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% Mitschrieb vom 30.01.2014 %
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\chapter{Krümmung}
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\section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung}
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\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1
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Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion.
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\begin{defenum}
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\item $\gamma$ heißt \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge},
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wenn $\|\gamma'(t)\|_2 = 1$ für alle $t \in I$. Dabei
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ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$
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\item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt
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\textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven I]%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1
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Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion.
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\begin{bemenum}
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\item Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $l(\gamma) = b-a$.
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\item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist
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$\gamma'(t)$ orthogonal zu $\gamma''(t)$ für alle $t \in I$.
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t = \int_a^b 1 \mathrm{d} t = b - a$.
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\item Im Folgenden wird die Aussage nur für $\gamma: [a, b] \rightarrow \mdr^2$ bewiesen.
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Allerdings funktioniert der Beweis im $\mdr^n$ analog. Es muss nur
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die Ableitung angepasst werden.
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$1 = \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle$\\
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$\begin{aligned}[t]
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\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\
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&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma_1'(t)\gamma_1'(t) + \gamma_2'(t)\gamma_2'(t))\\
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&= 2 \cdot (\gamma_1''(t) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_2''(t) \cdot \gamma_2'(t))\\
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&= 2 \cdot \langle \gamma''(t), \gamma'(t) \rangle
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\end{aligned}$
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
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Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
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parametrisierte Kurve.
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\begin{defenum}
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\item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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an $\gamma$ in $t$ wenn gilt:
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\[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0 \text{, } \|n(t)\|=1 \text{ und } \det((\gamma_1'(t), n(t))) = +1\]
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\item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
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abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
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\[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
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$\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
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von $\gamma$ in $t$.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 16.3
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Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$.
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Es gilt:
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\[\gamma(t) = \left (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r} \right ) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\]
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ist parametrisiert durch Bogenlänge, da gilt:
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\begin{align*}
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\gamma'(t) &= \left ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r} \right )\\
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&= \left (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r} \right )
|
|
\end{align*}
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Der Normalenvektor von $\gamma$ in $t$ ist
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\[n(t) = \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\]
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da gilt:
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\begin{align*}
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\langle n(t), \gamma'(t) \rangle &=
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\left \langle
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\begin{pmatrix}- \cos \frac{t}{r}\\ - \sin \frac{t}{r}\end{pmatrix},
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\begin{pmatrix}- \sin \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r}\end{pmatrix}
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|
\right \rangle\\
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|
&= (- \cos \frac{t}{r}) \cdot (- \sin \frac{t}{r}) + (- \sin \frac{t}{r}) \cdot (\cos \frac{t}{r})\\
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|
&= 0\\
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|
\|n(t)\| &= \left \| (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r}) \right \|\\
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|
&=(- \cos \frac{t}{r})^2 + (- \sin \frac{t}{r})^2\\
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|
&= 1\\
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\det(\gamma_1'(t), n(t)) &= \left \|
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|
\begin{pmatrix}
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- \sin \frac{t}{r} & - \cos \frac{t}{r}\\
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|
\cos \frac{t}{r} & - \sin \frac{t}{r}
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|
\end{pmatrix}
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|
\right \|\\
|
|
&= (- \sin \frac{t}{r})^2 - (- \cos \frac{t}{r}) \cdot \cos \frac{t}{r}\\
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&= 1
|
|
\end{align*}
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Die Krümmung ist für jedes $t$ konstant $\frac{1}{r}$, da gilt:
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\begin{align*}
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\gamma''(t) &= \left (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r} \right )\\
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|
&= \frac{1}{r} \cdot \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\
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|
\Rightarrow \kappa(t) &= \frac{1}{r}
|
|
\end{align*}
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\end{beispiel}
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\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.4
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Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ eine durch Bogenlänge parametrisierte
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Kurve.
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\begin{defenum}
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\item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die
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\textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$.
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\item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$,
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so heißt $\gamma''(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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an $\gamma$ in $t$.
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\item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$
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zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt.
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Also gilt:
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\[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\]
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$b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor},
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|
die Orthonormalbasis
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\[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\]
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heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begreitendes}.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven II]%In Vorlesung: Def.+Bem 16.4
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Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ durch Bogenlänge parametrisierte
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Kurve.
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\begin{bemenum}
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\item $n(t)$ ist orthogonal zu $\gamma'(t)$.
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\item $b(t)$ aus \cref{def:16.4c} ist eindeutig.
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\end{bemenum}
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|
\end{bemerkung}
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\section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
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Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}.
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Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form
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\[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\]
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für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
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\begin{definition}%In Vorlesung: 17.1
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$,
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$F: U \rightarrow V \cap S$ eine lokale Parametrisierung um $s$
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(d.~h. $s \in V$)
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\[(u,v) \mapsto (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\]
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|
Für $p=F^{-1}(s) \in U$ sei
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\[ J_F(u,v) = \begin{pmatrix}
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|
\frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\
|
|
\frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\
|
|
\frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p)
|
|
\end{pmatrix}\]
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und $D_P F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$
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definierte lineare Abbildung.
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Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene}
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an $s \in S$.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften der Tangentialebene]%
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\begin{bemenum}
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\item $T_s S$ ist $2$-dimensionaler Untervektorraum von $\mdr^3$.%In Vorlesung: 17.2
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\item $T_s S$ hängt nicht von der gewählten Parametrisierung ab.%In Vorlesung: 17.3
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|
\item Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also %In Vorlesung: Bemerkung 17.4
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$f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$
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offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$.
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Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$.
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor
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multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der
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linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist.
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Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$.
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\item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve }
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\gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S
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\text{ für ein } \varepsilon > 0
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\text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x
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\}$
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\todo{todo}
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\item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
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eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
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sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle
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$t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\
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$\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\
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|
$\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\
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|
$\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$
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|
\end{enumerate}
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\end{beweis}
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% Mitschrieb vom 04.02.2014 %
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\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5
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\begin{defenum}
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\item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der
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Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$
|
|
mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$.
|
|
\item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare},
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|
wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
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\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
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Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5
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\begin{bemenum}
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\item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es
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glatt ist (also $C^\infty$).
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\item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$
|
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von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$
|
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von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$
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ein stetiges Normalenfeld existiert.
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|
\item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen
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differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen
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$F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass
|
|
für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$
|
|
gilt:
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\[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}}) < 0\]
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|
\end{bemenum}
|
|
\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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Wird hier nicht geführt.%TODO: Übung? Übungsblatt?
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}[Normalenfelder]
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\begin{bspenum}
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\item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist stetiges Normalenfeld.\\
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|
$n_2 = - \id_{S^2}$ ist auch stetiges Normalenfeld.
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|
\item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip})
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ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld,
|
|
aber kein stetiges Normalenfeld.
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\end{bspenum}
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\end{beispiel}
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\begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband}
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\centering
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\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf}
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|
\caption{Möbiusband}
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|
\label{fig:moebius-strip}
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|
\end{figure}
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|
\index{Tangentialebene|)}
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\section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
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\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
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Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
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in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
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Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale
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Untervektorraum von $\mdr^3$.
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Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass
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\[C := (s + E) \cap S \cap V\]
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das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve
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|
$\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow s$ enthält mit
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$\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$.
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|
\end{bemerkung}
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|
\begin{beweis}
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|
\enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B.
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\url{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}}
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|
\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
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|
In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
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der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
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\textbf{Normalkrümmung}\footnotemark{} von $S$ in $s$ in Richtung
|
|
$x = \gamma'(0)$.
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|
Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappanor(s, x)$
|
|
\end{definition}
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|
\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
|
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|
|
\begin{beispiel}[Gauß-Krümmung]%In Vorlesung: Beispiel 18.3
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\begin{bspenum}
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\item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1,
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|
$n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\
|
|
$\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$)
|
|
|
|
$C = E \cap S$ ist Kreislinie\\
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|
$\kappanor(s, x) = \frac{1}{r} = 1$
|
|
\item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}).
|
|
$s = (1,0,0)$\\
|
|
$x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\
|
|
$S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\
|
|
$\Rightarrow \kappanor(s, x_1) = \pm 1$\\
|
|
$x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\
|
|
$V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\
|
|
$\Rightarrow \kappanor(s, x_2) = 0$
|
|
\item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\
|
|
$x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\
|
|
$x_2 = (0, 1, 0)$\\
|
|
$\kappanor(s, x_1) = 2$\\
|
|
$\kappanor(s, x_2) = -2$
|
|
\end{bspenum}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{
|
|
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}}
|
|
\label{fig:regular-zylinder}
|
|
}%
|
|
\subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{
|
|
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}}
|
|
\label{fig:hyperbolic-paraboloid}
|
|
}%
|
|
\label{fig:regular-surfaces}
|
|
\caption{Beispiele für reguläre Flächen}
|
|
\end{figure}
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|
% Mitschrieb vom 06.02.2014 %
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|
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\begin{definition}\label{def:18.4}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Def. 18.4
|
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, ($n$ ein
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|
stetiges Normalenfeld auf $S$)
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|
|
$\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach
|
|
Bogenlänge parametrisierte Kurve ($\varepsilon > 0$) mit
|
|
$\gamma(0) = s$ und $\gamma''(0) \neq 0$.
|
|
|
|
Sei $n(0) := \frac{\gamma''(0)}{\|\gamma''(0)\|}$. Zerlege
|
|
$n(0) = n(0) + n(0)^\bot$ mit $n(0)^\bot \in T_s S$ und
|
|
$n(0)^\bot \in (T_s S)^\bot$.
|
|
|
|
Dann ist $n(0)^\bot = \langle n(0), n(s) \rangle \cdot n(s)$\\
|
|
$\kappanor(s, \gamma) := \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$
|
|
die \textbf{Normalkrümmung}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Sei $\overline{\gamma}(t) = \gamma(-t)$, $t \in [- \varepsilon, \varepsilon]$.
|
|
Dann ist $\kappanor(s, \overline{\gamma}) = \kappanor(s, \gamma)$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
$\overline{\gamma}''(0) = \gamma''(0)$, da $\overline{\gamma}'(0) = - \gamma'(0)$.
|
|
|
|
Es gilt: $\kappanor(s,\gamma)$ hängt nur von $|\gamma'(0)|$ ab
|
|
und ist gleich $\kappanor(s, \gamma'(0))$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
|
|
Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an
|
|
$S$ in $s$.
|
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|
|
Sei $T_{s}^{1} S = \Set{x \in T_s S | \|x\| = 1} \cong S^1$.
|
|
Dann ist
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\[ \kappanor^n(s): T_s S \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto \kappanor(s,x)\]
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eine glatte Funktion und
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$\Bild \kappanor(s)$ ist ein abgeschlossenes Intervall.
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\end{bemerkung}
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\begin{definition}\xindex{Hauptkrümmung}\xindex{Gauß-Krümmung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
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Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an
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$S$ in $s$.
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\begin{defenum}
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\item $\kappa^n_1(s) := \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$ und\\
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$\kappa^n_2(s) := \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$
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heißen \textbf{Hauptkrümmungen} von $S$ in $s$.
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\item $K(s) := \kappa_1^n(s) \cdot \kappa_2^n(s)$ heißt
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\textbf{Gauß-Krümmung} von $S$ in $s$.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
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Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt:
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\begin{align*}
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\kappanor^{-n}(s, x) &= - \kappanor^n(x)\; \forall x \in T_s^1 S\\
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\Rightarrow \kappa_1^{-n}(s) &= - \kappa_2^n(s)\\
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|
\kappa_2^{-n}(s) &= - \kappa_1^n (s)\\
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\text{ und } K^{-n}(s) &= K^n(s) =: K(s)
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\end{align*}
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\end{bemerkung}
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\begin{beispiel}
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\begin{bspenum}
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\item $S = S^2$. Dann ist $\kappa_1(s) = \kappa_2(s) = \pm 1\;\forall s \in S^2$\\
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$\Rightarrow K(s) = 1$
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\item Zylinder:\\
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$\kappa_1(s) = 0, \kappa_2(s) = 1 \Rightarrow K(s) = 0$
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\item Sattelpunkt auf hyperbolischem Paraboloid:\\
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$\kappa_1(s) < 0, \kappa_2(s) = 0 \rightarrow K(s) < 0$
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\item $S = \text{Torus}$. Siehe \cref{fig:torus-gauss-kruemmung}\\
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\begin{figure}[htp]\xindex{Torus}
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\centering
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\input{figures/torus-gauss-kruemmung.tex}
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\caption{$K(s_1) > 0$, $K(s_2) = 0$, $K(s_3) < 0$}
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\label{fig:torus-gauss-kruemmung}
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\end{figure}
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\end{bspenum}
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\end{beispiel}
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem. 18.7
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Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$ ein Punkt.
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\begin{bemenum}
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\item Ist $K(s) > 0$, so liegt $S$ in einer Umgebung von $s$
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ganz auf einer Seite von $T_s S + s$.
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\item Ist $K(s) < 0$, so schneidet jede Umgebung von $s$ in $S$
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|
beide Seiten von $T_s S + s$.
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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\index{Gauß-Krümmung|)}
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% Mitschrieb vom 11.02.2014 %
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\section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $T_s S$ die Tangentialebene
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an $S$ in $s$.
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1
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\begin{bemenum}
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\item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf
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$T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum.
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\item Sei $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
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$s$ und $p := F^{-1}(s)$.
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Dann ist $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
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|
\item Bzgl. der Basis $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ hat das
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Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
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\begin{align*}
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I_S &= \begin{pmatrix}
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g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\
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|
g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s)
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|
\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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|
E(s) & F(s) \\
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|
F(s) & G(s)
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|
\end{pmatrix}\\
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|
\text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_P F(e_i), D_P F(e_j))\\
|
|
&= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
|
|
\end{align*}
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|
Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}\xindex{Fundamentalform!erste}
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von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
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\item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$.
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\end{bemenum}
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|
\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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\[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\]
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|
\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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Sei $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) = \begin{pmatrix}
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|
x_1\\ x_2 \\ x_3
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\end{pmatrix}, \;\;\; \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix}
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|
y_1\\ y_2 \\ y3
|
|
\end{pmatrix}$
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|
Dann ist $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix}
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|
z_1 \\ z_2 \\ z_3
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|
\end{pmatrix}$ mit
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\begin{align*}
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z_1 &= x_2 y_3 - x_3 - y_2\\
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|
z_2 &= x_3 y_1 - x_1 y_3\\
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|
z_3 &= x_1 y_2 - x_2 y_1\\
|
|
\Rightarrow \|\frac{\partial F}{\partial u_1} (p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2} (p)\| &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\\
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
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|
\det(I_S) &= g_{1,1} g_{2,2} - g_{1,2}^2\\
|
|
&= \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right \rangle \left \langle \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle - \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle^2\\
|
|
&= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
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|
\begin{definition}\xindex{Flächenelement}%In Vorlesung: Def.+Bem. 19.3 / Erinnerung
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\begin{defenum}
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\item Das Differential $\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2$
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|
heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
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|
\item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt
|
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\[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\]
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|
der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts
|
|
existiert.
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|
\end{defenum}
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\end{definition}
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|
\begin{bemerkung}
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|
\begin{bemenum}
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|
\item $\int_V f \mathrm{d} A$ ist unabhänig von der gewählten Parametrisierung.
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|
\item Sei $f: S \rightarrow \mdr$ eine Funktion, die im Sinne von
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|
\cref{def:berechenbares-integral} lokal integrierbar ist.
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|
|
|
Dann ist $\int_S f \mathrm{d} A$ wohldefiniert, falls (z.~B.) $S$
|
|
kompakt ist.
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Etwa:
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\begin{align*}
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|
\int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{V_i} f \mathrm{d} A \\
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|
&- \sum_{i \neq j} \int_{V_i \cap V_j} f \mathrm{d} A \\
|
|
&+ \sum_{i,j,k} \int_{V_i \cap V_j \cap V_k} \mathrm{d} A\\
|
|
&- \dots
|
|
\end{align*}
|
|
\end{bemenum}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
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|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item Mit Transformationsformel
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|
\item Ist dem Leser überlassen.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{proposition}
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten
|
|
Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{propenum}
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|
\item $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_S n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
|
|
durch
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|
\[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\]
|
|
\item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$.
|
|
\item $d_S n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$.
|
|
\item $d_S n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$.
|
|
\end{propenum}
|
|
\end{proposition}
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|
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|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
\item TODO
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|
\item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\bot = T_s S$
|
|
\item TODO
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\item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$
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|
Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft
|
|
für die Basisvektoren zu zeigen.
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Sei $x_i = D_P F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
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|
\underline{Beh.:}
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|
$\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$
|
|
|
|
$\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$
|
|
|
|
\underline{Bew.:} $
|
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\begin{aligned}[t]
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|
0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\
|
|
\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\
|
|
&= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_P F (e_j)}_{x_j}\rangle
|
|
\end{aligned}$
|
|
\end{enumerate}
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\end{beweis}
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% Mitschrieb vom 13.02.2014 %
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\begin{definition}\xindex{Fundamentalform!zweite}%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 a)
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Die durch $-d_s n$ definierte symmetrische Bilinearform auf $T_s S$ heißt
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\textbf{zweite Fundamentalform} von $S$ in $s$ bzgl. $F$.
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Man schreibt: $II_s(x,y) = \langle - d_s n(x), y \rangle = I_s (-d_s n(x), y)$
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}%%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 b)
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Bezüglich der Basis $\Set{x_1, x_2}$ von $T_s S$ hat $II_s$ die Darstellungsmatrix
|
|
\[(h^{(s)}_{i,j})_{i,j=1,2} \text{ mit } h_{i,j}(s) = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), n(s) \rangle \]
|
|
\end{bemerkung}
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\begin{proposition}\label{prop:19.6}%In Vorlesung: Proposition 19.6
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Sei $\gamma:[- \varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach Bogenlänge
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|
parametrisierte Kurve mit $\gamma(0) = s$. Dann gilt:
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\[\kappanor(s, \gamma) = II_s(\gamma'(0), \gamma'(0))\]
|
|
\end{proposition}
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\begin{beweis}
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Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$.
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Nach Voraussetzung ist $n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0$.
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|
Die Ableitung nach $t$ ergibt
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\begin{align*}
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0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\
|
|
&= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\
|
|
&= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappa(s,\gamma)\\
|
|
&= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappa(s, \gamma)
|
|
\end{align*}
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|
\end{beweis}
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|
\begin{folgerung}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Folgerung 19.7
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Die beiden Definitionen von Normalkrümmung in \cref{sec:Kurvenkrümmung} stimmen
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überein:
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\[\kappanor(s, \gamma) = \kappanor(s, \gamma'(0))\]
|
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\end{folgerung}
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\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 19.8
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche und $s \in S$.
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\begin{satzenum}
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\item Die Hauptkrümmungen $\kappa_1(s), \kappa_2(s)$ sind die Eigenwerte
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von $II_s$.
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\item Für die Gaußkrümmung gilt: $K(s) = \det(II_s)$
|
|
\end{satzenum}
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\end{satz}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $II_s$ ist symmetrisch, $I_s S$ hat also eine Orthonormalbasis aus
|
|
Eigenvektoren $y_1, y_2$ von $II_s$. Ist $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$,
|
|
so gibt es $\varphi \in [0,2\pi)$ mit $x = \cos \varphi \cdot y_1 + \sin \varphi \cdot y_2$.
|
|
|
|
Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also
|
|
$II_s(y_i, y_i) = \lambda_i$. Dann gilt:
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\begin{align*}
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|
II_s (x,x) &= \cos^2 \varphi \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\
|
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&= (1- \sin^2 \varphi) \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\
|
|
&= \lambda_1 + \sin^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \geq \lambda_1\\
|
|
&= \cos^2 \varphi + (1 - \cos^2 \varphi) \lambda_2\\
|
|
&= \lambda_2 - \cos^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \leq \lambda_2\\
|
|
\xRightarrow{\crefabbr{prop:19.6}} \lambda_1 &= \min \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S}\\
|
|
\lambda_2 &= \max \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
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\begin{satz}[Satz von Gauß-Bonnet]\xindex{Satz von!Gauß-Bonnet}
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine kompakte orientierbare reguläre Fläche. Dann gilt:
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\[\int_S K(s) \mathrm{d}A = 2 \pi \chi(S)\]
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Dabei ist $\chi(S)$ die Euler-Charakteristik von $S$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Der Beweis wird hier nicht geführt. Er kann in \enquote{Elementare Differentialgeometrie}
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von Christian Bär (2. Auflage), ISBN 978-3-11-022458-0, ab Seite 281 nachgelesen werden.
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\end{beweis} |