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\begin{figure}
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\centering
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|
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
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|
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
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|
\label{fig:torus-three-paths}
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|
\end{figure}
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Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
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|
$\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
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|
$\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.
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$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
|
|
$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
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|
$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
|
|
\end{enumerate}
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\begin{figure}[ht]
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|
\centering
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|
\subfloat[Kreis mit zwei Wegen]{
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|
\input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
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|
\label{fig:circle-two-paths}
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|
}%
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\subfloat[Torus mit drei Wegen]{
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|
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-three-paths.pdf}
|
|
\label{fig:torus-three-paths}
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|
}%
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|
\label{Formen}
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|
\caption{Beispiele für (nicht)-homotopie von Wegen}
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|
\end{figure}
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|
\end{beispiel}
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% Mitschrieb vom 05.12.2013 %
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\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
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Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
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|
$\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
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homotop.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
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Dann ist $H$ stetig, $H(t,0) = \gamma(t),\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t)),\;\;\;$
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|
$H(0,s) = \gamma(0)$ und $H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
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|
$\Rightarrow H$ ist Homotopie. $\qed$
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|
\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
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|
Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
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Dann ist
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\[\gamma (t) = \begin{cases}
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|
\gamma_1(2t) &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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|
\gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
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ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
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schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
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\end{definition}
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\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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|
Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
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Homotopie assoziativ, d.~h.:
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\begin{align*}
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|
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
|
|
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
|
|
\end{align*}
|
|
mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
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|
\end{korollar}
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|
\begin{beweis}
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|
\begin{figure}[ht]
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|
\centering
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|
\subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
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|
\input{figures/topology-path-not-associative-1.tex}
|
|
\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
|
|
}
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|
\subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
|
|
\input{figures/topology-path-not-associative-2.tex}
|
|
\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
|
|
}%
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\label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
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|
\caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
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|
\end{figure}
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Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
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|
bis auf Homotopie assoziativ, da
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\[\gamma(t) = \begin{cases}
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|
\frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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|
t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
|
|
2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
|
|
\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
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|
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
|
|
Wege von $a$ nach $b$ und $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
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|
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|
Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
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ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
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|
\end{korollar}
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|
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\begin{figure}
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|
\centering
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|
\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
|
|
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
|
|
\label{fig:situation-bemerkung-10-6}
|
|
\end{figure}
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|
\begin{beweis}
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Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
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|
$i=1,2$.
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Dann ist
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\[H(t,s) := \begin{cases}
|
|
H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
|
|
H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
\end{cases}\]
|
|
|
|
Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
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\todo[inline]{Hier fehlt noch was}
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\end{beweis}
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\section{Fundamentalgruppe}
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Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
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\begin{definition}
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|
Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
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\[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
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|
Durch $[\gamma_1] *_G [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
|
|
$\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
|
|
in $X$ im Basispunkt $x$.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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|
Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}[Fundamentalgruppe ist eine Gruppe]\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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|
\item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
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\item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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|
\item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
|
|
$e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
|
|
\item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
|
|
denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
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|
|
\begin{beispiel}
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|
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
|
\item $S^1 = \Set{z \in \mdc | {|z|} = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
|
|
|
|
$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
|
|
|
|
$[\gamma^k] \mapsto k$
|
|
\item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
|
|
\item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
|
|
\item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$,
|
|
wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
|
|
ist.
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|
|
|
Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
|
|
$\pi_1(G,x) = \Set{e}$
|
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|
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\begin{figure}
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\centering
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|
\input{figures/star-shaped-domain.tex}
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|
\caption{Sternförmiges Gebiet}.
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\label{fig:sternfoermiges-gebiet}
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|
\end{figure}
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|
\item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
|
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homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
|
|
Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
|
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werden.
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Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
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Wegen!
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|
\end{enumerate}
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|
\end{beispiel}
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\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
|
|
ein Weg von $a$ nach $b$.
|
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|
|
Dann ist die Abbildung
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\[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
|
|
ein Gruppenisomorphismus.
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\end{korollar}
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|
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|
\begin{figure}
|
|
\centering
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|
\input{figures/todo.tex}
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|
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
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|
\label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
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|
\end{figure}
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|
\begin{beweis}
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\begin{align*}
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|
\alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
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|
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
|
|
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
|
|
&= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
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% Tânias Mitschrieb vom 10.12.2013 %
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\begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4
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Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt
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\textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$
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|
für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
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|
\end{definition}
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\begin{korollar}\label{korr:11.5}
|
|
Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
|
|
stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
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|
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|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y),
|
|
[y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus.
|
|
\item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$
|
|
eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
|
|
$(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
|
|
Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
|
|
Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
|
|
mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$.
|
|
Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ mit
|
|
\todo{Warum die Punkte?}{\dots} $(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
|
|
etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$.
|
|
|
|
$f_*([\gamma_1] * [\gamma_2]) = [f \circ (\gamma_1 * \gamma_2)] = [(f \circ \gamma_1)] * [(f \circ \gamma_2)] = f_*([\gamma_1]) * f_*([\gamma_2])$
|
|
\item $(g \circ f)_* ([\gamma]) = [(g \circ f) \circ \gamma] = [g \circ (f \circ \gamma)] = g_* ([f \circ \gamma]) = g_* (f_* ([\gamma])) = (g_* \circ f_*)([\gamma])$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
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|
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
|
\item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber
|
|
$f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$
|
|
ist nicht injektiv
|
|
\item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
|
|
ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$
|
|
ist nicht surjektiv
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{korollar}%Folgerung 11.6
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|
Sei $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen
|
|
Räumen $X, Y$. Dann gilt:
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|
|
|
\[f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\]
|
|
ist ein Isomorphismus für jedes $x \in X$.
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
|
|
und $f \circ g = \text{id}_Y$, $g \circ f = \text{id}_X$
|
|
|
|
$\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\text{id}_Y)_* = \text{id}_{\pi_1 (Y, f(X)}$
|
|
und $g_* \circ f_* = \text{id}_{\pi_1(X,x)}$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}\xindex{homotop}
|
|
Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
|
|
stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
|
|
|
|
$f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
|
|
Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(X,0) = f(X), H(X,1)=g(x)$
|
|
für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$.
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h.
|
|
$[\gamma] \in \pi_1 (X, x_0)$.
|
|
|
|
Z.~Z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$
|
|
|
|
Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), S)$.
|
|
Dann gilt: $H_\gamma (t,0) = H(\gamma(t), 0) = (g \circ \gamma)(t)$,
|
|
$H_\gamma(1,s) = H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0$ für alle $s$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
$f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \text{id}_X,$
|
|
$f \circ g \sim \text{id}_Y$
|
|
|
|
$\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$
|
|
$g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$
|
|
|
|
$\Rightarrow f \circ g = \text{id}_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
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|
$x \mapsto 0$ für alle $x$.
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|
$g \circ f \sim \text{id}_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
|
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|
|
$\Rightarrow H(X,0) = X = \text{id}_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
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|
\end{beispiel}
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\begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
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Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit
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|
$U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend.
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Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen
|
|
Wegen um $x$, die ganz in $U$ oder ganz in $V$ verlaufen.
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|
\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$.
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Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in
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$\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.
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\Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.
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Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$.
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|
Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$
|
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ist homotop zu
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\[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2\]
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|
\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/topologischer-raum-x.png}
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\caption{Topologischer Raum $X$}
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\label{fig:top-raum-kreise}
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|
\end{figure}
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Sei $X$ wie in Abb.~\ref{fig:top-raum-kreise}. $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
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$\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
|
|
insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
|
|
\item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
|
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\begin{figure}
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\centering
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|
\input{figures/topology-4.tex}
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|
\caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$}
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|
\label{fig:torous-a-b}
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|
\end{figure}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Mitschrieb vom 12.12.2013 %
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\section{Überlagerungen}\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|(}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=4cm, keepaspectratio]{figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf}
|
|
\caption{$\mdr \rightarrow S^1$,\\$t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$}
|
|
\label{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
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|
\end{figure}
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\begin{definition}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung}\label{def:12.1}%Definition 12.1 der Vorlesung
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|
Es seien $X, Y$ zusammenhängende topologische Räume und
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|
$p: Y \rightarrow X$ eine stetige, surjektive Abbildung.
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|
$p$ heißt \textbf{Überlagerung}, wenn jedes $x \in X$ eine offene
|
|
Umgebung $U = U_X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
|
|
von offenen Teilmengen $V_j$ von $Y$ ist $(j \in I_X)$ und
|
|
$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist.
|
|
\end{definition}
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|
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|
\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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|
\item siehe Abbildung~\ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
|
|
\item siehe Abbildung~\ref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
|
|
\item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
|
|
\item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$
|
|
\item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe Abbildung~\ref{fig:liftung-s1-s1}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$]{
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|
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg}
|
|
\label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
|
|
}%
|
|
\subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{
|
|
\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}}
|
|
\label{fig:liftung-s1-s1}
|
|
}%
|
|
\label{Formen}
|
|
\caption{Beispiele für Überlagerungen}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{beispiel}
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
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|
Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine
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|
Abbildung.
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$f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
|
|
\end{definition}
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\begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
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|
Überlappungen sind offene Abbildungen.
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|
\end{korollar}
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\begin{beweis}
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|
Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
|
|
Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
|
|
und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.
|
|
|
|
Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.
|
|
|
|
$\Rightarrow p(V \cap V_j)$ ist offen in $p(V_j)$, also auch offen
|
|
in $X$. Außerdem ist $p(y) = x \in p(V \cap V_j)$ und
|
|
$p(V \cap V_j) \subseteq p(V)$.
|
|
|
|
$\Rightarrow p(V)$ ist offen.
|
|
\end{beweis}
|
|
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|
\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal?
|
|
Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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|
\begin{definition}\xindex{diskret}
|
|
Sei $M$ eine Menge und $X$ ein topologischer Raum.
|
|
|
|
$M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
|
|
Häufungspunkt hat.
|
|
\end{definition}
|
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|
|
\begin{korollar} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
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|
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
|
|
\item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item Seien $y_1, y_2 \in Y$.
|
|
|
|
\underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.
|
|
|
|
Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
|
|
$V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
|
|
$y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
|
|
|
|
Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide \todo{Was steht hier?}{} Element $p^{-1}(x)$
|
|
enthält.
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|
|
|
$\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.
|
|
|
|
\underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
|
|
|
|
Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umbebungen von $p(y_1)$
|
|
und $p(y_2)$.
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|
|
|
$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
|
|
$y_1$ und $y_2$.
|
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|
|
\item Sei $y \in Y$
|
|
|
|
\underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$
|
|
|
|
Finde $v_j$, sodass kein \dots \todo{...}
|
|
|
|
\underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$
|
|
|
|
\todo{...}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{korollar}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
|
|
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
|
|
|
|
Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
|
|
Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
|
|
$p^{-1}(x)$
|
|
|
|
$\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant auf $U$
|
|
|
|
$\xRightarrow{X \text{zhgd.}} |p^{-1}(x)|$ ist konstant auf $X$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}\xindex{Liftung}
|
|
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $Z$ ein weiterer topologischer
|
|
Raum, $f:Z \rightarrow X$ stetig.
|
|
|
|
Eine stetige Abbildung $\tilde{f}: Z \rightarrow Y$ heißt
|
|
\textbf{Liftung} von $f$, wenn $p \circ \tilde{f} = f$ ist.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{figure}
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|
\centering
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|
\includegraphics[width=\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/liftung-torus-r.jpg}
|
|
\caption{Beim liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
|
|
\label{fig:satz-seifert-van-kampen}
|
|
\end{figure}
|
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|
|
\begin{korollar}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
|
|
Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
|
|
Liftungen von $f$.
|
|
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|
$\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
|
|
\end{korollar}
|
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|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
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|
\input{figures/commutative-diagram-2.tex}
|
|
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:12.5}}
|
|
\label{fig:situation-kor-12.5}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $T = \Set{z \in Z | f_0(z) = f_1(z)}$.
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|
\underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.
|
|
|
|
Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
|
|
$V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}
|
|
|
|
Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
|
|
|
|
Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist
|
|
offene Umgebung in $Z$ von $z$.
|
|
|
|
\underline{Behauptung:} $B \subseteq T$
|
|
|
|
Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$
|
|
|
|
$\Rightarrow T$ ist offen.
|
|
|
|
Analog: $Z \setminus T$ ist offen.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}\label{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}
|
|
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $\gamma: I \rightarrow X$
|
|
ein Weg, $y \in Y$ mit $p(y) = \gamma(0) =: x$.
|
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|
|
Dann gibt es genau einen Weg $\tilde{\gamma}: I \rightarrow Y$
|
|
mit $\tilde{\gamma}(0)=y$ und $p \circ \tilde{\gamma} = \gamma$.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Existenz: Siehe Skizze (Abbildung~\ref{fig:satz-12.6}).
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-1.jpg}
|
|
\caption{Skizze für den Beweis von Satz~\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}}
|
|
\label{fig:satz-12.6}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{beweis}
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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|
% Sebastians Mitschrieb vom 17.12.2013 %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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$p:Y \rightarrow X$ Überlagerung, $X,Y$ wegzusammenhängend.
|
|
$p$ stetig und surjektiv, zu $x \in X \exists$ Umgebung $U$, so dass
|
|
$p^{-1}(U) = \bigcup V_j$
|
|
|
|
$p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|
|
|
\begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung
|
|
Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften.
|
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|
Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von
|
|
$\gamma$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
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|
\begin{proposition}\label{proposition:12.7}%Proposition 12.7 der Vorlesung
|
|
Seien $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $a,b \in X$,
|
|
$\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach
|
|
$b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$
|
|
Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit
|
|
$\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{0}$.
|
|
|
|
Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und
|
|
$\tilde{\gamma_0} \sim \tilde{\gamma_1}$.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $H: I \times I \rightarrow X$ Homotopie zwischen $\gamma_1$
|
|
und $\gamma_2$.
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Für $s \in [0,1]$ sei $\gamma_s: I \rightarrow X$, $t \mapsto H(t,s)$.
|
|
|
|
Sei $\tilde{\gamma_s}$ Lift von $\gamma_s$ mit $\tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$
|
|
|
|
Sei $\tilde{H}: I \times I \rightarrow Y,\;\;\; \tilde{H}(t,s) := (\tilde{\gamma_s}(t), s)$
|
|
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für Korollar~\ref{kor:12.5})
|
|
\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_s}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
|
|
\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{0}$
|
|
\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\
|
|
$\Rightarrow \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) = \tilde{b_s} \forall s \in I$\\
|
|
$\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $H$ ist Homotopie
|
|
zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
|
|
Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
|
|
\item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und
|
|
$p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$
|
|
|
|
Nach Proposition~\ref{proposition:12.7} ist dann
|
|
$\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs
|
|
$\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu
|
|
$\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$
|
|
\item Sei $d = \deg{p}, p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, y_1, \dots, y_{d-1}}$.
|
|
Für einen geschlossenen Weg $\gamma$ in $X$ um $x_0$
|
|
sei $\tilde{\gamma}$ die Liftung mit $\tilde{\gamma}(0) = y_0$.
|
|
|
|
$\tilde{\gamma}(1) \in \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$ hängt
|
|
nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab.
|
|
|
|
Es gilt:
|
|
\begin{align}
|
|
\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
|
|
\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
|
|
\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))
|
|
\end{align}
|
|
Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
|
|
$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\sigma_i(1) = y_i$\\
|
|
$\Rightarrow p * \delta_i$ ist geschlossener Weg in
|
|
$X$ um $x_0$.\\
|
|
$\Rightarrow \sigma_i = \widetilde{p*\delta_i}$\\
|
|
$\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist
|
|
$\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
|
|
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung und $X$ einfach zusammenhängend.
|
|
|
|
Dann ist $p$ ein Homöomorphismus.
|
|
\end{korollar}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Wegen Korollar~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
|
|
und wegen Korollar~\ref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
|
|
bijektiv.
|
|
|
|
Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
|
|
ist stetig. $\qed$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}%In Vorlesung: "Definition 12.10"
|
|
Eine Überlagerung $p: \tilde{X} \rightarrow X$ heißt
|
|
\textbf{universell}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!universelle}, wenn
|
|
$\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
$\mdr \rightarrow S^1, \;\;\; t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
|
|
|
|
$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$
|
|
|
|
$S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$ für $n \geq 2$
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 12.11
|
|
Sei $p: \tilde{X} \rightarrow X$ universelle Überlagerung,
|
|
$q:Y \rightarrow X$ weitere Überlagerung.
|
|
|
|
Sei $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}, y_0 \in Y$ mit
|
|
$q(y_1) = x_0, p(\tilde{x_0}) = x_0$.
|
|
|
|
Dann gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow Y$
|
|
mit $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = y_0$.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $z \in \tilde{X}, y_z: I \rightarrow \tilde{X}$ ein Weg von
|
|
$\tilde{x_0}$ nach $z$.
|
|
|
|
Sei $\delta_Z$ \underline{die} Liftung von $p \circ \gamma_z$
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nach $y$ mit $\delta_2(0) = y_0$.
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Setze $\tilde{p}(z) = \delta_Z(1)$.
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Da $\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist, hängt $\tilde{p}(z)$
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nicht vom gewählten $y_z$ ab.
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Offensichtlich ist $q(\tilde{p}(z)) = p(z)$.
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$\tilde{p}$ ist stetig (in $z \in \tilde{X}$). Sei $W \subseteq Y$
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offene Umgebung von $\tilde{p}(z)$.
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$\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
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Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Defintion~\ref{def:12.1} und
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$V \subseteq q^{-1}(U)$ die \todo{Was?}{Komp.} die $\tilde{p}(z)$
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enthält.
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\Obda sei $V \subseteq W$.
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Sei $Z := p^{-1}(U)$. Für $u \in Z$ sei $\delta$ ein Weg in $Z$
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von $z$ nach $u$.
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$\Rightarrow \gamma_Z * \delta$ ist Weg von $x_0$ nach $u$\\
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$\Rightarrow \tilde{p}(u) \in V$\\
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$\Rightarrow Z \subseteq \tilde{p^{-1}}(W)$\\
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$\Rightarrow \tilde{p}$ ist stetig
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\end{beweis}
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\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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