mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-26 06:48:04 +02:00
4426 lines
200 KiB
TeX
4426 lines
200 KiB
TeX
% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/WS10/Ana3Bachelor.tex
|
|
\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm]{scrbook}
|
|
\usepackage{mathe}
|
|
\usepackage{saetze-schmoeger}
|
|
|
|
\lecturer{Dr. C. Schmoeger}
|
|
\semester{Wintersemeseter 10/11 und 12/13}
|
|
\scriptstate{complete}
|
|
|
|
\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de}
|
|
und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}}
|
|
\title{Analysis III - Bachelorversion}
|
|
\makeindex
|
|
|
|
\hypersetup{
|
|
pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
|
|
pdfkeywords = {Analysis},
|
|
pdftitle = {Analysis III}
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
|
|
%\chapter{Inhaltsverzeichnis}
|
|
\addcontentsline{toc}{chapter}{Inhaltsverzeichnis}
|
|
\tableofcontents
|
|
|
|
\chapter*{Vorwort}
|
|
|
|
\section*{Über dieses Skriptum}
|
|
Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von
|
|
Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
|
|
(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher
|
|
Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
|
|
ist für den Inhalt nicht verantwortlich.
|
|
|
|
\section*{Wer}
|
|
Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem
|
|
Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan
|
|
und Benjamin Unger.
|
|
|
|
Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7132 von
|
|
mitschriebwiki auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III}{GitHub} hochgeladen.
|
|
|
|
\section*{Wo}
|
|
Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
|
|
\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
|
|
abgerufen werden.
|
|
Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
|
|
\LaTeX-Funktionen erweitert.
|
|
Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung
|
|
beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion}
|
|
möglich.
|
|
|
|
Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III/}{github},
|
|
erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
|
|
\renewcommand{\chaptername}{§}
|
|
\renewcommand*{\chapterformat}{§\,\thechapter \enskip}
|
|
\setcounter{chapter}{-1}
|
|
|
|
\chapter{Vorbereitungen}
|
|
\label{Kapitel 0}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
|
|
$f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\index{Potenzmenge}
|
|
\index{Disjunktheit}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt
|
|
\textbf{Potenzmenge} von $X$.
|
|
\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$
|
|
\textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
|
|
für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
|
|
\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
|
|
$A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
|
|
genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist.\\
|
|
\textbf{Schreibweise}:\\
|
|
\begin{align*}
|
|
\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty &:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\\
|
|
\bigcup_{j=1}^\infty A_j &:=\bigcup A_j\\
|
|
\bigcap_{j=1}^\infty A_j &:=\bigcap A_j\\
|
|
\sum_{j=1}^\infty a_j &=: \sum a_j
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$
|
|
definiert durch:
|
|
\[\mathds{1}_A(x):= \begin{cases}
|
|
1 &\text{falls } x\in A\\
|
|
0 &\text{falls } x\in A^c
|
|
\end{cases}\]
|
|
wobei $A^c:=X\setminus A$. $\mathds{1}_A$ heißt die
|
|
\textbf{charakteristische Funktion} oder
|
|
\textbf{Indikatorfunktion von A}.
|
|
\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
|
|
und es gelten folgende Eigenschaften:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$
|
|
\item Ist $B_j$ eine Folge in $\mathcal{P}(Y)$, so gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
f^{-1}(\bigcup B_j)=\bigcup f^{-1}(B_j)\\
|
|
f^{-1}(\bigcap B_j)=\bigcap f^{-1}(B_j)\\
|
|
\end{align*}
|
|
\item Ist $C\subseteq Z$, so gilt:
|
|
\[(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\chapter{$\sigma$-Algebren und Maße}
|
|
\label{Kapitel 1}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{$\sigma$-!Algebra}
|
|
Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
|
|
\textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
|
|
\item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$.
|
|
\item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist
|
|
$\bigcup A_j\in\fa$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispieleX}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
|
|
$\sigma$-Algebren auf $X$.
|
|
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
|
|
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
|
\item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
|
|
ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispieleX}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 1.1}
|
|
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\emptyset\in\fa$
|
|
\item Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcap A_j\in\fa$.
|
|
\item Sind $A_1,\ldots,A_n\in\fa$, so gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$
|
|
\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$
|
|
\item $A_1\setminus A_2\in\fa$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$.
|
|
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
|
|
($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
|
|
$D=(D^c)^c\in\fa$.
|
|
\item \begin{enumerate}
|
|
\item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
|
|
$A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$.
|
|
\item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
|
|
$A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$.
|
|
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 1.2}
|
|
Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
|
|
Dann ist
|
|
\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
|
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$.
|
|
\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
|
|
&\implies A^c\in\fa_0
|
|
\end{align*}
|
|
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
|
|
ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Erzeuger}
|
|
Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
|
$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
|
|
$\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
|
\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
|
\folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
|
|
auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
|
|
\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
|
|
$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
|
|
$\sigma(\mathcal{E})$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 1.3}
|
|
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
|
|
$\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
|
|
$\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
|
|
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
|
|
$\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
|
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
|
|
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Klar nach Definition.
|
|
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
|
|
$\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
|
|
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
|
|
also folgt nach Definition
|
|
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
|
|
$\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
|
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
|
|
Dann gilt:
|
|
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{erinnerung}
|
|
\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
|
|
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
|
|
\textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
|
|
ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
|
|
$A=X\cap G$.\\
|
|
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
|
|
$X$.
|
|
\end{erinnerung}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche}
|
|
\index{Borel!Mengen}
|
|
Sei $X\subseteq\mdr^d$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$
|
|
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
|
|
\textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
|
|
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
|
|
\textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
|
|
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$
|
|
in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
|
|
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$
|
|
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$,
|
|
so ist $A\in\fb_d$.
|
|
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
|
|
$\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
|
|
Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
|
|
dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
|
|
folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
|
|
Allgemeiner lässt sich zeigen:
|
|
$\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$.
|
|
\item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen
|
|
$\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Intervall}
|
|
\index{Halbraum}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
|
|
$I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall}
|
|
in $\mdr^d$.
|
|
\item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$.
|
|
\[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\]
|
|
\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$.
|
|
\begin{align*}
|
|
(a,b) &:= (a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\
|
|
(a,b] &:= (a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\
|
|
[a,b) &:= [a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\
|
|
[a,b] &:= [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d]
|
|
\end{align*}
|
|
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
|
|
$a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$.
|
|
\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
|
|
folgenden \textbf{Halbräume}:
|
|
\begin{align*}
|
|
H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\
|
|
H_k^+(\alpha) &:= \Set{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$]
|
|
\label{Satz 1.4}
|
|
Es seien $\ce_1,\ce_2,\ce_3$ wie folgt definiert:
|
|
\begin{align*}
|
|
\ce_1&:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b\}\\
|
|
\ce_2&:=\{(a,b]:a,b\in\mdq^d, a\le b\}\\
|
|
\ce_3&:=\{H^-_k(\alpha):\alpha\in\mdq, k=1,\ldots,d\}
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt:
|
|
\[\fb_d=\sigma(\ce_1)=\sigma(\ce_2)=\sigma(\ce_3)\]
|
|
Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$.
|
|
Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. Also
|
|
gilt:
|
|
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\]
|
|
\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\
|
|
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
|
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$.\\
|
|
Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j$. Also gilt auch:
|
|
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
|
Definiere $c_n:=(\frac1n,\ldots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
|
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
|
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit $\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
|
|
\item Seien $a = (a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d) \in \mdq^d$ mit $a \leq b$. Nachrechnen:
|
|
\[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
|
|
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch $\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
|
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist $H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$, also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist $\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Spur}
|
|
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und $\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
|
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
|
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
|
|
\label{Satz 1.5}
|
|
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
|
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
|
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \begin{enumerate}
|
|
\item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
|
|
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$. Also ist $Y\setminus B=(X\setminus A)\cap Y\in\fa_Y$, da $X\setminus A\in\fa$ ist.
|
|
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$ mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
|
|
\[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Der Beweis erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item["`$\implies$"'] Es gilt $Y\in\fa_Y\subseteq\fa$.
|
|
\item["`$\impliedby$"'] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y\in\fa$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\ce\subseteq\sigma(\ce)&\implies\ce_Y\subseteq\sigma(\ce)_Y\\
|
|
&\implies\sigma(\ce_Y)\subseteq\sigma(\ce)_Y
|
|
\end{align*}
|
|
Sei nun:
|
|
\[\cd:=\{A\subseteq X:A\cap Y\in\sigma(\ce_Y)\}\]
|
|
Übung: $\cd$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.\\
|
|
Sei $E\in\ce$ dann ist $E\cap Y\in\ce_Y\subseteq\sigma(\ce_Y)$ also $E\in\cd$ und damit $\ce\subseteq\cd$. Daraus folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\sigma(\ce)_Y&\subseteq\sigma(\cd)_Y=\cd_Y=\{A\cap Y:A\in\cd\}\\
|
|
&\subseteq\sigma(\ce_Y)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}
|
|
Sei $X\subseteq\mdr^d$. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\fb(X)=(\fb_d)_X$
|
|
\item Ist $X\in\fb_d$, so ist $\fb(X)=\{A\in\fb_d:A\subseteq X\}\subseteq\fb_d$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Wir fügen $\mdr$ das Symbol $+\infty$ hinzu. Es soll gelten:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\forall a\in\mdr:a<+\infty$
|
|
\item $\pm a+(+\infty):=+\infty=:(+\infty)\pm a$
|
|
\item $(+\infty)+(+\infty):=+\infty$
|
|
\end{enumerate}
|
|
Sei etwa $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $(x_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt:
|
|
\[x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty:\iff \forall c>0\exists n_c\in\mdn:\forall n\ge n_c: x_n> c\]
|
|
\item Sei $(a_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt
|
|
\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n = +\infty\]
|
|
genau dann wenn $a_j=+\infty$ für ein $j\in\mdn$ oder, falls alle $a_j<+\infty$, wenn $\sum a_n$ divergiert.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Maß}
|
|
\index{$\sigma$-!Additivität}
|
|
\index{Maßraum}
|
|
\index{Maß!endliches}
|
|
\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
|
|
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann wenn gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
|
|
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist $\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt \textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Ist $\mu$ ein Maß auf $\fa$, so heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
|
Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich}, genau dann wenn $\mu(X)<\infty$. Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß}, genau dann wenn $\mu(X)=1$ ist.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\index{Punktmaß}\index{Maß!Punkt-}
|
|
\index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-}
|
|
\index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $\fa=\cp(X)$ und $x_0\in X$. $\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
|
|
\[\delta_{x_0}(A):=
|
|
\begin{cases}
|
|
1,\ x_0\in A\\
|
|
0,\ x_0\not\in A
|
|
\end{cases}\]
|
|
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\emptyset)=0$ ist.\\
|
|
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$.
|
|
\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)=
|
|
\left.\begin{cases}
|
|
1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
|
|
0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
|
|
\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
|
|
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\cp(X)$ und heißt \textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
|
|
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
|
|
\begin{align*}
|
|
\mu(A):=
|
|
\begin{cases}
|
|
0&,A=\emptyset\\
|
|
\sum_{j\in A}p_j&,A\ne\emptyset
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}. Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der Elemente von $A$.
|
|
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$ und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$). Dann ist $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
|
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch $\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 1.7}
|
|
\((X,\fa,\mu)\) sei ein Ma\ss raum, es seien \(A,B\in\fa\) und \((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\)
|
|
\item Ist \(\mu(A)<\infty\) und \(A\subseteq B,\implies\,\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\)
|
|
\item Ist \(\mu\) endlich, dann ist \(\mu(A)<\infty\) und \(\mu(A^{c})=\mu(X)-\mu(A)\)
|
|
\item \(\mu\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum{\mu(A_{j})}\) (\(\sigma\)-Subadditivität)
|
|
\item Ist \(A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\cdots\), so ist \(\mu(\bigcup A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\)
|
|
\item Ist \(A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\cdots\) und \(\mu(A)<\infty\), so ist
|
|
\(\mu(\bigcap A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt
|
|
% heissen: B=(B\setminus A)\cupdot A -- Spaeter...
|
|
\item[(1)-(3)] \(B=(B\setminus A)\cup A\). Dann: \(\mu(B)=\underbrace{\mu(B\setminus A)}_{\geq0}+\mu(A)\geq\mu(A)\)
|
|
\item[(4)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 4 sein...
|
|
\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}:=A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}{A_{j}}\quad(k\geq 2)\)
|
|
|
|
Dann: \(B_{j}\in\fa,\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,(B_{j})\) disjunkt und \(\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\). Dann:
|
|
\[
|
|
\mu\left(\bigcup A_{j}\right)=\mu\left(\bigcup B_{j}\right)=\sum{\underbrace{\mu(B_{j})}_{\leq\mu(A_{j})}}\leq\sum{\mu(A_{j})}
|
|
\]
|
|
\item[(5)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 5 sein...
|
|
\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}=A_{k}\setminus A_{k-1}\,(k\geq 2)\)
|
|
|
|
Dann: \(B_{j}\subseteq\fa;\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\) und \(A_{n}=\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\)%\bigcupdot_{j=1}^{n}{B_{j}}\)
|
|
|
|
Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}{\underbrace{\sum_{j=1}^{n}{\mu(B_{j})}}_{=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\right)=\mu(A_{n})}}\)
|
|
\item[(6)] Übung
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Das Lebesguema\ss}
|
|
\label{Kapitel 2}
|
|
\index{Lebesguemaß}
|
|
|
|
In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Ring}
|
|
Sei \(\emptyset\neq\mathfrak{R}\subseteq\mathcal{P}(X)\). \(\mathfrak{R}\)
|
|
hei\ss t ein \textbf{Ring} (auf \(X\)), genau dann wenn gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(\emptyset\in\mathfrak{R}\)
|
|
\item \(A,B\in\mathfrak{R}\,\implies\,A\cup B,\,B\setminus A\in\mathfrak{R}\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Elementarvolumen}
|
|
\index{Figuren}
|
|
Sei \(d\in\MdN\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(\ci_{d}:=\{(a,b]\mid a,b\in\MdR^{d},\,a\leq b\}\).
|
|
Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\MdR^d\) und \(I:=(a,b]\in \ci_{d}\)
|
|
\[
|
|
\lambda_{d}(I)=\begin{cases}0&\text{falls }I=\emptyset\\(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d})&\text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
|
|
\]
|
|
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\ldots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguema\ss)
|
|
|
|
Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 2.1}
|
|
Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
|
|
\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\) Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
|
\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
|
|
\item \(\exists\left\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
|
\item \(\cf_d\) ist ein Ring.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
|
|
|
|
Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).
|
|
Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
|
|
\item Induktion nach \(d\):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik
|
|
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(d\geq 1\)
|
|
\item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit:
|
|
\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
|
|
% Graphik einfuegen!
|
|
|
|
Nachrechnen:
|
|
\[
|
|
I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
|
|
\]
|
|
I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\
|
|
I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\
|
|
Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(I_{1},\ldots,I_{d}\in\ci_{d}\), so
|
|
existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
|
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark
|
|
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\)
|
|
\item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\ldots,I_{n+1}\in\ci_{d})\)
|
|
|
|
IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
|
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot...
|
|
|
|
Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot...
|
|
|
|
Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\ldots,l)\):
|
|
\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
|
|
|
|
Damit folgt:
|
|
\[
|
|
A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
|
|
\]
|
|
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
|
|
\end{itemize}
|
|
\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
|
|
|
|
Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\)
|
|
|
|
Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}'\in\ci_{d})\). Zu zeigen: \(B\setminus A\in\cf_{d}\)
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende
|
|
(2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\).
|
|
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\MdN\)
|
|
\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann:
|
|
\[
|
|
B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d}
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 2.2}
|
|
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
|
|
\(\{I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
|
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
|
|
\[
|
|
\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
|
|
\]
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
|
disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
|
|
\[
|
|
\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}
|
|
\]
|
|
Wegen Lemma \ref{Lemma 2.2} ist \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
|
|
wohldefiniert.
|
|
\end{definition}
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 2.3}
|
|
Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
|
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
|
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
|
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) und
|
|
\(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
|
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert
|
|
\(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
|
disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
|
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\).
|
|
|
|
\(J:=\{I_{1},\ldots,I_{n},I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
|
|
\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
|
|
\(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot
|
|
|
|
Also:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_{d}(A\cup B)&=\sum_{I\in J}{\lambda_{d}(I)}\\
|
|
&=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}+\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}\\
|
|
&=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)
|
|
\end{align*}
|
|
\item wie bei Satz \ref{Satz 1.7}
|
|
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda(A\cup(B\setminus A))\overset{(1)}{=}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B\setminus A)\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) % \cupdot...
|
|
\item Übung; es genügt zu betrachten: \(B\in\ci_{d}\) % Graphik einfuegen
|
|
\item Sei \(\varepsilon>0\). Aus (4) folgt: Zu jedem \(B_{n}\) existiert ein
|
|
\(C_{n}\in\cf_{d}:\overline{C}_{n}\subseteq B_{n}\) und
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}
|
|
\lambda_{d}(B_{n}\setminus C_{n})\leq\frac{\varepsilon}{2^{n}}
|
|
\end{equation}
|
|
Dann:
|
|
\(\bigcap{\overline{C}_{n}}\subseteq\bigcap{B_{n}}=\emptyset\implies\bigcup{\overline{C}_{n}^{c}}=\mdr^{d}\implies\underbrace{\overline{B}_{1}}_{\text{kompakt}}\subseteq\bigcup{\underbrace{\overline{C}_{n}^{c}}_{\text{offen}}}\)
|
|
|
|
Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt:
|
|
\(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\)
|
|
Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\).
|
|
Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
|
|
|
|
Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das hei\ss t:
|
|
\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\,\forall n\geq m\)
|
|
|
|
\(D_{n}:=\bigcap_{j=1}^{n}{C_{j}}\). Dann: \(D_{n}=\emptyset\,\forall n\geq m\)
|
|
|
|
\textbf{Behauptung:} \(\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep\,\forall n\in\mdn\)
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark
|
|
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\mdn\).
|
|
\item[I.S.] \begin{align*}
|
|
\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\
|
|
&\overset{(3)}{\leq}\lambda_{d}(\underbrace{B_{n+1}\setminus D_n}_{\subseteq B_{n}\setminus D_{n}})+\underbrace{\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus C_{n+1})}_{\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2^{n+1}}}\\
|
|
&\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\
|
|
&\overset{\text{I.V.}}{\leq}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\
|
|
&=\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\ep
|
|
\end{align*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Prämaß}
|
|
Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
|
|
hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(\mu(\emptyset)=0\)
|
|
\item Ist \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\fr\) und \(\bigcup{A_{j}}\in\fr\), so ist \(\mu\left(\bigcup{A_{j}}\right)=\sum{\mu(A_{j})}\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 2.4}
|
|
\(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) ist ein Präma\ss .
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Klar: \(\lambda_{d}(\emptyset)=0\)
|
|
\item Sei \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\cf_{d}\) und \(A:=\bigcup{A_{j}}\in\cf_{d}\).
|
|
|
|
\(B_{n}:=\bigcup_{j=n}^{\infty}{A_{j}}\,(n\in\mdn)\); \((B_{n})\) hat die
|
|
Eigenschaften aus \ref{Satz 2.3}, Punkt 5. Also: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\).
|
|
|
|
Für \(n\geq 2\):
|
|
\[
|
|
\lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n})
|
|
\]
|
|
Daraus folgt:
|
|
\[
|
|
\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2
|
|
\]
|
|
Mit \(n\to\infty\) folgt die Behauptung.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Fortsetzungssatz von Carath\'eodory]
|
|
\label{Satz 2.5}
|
|
Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Präma\ss. Dann
|
|
existiert ein Ma\ss raum \((X,\fa(\mu),\overline{\mu})\) mit
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(\sigma(\fr)\subseteq\fa(\mu)\)
|
|
\item \(\overline{\mu}(A)=\mu(A)\,\forall A\in\fr\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
Insbesondere: \(\overline{\mu}\) ist ein Ma\ss \ auf \(\sigma(\fr)\).
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}[Eindeutigkeitssatz]
|
|
\label{Satz 2.6}
|
|
Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Ma\ss e auf
|
|
\(\sigma(\ce)\) und es gelte: \(\mu(E)=\nu(E)\,\forall E\in\ce\).
|
|
|
|
Weiter gelten:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\)
|
|
\item Es existiert eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\) und
|
|
\(\mu(E_{n})<\infty\forall n\in\mdn\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
Dann: \(\mu=\nu\) auf \(\sigma(\ce)\).
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}%[Lebesguema\ss]
|
|
\label{Satz 2.7}
|
|
\index{Lebesguemaß}
|
|
Es gibt genau eine Fortsetzung von \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) auf
|
|
\(\fb_{d}\) zu einem Ma\ss. Diese Fortsetzung hei\ss t \textbf{Lebesguemaß} \ (L-Ma\ss)
|
|
und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{beweis}
|
|
Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} und Satz \ref{Satz 2.4} folgt: \(\lambda_{d}\) ist ein
|
|
Präma\ss \ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\).
|
|
|
|
Aus Satz \ref{Satz 2.5} folgt: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Ma\ss \ auf
|
|
\(\fb_{d}\) fortgesetzt werden.
|
|
|
|
Sei \(\nu\) ein weiteres Ma\ss \ auf \(\fb_{d}\) mit:
|
|
\(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann:
|
|
\(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\)
|
|
\item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\)
|
|
|
|
Klar:
|
|
\begin{align*}
|
|
\bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\
|
|
\lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
Klar: \(\nu(E)=\lambda_{d}(E)\,\forall E\in\ce\). Mit Satz \ref{Satz 2.6} folgt
|
|
dann: \(\nu=\lambda_{d}\) auf \(\fb_{d}\).
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\).
|
|
Die Einschränkung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) hei\ss t ebenfalls
|
|
L-Ma\ss \ und wird mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispieleX}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\mdr^{d},\,a\leq b\) und \(I=[a,b]\).\\
|
|
\textbf{Behauptung}\\\(\lambda_{d}([a,b])=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d})\) (Entsprechendes gilt für \((a,b)\) und \([a,b)\))
|
|
\begin{beweis}
|
|
\(I_{n}:=(a_{1}-\frac{1}{n},b_{1}]\times\cdots\times(a_{d}-\frac{1}{n},b_{d}];\,I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots;\,\bigcap I_{n}=I,\,\lambda_{d}(I_{1})<\infty\)
|
|
|
|
Aus Satz \ref{Satz 1.7}, Punkt 5, folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_{d}(I)&=\lim_{n\to\infty}{\lambda_{d}(I_{n})}\\
|
|
&=\lim_{n\to\infty}{(b_{1}-a_{1}+\frac{1}{n})\cdots(b_{d}-a_{d}+\frac{1}{n})}\\
|
|
&=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d})
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
\item Sei \(a\in\mdr^{d},\,\{a\}=[a,a]\in\fb_{d}\). Aus obigem Beispiel (1)
|
|
folgt: \(\lambda_{d}(\{a\})=0\).
|
|
\item \(\mdq^{d}\) ist abzählbar, also: \(\mdq^{d}=\{a_{1},a_{2},\ldots\}\)
|
|
mit \(a_{j}\neq a_{i}\,(i\neq j)\). Dann: \(\mdq^{d}=\bigcup\{a_{j}\}\) %\bigcupdot...
|
|
|
|
Dann gilt: \(\mdq^{d}\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(\mdq^{d})=\sum{\lambda_{d}(\{a_{j}\})}=0\).
|
|
\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abzählbar, so ist
|
|
\(A\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(A)=0\).
|
|
\item Sei \(j\in\{1,\ldots,d\}\) und \(H_{j}:=\{(x_{1},\ldots,x_{d})\in\mdr^{d}\mid x_{j}=0\}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\).
|
|
|
|
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann:
|
|
\(I_{n}:=\underbrace{[-n,n]\times\cdots\times[-n,n]}_{(d-1)-\text{mal}}\times\{0\}\).
|
|
% Hier fehlt noch eine Graphik
|
|
Aus Beispiel (1) folgt: \(\lambda_{d}(I_{n})=0\).
|
|
|
|
Aus \(H_{d}=\bigcup{I_{n}}\) folgt: \(\lambda_{d}(H_{d})\leq\sum{\lambda_{d}(I_{n})}=0\). Also: \(\lambda_{d}(H_{j})=0\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispieleX}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei $x\in\mdr^d, B\subseteq\mdr^d$. Definiere:
|
|
\[x+B:=\{x+b\mid b\in B\}\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Ist $I\in\ci_d$, so gilt $x+I\in\ci_d$ und $\lambda_d(x+I)=\lambda_d(I)$.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 2.8}
|
|
Sei $x\in\mdr^d, \fa:=\{B\in\fb_d:x+B\in\fb_d\}$ und $\mu:\fa\to[0,\infty]$ sei definiert durch $\mu(A):=\lambda_d(x+A)$. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $(\mdr^d,\fa,\mu)$ ist ein Maßraum.
|
|
\item Es ist $\fa=\fb_d$ und $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$. D.h. für alle $A\in\fb_d$ ist $x+A\in\fb_d$ und $\lambda_d(x+A)=\lambda_d(A)$ (Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Leichte Übung!
|
|
\item Es ist klar, dass $\fb_d\supseteq\fa$. Nach dem Beispiel von oben gilt:
|
|
\[\ci_d\subseteq\fa\subseteq\fb_d=\sigma(\ci_d)\subseteq\sigma(\fa)=\fa\]
|
|
Setze $\ce:=\ci_d$, dann ist $\sigma(\ce)=\fb_d$ und es gilt nach dem Beispiel von oben:
|
|
\[\forall E\in\ce:\mu(E)=\lambda_d(E)\]
|
|
$\ce$ hat die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz \ref{Satz 2.6}, daraus folgt dann, dass $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$ ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 2.9}
|
|
Sei $\mu$ ein Maß auf $\fb_d$ mit der Eigenschaft:
|
|
\[\forall x\in\mdr^d, A\in\fb_d:\mu(A)=\mu(x+A)\]
|
|
Weiter sei $c:=\mu((0,1]^d)<\infty$. Dann gilt:
|
|
\[\mu=c\cdot\lambda_d\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}[Regularität des Lebesgue-Maßes]
|
|
\label{Satz 2.10}
|
|
Sei $A \in\fb_d$, dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
$\lambda_d(A)=\inf\left\{\lambda_d(G)\mid G\subseteq\mdr^d\text{ offen und }A \subseteq G\right\}\\
|
|
=\inf\left\{\lambda_d(V)\mid V=\bigcup_{j=1}^\infty I_j, I_j\subseteq\mdr^d\text{ offenes Intervall }, A\subseteq V\right\}$
|
|
\item $\lambda_d(A)=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ohne Beweis.
|
|
\item Setze $\beta:=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$. Sei $K$ kompakt und $K\subseteq A$, dann gilt $\lambda_d(K)\le\lambda_d(A)$, also ist auch $\beta\le\lambda_d(A)$.
|
|
|
|
\textbf{Fall 1:} Sei $A$ zusätzlich beschränkt.\\
|
|
Sei $\ep>0$. Es existiert ein $r>0$, sodass $A\subseteq B:=\overline{U_r(0)}\subseteq[-r,r]^d$ ist, dann gilt:
|
|
\[\lambda_d(A)\le\lambda_d([-r,r]^d)=(2r)^d<\infty\]
|
|
Aus (1) folgt, dass eine offene Menge $G\supseteq B\setminus A$ existiert mit $\lambda_d(G)\le\lambda_d(B\setminus A)+\ep$. Dann gilt nach \ref{Satz 1.7}:
|
|
\[\lambda_d(B\setminus A)=\lambda_d(B)-\lambda_d(A)\]
|
|
Setze nun $K:=B\setminus G=B\cap G^c$, dann ist $K$ kompakt und $K\subseteq B\setminus(B\setminus A)=A$. Da $B\subseteq G\cup K$ ist, gilt:
|
|
\[\lambda_d(B)\le\lambda_d(G\cup K)\le \lambda_d(B)-\lambda_d(A)+\ep+\lambda_d(K)\]
|
|
Woraus folgt:
|
|
\[\lambda_d(A)\le\lambda_d(K)+\ep\]
|
|
|
|
\textbf{Fall 2:} Sei $A\in\fb_d$ beliebig.\\
|
|
Setze $A_n:=A\cap\overline{U_n(0)}$. Dann ist $A_n$ für alle $n\in\mdn$ beschränkt, $A_n\subseteq A_{n+1}$ und $A=\bigcup_{n\in\mdn} A_n$. Nach \ref{Satz 1.7} gilt:
|
|
\[\lambda_d(A)=\lim\lambda_d(A_n)\]
|
|
Aus Fall 1 folgt, dass für alle $n\in\mdn$ ein kompaktes $K_n\subseteq A_n$ mit $\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n$ existiert. Dann gilt:
|
|
\[\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n\le\lambda_d(A)+\frac1n\]
|
|
Also auch:
|
|
\[\lambda_d(A)=\lim\lambda(K_n)\le\beta\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\textbf{Auswahlaxiom:}\\
|
|
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\{X_\omega\mid \omega\in\Omega\}$ ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Vitali]
|
|
\label{Satz 2.11}
|
|
Es existiert ein $C\subseteq\mdr^d$ sodass $C\not\in\fb_d$.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Wir definieren auf $[0,1]^d$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, durch:
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall x,y\in[0,1]^d: x \sim y\iff x-y\in\mdq^d\\
|
|
\forall x\in[0,1]^d:[x]:=\{y\in[0,1]^d\mid x\sim y\}
|
|
\end{align*}
|
|
Nach dem Auswahlaxiom existiert ein $C\subseteq[0,1]^d$, sodass $C$ mit jedem $[x]$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
|
Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\ldots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{1} \bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C)\subseteq[-1,2]^d\\
|
|
\tag{2} [0,1]^d\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C)
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.:
|
|
\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
|
|
\end{beweis}
|
|
Außerdem ist $\{q_n+C\mid n\in\mdn\}$ disjunkt.
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $z\in(q_n+C)\cap(q_m+C)$, dann existieren $a,b\in\mdq^d$, sodass gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
(q_n+a=z=q_m+b) &\implies (b-a=q_m-q_n\in\mdq^d)\\
|
|
&\implies (a\sim b) \implies([a]=[b])\\
|
|
&\implies (a=b)\implies (q_n=q_m)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
\textbf{Annahme:} $C\in\fb_d$, dann gilt nach (1):
|
|
\begin{align*}
|
|
3^d&=\lambda_d([-2,1]^d)\\
|
|
&\ge\lambda_d(\bigcup(q_n+C))\\
|
|
&=\sum \lambda_d(q_n+C)\\
|
|
&=\sum \lambda_d(C)
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist $\lambda_d(C)=0$. Damit folgt aus (2):
|
|
\begin{align*}
|
|
1&=\lambda_d([0,1]^d)\\
|
|
&\le \lambda_d(\bigcup (q_n+C))\\
|
|
&=\sum \lambda_d(C)\\
|
|
&=0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Messbare Funktionen}
|
|
\label{Kapitel 3}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen seien $\emptyset\ne X,Y,Z$ Mengen.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{messbar!Raum}\index{Raum!messbarer}
|
|
Ist $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, so heißt $(X,\fa)$ ein \textbf{messbarer Raum}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{$\fa$-$\fb$-messbar}
|
|
\index{messbar!Funktion}
|
|
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $\fb$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ und $f:X\to Y$ eine Funktion. $f$ heißt genau dann \textbf{$\fa$-$\fb$-messbar}, wenn gilt:
|
|
\[\forall B\in\fb: f^{-1}(B)\in\fa\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\
|
|
Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
|
|
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach \ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist $f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $A\subseteq X$. $\mathds{1}_A:X\to\mdr$ ist genau dann $\fa$-$\fb_1$-messbar, wenn $A\in\fa$ ist.
|
|
\item Sei $X=\mdr^d$. Ist $A\in\fb_d$, so ist $\mathds{1}_A$ $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
|
|
\item Ist $C$ wie in \ref{Satz 2.11}, so ist $\mathds{1}_C$ nicht $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
|
|
\item Es sei $f:X\to Y$ eine Funktion und $\fb$ ($\fa$) eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ($X$), dann ist $f$ $\cp(X)$-$\fb$-messbar ($\fa$-$\{Y,\emptyset\}$-messbar).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.1}
|
|
Seien \(\fa,\,\fb,\,\fc\) \(\sigma\)-Algebren auf \(X,\,Y\) bzw. \(Z\). Weiter seien \(f:\,X\to Y\) und \(g:\,Y\to Z\)
|
|
Funktionen.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist \(f\) \(\fa-\fb-\)messbar und ist \(g\) \(\fb-\fc-\)messbar, so ist \(g\circ f:\,X\to Z\) \(\fa-\fc-\)messbar.
|
|
\item Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(Y)\) und \(\sigma(\ce)=\fb\). Dann:
|
|
\begin{center}
|
|
\(f\) ist \(\fa-\fb-\)messbar, genau dann, wenn gilt: \(\forall E\in\ce:\,f^{-1}(E)\in\fa\)
|
|
\end{center}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(C\in\fc\); \(g\) ist messbar, daraus folgt \(g^{-1}(C)\in\fb\);
|
|
\(f\) ist messbar, daraus folgt \(f^{-1}(g^{-1}(C))=(g\circ f)^{-1}(C)\in\fa\)
|
|
\item \begin{itemize}
|
|
\item[\(\Rightarrow\)] \checkmark
|
|
\item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in\fa\}\)
|
|
Übung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\).
|
|
|
|
Aus der Voraussetzung folgt: \(\ce\subseteq\fd\).
|
|
Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also
|
|
\(f^{-1}(B)\in\fa\).
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{messbar!Borel}\index{messbar}
|
|
Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so hei\ss t \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}.
|
|
\end{definition}
|
|
Ab jetzt sei stets \(X\in\fb_{d}\). (Erinnerung: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\))
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.2}
|
|
Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist \(f\) auf \(X\) stetig, so ist \(f\) messbar.
|
|
\item Ist \(f=(f_{1},\ldots,f_{k})\), so gilt: \(f\) ist messbar \(\Leftrightarrow\) alle \(f_{j}\) sind messbar.
|
|
\item Sind \(f\) und \(g\) messbar, so ist \(\alpha f+\beta g\) messbar.
|
|
\item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(fg\) ist messbar
|
|
\item Ist \(f(x)\neq0\forall x\in X\), so ist \(\frac{1}{f}\) messbar
|
|
\item \(\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\in\fb(X)\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(G\in\co(\mdr^{k})\). Mit \(f\) stetig folgt: \(f^{-1}(G)\in\co(X)\in\fb(X)\)
|
|
|
|
\(\sigma(\co(\mdr^{k}))=\fb_{k}\). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 3.1}.(2).
|
|
\item \begin{itemize}
|
|
\item[\(\Leftarrow:\)] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\ldots,a_{k}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{k}),\,a\leq b)\)
|
|
|
|
Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\)
|
|
|
|
Aus \(\sigma(I_{k})=\fb_{k}\) folgt mit \ref{Satz 3.1}.(2): \(f\) ist messbar.
|
|
\item[\(\Rightarrow:\)] Für \(j=1,...,k\) sei \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch
|
|
\(p_{j}(x_{1},\ldots,x_{k}):=x_{j}\)
|
|
|
|
\(p_{j}\) ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist \(f_{j}=p_{j}\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(f_{j}\) ist
|
|
messbar.
|
|
\end{itemize}
|
|
\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\); aus (2): \(h\) ist messbar.
|
|
|
|
\(\vp(x,y):=\alpha x+\beta y\,(x,y\in\mdr^{k})\)
|
|
|
|
\(\vp\) ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt:
|
|
\(\alpha f+\beta g\) ist messbar.
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar.
|
|
|
|
Es ist \(fg=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(fg\) ist messbar.
|
|
\item \(\vp(x):=\frac{1}{x}\), \(\vp\) ist stetig auf \(\mdr\setminus\{0\}\), also messbar.
|
|
|
|
\(\frac{1}{f}=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(\frac{1}{f}\) ist messbar.
|
|
\item \(A:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}=\{x\in X\mid f(x)-g(x)\in[0,\infty)\}=\underbrace{(f-g)}_{\text{messbar nach (3)}}^{-1}(\overbrace{[0,\infty)}^{\in\fb_{1}})\in\fb(X)\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}
|
|
\label{Folgerung 3.3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\). Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
|
|
\(g:B\to\mdr^{k}\) messbar. Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
|
|
\[
|
|
h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases},
|
|
\]
|
|
messbar.
|
|
\item Ist \(f:X\to\mdr^{k}\) messbar und \(g(x):=\lVert f(x)\rVert\,(x\in X)\), so ist \(g\) messbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(C\in\fb_{k}\). Dann:
|
|
\[
|
|
h^{-1}(C)=\underbrace{f^{-1}(C)}_{\in\fb(A)\subseteq\fb(X)}\cup\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in\fb(B)\subseteq\fb(X)}\in\fb(X)
|
|
\]
|
|
\item Definiere \(\vp(z)=\lVert z\rVert\quad(z\in\mdr^{k})\); \(\vp\) ist
|
|
stetig, also messbar.
|
|
|
|
Es ist \(g=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1} folgt: \(g\) ist messbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\(X=\mdr^{2},\,f(x,y):=\begin{cases}\frac{\sin(y)}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\)
|
|
|
|
für \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig.
|
|
|
|
\(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\emptyset\). \(A\) ist
|
|
abgeschlossen, das hei\ss t: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\)
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
f_{1}(x,y)&:=0\quad((x,y)\in A)\\
|
|
f_{2}(x,y)&:=\frac{\sin(y)}{x}\quad((x,y)\in B)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\(f_{1}\) ist stetig auf \(A\), \(f_{2}\) ist stetig auf \(B\). Also: \(f_{1},\,f_{2}\) ist messbar; mit \ref{Folgerung 3.3}.(1) folgt: \(f\) ist messbar.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\textbf{Ein neues Symbol kommt hinzu:} \(-\infty\){
|
|
|
|
\(\imdr:=[-\infty,+\infty]:=\mdr\cup\{-\infty,+\infty\}\)
|
|
|
|
In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\):
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(-\infty<a<+\infty\)
|
|
\item \(\pm\infty+(\pm\infty)=\pm\infty\)
|
|
\item \(\pm\infty+a:=a+(\pm\infty):=\pm\infty\)
|
|
\item \(a\cdot(\pm\infty):=(\pm\infty)\cdot a=\begin{cases}\pm\infty&a>0\\
|
|
0&a=0\\\mp\infty&a<0\end{cases}\)
|
|
\item \(\frac{a}{\pm\infty}:=0\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in \(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\forall n\geq n_{c}\)\\
|
|
Analog für \(-\infty\).
|
|
\item Seien \(f,g: X\to\imdr\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\{f\leq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq g(x)\}\\
|
|
\{f\geq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\\
|
|
\{f\neq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}\\
|
|
\{f<g\}&:=\{x\in X\mid f(x)<g(x)\}\\
|
|
\{f>g\}&:=\{x\in X\mid f(x)>g(x)\}
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei \(a\in\imdr\) und \(f:\,X\to\imdr\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\{f\leq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq a\}\\
|
|
\{f\geq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq a\}\\
|
|
\{f\neq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq a\}\\
|
|
\{f<a\}&:=\{x\in X\mid f(x)<a\}\\
|
|
\{f>a\}&:=\{x\in X\mid f(x)>a\}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar}
|
|
\(\ifb_{1}:=\{B\cup E\mid B\in\fb_{1},\,E\subseteq\{-\infty,+\infty\}\}\). Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
|
|
Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\
|
|
\(\ifb_{1}\) hei\ss t \textbf{Borelsche \(\sigma\)-Algebra} auf \(\imdr\).
|
|
Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) hei\ss t \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrightarrow\,f\) ist \(\fb(X)-\ifb_{1}-\) messbar.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\(f(x):=+\infty\quad(x\in X)\), also: \(f:\,X\to\imdr\)
|
|
|
|
Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}\)
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\emptyset\in\fb(X)\)
|
|
\item[Fall 2:] \(+\infty\in B\), dann: \(A=X\in\fb(X)\)
|
|
\end{itemize}
|
|
\(f\) ist messbar.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.4}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Definiere die Mengen:
|
|
\begin{align*}
|
|
\ce_1&:=\{[-\infty,a]\mid a\in\mdq\} & \ce_2&:=\{[-\infty,a)\mid a\in\mdq\}\\
|
|
\ce_3&:=\{(a,\infty]\mid a\in\mdq\} & \ce_4&:=\{[a,\infty]\mid a\in\mdq\}
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt:
|
|
\[\overline{\fb_1}=\sigma(\ce_j)\quad \text{ für }j\in\{1,2,3,4\}\]
|
|
\item Für $f:X\to\imdr$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ ist messbar.
|
|
\item $\forall a\in\mdq: \{f\le a\}\in\fb(X)$.
|
|
\item $\forall a\in\mdq: \{f\ge a\}\in\fb(X)$.
|
|
\item $\forall a\in\mdq: \{f< a\}\in\fb(X)$.
|
|
\item $\forall a\in\mdq: \{f> a\}\in\fb(X)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Die Äquivalenzen in (2) gelten auch für Funktionen $f:X\to\mdr$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funktionieren fast analog für die anderen.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für $a\in\mdq$ gilt:
|
|
\[[-\infty,a]^c=(a,\infty]\in\sigma(\ce_1)\]
|
|
D.h. es gilt $\ce_3\subseteq\sigma(\ce_1)$ und damit auch $\sigma(\ce_3)\subseteq\sigma(\ce_1)$.
|
|
\item Es gilt:
|
|
\[\{f\le a\}=\{x\in X\mid f(x)\le a\}=f^{-1}([-\infty,a])\]
|
|
Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
|
|
\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei $M\subseteq\imdr$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
|
\[\sup M:=-\infty\]
|
|
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
|
\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
|
|
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
|
\[\sup M:=\infty\]
|
|
\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\{-m\mid m\in M\}$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Die Funktion $\sup_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr$ $\left(\inf_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
|
\[(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x):=\sup\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\]
|
|
\[\left((\inf_{n\in\mdn} f_n)(x):=\inf\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\right)\]
|
|
\item Die Funktion $\limsup_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ $\left(\liminf_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{$*$} \limsup_{n\to\infty} f_n &:= \inf_{j\in\mdn}(\sup_{n\ge j} f_n)\\
|
|
\liminf_{n\to\infty} f_n &:= \sup_{j\in\mdn}(\inf_{n\ge j} f_n)
|
|
\end{align*}
|
|
\textbf{Erinnerung:} Für eine beschränkte Folge $(a_n)$ in $\mdr$ war
|
|
\[\limsup_{n\to\infty} a_n:=\inf\{\sup\{a_n\mid n\ge j\}\mid j\in\mdn\}\]
|
|
\item Sei $N\in\mdn$ und $g_j:=f_j$ (für $j=1,\ldots,N$), $g_j:=f_N$ (für $j>N$). Definiere:
|
|
\begin{align*}
|
|
\max_{1\le n\le N} f_n &:=\sup_{j\in\mdn} g_n\\
|
|
\min_{1\le n\le N} f_n &:=\inf_{j\in\mdn} g_n
|
|
\end{align*}
|
|
\item Ist $f_n(x)$ für jedes $x\in\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ definiert durch:
|
|
\[(\lim_{n\to\infty} f_n)(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\]
|
|
(In diesem Fall gilt $\lim_{n\to\infty} f_n = \limsup_{n\to\infty} f_n = \liminf_{n\to\infty} f_n$.)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.5}
|
|
Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$ und jedes $f_n$ messbar.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Dann sind ebenfalls messbar:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\sup_{n\in\mdn} f_n &&\inf_{n\in\mdn} f_n &&\limsup_{n\in\mdn} f_n &&\liminf_{n\in\mdn} f_n
|
|
\end{align*}
|
|
\item Ist $(f_n(x))$ für jedes $x\in X$ in $\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n$ messbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $a\in\mdq$, dann gilt (nach \ref{Satz 3.4}(2)):
|
|
\[\{\sup_{n\in\mdn} f_n\le a\}=\bigcap_{n\in\mdn}\{f_n\le a\}\in\fb(X)\]
|
|
Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $\inf_{n\in\mdn} f_n$ zeigen, der Rest folgt dann aus ($*$).
|
|
\item Folgt aus (1) und obiger Bemerkung in der Definition.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\
|
|
Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt:
|
|
\[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\]
|
|
Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Positivteil}\index{Negativteil}
|
|
Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f_+:=\max\{f,0\}$ heißt \textbf{Positivteil} von $f$.
|
|
\item $f_-:=\max\{-f,0\}$ heißt \textbf{Negativteil} von $f$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Es gilt $f_+,f_-\ge 0$, $f=f_+-f_-$ und $|f|=f_++f_-$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.6}
|
|
Seien $f,g:X\to\imdr$ und $\alpha,\beta\in\mdr$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sind $f,g$ messbar und ist $\alpha f(x)+\beta g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $\alpha f+\beta g$ messbar.
|
|
\item Sind $f,g$ messbar und ist $f(x)g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $fg$ messbar.
|
|
\item $f$ ist genau dann messbar, wenn $f_+$ und $f_-$ messbar sind. In diesem Fall ist auch $|f|$ messbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[(1)+(2)] Für alle $n\in\mdn, x\in X$ seien $f_n$ und $g_n$ wie folgt definiert:
|
|
\begin{align*}
|
|
f_n(x)&:=\max\{-n,\min\{f(x),n\}\}\\
|
|
g_n(x)&:=\max\{-n,\min\{g(x),n\}\}
|
|
\end{align*}
|
|
Dann sind $f_n(x),g_n(x)\in[-n,n]$ für alle $n\in\mdn,x\in X$. Nach \ref{Satz 3.2}(3) sind also $\alpha f_n+\beta g_n$ und $f_ng_n$ messbar. Außerdem gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\alpha f_n(x)+\beta g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to \alpha f(x)+\beta g(x)\\
|
|
f_n(x)g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to f(x)g(x)
|
|
\end{align*}
|
|
Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 3.5}(2).
|
|
\item[(3)] Nach \ref{Satz 3.5}(1) sind $f_+$ und $f_-$ messbar, wenn $f$ messbar ist. Die umgekehrte Implikation folgt aus \ref{Satz 3.6}(1). Sind $f_+$ und $f_-$ messbar, so folgt ebenfalls aus \ref{Satz 3.6}(1), dass $|f|=f_++f_-$ messbar ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $C\subseteq\mdr^d$ wie in \ref{Satz 2.11}, also $C\not\in\fb_d$. Definiere $f:\mdr^d\to\mdr$ wie folgt:
|
|
\[f(x):=\begin{cases} 1&,x\in C\\ -1&,x\not\in C\end{cases}\]
|
|
Dann ist $\{f\ge 1\}=C$, also $f$ \textbf{nicht} messbar. Aber für alle $x\in\mdr^d$ ist $|f(x)|=1$, also $|f|=\mathds{1}_{\mdr^d}$ und damit messbar.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{einfach}
|
|
\index{Treppenfunktion}
|
|
\index{Normalform}
|
|
$f:X\to\mdr$ sei messbar.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ heißt \textbf{einfach} oder \textbf{Treppenfunktion}, genau dann wenn $f(X)$ endlich ist.
|
|
\item $f$ sei einfach und $f(X)=\{y_1,\ldots,y_m\}$ mit $y_i\ne y_j$ für $i\ne j$. Sei weiter $A_j:=f^{-1}(\{y_j\})$ für $j=1,\ldots,m$. Dann sind $A_1,\ldots,A_m\in\fb(X)$ und $X=\bigcup_{j=1}^m A_j$ disjunkte Vereinigung.
|
|
\[f=\sum_{j=1}^m y_j \mathds{1}_{A_j}\]
|
|
heißt \textbf{Normalform} von $f$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $A\in\fb(X)$. Definiere:
|
|
\[f:=\mathds{1}_A=2\cdot\mathds{1}_A-\mathds{1}_X+\mathds{1}_{X\setminus A}=\mathds{1}_A+0\cdot\mathds{1}_{X\setminus A}\]
|
|
Wobei das letzte die Normalform von $f$ ist. Man sieht also, dass einfache Funktionen mehrere Darstellungen haben können.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.7}
|
|
Linearkombinationen und Produkte, sowie endliche Maxima und Minima einfacher Funktionen, sind einfach.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 3.8}
|
|
\index{zulässig}
|
|
Sei $f:X\to\imdr$ messbar.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $f\ge 0$ auf $X$, so existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to[0,\infty)$, sodass $0\le f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$). In diesem Fall heißt $(f_n)$ \textbf{zulässig} für $f$.
|
|
\item Es existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to\mdr$, sodass $|f_n|\le |f|$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$).
|
|
\item Ist $f$ beschränkt auf $X$ (also insbesondere $\pm\infty\not\in f(X)$), so kommt in (2) noch hinzu, dass $(f_n)$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}[(Beweis mit 3.8(2) und 3.5)]
|
|
Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folge einfacher Funktionen $(f_n)$ mit $f_n:X\to\mdr$ und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f(x)$ für alle $x\in X$ existiert.
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für $n\in\mdn$ definiere $\varphi_n:[0,\infty]\to[0,\infty)$ durch
|
|
\[\varphi_n(t):=\begin{cases}\frac{[2^nt]}{2^n} &,0\le t<n\\ n &,n\le t\le\infty\end{cases}\]
|
|
Dann ist $\varphi_n$ $(\fb_1)_{[0,\infty]}$-$\fb_1$-messbar, außerdem gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall t\in[0,\infty]\forall n\in\mdn&: 0\le\varphi_1\le\cdots\le t\\
|
|
\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t
|
|
\end{align*}
|
|
und es ist $\varphi_n(t)\stackrel{n\to\infty}\to t$ für alle $t\in[0\infty]$. Setze $f_n:=\varphi_n\circ f$. Dann leistet $(f_n)$ das gewünschte.
|
|
\item Es ist $f=f_+-f_-$ und $f_+,f_-\ge0$ auf $X$. Seien $(g_n),(h_n)$ zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$. Definiere $f_n:=g_n-h_n$. Dann ist klar, dass gilt:
|
|
\[\forall x\in X: f_n(x)=g_n(x)-h_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f_+(x)-f_-(x)=f(x)\]
|
|
Weiter gilt:
|
|
\[|f_n|\le g_n+h_n\le f_++f_-=|f|\]
|
|
\item Ohne Beweis.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Konstruktion des Lebesgueintegrals}
|
|
\label{Kapitel 4}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Lebesgueintegral}
|
|
Sei $f:X\to [0,\infty)$ eine einfache Funktion mit der Normalform $f=\sum_{j=1}^m y_j\mathds{1}_{A_j}$.\\
|
|
Das \textbf{Lebesgueintegral} von $f$ ist definiert durch:
|
|
\[\int_X f(x)\text{ d}x:=\sum_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.1}
|
|
Sei $f:X\to[0,\infty)$ einfach, $z_1,\ldots,z_k\in[0,\infty)$ und $B_1,\ldots,B_k\in\fb(X)$ mit $\bigcup B_j=X$ und $f=\sum_{j=1}^k z_j\mathds{1}_{B_j}$. Dann gilt:
|
|
\[\int_X f(x)\text{ d}x=\sum_{j=1}^k z_j\lambda(B_j)\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
In der großen Übung.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.2}
|
|
Seien $f,g:X\to[0,\infty)$ einfach, $\alpha, \beta\in[0,\infty)$ und $A\in\fb(X)$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\int_X \mathds{1}_A(x)\text{ d}x=\lambda(A)$
|
|
\item $\int_X (\alpha f+\beta g)(x)\text{ d}x = \alpha\int_X f(x)\text{ d}x + \beta\int_X g(x)\text{ d}x$
|
|
\item Ist $f\le g$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x\le \int_X g(x)\text{ d}x$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Folgt aus der Definition und \ref{Satz 4.1}.
|
|
\item Es seien $f=\sum_{j=1}^m y_j \mathds{1}_{A_j}$ und $g=\sum_{j=1}^k z_j \mathds{1}_{B_j}$ die Normalformen von $f$ und $g$. Dann gilt:
|
|
\[\alpha f+ \beta g=\sum_{j=1}^m \alpha y_j\mathds{1}_{A_j}+\sum_{j=1}^k \beta z_j\mathds{1}_{B_j}\]
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_X (\alpha f+\beta g) &\stackrel{\ref{Satz 4.1}}= \sum_{j=1}^m \alpha y_j \lambda(A_j) + \sum_{j=1}^k \beta z_j \lambda(B_j)\\
|
|
&= \alpha \sum_{j=1}^m y_j \lambda(A_j) + \beta \sum_{j=1}^k z_j \lambda(B_j)\\
|
|
&= \alpha \int_X f(x)\text{ d}x + \beta \int_X g(x)\text{ d}x
|
|
\end{align*}
|
|
\item Definiere $h:=g-f$. Dann ist $h\ge 0$ und einfach. Sei $h=\sum_{j=1}^m x_j\mathds{1}_{C_j}$ die Normalform von $h$, d.h. $x_1,\ldots,x_m\ge 0$. Dann gilt:
|
|
\[\int_X h(x)\text{ d}x = \sum_{j=1}^m x_j\lambda(C_j)\ge 0\]
|
|
Also folgt aus $g=f+h$ und (2):
|
|
\[\int_X g(x)\text{ d}x=\int_X f(x)\text{ d}x +\int_X h(x)\text{ d}x\ge \int_X f(x)\text{ d}x\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Lebesgueintegral}
|
|
Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das \textbf{Lebesgueintegral} von $f$ ist definiert als:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{$*$}\int_X f(x)\text{ d}x:=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\text{ d}x
|
|
\end{align*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}\
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item In \ref{Satz 4.3} werden wir sehen, dass $(*)$ unabhängig ist von der Wahl der für $f$ zulässigen Folge $(f_n)$.
|
|
\item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.:
|
|
\[f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x)\]
|
|
\item Aus \ref{Satz 4.2}(3) folgt dass $(\int_X f_n(x)\text{ d}x)$ wachsend ist, d.h.:
|
|
\[\lim_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\text{ d}x = \sup\{\int_X f_n(x)\text{ d}x\mid n\in\mdn\}=\int_X f_(x)\text{ d}x\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\textbf{Bezeichnung:}\\
|
|
Für messbare Funktionen $f:X\to[0,\infty]$ definiere
|
|
\[M(f):=\{\int_X g\text{ d}x\mid g:X\to[0,\infty) \text{ einfach und }g\le f\text{ auf }X\}\]
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.3}
|
|
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar und $(f_n)$ zulässig für $f$, so gilt:
|
|
\[L:=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\text{ d}x=\sup M(f)\]
|
|
Insbesondere ist $\int_X f(x) \text{ d}x$ wohldefiniert.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}
|
|
\label{Folgerung 4.4}
|
|
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar, so ist $\int_X f(x) \text{ d}x=\sup M(f)$.
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei \(\int_Xf_n\,dx\in M(f) \,\forall\natn \). Dann ist \[L = \sup\left\{\int_Xf_n\,dx\mid\natn\right\} \leq \sup M(f)\]\\
|
|
Sei nun $g$ einfach und \(0\leq g\leq f\). Sei weiter \[g=\sum^m_{j=1}y_j\mathds{1}_{A_j}\] die Normalform von $g$.\\
|
|
Sei \(\alpha>1\) und \(B_n:=\{\alpha f_n\geq g\}\). Dann ist \[B_n\in\fb(X) \text{ und }(B_n\subseteq B_{n+1}\text{, sowie } \mathds{1}_{B_n}g\leq\alpha f_n.\]
|
|
Sei \(x\in X\).\\
|
|
\textbf{Fall 1:} Ist \(f(x)=0\), so ist wegen \(0\leq g\leq f\) auch \(g(x)=0\). Somit ist \(x\in B_n\) für jedes \(\natn\).\\
|
|
\textbf{Fall 2:} Ist \(f(x)>0\), so ist \[\frac{1}{\alpha}g(x)<f(x)\] (Dies ist klar für \(g(x)=0\) und falls gilt: \(g(x)>0\), so ist \(\frac{1}{\alpha}g(x)<g(x)\leq f(x) \) )\\
|
|
Da $f_n$ zulässig für $f$ ist, gilt: \(f_n(x)\to f(x)\ (n\to\infty)\), weshalb ein \(n(x)\in\mdn\) existiert mit:
|
|
\[\frac{1}{\alpha}g(x)<f(x)\text{für jedes } n\geq n(x)\]
|
|
Es folgt \(x\in B_n\) für jedes \(n\geq n(x)\).\\
|
|
\textbf{Fazit:} \(X=\bigcup B_n\). \[A_j=A_j\cap X=A_j\cap\left(\bigcup B_n\right) = \bigcup(A_j\cap B_n) \text{ und } A_j\cap B_n\subseteq A_j\cap B_{n+1} \]
|
|
Aus \ref{Satz 1.7} folgt \(\lambda(A_j)=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\). Das liefert:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)
|
|
= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\
|
|
&=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j\cap B_n)
|
|
\overset{\ref{Satz 4.1}}= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \mathds{1}_{B_n}g\,dx\\
|
|
&\leq \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \alpha f_n\,dx
|
|
=\alpha L
|
|
\end{align*}
|
|
g war einfach und \(0\leq g\leq f\) beliebig, sodass \[\sup M(f)\leq\alpha L \overset{\alpha\to 1}\implies \sup M(f)\leq L \]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.5}
|
|
Seien $f,g:X\to[0,\infty]$ messbar und $\alpha,\beta\ge0$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\int_X (\alpha f+\beta g)(x) \text{ d}x=\alpha\int_X f(x) \text{ d}x+\beta\int_X g(x) \text{ d}x$
|
|
\item Ist $f\le g$ auf $X$, so gilt $\int_X f(x) \text{ d}x\le \int_X g(x) \text{ d}x$
|
|
\item $\int_X f(x) \text{ d}x=0 \iff \lambda(\{f>0\})=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \((f_n)\) und \((g_n)\) seien zulässig für $f$ bzw. $g$. Weiter sei \((h_n):=\alpha (f_n)+\beta (g_n) \).
|
|
Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zulässig für \(\alpha f+\beta g\) ist. Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_X(\alpha f + \beta g)\,dx
|
|
&= \lim\limits_{n\to\infty}\int_X \left( \alpha (f_n)+\beta (g_n) \right)\,dx\\
|
|
&\overset{\ref{Satz 4.2}}= \alpha\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(f_n)\,dx + \beta\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(g_n)\,dx\\
|
|
&=\alpha\int_Xf\,dx + \beta\int_Xg\,dx
|
|
\end{align*}
|
|
\item Wegen \(f\leq g\) auf $X$ ist \(M(f)\subseteq M(g)\) und somit auch \(\sup M(f)\leq\sup M(g)\). Aus \ref{Folgerung 4.4} folgt nun die Behauptung.
|
|
\item Setze \(A:=\{f>0\}=\{x\in X:f(x)>0\}\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
0 = \int_Xf\,dx
|
|
\overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx
|
|
=\frac1{n}\lambda(A_n)
|
|
\intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter}
|
|
\lambda(A)=\lambda(\bigcup A_n) \overset{\ref{Satz 1.7}}\leq \sum\lambda(A_n)=0
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist auch \(\lambda(A)=0\).
|
|
\item["'$\impliedby$"'] Sei \(\lambda(A)=0\), \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(c_n:=\max\{f_n(x):x\in X\}\). Dann ist \(f_n\leq c_n\mathds{1}_A\) und es gilt:
|
|
\[0 \leq \int_Xf_n\,dx\overset{\text{(2)}} \leq \int_Xc_n\mathds{1}_A\,dx = c_n\lambda(A) \overset{\text{Vor.}} = 0 \]
|
|
Es ist also \(\int_Xf_n\,dx=0\) für jedes $\natn$ und somit auch \(\int_Xf\,dx=0\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version I)]
|
|
\label{Satz 4.6}
|
|
Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$ und es gelte $f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ für jedes $n\in\mdn$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für alle $x\in X$ existiert $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$.
|
|
\item Die Funktion $f:X\to[0,\infty]$ definiert durch:
|
|
\[f(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\]
|
|
ist messbar.
|
|
\item $\int_X \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) \text{ d}x=\int_X f(x) \text{ d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\int_X f_n(x) \text{ d}x$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für alle $x\in X$ ist \(\left(f_n(x)\right)\) wachsend, also konvergent in \([0,+\infty]\).
|
|
\item folgt aus \ref{Satz 3.5}.
|
|
\item Sei \( \left(u_j^{(n)}\right)_{j\in\mdn} \) zulässig für $f_n$ und \(v_j:=\max\left\{u_j^{(1)}, u_j^{(2)}, \ldots , u_j^{(j)} \right\} \).
|
|
Aus \ref{Satz 3.7} folgt, dass $v_j$ einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt:
|
|
\[0\leq v_j\leq v_{j+1} \text{ und } v_j\leq f_n\leq f \text{ und } f_n=\sup\limits_{j\in\mdn}u_j^{(n)} \leq \sup\limits_{j\in\mdn}v_j \text{ (auf $X$)}\]
|
|
Damit ist $(v_j)$ zulässig für $f$ und es gilt:
|
|
\[ \int_Xf\,dx=\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xv_j\,dx\leq\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xf_j\,dx\leq\int_Xf\,dx \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version II)]
|
|
\label{Satz 4.7}
|
|
Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für alle $x\in X$ existiert $s(x):=\sum_{j=1}^\infty f_j(x)$.
|
|
\item $s:X\to[0,\infty]$ ist messbar.
|
|
\item $\int_X \sum_{j=1}^\infty f_j(x) \text{ d}x= \sum_{j=1}^\infty \int_X f_j(x) \text{ d}x$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Setze \[s_n:=\sum\limits_{j=1}^nf_j\]
|
|
Dann erfüllt \((s_n)\) die Voraussetzungen von \ref{Satz 4.6}. Aus 4.6 und \ref{Satz 4.5}(1) folgt die Behauptung.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.8}
|
|
Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar und es sei $\emptyset\ne Y\in\fb(X)$ (also $Y\subseteq X$ und $Y\in\fb_d$). Dann sind die Funktionen $f_{|Y}:Y\to[0,\infty]$ und $\mathds{1}_Y\cdot f:X\to[0,\infty]$ messbar und es gilt:
|
|
\[\int_Y f(x) \text{ d}x:=\int_Y f_{|Y}(x) \text{ d}x=\int_X (\mathds{1}_Y\cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\textbf{Fall 1:} Die Behauptung ist klar, falls $f$ einfach ist. (Übung!)\\
|
|
\textbf{Fall 2:} Sei \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(g_n:=f_{n|Y} , h_n:=\mathds{1}_Y f_n\)
|
|
Dann ist \((g_n)\) zulässig für \(f_{|Y}\) und \((h_n)\) ist zulässig für \(\mathds{1}_Y f_n\).
|
|
Insbesondere sind \(f_{n|Y}\) und \(\mathds{1}_Y f_n\) nach \ref{Satz 3.5} messbar.
|
|
Weiter gilt:
|
|
\[ \int_Y f_{|Y}\,dx \overset{n\to\infty}\longleftarrow \int_Yg_n\,dx \overset{Fall 1}=\int_Xh_n\,dx\overset{n\to\infty}\longrightarrow \int_X\mathds{1}_Yf\,dx \]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{integrierbar}\index{Integral}\index{Lebesgueintegral}
|
|
Sei $f:X\to\imdr$ messbar. $f$ heißt (Lebesgue-)\textbf{integrierbar} (über $X$), genau dann wenn $\int_X f_+(x) \text{ d}x<\infty$ \textbf{und} $\int_X f_-(x) \text{ d}x<\infty$.\\
|
|
In diesem Fall heißt:
|
|
\[\int_X f(x) \text{ d}x:=\int_X f_+(x) \text{ d}x-\int_X f_-(x) \text{ d}x\]
|
|
das (Lebesgue-)\textbf{Integral} von $f$ (über $X$).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\textbf{Beachte:}\\
|
|
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar, so ist $f$ genau dann integrierbar, wenn gilt:
|
|
\[\int_X f(x) \text{ d}x<\infty\]
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus\MdQ\end{cases} = \mathds{1}_{X\cap\MdQ}$.
|
|
$X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar.
|
|
\[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\]
|
|
\textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$.
|
|
Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}[Charakterisierung der Integrierbarkeit]
|
|
\label{Satz 4.9}
|
|
Sei $f: X \to \imdr$ messbar. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ ist integrierbar.
|
|
\item Es existieren integrierbare Funktionen $u, v: X \to [0,+\infty]$ mit $u(x)=v(x)=\infty$ für \textbf{kein} $x \in X$ und $f=u-v$ auf $X$.
|
|
\item Es existiert eine integrierbare Funktion $g: X \to [0,+\infty]$ mit $\lvert f \rvert \leq g$ auf $X$.
|
|
\item $\lvert f \rvert$ ist integrierbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\textbf{Zusatz:}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\fl^1(X) = \{f: X \to \mdr \mid f$ ist messbar und $\int_X \lvert f \rvert \text{ d}x < \infty\}$ (folgt aus (1)-(4)).
|
|
\item Sind $u,v$ wie in (2), so gilt: $ \int_X f \text{ d}x = \int_X u \text{ d}x - \int_X v \text{ d}x$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\begin{beweis}[des Satzes]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[(1) $\Rightarrow$ (2)] $u:= f_+$, $v := f_-$.
|
|
\item[(2) $\Rightarrow$ (3)] $g := u+v$, dann ist $u,v \geq 0$, $g \geq 0$, $\int_X g \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X u \text{ d}x + \int_X v \text{ d}x < \infty$. $\implies g$ ist integrierbar und: $|f| = |u-v| \leq |u| + |v| = u+v = g$ auf $X$.
|
|
\item[(3) $\Rightarrow$ (4)] \ref{Satz 4.5} $\implies \int_X |f| \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \implies f$ ist integrierbar.
|
|
\item[(4) $\Rightarrow$ (1)] $f_+, f_- \leq |f|$ auf $X$. $\implies 0 \leq \int_X f_\pm \text{ d}x \leq \int_X |f| \text{ d}x < \infty \stackrel{Def.}{\implies} f$ ist integrierbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beweis}[des Zusatzes]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \checkmark
|
|
\item Es ist $f = u-v = f_+ - f_- \implies u+f_- = f_+ + v$.
|
|
\[\implies \int_X u \text{ d}x + \int_X f_- \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X (u+ f_-) \text{ d}x = \int_X (f_+ + v) \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X f_+ \text{ d}x + \int_X v \text{ d}x\]
|
|
\[\implies \int_X u \text{ d}x - \int_X v \text{ d}x = \int_X f_+ \text{ d}x - \int_X f_- \text{ d}x \stackrel{Def.}{=} \int_X f \text{ d}x. \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}
|
|
\label{Folgerung 4.10}
|
|
\label{Satz 4.10}
|
|
Sei $f:X\to\imdr$ integrierbar und $N := \{\lvert f \rvert = +\infty\} = \{x\in X : \lvert f(x) \rvert = + \infty\}$. Dann ist $N\in \fb(X)$ und $\lambda(N) = 0$.
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
$\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann:
|
|
\[n \cdot \lambda(N) = \int_X n\mathds{1}_N \text{ d}x \stackrel{4.5}{\leq} \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \stackrel{4.9}{<} \infty \text{ für alle } n \in \mdn\]
|
|
Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.11}
|
|
$f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\alpha f$ ist integrierbar und $\int_X (\alpha f) \text{ d}x = \alpha \int_X f \text{ d}x$.
|
|
\item Ist $f+g:X\to\imdr$ auf $X$ definiert, so ist $f+g$ integrierbar und es gilt:
|
|
\[\int_X (f+g)\text{ d}x = \int_X f \text{ d}x + \int_X g \text{ d}x\]
|
|
(Für $f=+\infty$ und $g=-\infty$ ist $f+g$ beispielsweise nicht definiert.)
|
|
\item $\fl^1(X)$ ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung $f \mapsto \int_X f \text{ d}x$ ist linear auf $\fl^1(X)$.
|
|
\item $\max\{f,g\}$ und $\min\{f,g\}$ sind integrierbar.
|
|
\item Ist $f\leq g$ auf $X$, so ist $\int_X f \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x$.
|
|
\item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale)
|
|
\item Sei $\emptyset\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
|
|
\[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
|
\item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls
|
|
\(\alpha<0\).
|
|
\item Es gilt \(f+g=\underbrace{f_{+}+g_{+}}_{=:u}-\underbrace{(f_{-}+g_{-})}_{=:v}=u-v\). Dann:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{u\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}+g_{+}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{=}\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}<\infty
|
|
\]
|
|
Genauso: \(\int_{X}{v\mathrm{d}x}<\infty\)\\
|
|
Mit Satz \ref{Satz 4.9} folgt: \(f+g\) ist integrierbar. Weiter:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{X}{(f+g)\mathrm{d}x}&\overset{\ref{Satz 4.9}}{=}\int_{X}{u\mathrm{d}x}-\int_{X}{v\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\left(\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}\right)\\
|
|
&=\int_{X}{f\mathrm{d}x}+\int_{X}{g\mathrm{d}x}
|
|
\end{align*}
|
|
\item folgt aus (1) und (2).
|
|
\item Mit Satz \ref{Satz 3.5} folgt: \(\max\{f,g\}\) ist messbar. Es gilt:
|
|
\[
|
|
0\leq\lvert\max\{f,g\}\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert
|
|
\]
|
|
Mit \ref{Satz 4.9} und Aussage (2) folgt \(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert\) ist integrierbar. Dann folgt mit Satz \ref{Satz 4.9}:
|
|
\(\max\{f,g\}\) ist integrierbar.\\
|
|
Analog zeigt man: \(\min\{f,g\}\) ist integrierbar.
|
|
\item Nach Voraussetzung ist \(f\leq g\) auf \(X\). Dann gilt: \(f_{+}\leq g_{+}\) auf \(X\) und \(f_{-}\geq g_{-}\) auf \(X\).
|
|
Es folgt:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{\leq}\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}=\int_{X}{g\mathrm{d}x}
|
|
\]
|
|
\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt:
|
|
\(\pm\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\pm f)\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}\).\\
|
|
Es ist \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\) oder \(-\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\)
|
|
\item Mit Bemerkung (2) vor \ref{Satz 3.1} und Satz \ref{Satz 3.6}.(2) folgt: \(f_{|Y}\) und \(\mathds{1}_{Y}\cdot f\) sind
|
|
messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin
|
|
gilt \(0\leq\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\leq f_{\pm}\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt dann, da\ss \ \(\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\) integrierbar
|
|
ist. Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{X}{(\mathds{1}_{Y}f)\mathrm{d}x}&=\int_{X}{\mathds{1}f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{\mathds{1}_{Y}f\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\underbrace{\int_{Y}{(f_{+})_{|Y}\mathrm{d}x}}_{<\infty}-\underbrace{\int_{Y}{(f_{-})_{|Y}\mathrm{d}x}}_{<\infty}
|
|
\end{align*}
|
|
Es folgt: \(f_{|Y}\) ist integrierbar und \(\int_{Y}{f_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{Y}{(f_{+})_{|Y}\mathrm{d}x}-\int_{Y}{(f_{-})_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\mathds{1}_{Y}f)\mathrm{d}x}\).
|
|
\item Es ist \(\lvert h\rvert\leq\lVert h\rVert_{\infty}\cdot\mathds{1}_{X}\). Dann folgt:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lVert h\rVert_{\infty}\mathds{1}_{X}\mathrm{d}x}=\lVert h\rVert_{\infty}\lambda(X)<\infty
|
|
\]
|
|
Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt:
|
|
\(h\in\fl^{1}(X)\). Schlie\ss lich:
|
|
\[
|
|
\left\lvert\int_{X}{h\mathrm{d}x}\right\rvert\leq\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert h\lVert_{\infty}\lambda(X)
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.12}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sind $\emptyset\ne A,B \in \fb(X)$ disjunkt, $X = A \cup B$ und ist $f: X \to \imdr$ integrierbar (über $X$), so ist $f$ integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$ und es gilt:
|
|
\[\int_X f \text{ d}x = \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x\]
|
|
\item Ist $\emptyset \neq K \subseteq \mdr^d $ kompakt und $f:K\to\mdr$ stetig, so ist $f \in \fl^1(K)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist
|
|
\[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \]
|
|
\[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\]
|
|
|
|
\item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schließlich: $f \in \fl^1(K)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.13}
|
|
Seien $a,b\in\mdr$, $a<b$, $X:=[a,b]$ und $f\in C(X)$. Dann ist $f\in\fl^1(X)$ und es gilt:
|
|
\[L-\int_X f(x) \text{ d}x=R-\int_a^b f(x) \text{ d}x\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $\natn$, $t_j^{(n)}:=a+j\frac{b-a}{n}$ ($j=0,\dots,n$) und $I_j^{(n)}:=\left[t_{j-1}^{(n)},t_j^{(n)}\right]$ ($j=1,\dots,n$).
|
|
\begin{align*}
|
|
S_n:=\sum^n_{j=1} f \left(t_j^{(n)}\right) \underbrace{ \frac{b-a}{n}}_{= \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)} \text{ ist Riemannsche Zwischensumme für R-} \int_a^bf(x)\,dx.
|
|
\end{align*}
|
|
Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$).
|
|
Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und
|
|
\[\int_X f_n(x)\,dx=\sum_{j=1}^n f \left(t_j^{(n)} \right) \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)=S_n\]
|
|
$f$ ist auf $X$ gleichmäßig stetig also konvergiert $f_n$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ (Übung!), also gilt:
|
|
\[\lVert f_n-f \rVert_{\infty}=\text{sup} \left \{ \lvert f_n(x)-f(x) \rvert : x\in X \right\} \to 0 \ (n\to \infty)\]
|
|
Aus \ref{Satz 4.12}(2) folgt $f\in \mathfrak{L}^1(X)$
|
|
\begin{align*}
|
|
\left\lvert \text{L-} \int \limits_X f(x)\,dx -S_n \right\rvert = \left\lvert \text{L-} \int \limits_X (f-f_n)\,dx \right\rvert \stackrel{\text{4.11}}\leq \int \limits_X(f-f_n)\,dx \stackrel{\text{4.11}}\leq \lVert f-f_n \rVert_{\infty} \underbrace{\lambda(X)}_{=b-a} \to 0
|
|
\end{align*}
|
|
Daraus folgt $S_n \to$ L- $\int_X f\,dx$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 4.14}
|
|
Sei $a\in\mdr, X:=[a,\infty)$ und $f\in C(X)$. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ ist messbar.
|
|
\item $f\in\fl^1(X)$ genau dann wenn das uneigentliche Riemann-Integral $\int_a^\infty f(x) \text{ d}x$ \textbf{absolut} konvergent ist. In diesem Fall gilt:
|
|
\[L-\int_X f(x) \text{ d}x=R-\int_a^\infty f(x) \text{ d}x\]
|
|
Entsprechendes gilt für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Eine Hälfte des Beweises folgt in Kapitel \ref{Kapitel 6}.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $X=(0,1]$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Aus Analysis I wissen wir, dass R-$\int^1_0\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ (absolut) konvergent ist. Also ist $f\in\mathfrak{L}^1(X)$.\\
|
|
Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R-$\int_0^1\frac{1}{x}$ divergent ist. Also ist $f^2\notin\mathfrak{L}^1(X)$.
|
|
\item Sei $X=[0,\infty)$, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$. Aus Analysis I wissen wir, dass R-$\int^{\infty}_1f(x)\,dx$ konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Also ist $f\notin\mathfrak{L}^1(X)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\chapter{Nullmengen}
|
|
\label{Kapitel 5}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Nullmenge}\index{Borel!Nullmenge}
|
|
Sei $N\in\fb_d$. $N$ heißt eine \textbf{(Borel-)Nullmenge}, genau dann wenn $\lambda(N)=0$ ist.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $N\subseteq\mdr^d$ höchstens abzählbar, so ist $N\in\fb_d$ und $\lambda(N)=0$.
|
|
\item Sei $j\in\{1,\dots,d\}$ und $H_j:=\left\{(x_1,\dots,x_d) \in\mdr^d : x_j=0 \right\}$. Aus Beispiel (5) nach \ref{Satz 2.7} folgt, dass $H_j$ eine Nullmenge ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 5.1}
|
|
Seien $M,N,N_1,N_2,\ldots\in\fb_d$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $M\subseteq N$ und $N$ Nullmenge, dann ist $M$ Nullmenge.
|
|
\item Sind alle $N_j$ Nullmengen, so ist auch $\bigcup N_j$ eine Nullmenge.
|
|
\item $N$ ist genau dann eine Nullmenge, wenn für alle $\ep>0$ offene Intervalle $I_1,I_2,\ldots\subseteq\mdr^d$ existieren mit $N\subseteq\bigcup I_j$ und $\sum_{j=1}^\infty \lambda(I_j)\le\ep$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $0\le\lambda(M)\le\lambda(N)=0$
|
|
\item $0\le\lambda(\bigcup N_j)\le\sum\lambda(N_j)=0$
|
|
\item Folgt aus \ref{Satz 2.10}.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$\ $
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\mdq$ ist "`klein"': $\mdq$ ist "`nur"' abzählbar.
|
|
\item $\mdq$ ist "`groß"': $\overline\mdq=\mdr$
|
|
\item $\mdq$ ist "`klein"': $\lambda(\mdq)=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{für fast alle}
|
|
\index{fast überall}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $(E)$ eine Eigenschaft für Elemente in $X$.\\
|
|
$(E)$ gilt \textbf{für fast alle} (ffa) $x\in X$, genau dann wenn $(E)$ \textbf{fast überall} (fü) (auf $X$) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass $(E)$ für alle $x\in X\setminus N$ gilt.
|
|
\item $\int_\emptyset f(x) \text{ d}x:=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 5.2}
|
|
Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich.
|
|
\item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$.
|
|
\item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt:
|
|
\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item ist gerade \ref{Folgerung 4.10}.
|
|
\item ist gerade \ref{Satz 4.5}(3)
|
|
\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
|
|
\[g(x)=\lvert g(x) \rvert =0\]
|
|
D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\]
|
|
und somit $\int_X g\,dx=0$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 5.3}
|
|
$f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $f$ integrierbar und gilt fast überall $f=g$, so ist $g$ integrierbar und es gilt:
|
|
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
|
\item Ist $f$ integrierbar und $g:=\mathds{1}_{\{ \lvert f \rvert <\infty \}}\cdot f$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
|
\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist
|
|
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge $N\subseteq X$, sodass gilt:
|
|
\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\]
|
|
Aus \ref{Satz 5.2}(3) folgt dann $\int_N f\,dx=0$.
|
|
Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt:
|
|
\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\]
|
|
D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert =0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot \lvert g \rvert\,dx=0$.
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\
|
|
&= \int_X\mathds{1}_N \lvert g\rvert\,dx + \int _X\mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert\,dx\\
|
|
&= \int_X \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g \rvert\,dx\\
|
|
& \leq\int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.9}}< \infty
|
|
%hier soll eigentlich das kleinergleich unter das erste gleichzeichen...
|
|
\end{align*}
|
|
\ref{Satz 4.9} liefert nun, dass $\lvert g\rvert$ und damit auch $g$ integrierbar ist. Weiter gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_Xg\,dx &\overset{\ref{Satz 4.12}} = \int_N g\,dx+ \int_{X\setminus N}g\,dx = \int_{X\setminus N}g\,dx\\
|
|
&= \int_{X\setminus N}f\,dx \overset{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_N f\,dx +\int_{X\setminus N}f\,dx\\
|
|
&\overset{\ref{Satz 4.12}}= \int_X f\,dx.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Setze $N:=\left\{\lvert f\rvert =\infty \right\}$. Aus \ref{Satz 5.2}(1) folgt, dass $N$ eine Nullmenge ist. Sei $x\in X\setminus N$, so ist $x\in \left\{\lvert f\rvert <\infty \right\}$ und $g(x)=f(x)$.
|
|
D.h. fast überall ist $f=g$. (Klar: $g$ ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1).
|
|
\item \textbf{Fall 1:} $\int_Xf\,dx<\infty$\\
|
|
Dann ist $f$ integrierbar, damit ist nach (1) auch $g$ integrierbar und es gilt:
|
|
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
|
\textbf{Fall 2:} $\int_Xf\,dx=\infty$.\\
|
|
Annahme: $\int_Xg\,dx<\infty$. Dann gilt nach Fall 1: $\int_Xf\,dx<\infty$. $\lightning$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
$(f_n)$ sei eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass für alle $x\in X\setminus N$ $\left(f_n(x)\right)$ in $\imdr$ konvergiert.
|
|
\item Sei $f:X\to\imdr$. $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) gegen $f$ genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert mit: $f_n(x)\to f(x) \forall x\in X\setminus N$\\
|
|
In diesem Fall schreiben wir: $f_n\to f$ fast überall.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 5.4}
|
|
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast überall (auf \(X\)).
|
|
Dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast überall.
|
|
\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast überall, so gilt \(f=g\) fast überall.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung).
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle
|
|
\(x\in X\setminus N_{1}\).
|
|
\[
|
|
f(x)=\begin{cases}0&x\in N_{1}\\\lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}&x\in X\setminus N_{1}\end{cases}
|
|
\]
|
|
\(g_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(g_{n}\) ist messbar und \(g_{n}(x)\to f(x)\) für alle \(x\in X\).
|
|
Mit \ref{Satz 3.5} folgt: \(f\) ist messbar.
|
|
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\).
|
|
\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
|
|
|
|
Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version III)]
|
|
\label{Satz 5.5}
|
|
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte:
|
|
\(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion
|
|
\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und
|
|
\[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge
|
|
\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N_{n}\).
|
|
\(N:=\bigcup_{n=1}^{\infty}{N_{n}}\); Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine
|
|
Nullmenge.
|
|
|
|
Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\).
|
|
|
|
\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist
|
|
messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) für alle \(n\in\mdn\).
|
|
|
|
\(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\); \ref{Satz 3.5} liefert:
|
|
\(f\) ist messbar. Weiter: \(\hat{f}_{n}\to f\).
|
|
\[
|
|
\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{\ref{Satz 4.6}}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{\hat{f}_{n}\mathrm{d}x}}\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(2)}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}
|
|
\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Der Konvergenzsatz von Lebesgue}
|
|
\label{Kapitel 6}
|
|
|
|
Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
|
|
|
\begin{lemma}[Lemma von Fatou]
|
|
\label{Lemma 6.1}
|
|
\((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es gilt:
|
|
\[\int_{X}{(\liminf_{n\to\infty}f_{n})(x)\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}(x)\mathrm{d}x}}\]
|
|
\item Ist \(f: X\to[0,+\infty]\) messbar und gilt \(f_{n}\to f\) fast überall,
|
|
so ist
|
|
\[
|
|
\int_{X}{f\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}
|
|
\]
|
|
\item Ist \(f\) wie in (2) und ist \(\left(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right)\)
|
|
beschränkt, so ist \(f\) integrierbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(g_{j}:=\inf_{n\geq j}{f_{n}}\). Aus \ref{Satz 3.5} folgt: \(g_{j}\) ist messbar, klar: \(g_{j}\leq g_{j+1}\) auf
|
|
\(X\); \(\sup_{j\in\mdn}{g_{j}}=\liminf_{n\to\infty}{f_{n}}\)
|
|
|
|
Weiter: \(g_{j}\leq f_{n}\,(n\geq j)\)
|
|
|
|
Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{X}{\liminf_{n\to\infty}f_{n}\mathrm{d}x}&=\int_{X}{\sup_{j\in\mdn}g_{j}\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\int_{X}{\lim_{j\to\infty}g_{j}(x)\mathrm{d}x}\\
|
|
&\overset{\ref{Satz 4.6}}{=}\lim_{j\to\infty}\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\sup_{j\in\mdn}\underbrace{\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}}_{\leq\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\\
|
|
&\leq\sup_{j\in\mdn}\left\{\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right\}\\
|
|
&=\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
|
|
\end{align*}
|
|
\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\): \(f_{n}(x)\to f(x)\,\forall x\in X\setminus N\). Dann:
|
|
\(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast überall.
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{X}{f\mathrm{d}x}&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\int_{X}{(\lim_{n\to\infty}\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n})\mathrm{d}x}\\
|
|
&\overset{(1)}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\mathrm{d}x}\\
|
|
&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
|
|
\end{align*}
|
|
\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt
|
|
\[
|
|
0\leq\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{(2)}}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}<\infty
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)]
|
|
\label{Satz 6.2}
|
|
\((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:X\to\imdr\), \((f_{n})\)
|
|
konvergiere fast überall und es sei \(g:X\to[0,+\infty]\) integrierbar. Für
|
|
jedes \(n\in\mdn\) gelte \(\lvert f_{n}\rvert\leq g\) fast überall. Dann sind
|
|
alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mit:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(f_{n}\to f\) fast überall
|
|
\item \(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\to\int_{X}{f\mathrm{d}x}\)
|
|
\item \(\int_{X}{\lvert f_{n}-f\rvert\mathrm{d}x}\to 0\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
% Hier fehlt eventuell eine Graphik...
|
|
Sei \(X=\mdr,\,f_{n}:=n\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n})}\). Dann:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}=n\cdot\lambda_{1}\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right)=n\cdot\frac{1}{n}=1\forall n\in\mdn
|
|
\]
|
|
Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\). \ref{Satz 6.2} ist ohne Majorante im allgemeinen
|
|
falsch.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
% Nummerierung vernuenftig zurechtbasteln
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Aus \ref{Satz 5.4} folgt: Es existiert \(\hat{f}:X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to\hat{f}\) fast überall.
|
|
Es existiert eine Nullmenge \(N_{0}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to\hat{f}(x)\,\forall x\in X\setminus N_{0}\)
|
|
\item Für alle \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge \(N_{n}\subseteq X:\,\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{n}\).
|
|
|
|
Setze \(N:=\bigcup_{n=0}^{\infty}{N_{n}}\). Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
|
|
|
|
Wir haben: \(\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\) und
|
|
\(\lvert\hat{f}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\).
|
|
\item \(f_{n}=\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) fast überall und \(\hat{f}=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\)
|
|
fast überall.
|
|
|
|
Es gilt \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\rvert\leq g\) und \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\rvert\leq g\). Mit
|
|
\ref{Satz 4.9} folgt: \(\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) und \(\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) sind integrierbar.
|
|
|
|
Mit \ref{Satz 5.3}.(1) folgt: \(f_{n}\) und \(\hat{f}\) sind integrierbar.
|
|
\item \(\tilde{N}:=N\cup\{\lvert\hat{f}\rvert=\infty\}\cup\{g=\infty\}\). Mit \ref{Folgerung 4.10} und \ref{Lemma 5.1} folgt:
|
|
\(\tilde{N}\) ist eine Nullmenge.
|
|
|
|
Setze \(f:=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\). Dann: \(f\) ist messbar; es ist \(\lvert f\rvert\leq\lvert\hat{f}\rvert\).
|
|
Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(f\) ist integrierbar.
|
|
|
|
Es ist \(f(X)\subseteq\mdr\). Also: \(f\in\fl^{1}(X)\).
|
|
|
|
Sei \(x\in X\setminus\tilde{N}:\,f(x)=\tilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)\).
|
|
D.h. \(f_{n}\to f\) fast überall.
|
|
\item Definiere $g_n:=|f|+\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g-\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|$. Es ist fast überall
|
|
\begin{align*}
|
|
\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g=g&&\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|=|f_n-f|
|
|
\end{align*}
|
|
Nach \ref{Satz 5.3}(1) ist $g$ integrierbar und $g_n\to |f|+g$ fast überall. Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g+|f| \text{ auf} X\setminus\tilde N
|
|
\end{align*}
|
|
D.h. es ist $g\ge0$ auf X.
|
|
\item Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_X(|f|+g)\text{ d}x&\stackrel{\ref{Lemma 6.1}(2)}\le \liminf_{n\to\infty} \int_X g_n \text{ d}x\\
|
|
&=\liminf \left(\int_{\tilde N} g_n\text{ d}x+\int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\right)\\
|
|
&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\\
|
|
&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}(|f|+g-|f_n-f|)\text{ d}x\\
|
|
&=\int_{X\setminus\tilde N} (|f|+g)\text{ d}x-\limsup \int_{X\setminus\tilde N}|f_n-f|\text{ d}x\\
|
|
&\stackrel{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_X |f|+g\text{ d}x-\limsup\int_X |f_n-f|\text{ d}x
|
|
\end{align*}
|
|
Daraus folgt:
|
|
\[\limsup\int_x|f_n-f|\text{ d}x\le 0\]
|
|
Also gilt auch:
|
|
\[|\int_Xf_n\text{ d}x-\int_Xf\text{ d}x|=|\int_X(f_n-f)\text{ d}x\le \int_X|f_n-f|\text{ d}x\to 0\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\).
|
|
Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$.
|
|
Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\]
|
|
Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist
|
|
und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\]
|
|
Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
|
|
\[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{folgerung}[aus \ref{Satz 6.2}]
|
|
\label{Folgerung 6.3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(f:X\to\imdr\) messbar und \((A_n)\) sei eine Folge in \(\fb(X)\) mit \(A_n\subseteq A_{n+1}\) für jedes $\natn$ und \(X=\bigcup A_n\). Weiter sei
|
|
\begin{align*}
|
|
f_n:=\mathds{1}_{A_n}\cdot f \text{ integrierbar für alle } \natn \intertext{und} \left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right) \text{ sei beschränkt. }
|
|
\end{align*}
|
|
Dann ist $f$ integrierbar und es gilt: \[\int_{A_n}f\,dx \to \int_Xf\,dx \quad \text{für } n \to \infty\]
|
|
\item Sei \(a\in\mdr\), \(X:=[a,\infty]\) und \(f:X\to\mdr\) sei stetig. Weiter sei R-\(\int_a^\infty f\,dx\) \textbf{absolut} konvergent. Dann ist \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und wie in \ref{Satz 4.14}:
|
|
\[\text{L-}\int_Xf\,dx=\text{R-}\int^\infty_a f\,dx \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich:
|
|
\[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \]
|
|
Dann gilt:
|
|
\[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \]
|
|
Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine
|
|
integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}:
|
|
\[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \]
|
|
\item Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt:
|
|
\[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \]
|
|
D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt
|
|
aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und
|
|
\[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\ref{Folgerung 6.3}(2) gilt entsprechend für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
\label{Folgerung 6.4}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und
|
|
\[g_n:=f_1+f_2+\ldots+f_n \ (\natn)\]
|
|
Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und
|
|
\[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\]
|
|
Setzt man
|
|
\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=
|
|
\begin{cases}
|
|
0, & \text{falls } x\in N \\
|
|
\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N
|
|
\end{cases}\quad,\]
|
|
so gilt, dass $f$ integrierbar ist und
|
|
\[\int_X \left( \sum^\infty_{j=1}f_j(x) \right)\,dx = \sum^\infty_{j=1}\left( \int_Xf_j(x)\,dx \right) \]
|
|
\item Sei \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und \((A_n)\) eine \textbf{disjunkte} Folge in \(\fb(X)\) mit \(X=\dot\bigcup A_n\). Dann gilt
|
|
\[\int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx
|
|
&= \int_Xf\,dx \\
|
|
&\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx \\
|
|
&= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx \\
|
|
&=\lim\sum^n_{j=1}\int_Xf_j(x)\,dx \\
|
|
&=\sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx \\
|
|
\end{align*}
|
|
\item Setze \(f_j:=\mathds{1}_{A_j}f\), \(g:=\lvert f\rvert\), \(g_n:=f_1+\ldots+f_n\). Dann ist
|
|
\[\lvert g_n\rvert = \lvert \mathds{1}_{A_1\cup\ldots\cup A_n}\cdot f\rvert \leq \lvert f\rvert =g \]
|
|
Es gilt: \(g_n\to f\) auf $X$. Aus (1) folgt
|
|
\[ \int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Parameterintegrale}
|
|
\label{Kapitel 7}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei stets \(\emptyset\neq X\in \fb_d\).
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 7.1}
|
|
Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funktion mit:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar.
|
|
\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist.
|
|
\item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für
|
|
jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \]
|
|
\end{enumerate}
|
|
Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch
|
|
\[ F(t):=\int_Xf(t,x)\,dx,\]
|
|
so ist $F$ stetig in $t_0$.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \]
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und
|
|
\[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \]
|
|
Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \]
|
|
Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt
|
|
\[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\]
|
|
Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
|
|
\[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\textbf{Bezeichnung}\\
|
|
Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar
|
|
(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und
|
|
\[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \]
|
|
Dann ist
|
|
\[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\]
|
|
Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \]
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
\label{Folgerung 7.2}
|
|
Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch
|
|
\[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\).
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und
|
|
\[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\]
|
|
Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge.
|
|
Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 7.3}
|
|
Sei \(U\subseteq \mdr^k\) offen, \(f\colon U\times X\to\mdr\) eine Funktion. Es sei \(g\colon X\to [0,+\infty]\) integrierbar und \(N\subseteq X\) sei eine Nullmenge.
|
|
Weiter gelte:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item für jedes \(t\in U\) sei \(x\mapsto f(t,x)\) integrierbar.
|
|
\item für jedes \(x\in X\setminus N\) sei \(t\mapsto f(t,x)\) partiell differenzierbar auf $U$.
|
|
\item \(\left\lvert \frac{ \partial f}{\partial t_j} \right\rvert \leq g(x) \) für jedes \(x\in X\setminus N\), jedes \(t\in U\) und jedes \(j\in\{1,\ldots,k\}\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
Ist dann \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch \[F(t):=\int_X f(t,x)dx\] so ist $F$ auf $U$ partiell differenzierbar und für jedes \( t\in U\) sowie jedes \( j\in\{1,\ldots,k\}\) gilt:
|
|
\[ \frac{\partial F}{\partial t_j}(t) = \int_X\frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \]
|
|
\end{satz}
|
|
\textbf{Also: } \( \frac{\partial}{\partial t_j}\int_X f(t,x)\,dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \).
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei o.B.d.A. \(k=1\), also \(U\subseteq\mdr\). Sei \(t_0\in U\) und \((h_n)\) eine Folge mit \(h_n\to 0\) und \(h_n\neq 0\) für alle \(\natn\).
|
|
Setze \[g_n(x):=\frac{f(t_0+h_n,x)-f(t_0,x)}{h_n} \ \ (x\in X, \natn) \]
|
|
Aus Voraussetzung (2) folgt für jedes \(x\in X\setminus N\): \[ g_n(x)\to \frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x) \ \ (n\to\infty) \]
|
|
Nach dem Mittelwertsatz aus Analysis 1 existiert für jedes \(x\in X\setminus N\) und jedes \(\natn\) ein \(s_n=s_n(x)\) zwischen \(t_0\) und \(t_0+h_n\) mit:
|
|
\[ \left\lvert g_n(x) \right\rvert = \left\lvert \frac{\partial f}{\partial t}(s_n,x)\right\rvert \overset{(3)}\leq g(x) \]
|
|
Aus \ref{Satz 6.2} folgt \[ \int_X g_n\,dx \longrightarrow \int_X\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)\,dx \]
|
|
Es ist nach Konstruktion gerade \(\int_X g_n\,dx =\frac{F(t_0+h_n)-F(t_0)}{h_n} \).
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Vorbereitungen auf das, was kommen mag}
|
|
\label{Kapitel 8}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen seien \(k,l,d\in\mdn\) und \(k+l=d\). \(\mdr^d\cong\mdr^k\times\mdr^l\). Für Punkte \(z\in\mdr^d\) schreiben wir \(z=(x,y)\), wobei \(x\in\mdr^k\) und \(y\in\mdr^l\).
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(p_1\colon\mdr^d\to\mdr^k\) sei definiert durch \(p_1(x,y):=x\)
|
|
\item \(p_2\colon\mdr^d\to\mdr^l\) sei definiert durch \(p_2(x,y):=y\)
|
|
\item Für \(y\in\mdr^l\) sei \(j_y\colon\mdr^k\to\mdr^d\) definiert durch \(j_y(x):=(x,y)\)
|
|
\item Für \(x\in\mdr^k\) sei \(j^x\colon\mdr^l\to\mdr^d\) definiert durch \(j^x(y):=(x,y)\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 8.1}
|
|
\(p_1,p_2,j_y,\) und \(j^x\) sind messbar.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\(p_1,p_2,j_y\) und \(j^x\) sind stetig, also nach \ref{Satz 3.2} messbar.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei \(C\subseteq\mdr^d\).\\
|
|
Sei \(y\in\mdr^l\), dann heißt \(C_y:=\{x\in\mdr^k:(x,y)\in C\}=(j_y)^{-1}(C)\) der \textbf{y-Schnitt} von C.\\
|
|
Sei \(x\in\mdr^k\), dann heißt \(C^x:=\{y\in\mdr^l:(x,y)\in C\}=(j^x)^{-1}(C)\) der \textbf{x-Schnitt} von C.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 8.2}
|
|
Sei \(C\in\fb_d\). Dann ist \(C_y\in\fb_k\) und \(C^x\in\fb_l\).
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
folgt aus \ref{Lemma 8.1}.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\textbf{Beachte: } Sei \(A\in\mdr^k\) und \(B\in\mdr^l\), sowie \(C:=A\times B \subseteq\mdr^d\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
C_y= \begin{cases}
|
|
{\emptyset, \text{falls } y\notin B}\\
|
|
{A, \text{falls } y\in B}
|
|
\end{cases}
|
|
&
|
|
&C^x=\begin{cases}
|
|
{\emptyset, \text{falls } x\notin A}\\
|
|
{B, \text{falls } x\in A}
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 8.3}
|
|
Sei \(A\in\fb_k\) und \(B\in\fb_l\). Dann ist \(C:=A\times B\in\fb_d\).
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Es ist
|
|
\[C=(A\times\mdr^l)\cap(\mdr^k\times B) = p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B)\]
|
|
Nach \ref{Lemma 8.1} sind \(p_1^{-1}(A), p_2^{-1}(B) \in\fb_d\) und somit ist auch \(p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B) \in\fb_d\)
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\). \\
|
|
Für \(y\in\mdr^l\): \[f_y(x):=f(x,y) \ \ (x\in\mdr^k)\]
|
|
Für \(x\in\mdr^k\): \[f^x(y):=f(x,y) \ \ (y\in\mdr^l)\]
|
|
Es ist \(f_y=f\circ j_y\) und \(f^x=f\circ j^x\).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 8.4}
|
|
Ist \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) messbar, so sind \(f_y\) und \(f^x\) messbar.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
%vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt ...
|
|
\begin{defusatz}[ohne Beweis]
|
|
\label{Satz 8.5}
|
|
Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch:
|
|
\begin{align*}
|
|
\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l)
|
|
\end{align*}
|
|
Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar.
|
|
\end{defusatz}
|
|
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Für \(C\in\fb_d\) gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\varphi_C(x)=\lambda_l(C^x)=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C^x}(y)\,dy=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dy \\
|
|
\psi_C(y)=\lambda_k(C_y)=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C_y}(x)\,dx=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dx
|
|
\end{align*}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Das Prinzip von Cavalieri}
|
|
\label{Kapitel 9}
|
|
|
|
Die Bezeichnungen seien wie im Paragraphen 8.
|
|
|
|
\begin{satz}[Prinzip von Cavalieri]
|
|
\label{Satz 9.1}
|
|
Sei \(C\in\fb_d\). Dann:
|
|
\[ \lambda_d(C)=\int_{\mdr^k}\lambda_l(C^x)\,dx=\int_{\mdr^l}\lambda_k(C_y)\,dy \]
|
|
\end{satz}
|
|
Das heißt:
|
|
\[ \int_{\mdr^d}\mathds{1}_{C}(x,y) \text{ d}(x,y) = \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{\mdr^l} \left(\int_{\mdr^k} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dx\right)\,dy \]
|
|
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(k=l=1\), also \(d=2\). Sei \(r>0\) und \[C:=\{(x,y)\in\mdr^2: x^2+y^2\leq r^2\}\]
|
|
Da $C$ abgeschlossen ist, gilt \(C\in\fb_2\).\\
|
|
Ist \(\lvert y\rvert>r\), so ist \(C_y=\emptyset\), also \(\lambda_1(C_y)=0\).\\
|
|
Sei also \(\lvert y\rvert\leq r\). Sei \(x\in\mdr\) so, dass \((x,y)\in\partial C\). Dann ist \(x^2+y^2=r^2\), also \(x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\).
|
|
Das heißt, es ist \[C_y=\left[-\sqrt{r^2-y^2},+\sqrt{r^2-y^2}\right]\text{ und } \lambda_1(C_y)=2\sqrt{r^2-y^2}\]
|
|
Aus \ref{Satz 9.1} folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_2(C)
|
|
&=\int_\mdr\lambda_1(C_y)\,dy \\
|
|
&=\int_{[-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy + \int_{\mdr\setminus [-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy\\
|
|
&=\int_{[-r,r]}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\
|
|
&\overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^r_{-r}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\
|
|
&\overset{Ana I}= \pi r^2
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
|
|
Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
|
|
$C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\
|
|
Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
|
|
Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt
|
|
\[\lambda_{d+1}(C) \overset{\ref{Satz 9.1}}= \int_{\mdr^d}\lambda_1(C^x)\,dx = \int_X\lambda_1(C^x)\,dx + \int_{\mdr^d\setminus X}\lambda_1(C^x) \text{ d}x = \int_Xf(x)\,dx \]
|
|
\item Sei \(I=[a,b]\subseteq\mdr\) mit \(a<b\) und \(f\colon I\to[0,\infty]\) stetig. Setze
|
|
\[C:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\in I, 0\leq y\leq f(x)\}\]
|
|
Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \]
|
|
\item $X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\]
|
|
$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
|
|
Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
|
Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
|
Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beweis}[Prinzip von Cavalieri]
|
|
Wir definieren $\mu,\nu:\fb_d\to[0,\infty]$ durch:
|
|
\begin{align*}
|
|
\mu(A):=\int_{\mdr^k} \lambda_l(A^x)\text{ d}x && \nu(A):=\int_{\mdr^l} \lambda_k(A_y)\text{ d}y
|
|
\end{align*}
|
|
Dann ist klar, dass $\mu(\emptyset)=\nu(\emptyset)=\lambda_d(\emptyset)=0$ ist.\\
|
|
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjunkt und $(\bigcup A_j)^x=\bigcup A_j^x$. Somit gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\mu(\bigcup A_j)&=\int_{\mdr^k} \lambda_l(\bigcup A_j^x)\text{ d}x\\
|
|
&=\int_{\mdr^k} \sum \lambda_l(A_j^x)\text{ d}x\\
|
|
&=\sum \int_{\mdr^k} \lambda_l(A_j^x)\text{ d}x\\
|
|
&=\sum \mu(A_j)
|
|
\end{align*}
|
|
D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein Maß auf $\fb_d$ ist.\\
|
|
Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
|
|
\emptyset &,x\not\in I'\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit:
|
|
\begin{align*}
|
|
\mu(I)&=\int_{\mdr^k}\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x) \text{ d}x\\
|
|
&=\lambda_l(I'')\cdot\lambda_k(I') = \lambda_d(I)
|
|
\end{align*}
|
|
D.h. auf $\ci_d$ stimmen $\mu$ und $\lambda_d$ überein. Analog gilt $\nu=\lambda_d$ auf $\ci_d$. Da $\ci_d$ die Vorraussetzungen des Satzes \ref{Satz 2.6} erfüllt, gilt $\mu=\lambda_d=\nu$ auf $\fb_d$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
\label{Folgerung 9.2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $N\in\fb_d$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_d(N)=0 &\iff \lambda_l(N^x) = 0 \quad \text{ f.ü. auf }\mdr^k\\
|
|
&\iff \lambda_k(N_y) = 0 \quad \text{ f.ü. auf }\mdr^l\\
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei $M\subseteq\mdr^k$ ($M\subseteq\mdr^l$) eine Nullmenge, dann ist $M\times\mdr^l$ ($\mdr^k\times M$) eine Nullmenge.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Nach \ref{Satz 9.1} gilt:
|
|
\[\lambda_d(N)=\int_{\mdr^k}\lambda_l(N^x)\text{ d}x\]
|
|
Nach \ref{Satz 5.2}(2) folgt die Behauptung. Analog lässt sich die zweite Äquivalenz zeigen.
|
|
\item Es gilt:
|
|
\[\forall y\in\mdr^l:(M\times\mdr^l)_y=M\]
|
|
Damit folgt die Behauptung aus (1).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{Lemma 9.3}
|
|
Sei $\emptyset\ne D\in\fb_d$ und $f:D\to\imdr$ messbar. Definiere
|
|
\[\tilde f(z):=\begin{cases} f(z) &,z\in D\\ 0&,z\not\in D\end{cases}\]
|
|
Dann ist $\tilde f:\mdr^d\to\imdr$ messbar.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $a\in\mdr$, $B_a:=\{n\in\mdr^d\mid \tilde f(z)\le a\}$.\\
|
|
\textbf{Fall $a<0$:}
|
|
\[B_a=\{z\in D\mid f(z)\le a\}\stackrel{\ref{Satz 3.4}}\in\fb_d\]
|
|
\textbf{Fall $a\ge0$:}
|
|
\[B_a=\{z\in D\mid f(z)\le a\}\cup \{z\in\mdr^d\setminus D\}\in\fb_d\]
|
|
Also folgt aus \ref{Satz 3.4} die Messbarkeit von $\tilde f$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\index{Rotationskörper}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $r>0$ und
|
|
\[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2<r^2\}\]
|
|
Dann ist $K$ offen, also $K\in\fb_2$ und es gilt:
|
|
\[\partial K=\overline{K}\setminus K=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2=r^2\}\in\fb_2\]
|
|
Damit enthält die Menge $(\partial K)_y$ für alle $x\in\mdr$ höchstens zwei Elemente, d.h.
|
|
\[\lambda_2(\partial K)=\int_\mdr \lambda_1((\partial K)_y)\text{ d}y=0\]
|
|
Mit $\overline K=(\partial K) \dot\cup K$ folgt dann
|
|
\[\lambda_2(K)=\lambda_2(\partial K)+\lambda_2(\overline K)=\lambda_2(\overline K)=\pi r^2\]
|
|
Sei nun $A\in\fb_2$ mit $K\subseteq A\subseteq\overline K$, dann ist $\lambda_2(A)=\pi r^2$.
|
|
\item Sei $r>0$ und
|
|
\[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\]
|
|
Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\
|
|
\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
|
|
\textbf{Fall $|z|\ge r$:} Es ist
|
|
\[K_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le r^2-z^2\}\]
|
|
und damit $\lambda_2(K_z)=\pi(r^2-z^2)$.\\
|
|
Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_3(K)&=\int_\mdr \lambda_2(K_z)\text{ d}z\\
|
|
&=\int_{[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z+\int_{\mdr\setminus[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z\\
|
|
&=\int_{[-r,r]}\pi(r^2-z^2)\text{ d}z\\
|
|
&\stackrel{\ref{Satz 4.13}}=\int_{-r}^r \pi r^2-\pi z^2\text{ d}z\\
|
|
&=\frac43\pi r^3
|
|
\end{align*}
|
|
\item $\lambda_2\left(\text{\smiley}\right)=0$
|
|
\item Wir wollen nun \textbf{Rotationskörper} betrachten. Sei dazu $I=[a,b]\subseteq\mdr$ mit $a<b$ und $f:I\to[0,\infty)$ messbar. Definiere nun
|
|
\[V:=\{(x,y,z,)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le f(z)^2, z\in I\}\]
|
|
Setze $D:=\mdr^2\times I$ und $g(x,y,z):= x^2+y^2-f(z)^2$. Dann ist $g$ nach §\ref{Kapitel 3} messbar und $V=\{g\le 0\}\in\fb_3$.\\
|
|
\textbf{Fall $z\not\in I$:} Es so ist $V_z=\emptyset$, also $\lambda_2(V_z)=0$.\\
|
|
\textbf{Fall $z\in I$:} Es ist
|
|
\[V_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le f(z)^2\}\]
|
|
und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\
|
|
Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_3(V)&=\int_\mdr \lambda_2(V_z)\text{ d}z\\
|
|
&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei $h>0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel
|
|
\[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\]
|
|
Dann ist
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_3(V)&=\pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}z^2\text{ d}z\\
|
|
&=\frac{\pi r^2h}3
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\chapter{Der Satz von Fubini}
|
|
\label{Kapitel 10}
|
|
|
|
Die Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9.
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Tonelli]
|
|
\label{Satz 10.1}
|
|
Es sei \(f\colon\mdr^d\to[0,+\infty]\) messbar. (Aus \S 8 folgt dann, dass \(f^x,f_y\) messbar sind, wobei klar ist, dass \(f^x,f_y\geq 0\) sind.)\\
|
|
Für \(x\in\mdr^k\):
|
|
\[F(x):=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy=\int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy\]
|
|
Für \(y\in\mdr^l\):
|
|
\[G(y):=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx=\int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx\]
|
|
Dann sind $F,G$ messbar und
|
|
\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
|
|
also
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{$*$}\int_{\mdr^d}f(x,y)\,d(x,y)=\int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx\right)dy
|
|
\end{align*}
|
|
\textbf{(iterierte Integrale)}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\textbf{Fall 1:} Sei \(C\in\fb_d\) und \(f=\mathds{1}_{C}\). Die Behauptungen folgen dann aus \ref{Satz 9.1}.\\
|
|
\textbf{Fall 2:} Sei \(f\geq 0\) und einfach. Die Behauptungen folgen aus Fall 1, \ref{Satz 3.6} und \ref{Satz 4.5}.\\
|
|
\textbf{Fall 3 - Der allgemeine Fall:}\\
|
|
Sei \((f_n)\) zulässig für $f$, also: \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\), \(f_n\) einfach und \(f_n\to f\) auf \(\mdr^d\).
|
|
Für \(x\in\mdr^k\) und \(\natn\) gilt:
|
|
\[F_n(x):=\int_{\mdr^l}f_n(x,y)\,dy\]
|
|
und nach Fall 2 ist \(F_n\) messbar. \\
|
|
Aus \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\) folgt \(0\leq F_n\leq F_{n+1}\) und \ref{Satz 4.6} liefert \(F_n\to F\) auf \(\mdr^k\). Dann gilt
|
|
\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \lim \int_{\mdr^d}f_n(z)\,dz \overset{Fall 2}= \lim \int_{\mdr^k}F_n(x)\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx\]
|
|
Genauso zeigt man
|
|
\[\int_{\mdr^d}(f(z)\,dz=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Fubini (Version I)]
|
|
\label{Satz 10.2}
|
|
Es sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) integrierbar. Dann existieren Nullmengen \(M\subseteq\mdr^k\) und \(N\subseteq\mdr^l\) mit
|
|
\begin{align*}
|
|
f^x\colon\mdr^l\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M \\
|
|
f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N
|
|
\end{align*}
|
|
Setze
|
|
\begin{align*}
|
|
F(x):=
|
|
\begin{cases}
|
|
\int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy & \text{, falls } x\in\mdr^k\setminus M \\
|
|
0 & \text{, falls } x\in M
|
|
\end{cases}
|
|
\intertext{und}
|
|
G(y):=
|
|
\begin{cases}
|
|
\int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx & \text{, falls } y\in\mdr^l\setminus N \\
|
|
0 & \text{, falls } y\in N
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Dann sind $F$ und $G$ integrierbar und es gelten folgende zwei Gleichungen
|
|
\[ \int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \int_{\mdr^k}F(x)\,dx = \int_{\mdr^l}G(y)\,dy \]
|
|
Es gilt also wieder \((\ast)\) aus \ref{Satz 10.1}.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Wir zeigen nur die Aussagen über \(f^x\), $F$ und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über \(f_n, G\) und die zweite Gleichung.\\
|
|
Aus \ref{Lemma 8.1} folgt, dass \(f^x\) messbar ist. Definiere
|
|
\begin{align*}
|
|
\Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
|
= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k
|
|
\end{align*}
|
|
Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx
|
|
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}}
|
|
= \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz
|
|
< \infty
|
|
\end{align*}
|
|
(denn mit $f$ ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\lvert f\rvert\) integrierbar). Somit ist \(\Phi\) integrierbar.
|
|
Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist.
|
|
Also gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
|
|
= \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M
|
|
\end{align*}
|
|
Das heißt, \(\lvert f^x\rvert\) ist für jedes \(x\in\mdr^k\setminus M\) integrierbar und es gilt nach \ref{Satz 4.9} auch
|
|
\begin{align*}
|
|
f^x \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M
|
|
\end{align*}
|
|
Aus \ref{Folgerung 9.2} folgt, dass \(M\times\mdr^l\) eine Nullmenge ist.
|
|
Setze
|
|
\begin{align*}
|
|
\tilde f(z):=
|
|
\begin{cases}
|
|
f(z) &\text{, falls } z\in\mdr^d\setminus(M\times\mdr^l)\\
|
|
0 &\text{, falls } z\in M\times\mdr^l
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist
|
|
\[\tilde f^x = \left(\mathds{1}_{(M\times\mdr^l)^C}\cdot f\right)^x\]
|
|
Das heißt \(\tilde f^x\) ist integrierbar für jedes \(x\in\mdr^k\). Dann gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}}
|
|
= \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy
|
|
= \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)}
|
|
\end{align*}
|
|
Nach \ref{Satz 10.1} sind \(F^+\) und \(F^-\) messbar. Die Dreiecksungleichung liefert nun
|
|
\begin{align*}
|
|
\lvert F(x)\rvert
|
|
\leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy
|
|
\overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy
|
|
= \Phi(x) \ \text{ für } x\in\mdr^k
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind
|
|
und dann sind auch \(F^+\) und \(F^-\) integrierbar (zur Übung). Es folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\mdr^k}F(x)\,dx
|
|
& = \int_{\mdr^k}F^+(x)\,dx - \int_{\mdr^k}F^-(x)\,dx \\
|
|
& = \int_{\mdr^k} \left(\int_{\mdr^l} \tilde f_+(x,y)\,dy\right)dx - \int_{\mdr^k} \left(\int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy\right)dx \\
|
|
& \overset{\ref{Satz 10.1}}= \int_{\mdr^d}\tilde f_+(z)\,dz - \int_{\mdr^d}\tilde f_-(z)\,dz \\
|
|
& = \int_{\mdr^d}\tilde f(z)\,dz \\
|
|
& = \int_{\mdr^d}f(z)\,dz
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Fubini (Version II)]
|
|
\label{Satz 10.3}
|
|
Sei \(\emptyset\neq X\in\fb_k\), \(\emptyset\neq Y\in\fb_l\) und \(D:=X\times Y\) (nach \S 8 ist \(D\in\fb_d\)).
|
|
Es sei \(f\colon D\to\imdr\) messbar.
|
|
Ist \(f\geq 0\) auf $D$ oder ist $f$ integrierbar, so gilt
|
|
\[ \int_D f(x,y)\,d(x,y) = \int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)dx = \int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)dy \]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Definiere \(\tilde f\) wie in \ref{Lemma 9.3} und wende \ref{Satz 10.1} beziehungsweise \ref{Satz 10.2} an.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\ref{Satz 10.1}, \ref{Satz 10.2} und \ref{Satz 10.3} gelten natürlich auch für mehr als zwei iterierte Integrale.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\textbf{"'Gebrauchsanweisung"' für Fubini:}\\
|
|
Gegeben: \(\emptyset\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\).
|
|
Setze $f$ auf \(\mdr^d\) zu einer messbaren Funktion \(\tilde f\) fort (zum Beispiel wie in \ref{Lemma 9.3}).
|
|
Aus \ref{Satz 3.8} folgt dann, dass \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) messbar ist und \ref{Satz 10.1} liefert
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz
|
|
= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx
|
|
= \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dx\right)dy
|
|
\end{align*}
|
|
Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist \(\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\) integrierbar und
|
|
damit ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) integrierbar.\\
|
|
Dann ist $f$ integrierbar und es folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_Df(z)\,dz
|
|
& = \int_{\mdr^d}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(z)\,dz \\
|
|
& \overset{\ref{Satz 10.2}}= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dy\right)dx \\
|
|
& = \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dx\right)dy
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\ldots,d)\).
|
|
Es sei \(f\colon D\to\mdr\) stetig. $D$ ist kompakt, also gilt \(D\in\fb_d\).
|
|
Nach \ref{Satz 4.12}(2) ist \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) und aus obiger Bemerkung folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_Df(x_1,\ldots,x_d)\,d(x_1,\ldots,x_d)
|
|
= \int_{a_d}^{b^d} \left(\cdots \left( \int_{a_2}^{b^2} \left(\int_{a_1}^{b^1}f(x_1,\ldots,x_d)\,dx_1\right)dx_2\right)\cdots\right)dx_d
|
|
\end{align*}
|
|
Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz 4.13} folgt
|
|
\[\int_{a_i}^{b_i}\cdots \text{ d}x_i= \text{R-}\int_{a_i}^{b_i}\cdots\text{ d}x_i\]
|
|
|
|
\textbf{Konkretes Beispiel}\\
|
|
Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d])\).
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_Df(x)g(y)\,d(x,y)
|
|
& = \int_c^d\left(\int_a^bf(x)g(y)\,dx\right)dy \\
|
|
& = \int_c^d\left(g(y)\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)\right)dy \\
|
|
&= \left(\int_a^bf(x)\,dx\right) \left(\int_c^dg(y)\,dy\right)
|
|
\end{align*}
|
|
\item
|
|
Wir rechtfertigen die "'Kochrezepte"' aus Analysis II, Paragraph 15.
|
|
Seien \(a,b\in\mdr\) mit \(a<b\) und \(I:=[a,b]\). Weiter seien
|
|
\(h_1,h_2\in C(I)\) mit \(h_1\leq h_2\) auf \(I\) und
|
|
\[A:=\{(x,y)\in\mdr^2: x\in I, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}\]
|
|
Sei \(f\colon A\to\mdr\) stetig. Da \(h_1\) und \(h_2\) stetig
|
|
sind, ist \(A\) kompakt und somit gilt \(A\in\fb_2\). Aus
|
|
\ref{Satz 4.12}(2) folgt dann \(f\in\mathfrak{L}^1(A)\).
|
|
Definiere
|
|
\[\tilde f(x,y)=
|
|
\begin{cases}
|
|
f(x,y) &\text{, falls } (x,y)\in A \\
|
|
0 &\text{, falls } (x,y)\notin A
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Nach \ref{Lemma 9.3} ist \(\tilde f\) messbar. Setze
|
|
\[M:=\max\{\lvert f(x,y)\rvert:(x,y)\in A\}\]
|
|
Dann gilt \(\lvert\tilde f\rvert \leq M\cdot\mathds{1}_A\).
|
|
Wegen \(\lambda_2(A)<\infty\) ist \(M\cdot\mathds{1}_A\)
|
|
integrierbar und nach \ref{Satz 4.9} ist \(\lvert\tilde f\rvert\)
|
|
und damit auch \(\tilde f\) integrierbar. Dann ist
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_A f(x,y)\,d(x,y) &= \int_{\mdr^2}\tilde f(x,y)\,d(x,y) \\
|
|
& \overset{\ref{Satz 10.3}}=
|
|
\int_\mdr\left(\int_\mdr\tilde f (x,y)\,dy\right)dx \\
|
|
&=\int_a^b\left(\int^{h_2(x)}_{h_1(x)}f(x,y)\,dy\right)dx
|
|
\end{align*}
|
|
Damit ist 15.1 aus Analysis II bewiesen. Genauso zeigt man 15.3.
|
|
\item
|
|
Sei \(D:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\geq 1, 0\leq y\leq\frac1x\}\) und
|
|
\(f(x,y):=\frac1x\cos(xy)\). $D$ ist abgeschlossen und somit ist
|
|
\(D\in\fb_2\). Außerdem ist $f$ stetig, also messbar. \\
|
|
\textbf{Behauptung: } \[f\in\mathfrak{L}^1(D)\text{ und }\int_Df(x,y)\,d(x,y)=\sin(1)\]
|
|
\textbf{Beweis: } Setze \(X:=(0,\infty)\), \(Y:=[0,\infty)\) und
|
|
\(Q:=X\times Y\). Sei nun \[\tilde f(x,y):=\frac1x\cos(xy) \text{ für }
|
|
(x,y)\in Q\]
|
|
\(\tilde f\) ist eine Fortsetzung von \(f\) auf \(X\times Y\).
|
|
\(\tilde f\) ist also messbar. Es ist
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_D\lvert f\rvert\,d(x,y)
|
|
&=\int_Q\mathds{1}_D\cdot\lvert\tilde f\rvert\,d(x,y) \\
|
|
&\overset{\ref{Satz 10.1}}=
|
|
\int_X\left(\int_Y\mathds{1}_D(x,y)\frac1x\lvert\cos(xy)\rvert
|
|
\,dy\right)dx \\
|
|
&\int^\infty_1\left(\int^\frac1x_0 \frac1x\lvert\cos(xy)\rvert
|
|
\,dy\right)dx \\
|
|
&\leq \int^\infty_1\left(\int^\frac1x_0 \frac1x\,dy\right)dx \\
|
|
&=\int^\infty_1\frac1{x^2}\,dx = 1<\infty
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist \(\lvert f\rvert\) integrierbar und dann nach \ref{Satz 4.9}
|
|
auch $f$, also \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_D f\,d(x,y)
|
|
&= \int_X\left(\int_Y\mathds{1}_D(x,y)\frac1x\cos(xy)\,dy\right)
|
|
dx \\
|
|
&\overset{\text{wie oben}}=
|
|
\int^\infty_1\left(\int^\frac1x_0 \frac1x\cos(xy)\,dy\right)dx\\
|
|
&= \left. \int^\infty_1\left(\frac1x\cdot\frac1x\sin(xy)
|
|
\right\rvert^{y=\frac1x}_{y=0}\right)dx \\
|
|
&= \int^\infty_1\frac1{x^2}\sin(1)\,dx \\
|
|
&= \sin(1)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\textbf{Vorbemerkung: } Sei \(x>0\). Für \(b>0\) gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
\int^b_0 e^{-xy}\,dy = \left. -\frac1x e^{-xy}\right\rvert^b_0
|
|
=-\frac1x e^{-xb}+\frac1x
|
|
\overset{b\to\infty}\longrightarrow\frac1x
|
|
\end{align*}
|
|
und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[(4)]
|
|
Sei
|
|
\[g:=
|
|
\begin{cases}
|
|
\frac{\sin x}{x} &\text{, falls } x>0 \\
|
|
1 &\text{, falls } x=0
|
|
\end{cases}\]
|
|
$g$ ist stetig auf \([0,\infty)\). Aus Analysis 1 ist bekannt, dass
|
|
\(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht }
|
|
absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass
|
|
\(g\notin\mathfrak{L}^1\left([0,\infty)\right)\)\\
|
|
\textbf{Behauptung: } \(\int^\infty_0 g(x)\,dx = \frac\pi{2}\)\\
|
|
\textbf{Beweis: } Setze \(X:=[0,R]\) mit \(R>0\), \(Y:=[0,\infty)\) und
|
|
\(D:=X\times Y\), sowie
|
|
\[f(x,y):= e^{-xy}\sin x \text{ für } (x,y)\in D\]
|
|
Es ist \(D\in\fb_2\) und $f$ stetig, also messbar. Es ist weiter
|
|
\(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) (warum?) und
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_D f(x,y)\,d(x,y)
|
|
&\overset{\ref{Satz 10.3}}=
|
|
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,dy\right)dx \\
|
|
&=\int_0^R\left(\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\,dy\right)dx\\
|
|
&=\int^R_0\sin x\left(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy\right)dx\\
|
|
&\overset{\text{Vorbemerkung}}=
|
|
\int^R_0\frac{\sin x}{x}\,dx =:I_R
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
I_R
|
|
&\overset{\ref{Satz 10.3}}=
|
|
\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,dx\right)dy
|
|
=\int^\infty_0\underbrace{
|
|
\left(\int^R_0 e^{-xy}\sin x\,dx\right)}_{=:\varphi(y)}dy
|
|
\end{align*}
|
|
Zweimalige partielle Integration liefert (nachrechnen!):
|
|
\[\varphi(y)=\frac1{1+y^2}-\frac1{1+y^2}e^{-yR}(y\sin R+\cos R)\]
|
|
Damit gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
I_R=
|
|
\int^\infty_0 \frac{dy}{1+y^2}
|
|
-\int^\infty_0\frac1{1+y^2}e^{-yR}(y\sin R+\cos R)\,dy
|
|
\end{align*}
|
|
Aus Analysis 1 ist bekannt, dass das erste Integral gegen
|
|
\(\frac{\pi}2\) konvergiert und das zweite Integral setzen
|
|
wir gleich \(\tilde I_R\).\\
|
|
Es gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
\lvert\tilde I_R\rvert
|
|
&\leq \int^\infty_0\frac1{1+y^2}e^{-yR}
|
|
(y\lvert\sin R\rvert + \lvert\cos R\rvert)\,dy \\
|
|
&\leq \int^\infty_0\frac{y+1}{y^2+1} e^{-yR}\,dy\\
|
|
&\leq 2\int^\infty_0 e^{-yR}\,dy \\
|
|
&\overset{\text{Vorbemerkung}}=\frac2R
|
|
\end{align*}
|
|
Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt
|
|
die Behauptung durch
|
|
\[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Der Transformationssatz (Substitutionsregel)}
|
|
\label{Kapitel 11}
|
|
|
|
Die Sätze in diesem Paragraphen geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien
|
|
\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Diffeomorphismus}
|
|
Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt
|
|
\textbf{Diffeomorphismus} genau dann wenn \(\Phi\in C^1(X,\mdr^d)\), \(\Phi\)
|
|
ist bijektiv und \(\Phi^{-1}\in C^{1}(Y,\mdr^d)\).\\
|
|
Es gilt \[x=\Phi^{-1}(\Phi(x))\text{ für jedes } x\in X\]
|
|
Kettenregel: \[I=\left(\Phi^{-1}\right)^\prime(\Phi(x))\cdot\Phi^\prime(x)
|
|
\text{ für jedes } x\in X\] Das heißt \(\Phi^\prime(x)\) ist invertierbar für
|
|
alle \(x\in X\) und somit ist \(\det\left(\Phi^\prime(x)\right)\neq 0\)
|
|
für alle \(x\in X\).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Transformationssatz (Version I)]
|
|
\label{Satz 11.1}
|
|
\(\Phi\colon X\to Y\) sei ein Diffeomorphismus.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(f\colon Y\to[0,+\infty]\) sei messbar und für \(x\in X\) sei
|
|
\(g(x):=f\left(\Phi(x)\right)\cdot\lvert\det\Phi^\prime(x)\rvert\).\\
|
|
Dann ist \(g\) messbar und es gilt:
|
|
\begin{align*}\tag{$*$} \int_Yf(y)\,dy=\int_Xg(x)\,dx=\int_Xf\left(\Phi(x)\right)
|
|
\cdot\lvert\det\Phi^\prime(x)\rvert\,dx\end{align*}
|
|
\item \(f\colon Y\to\imdr\) sei integrierbar und $g$ sei definiert wie in (1).
|
|
Dann ist $g$ integrierbar und es gilt die Formel \((\ast)\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{erinnerung}
|
|
\index{Inneres}
|
|
Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r(x)>0
|
|
\text{ mit } U_r(x)\subseteq A\}\) das \textbf{Innere} von $A$. $A^\circ$ ist offen!
|
|
\end{erinnerung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und
|
|
\(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt
|
|
\[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\]
|
|
Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[Transformationssatz (Version II)]
|
|
\label{Satz 11.2}
|
|
Es sei $\emptyset \neq U \subseteq \MdR^d$ offen, $\Phi \in C^1(U, \MdR^d)$, $A \subseteq U$, $A \in \fb_d$,
|
|
$X := A^{\circ}$ und $A \setminus A^{\circ}$ eine Nullmenge.
|
|
Weiter sei $\Phi$ injektiv auf $X$, $\det\Phi' \neq 0$ für alle $x \in X$, $B:=\Phi(A) \in \fb_d$ und
|
|
$g(x) = f(\Phi(x)) \cdot \lvert\det\Phi'(x)\rvert$ für $x \in A$.
|
|
%% BILD: von Phi und Mengen
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $Y := \Phi(X)$ ist offen und $\Phi: X\to Y$ ist ein Diffeomorphismus.
|
|
\item Ist $f\colon B \to [0, \infty]$ messbar, so ist $g\colon A \to [0, \infty]$ messbar und
|
|
\[ \int_B f(y) \, dy = \int_A g(x) \, dx= \int_A f(\Phi(x)) \cdot\lvert\det(\Phi'(x))\rvert \, dx \qquad (\ast\ast)\]
|
|
\item Ist $f\colon B \to \imdr$ messbar, so gilt:\\
|
|
\[ f \in \fl^{1}(B) \gdw g \in \fl^{1}(A) \]
|
|
Ist $f \in \fl^{1}(B)$ so gilt $(\ast\ast)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{folgerungen}
|
|
\label{Folgerung 11.3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $T\colon \MdR^d \to \MdR^d$ linear und $\det T \neq 0$. Weiter sei $A \in \fb_d$ und $v \in \MdR^d$.
|
|
Dann ist $T(A) \in \fb_d$ und es gilt:
|
|
\[\lambda_d(T(A)+v) = \lvert\det T\rvert \cdot\lambda_d(A)\]
|
|
\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$.
|
|
Dann ist $\Phi(A) \in \fb_d$ und es gilt:
|
|
\[\lambda_d(\Phi(A)) = \int_A |\det \Phi'(X)| \, dx\]
|
|
\item Sei $F \in C^1(X, \MdR^d)$ und $N \subseteq X$ eine Nullmenge.
|
|
Dann ist $F(N)$ enthalten in einer Nullmenge.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{folgerungen}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Seien $a,b > 0$ und $T:=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, $\det T = a b > 0$. Definiere:
|
|
\[A:=\{(x,y)\in \MdR^2: x^2 + y^2 \leq 1\}\]
|
|
Dann ist $A \in \fb_2$ und $\lambda_2(A) = \pi$.
|
|
\begin{align*}
|
|
(u,v) \in T(A) &\gdw \exists (x,y)\in A: (u,v) = (a x, b y)\\
|
|
&\gdw \exists (x,y) \in A: (x = \frac{u}{a})\wedge (y = \frac{v}{b})\\
|
|
&\gdw \frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} \leq 1
|
|
\end{align*}
|
|
%% BILD: einer Ellipse
|
|
Aus \ref{Folgerung 11.3} folgt $T(A) \in \fb_2$ und $\lambda(T(A)) = a b \pi$.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\setcounter{section}{3}
|
|
\section{Polarkoordinaten}
|
|
\index{Polarkoordinaten}
|
|
%% BILD: von PK neben Formeln
|
|
%% Tabellarisches Layout?
|
|
Jeder Vektor im $\mdr^2$ lässt sich nicht nur durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen $(x,y)$, sondern auch eindeutig durch seine Länge $r$ und den (kleinsten positiven) Winkel $\varphi$ zur $x$-Achse darstellen. Diese Darstellung $(r,\varphi)$ heißen die \textbf{Polarkoordinaten} des Vektors. Dabei gilt:
|
|
\[r = \|(x,y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
|
|
und
|
|
\[\begin{cases}
|
|
x = r \cos(\varphi)\\
|
|
y = r \sin(\varphi)
|
|
\end{cases}\]
|
|
Definiere nun für $(r,\varphi) \in [0,\infty)\times[0,2\pi]$:
|
|
\[\Phi(r,\varphi) := (r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))\]
|
|
Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt:
|
|
\[\Phi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix}
|
|
\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\
|
|
\sin(\varphi) & r \cos(\varphi)
|
|
\end{pmatrix}\]
|
|
d.h. falls $r > 0$ ist gilt:
|
|
\[\det\Phi'(r,\varphi) = r \cos^2(\varphi) + r \sin^2(\varphi) = r > 0\]
|
|
|
|
|
|
\begin{bemerkung}[Faustregel für Polarkoordinaten]
|
|
Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y) d(x,y)$ zu berechnen, so lässt sich oft eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist.
|
|
%% BILD: Kreissektor <=> Rechteck
|
|
Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann:
|
|
\[\int_B f(x,y) \text{ d}(x,y) = \int_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere
|
|
\[B := \{(x,y) \in \MdR^2 : \rho^2 \le x^2 + y^2 \le R^2\} \]
|
|
Dann gilt:
|
|
%% BILD: der Kreisfläche und Trafo
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\
|
|
&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\
|
|
&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_{\rho}^{R} \left( \int_0^{2\pi} r \text{ d}\varphi \right) \text{ d}r\\
|
|
&= \left[ 2\pi \frac{1}{2} r^2 \right]_\rho^R\\
|
|
&= \pi (R^2 - \rho^2)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Definiere
|
|
\[B := \{ (x,y) \in \MdR^2 : x^2 + y^2 \le 1, y \ge 0 \}\]
|
|
%% BILD: der (Halb)Kreisfläche und Trafo
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_B y \sqrt{x^2+y^2} \text{ d}(x,y) &= \int_A r \sin(\varphi) r \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\
|
|
&= \int_A r^3 \sin\varphi \text{ d}(r,\varphi) \\
|
|
&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_0^\pi \left( \int_0^1 r^3 \sin\varphi \text{ d}r \right) \text{ d}\varphi\\
|
|
&= \frac{1}{4} \int_0^\pi \sin\varphi \text{ d}\varphi\\
|
|
&= \left[ \frac{1}{4}(-\cos\varphi) \right]_0^\pi\\
|
|
&= \frac{1}{4}(1+1) = \frac{1}{2}
|
|
\end{align*}
|
|
\item \textbf{Behauptung:} \[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\]
|
|
\textbf{Beweis:}
|
|
%% BILD: Bilder von Kreis und Rechtecktrafos/näherungen
|
|
Für $\rho > 0$ sei
|
|
\[B_\rho := \{(x,y) \in \MdR^2 \mid x,y\ge 0, x^2+ y^2 \le \rho^2\}\]
|
|
Weiterhin sei $Q_\rho := [0,\rho] \times [0,\frac{\pi}2]$ und $f(x,y) = e^{-(x^2 + y^2)}$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{ B_\rho } f(x,y) \text{ d}(x,y) &= \int_{Q_\rho} e^{-r^2} r\text{ d}(r,\varphi)\\
|
|
&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_0^\rho r e^{-r^2} \text{ d}r \right) \text{ d}\varphi \\
|
|
&= \frac{\pi}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{\rho}\\
|
|
&= \frac{\pi}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{-\rho^2} +\frac{1}{2} \right) \\
|
|
& =: h(\rho) \stackrel{\rho \to \infty}\to \frac\pi4
|
|
\end{align*}
|
|
Außerdem gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{Q_\rho} f(x,y) \text{ d}(x,y) &= \int_{Q_\rho} e^{-x^2} e^{-y^2}\text{ d}(x,y) \\
|
|
&= \int_0^\rho \left( \int_0^\rho e^{-x^2} e^{-y^2} \text{ d}y \right) \text{ d}x \\
|
|
&= \left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Wegen $ B_\rho \subseteq Q_\rho \subseteq B_{\sqrt{2} \rho} $ und $f \ge 0$ folgt:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{cccccc}
|
|
&$\int_{B_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$\int_{Q_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$\int_{B_{\sqrt{2} \rho}} f \text{ d}(x,y)$\\
|
|
$\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\int_{Q_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$h(\sqrt{2} \rho)$ \\
|
|
$\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2$ &$\le$ &$h(\sqrt{2} \rho)$ \\
|
|
$\implies$ &$\sqrt{h(\rho)}$ &$\le$ &$\int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x$ &$\le$ &$\sqrt{h(\sqrt{2} \rho)}$\\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus
|
|
\[\int_0^\infty e^{-x^2} \text{ d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
|
|
und damit die Behauptung.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\section{Zylinderkoordinaten}
|
|
\index{Zylinderkoordinaten}
|
|
Definiere für $(r,\varphi,z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi]\times\mdr$:
|
|
\[\Phi(r,\varphi,z):=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),z)\]
|
|
Dann gilt:
|
|
\[|\det\Phi'(r,\varphi,z)|=\left|\det
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
\cos(\varphi)&-r\sin(\varphi)&0\\
|
|
\sin(\varphi)&r\cos(\varphi)&0\\
|
|
0&0&1\end{pmatrix}\right|=r
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{bemerkung}[Faustregel für Zylinderkoordinaten]
|
|
Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y,z) d(x,y,z)$ zu berechnen, so lässt sich eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist.
|
|
Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann:
|
|
\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, z) \cdot r \text{ d}(r,\varphi,z)\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Definiere
|
|
\[B:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0,z\in[0,1]\}\]
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_B z+y\sqrt{x^2+y^2}\text{ d}(x,y,z)&=\int_A(z+r\sin(\varphi)\cdot r)\cdot r\text{ d}(r,\varphi,z)\\
|
|
&=\int_A rz+r^3\sin(\varphi)\text{ d}(r,\varphi,z)\\
|
|
&=\int_0^1(\int_0^{\frac\pi 2}(\int_0^1 rz+r^3\sin(\varphi)\text{ d}r)\text{ d}\varphi)\text{ d}z\\
|
|
&=(\int_0^1 r\text{ d}r)\cdot(\int_0^1 z\text{ d}z)\cdot(\int_0^{\frac\pi 2} \text{ d}\varphi)+ (\int_0^1 r^3\text{ d}r)\cdot(\int_0^{\frac\pi 2} \sin(\varphi)\text{ d}\varphi)\cdot(\int_0^1 \text{ d}z)\\
|
|
&= \frac\pi 8+\frac14
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\section{Kugelkoordinaten}
|
|
\index{Kugelkoordinaten}
|
|
Definiere für $(r,\varphi,\theta)\in [0,\infty)\times[0,2\pi]\times[0,\pi]$:
|
|
\[\Phi(r,\varphi,\theta):=(r\cos(\varphi)\sin(\theta),r\sin(\varphi)\sin(\theta),r\cos(\theta))\]
|
|
Dann gilt (nachrechnen!):
|
|
\[\det\Phi'(r,\varphi,\theta)= -r^2\sin(\theta)\]
|
|
|
|
\begin{bemerkung}[Faustregel für Kugelkoordinaten]
|
|
Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y,z) d(x,y,z)$ zu berechnen, so lässt sich eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist.
|
|
Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann:
|
|
\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A f(r\cos(\varphi)\sin(\theta),r\sin(\varphi)\sin(\theta),r\cos(\theta)) \cdot r^2\sin(\theta) \text{ d}(r,\varphi,\theta)\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Definiere
|
|
\[B:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid 1\le \|(x,y,z)\|\le 2, x,y,z\ge 0\}\]
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_B \frac1{x^2+y^2+z^2}\text{ d}(x,y,z)&=\int_A \frac1{r^2}\cdot r^2\cdot\sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\
|
|
&=\int_A \sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\
|
|
&=\frac\pi2
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beispiel}[Zugabe von Herrn Dr. Ullmann]
|
|
Wir wollen das Kugelvolumen $\lambda_3(K)$ mit $K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid\|(x,y,z)\|\le 1\}$ berechnen. Dann ist $K=\Phi(A)$ mit $A:= [0,1]\times[0,2\pi]\times [0,\pi]$. Und es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lambda_3(K)&=\int_K 1\text{ d}(x,y,z)\\
|
|
&=\int_A r^2\sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\
|
|
&=\int_0^1(\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi r^2\sin(\theta) \text{ d}\theta)\text{ d}\varphi)\text{ d}r\\
|
|
&=(\int_0^1 r^2 \text{ d}r)\cdot(\int_0^{2\pi} \text{ d}\varphi)\cdot(\int_0^\pi \sin(\theta) \text{ d}\theta)\\
|
|
&=\frac{4\pi}3
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Vorbereitungen für die Integralsätze}
|
|
\label{Kapitel 12}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Kreuzprodukt}
|
|
Seien $a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)\in\mdr^3$. Dann heißt
|
|
\[a\times b:=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\]
|
|
das \textbf{Kreuzprodukt} von $a$ mit $b$.
|
|
Mit $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$ gilt formal:
|
|
\[a\times b = \det\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}e_1&a_1&b_1\\e_2&a_2&b_2\\e_3&a_3&b_3\end{pmatrix}\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $a=(1,1,2), b=(1,1,0)$, dann gilt:
|
|
\[a\times b= \det \begin{pmatrix}e_1&1&1\\e_2&1&1\\e_3&2&0\end{pmatrix}=-2e_1-(-2)e_2+(1-1)e_3=(-2,2,0)\]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\textbf{Regeln zum Kreuzprodukt:}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $b\times a= -a\times b$
|
|
\item $a\times a=0$
|
|
\item $(\alpha a)\times(\beta b)=\alpha\beta(a\times b)$ für $\alpha,\beta\in\mdr$
|
|
\item $a\cdot(a\times b)=b\cdot(a\times b)=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Divergenz}
|
|
Sei $\emptyset\ne D\subseteq\mdr^n$, $D$ offen und $f=(f_1,\ldots,f_n)\in C^1(D,\mdr^n)$. Dann heißt
|
|
\[\divv f:=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\in C(D,\mdr)\]
|
|
die \textbf{Divergenz} von $f$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Rotation}
|
|
Sei $\emptyset\ne D\subseteq\mdr^3$, $D$ offen und $F=(P,Q,R)\in C^1(D,\mdr^3)$. Dann heißt:
|
|
\[\rot F:=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)\in C(D,\mdr^3)\]
|
|
die \textbf{Rotation} von $F$.
|
|
Dabei gilt formal:
|
|
\[\rot F=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\times(P,Q,R)\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Tangentialvektor}
|
|
Sei $\gamma:[a,b]\to\mdr^n$ ein Weg. Ist $\gamma$ in $t_0\in[a,b]$ differenzierbar mit $\gamma'(t_0)\ne 0$, so heißt $\gamma'(t_0)\in\mdr^n$ \textbf{Tangentialvektor} von $\gamma$ in $t_0$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\chapter{Der Integralsatz von Gauß im $\MdR^2$}
|
|
\label{Kapitel 13}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei $R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{ } (t\in[0,2\pi])
|
|
\end{displaymath}
|
|
Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei
|
|
\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\]
|
|
Dann ist $B$ kompakt, also $B\in\fb_2 $. Weiter ist $\partial B = \gamma([0,2\pi]) = \Gamma_\gamma$.\\
|
|
Sind $B$ und $\gamma$ wie oben, so heißt $B$ \begriff{zulässig}.
|
|
\index{zulässig}
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $R$ konstant, also $R(t) = R > 0$, so ist $B = \overline{U_R(x_0,y_0)}$
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}[Integralsatz von Gauß im $\MdR^2$]
|
|
\label{Satz 13.1}
|
|
$B$ und $\gamma$ seien wie oben ($B$ also zulässig). Weiter sei $D\subseteq \MdR^2$ offen, $B\subseteq D$ und $f = (u,v) \in C^1(D,\MdR^2)$. Dann
|
|
\begin{liste}
|
|
\item $\int_B u_x(x,y)d(x,y) = \int_{\gamma} u(x,y) d(y)$
|
|
\item $\int_B v_y(x,y)d(x,y) = -\int_{\gamma} v(x,y) d(x)$
|
|
\item $\int_B \divv f(x,y)d(x,y) = \int_{\gamma} (udy - vdx)$
|
|
\end{liste}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
Mit $f(x,y) := (x,y)$ erhält man aus \ref{Satz 13.1}: Sind $B$ und $\gamma$ wie in \ref{Satz 13.1}, so gilt:
|
|
\begin{liste}
|
|
\item $\lambda_2(B) = \int_\gamma xdy$
|
|
\item $\lambda_2(B) = -\int_\gamma ydx$
|
|
\item $\lambda_2(B) = \frac12\int_\gamma (xdy - ydx)$
|
|
\end{liste}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Definiere
|
|
\[B:= \{(x,y)\in\MdR^2:x^2+y^2 \le R^2\}\quad (R>0)\]
|
|
und $\gamma(t) = (R\cos t,R\sin t)$, für $t\in[0,2\pi]$, dann gilt:
|
|
\[\lambda_2(B) = \int_0^{2\pi} R\cos t\cdot R\cos t \text{ d}t = R^2\int_0^{2\pi} \cos^2t \text{ d}t = \pi R^2\]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Wir beweisen nur (1). ((2) beweist man analog und (3) folgt aus (1) und (2))\\
|
|
O.B.d.A: $(x_0,y_0) = (0,0)$ und $R$ stetig db. Also $\gamma = (\gamma_1,\gamma_2)$, $\gamma (t) = (\underbrace{R(t)\cos t}_{= \gamma_1(t)},\underbrace{R(t)\sin t)}_{=\gamma_2(t)}$. $R$ stetig differenzierbar. $A:= \int_B u_x(x,y)d(x,y)$\\
|
|
Zu zeigen: $A=\int_0^{2\pi} u(\gamma (t))\cdot \gamma_2'(t) dt$.\\
|
|
Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini:
|
|
\begin{displaymath}
|
|
A = \int_0^{2\pi }(\int_0^{R(t)} u_x(r\cos t,r\sin t)r dr) dt
|
|
\end{displaymath}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also:
|
|
\begin{displaymath}
|
|
A = \int_0^{2\pi} (\int_0^{R(t)} (r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t) dr)dt
|
|
\end{displaymath}
|
|
\item $\int_0^{R(t)} r\beta_r(r,t) dr = r\beta(r,t)\vert_{r=0}^{r=R(t)} - \underbrace{\int_0^{R(t)} \beta(r,t) dr}_{=:\alpha(t)} = R(t)\beta(R(t),t) - \alpha(t) = R(t)u(\gamma(t)) -\alpha(t)$
|
|
\item $\Psi(s,t) := \int_0^s \beta(r,t)dr$. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: $\Psi_s(s,t) = \beta(s,t)$ \\ 7.3 \folgt $\Psi_t(s,t) = \int_0^s \beta_t(r,t) dr$.\\
|
|
Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\alpha'(t) = \Psi_s(R(t),t)\cdot R'(t) + \Psi_t(R(t),t)\cdot 1 = R'(t)\underbrace{\beta(R(t),t)}_{=u(\gamma(t))} + \int_0^{R(t)} \beta_t(r,t) dr
|
|
\end{displaymath}
|
|
\folgt $\int_0^{R(t)}\beta_t(r,t)dr = \alpha'(t) - R'(t)\cdot u(\gamma(t))$.
|
|
\item Aus (1),(2),(3) folgt: \\
|
|
\begin{align*}
|
|
A &= \int_0^{2\pi} (R(t)\cdot u(\gamma(t))\cdot \cos t - \alpha(t)\cos t - \alpha'(t)\sin t + R'(t)\cdot u(\gamma(t))\sin t) dt\\ &= \int_0^{2\pi}u(\gamma(t))\gamma_2'(t)dt - \int_0^{2\pi} (\alpha(t)\sin t)' dt\\ &= \int_0^{2\pi} u(\gamma(t))\gamma_2'(t)dt - \underbrace{[\alpha(t)\sin t]_0^{2\pi}}_{=0}\\ &= \int_0^{2\pi} u(\gamma(t))\gamma_2'(t) dt
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Flächen im $\MdR^3$}
|
|
\label{Kapitel 14}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Fläche}
|
|
\index{Flächenstück}
|
|
\index{Parameterbereich}
|
|
\index{Normalenvektor}
|
|
\index{Flächeninhalt}
|
|
Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\
|
|
\frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\
|
|
\frac{\partial \varphi_3}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_3}{\partial v}\\
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{displaymath}
|
|
Sei $(u_0,v_0)\in B$ und
|
|
\begin{align*}
|
|
\gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\
|
|
\tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0)
|
|
\end{align*}
|
|
Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$:
|
|
\[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\]
|
|
Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$.
|
|
\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\]
|
|
Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$.
|
|
\begin{displaymath}
|
|
I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v)
|
|
\end{displaymath}
|
|
heißt deshalb \textbf{Flächeninhalt} von $\varphi$
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
$B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\
|
|
$\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\
|
|
Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\
|
|
Damit gilt:
|
|
\[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\section{Explizite Parameterdarstellung}
|
|
Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze
|
|
\[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\]
|
|
Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung).
|
|
% hier Graphik einfuegen
|
|
Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\).
|
|
|
|
\[
|
|
\varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)}
|
|
\]
|
|
Damit gilt:
|
|
\[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\]
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \(D=\mdr^{2},\,B:=\{(u,v)\in\mdr^{2}\mid u^{2}+v^{2}\leq 1\}\) und
|
|
\[f(u,v):=u^{2}+v^{2}\]
|
|
Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also ist \(S=\varphi(B)\) ein Paraboloid.
|
|
\[I(\varphi)=\int_{B}{(4u^{2}+4v^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\overset{\text{PK}}{=}\frac{\pi}{6}\left(\sqrt{5}^{3}-1\right)\quad \text{(Nachrechnen!)}\]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\chapter{Integralsatz von Stokes}
|
|
\label{Kapitel 15}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
|
|
und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das hei\ss t: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
|
|
Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\)
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Oberflächenintegral}
|
|
Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann:
|
|
\[
|
|
\int_{\varphi}{f\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{f(\varphi(u,v))\lVert N(u,v)\rVert\mathrm{d}(u,v)}
|
|
\]
|
|
\item Sei \(F:\,S\to\mdr^{3}\) stetig. Dann:
|
|
\[
|
|
\int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)\mathrm{d}(u,v)}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Seien \(D,\,B,\,f,\,\varphi\) wie im letzten Beispiel in Kapitel 14. % Paragraphenzeichen!?
|
|
|
|
Sei \(F(x,y,z):=(x,y,z)\); bekannt: \(N(u,v)=(-2u,-2v,1)\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)&=F(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot(-2u,-2v,1)\\
|
|
&=(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot (-2u,-2v,1)\\
|
|
&=-(u^{2}+v^{2})
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Also:
|
|
\[
|
|
\int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=-\int_{B}{(u^{2}+v^{2})\mathrm{d}(u,v)}=-\frac{\pi}{2}
|
|
\]
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}[Integralsatz von Stokes]
|
|
\label{Satz 15.1}
|
|
Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Paragraphen
|
|
13 ist. Es sei \(\varphi\in C^{2}(D,\mdr^{3})\). Weiter sei \(G\subseteq\mdr^{3}\) offen, \(S\subseteq G\) und \(F=(F_{1},F_{2},F_{3})\in C^{1}(G,\mdr^{3})\). Dann:
|
|
\[
|
|
\underbrace{\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}}_{\text{Oberflächenint.}}=
|
|
\underbrace{\int_{\varphi\circ\gamma}{F(x,y,z)\cdot\mathrm{d}(x,y,z)}}_{\text{Wegint.}}
|
|
\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\(D,\,B,\,f,\,F\) und \(\varphi\) seien wie in obigem Beispiel.
|
|
% Bild einfuegen...
|
|
Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\).
|
|
Dann: \((\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(\cos t, \sin t)=(\cos t, \sin t, 1)\quad(t\in [0,2\pi])\).
|
|
|
|
Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\)
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\varphi\circ\gamma}{F(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}&=
|
|
\int_{0}^{2\pi}{F((\varphi\circ\gamma)(t))\cdot(\varphi\circ\gamma)'(t)\mathrm{d}t}\\
|
|
&=\int_{0}^{2\pi}{F(\cos t,\sin t, 1)\cdot (-\sin t,\cos t,0)\mathrm{d}t}\\
|
|
&=\int_{0}^{2\pi}{\underbrace{(\cos t,\sin t,1)\cdot (-\sin t,\cos t,0)}_{=0}\mathrm{d}t}\\
|
|
&=0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also
|
|
\(\varphi_{j}=\varphi_{j}\circ\gamma\quad(j=1,2,3)\).
|
|
|
|
Zu zeigen:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}
|
|
&=\int_{\varphi}{F(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}\\
|
|
&=\int_{0}^{2\pi}{F(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm{d}t}\\
|
|
&=\int_{0}^{2\pi}{\left(\sum_{j=1}^{3}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)}\right)\mathrm{d}t}\\
|
|
&=\sum_{j=1}^{3}{\int_{0}^{2\pi}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)\mathrm{d}t}}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Es ist \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=\int_{B}{\underbrace{(\rot F)(\varphi(x,y))\cdot(\varphi_{x}(x,y)\times\varphi_{y}(x,y))}_{=:g(x,y)}\mathrm{d}(x,y)}\).
|
|
Für \(j=1,2,3\):
|
|
\[
|
|
h_{j}(x,y):=\left(\underbrace{F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial y}(x,y)}_{=:u_{j}(x,y)},\underbrace{-F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial x}(x,y)}_{=:v_{j}(x,y)}\right)\quad((x,y)\in D)
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
\(h_{j}=(u_{j},v_{j});\quad F\in C^{1},\,\varphi\in C^{2}\), damit folgt: \(h_{j}\in C^{1}\)
|
|
|
|
Nachrechnen: \(g=\mathrm{div} h_{1}+\mathrm{div} h_{2}+\mathrm{div} h_{3}\)
|
|
|
|
Damit:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{B}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}
|
|
&=\sum_{j=1}^{3}{\int_{B}{\mathrm{div}\,h_{j}(x,y)\mathrm{d}(x,y)}}\\
|
|
&=\sum_{j=1}^{3}{\int_{\gamma}{(u_{j}\mathrm{d}y-v_{j}\mathrm{d}x)}}\\
|
|
&=\int_{0}^{2\pi}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)\mathrm{d}t}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{$\fl^{p}$-Räume und $\mathrm{L}^{p}$-Räume}
|
|
\label{Kapitel 16}
|
|
|
|
Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei \(p\in[1,+\infty]\).
|
|
\[
|
|
p':=\begin{cases}
|
|
\infty&,\,p=1\\
|
|
1&,\,p=\infty\\
|
|
\frac{p}{p-1}&,\,1<p<\infty
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Dann gilt: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\) und \(p=p'\Leftrightarrow p=2\).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{hilfssatz}
|
|
Seien \(x,y\geq 0,\,p\in(1,\infty)\), dann gilt: \(xy\leq\frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{p'}}{p'}\)
|
|
\end{hilfssatz}
|
|
\begin{beweis}
|
|
Für \(t>0:\,f(t):=\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}-t^{\frac{1}{p}}\)
|
|
|
|
Übung: \(\min\{f(t)\mid t>0\}=f(1)=0\)
|
|
|
|
D.h.: \(t^{\frac{1}{p}}\leq\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}\quad\forall t>0\)
|
|
|
|
Seien \(u,v>0,\,t:=\frac{u}{v}\). Dann: \(\frac{u^{\frac{1}{p}}}{v^{\frac{1}{p}}}\leq\frac{u}{vp}+\frac{1}{p'}\). Daraus folgt
|
|
\(u^{\frac{1}{p}}v^{1-\frac{1}{p}}\leq\frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\implies u^{\frac{1}{p}}v^{\frac{1}{p'}}\leq \frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\)
|
|
|
|
Seien \(x,y>0:\,u:=x^{p},\,v:=y^{p'}\). Dann: \(xy\leq\frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{p'}}{p'}\).
|
|
|
|
Im Falle \(x=0\) oder \(y=\infty\) ist die Ungleichung trivialerweise richtig.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{erinnerung}
|
|
Sei \(f:\,X\to\mdr\) messbar und \(p>0\), so ist \(\lvert f\rvert^{p}\) messbar (vgl. Kapitel 3).
|
|
|
|
Es gilt: \(\lvert f\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\Leftrightarrow \int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}<\infty\)
|
|
\end{erinnerung}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(p\in[1,\infty)\). \(\fl^{p}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f \text{ ist messbar und }\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x<\infty}\}\).
|
|
|
|
Für \(f\in\fl^{p}(X)\): \(\lVert f\rVert_{p}=\left(\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p}}\)
|
|
\item \(\fl^{\infty}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und }f\text{ ist f.ü. beschränkt}\}\)
|
|
|
|
Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert=\inf\{c>0\mid \exists\text{Nullmenge }N_{c}\subseteq X: \lvert f(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\}\)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
|
|
\end{bemerkung}
|
|
\begin{beweis}
|
|
Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\)
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\]
|
|
konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\)
|
|
\item
|
|
\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\]
|
|
konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 16.1}
|
|
Sei \(p\in[1,\infty]\) und \(p'\) wie zu Anfang dieses Kapitels, also \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(g\in\fl^{p'}(X)\).
|
|
\index{Ungleichung!Hölder}
|
|
Dann ist \(fg\in\fl^{1}(X)\) und es gilt die \textbf{Höldersche Ungleichung}:
|
|
\[
|
|
\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'}
|
|
\]
|
|
|
|
\index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz}
|
|
Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so hei\ss t obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}.
|
|
\item \(\fl^{p}(X)\) ist ein reeller Vektorraum und für \(f,g\in\fl^{p}(X)\) gilt die \textbf{Minkowskische Ungleichung}:
|
|
\index{Ungleichung!Minkowski}
|
|
\[
|
|
\lVert f+g\rVert_{p}\leq\lVert f\rVert_{p}+\lVert g\rVert_{p}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Unterscheide die folgenden Fälle:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\).
|
|
|
|
Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\).
|
|
\(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\)
|
|
|
|
Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall,
|
|
bzw. \(\lvert fg\rvert=\lvert f\tilde{g}\rvert\) fast überall.
|
|
|
|
Dann:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty
|
|
\]
|
|
Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\)
|
|
liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\)
|
|
\item[Fall 2:] Sei \(1<p<\infty\). Ist \(\lVert f\rVert_{p}=0\) oder \(\lVert g\rVert_{p'}=0\), so ist \(f=0\) fast überall
|
|
oder \(g=0\) fast überall. Daraus folgt: \(\lvert fg\rvert=0\) fast überall.
|
|
Mit \ref{Satz 5.2} folgt: \(\int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=0\). Daraus folgen die Behauptungen.
|
|
|
|
|
|
Sei \(\lVert f\rVert_{p}>0\) und \(\lVert g\rVert_{p'}>0\).
|
|
|
|
Aus obigem Hilfssatz:
|
|
\[
|
|
\frac{\lvert f(x)\rvert}{\lVert f\rVert_{p}}\cdot\frac{\lvert g(x)\rvert}{\lVert g\rVert_{p'}}\leq\frac{1}{p}\frac{\lvert f(x)\rvert^{p}}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}+\frac{1}{p'}\frac{\lvert g(x)\rvert^{p'}}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\quad\forall x\in X
|
|
\]
|
|
Integration liefert:
|
|
\begin{align*}
|
|
\frac{1}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'}}\int_{X}{\lvert f(x)g(x)\rvert\mathrm{d}x}
|
|
&\leq\frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}+
|
|
\frac{1}{p'}\cdot\frac{1}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\int_{X}{\lvert g\rvert^{p'}\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\\
|
|
&=1<\infty
|
|
\end{align*}
|
|
Daraus folgt: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und
|
|
\[
|
|
\frac{\lVert fg\rVert_{1}}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p}}\leq 1\Leftrightarrow \lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p}
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Klar: Ist \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(\alpha\in\mdr\), so ist \(\alpha f\in\fl^{p}(X)\)
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[Fall 1:] \(p=1\): Mit \ref{Satz 4.11} folgt: \(\fl^{1}(X)\) ist ein reeller Vektorraum.
|
|
|
|
Seien \(f,g\in\fl^{1}(X)\). Dann: \(\lvert f+g\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert\) auf \(X\). Damit:
|
|
\[
|
|
\int_{X}{\lvert f+g\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}+\int_{X}{\lvert g\rvert\mathrm{d}x}
|
|
\]
|
|
\item[Fall 2:] \(p=\infty\): Seien \(f,\,g\in\fl^{\infty}(X)\). Seien \(c_{1},\,c_{2}>0\) und \(N_{1},\,N_{2}\subseteq X\)
|
|
Nullmengen und \(\lvert f(x)\rvert\leq c_{1}\forall x\in X\setminus N_{1},\,\lvert g(x)\rvert\leq c_{2}\forall x\in X\setminus N_{2}\).
|
|
|
|
\(N=N_{1}\cup N_{2}\) ist eine Nullmenge. Dann: \(\lvert f(x)+g(x)\rvert\leq\lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert\leq c_{1}+c_{2}
|
|
\forall x\in X\setminus N\). Es folgt: \(f+g\in\fl^{\infty}(X)\) und \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq c_{1}+c_{2}\).
|
|
|
|
Übergang zum Infimum über alle solche \(c_{1}\), bzw. \(c_{2}\), liefert: \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq\lVert f\rVert_{\infty}+\lVert g\rVert_{\infty}\).
|
|
\item[Fall 3:] Sei \(1<p<\infty\) und \(f,\,g\in\fl^{p}(X)\). Es ist \(\lvert f+g\rvert^{p}\leq(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)^{p}\leq\left(2\max\{\lvert f\rvert,\,\lvert g\rvert\}\right)^{p}\leq 2^{p}\left(\lvert f\rvert^{p}+\lvert g\rvert^{p}\right)\)
|
|
auf \(X\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\implies f+g\in\fl^{p}(X)\)\\
|
|
|
|
\(p'=\frac{p}{p-1};\,h:=\lvert f+g\rvert^{p-1}\), dann: \(h^{p'}=\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{\frac{p}{p-1}}=\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\). Dann ist \(h\in\fl^{p'}(X)\). Also: \(h\in\fl^{p'}(X),\,f\in\fl^{p}(X)\)
|
|
(und \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\)).
|
|
|
|
Mit der Hölderschen Ungleichung folgt:
|
|
\(\lVert f\cdot f_{1}\rVert\leq\lVert f\rVert_{p}\lVert h\rVert_{p'}\implies\int_{X}{h\lvert f\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert f\rVert_{p}\left(\int_{X}{h^{p'}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p'}}\). Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{X}{\lvert f\rvert\lvert f+g\rvert^{p-1}\mathrm{d}x}
|
|
&\leq\lVert f\rVert_{p}\left(\int_{X}{\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{p'}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p'}}\\
|
|
&=\lVert f\rVert_{p}\left(\lVert f+g\rVert_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p'}}\\
|
|
&=\lVert f\rVert_{p}\lVert f+g\rVert_{p}^{p-1}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Genauso: \(\int_{X}{\lvert g\rvert\lvert f+g\rvert^{p-1}\mathrm{d}x}\leq\lVert g\rVert_{p}\lVert f+g\rVert_{p}^{p+1}\)
|
|
|
|
Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lVert f+g\rVert_{p}^{p}&=\int_{X}{\lvert f+g\rvert^{p}\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\int_{X}{\lvert f+g\rvert\lvert f+g\rvert^{p-1}\mathrm{d}x}\\
|
|
&=\int_{X}{\lvert f\rvert\lvert f+g\rvert^{p-1}\mathrm{d}x}+\int_{X}{\lvert g\rvert\lvert f+g\rvert^{p-1}\mathrm{d}x}\\
|
|
&\leq\left(\lVert f\rVert_{p}+\lVert g\rVert_{p}\right)\lVert f+g\rVert_{p}^{p-1}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Teilen durch \(\lVert f+g\rVert_{p}^{p-1}\) liefert die Minkowski-Ungleichung.
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 16.2}
|
|
Sei $\lambda_d(X)<\infty$, $p,q\ge 1$ und $p\leq q \leq \infty$. Dann ist $\fl^q(X)\subseteq\fl^p(X)$ und es gilt:
|
|
\[\forall f\in\fl^q(X): \|f\|_p\le\lambda_d(X)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $f\in\fl^q(X)$.\\
|
|
\textbf{Fall $p=q$:} Klar.\\
|
|
\textbf{Fall $q=\infty$:} Leichte Übung!\\
|
|
\textbf{Fall $p<q<\infty$:}\\
|
|
Sei $r:=\frac qp>1$, dann ist $\frac 1{r'}=1-\frac pq$. Aus $|f|^{pr}=|f|^q\in\fl^1(X)$ folgt $|f|^p\in\fl^r(X)$. Definiere $g:=\mathds{1}_X$, dann ist $g\in\fl^{r'}(X)$, da $\lambda_d(X)<\infty$. Wegen \ref{Satz 16.1} gilt dann:
|
|
\[g\cdot|f|^p\in\fl^1(X)\implies |f|^p\in\fl^1(X)\implies f\in\fl^p(X)\]
|
|
Aus der Hölderschen Ungleichung folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\|f\|^p_p&=\|g\cdot |f|^p\|_1\\
|
|
&\le \|g\|_{r'}\cdot\||f|^p\|_r\\
|
|
&= (\int_X g^{r'}\text{ d}x)^{\frac 1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{pr}\text{ d}x)^{\frac 1r}\\
|
|
&= \lambda_d(X)^{\frac1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{q}\text{ d}x)^{\frac pq}\\
|
|
&= \lambda_d(X)^{1-\frac pq}\cdot\|f\|^p_q
|
|
\end{align*}
|
|
Also gilt:
|
|
\[\|f\|_p\le\lambda_d(X)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin {beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p<q<\infty$ (also $\frac 1q<\frac1p$) und $f(x):=\frac 1{x^\alpha}$ $(\alpha>0)$. Dann gilt nach
|
|
\ref{Satz 4.14} und Analysis I:
|
|
\begin{align*}
|
|
f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\
|
|
&\iff\alpha p<1\\
|
|
&\iff \alpha<\frac 1p
|
|
\end{align*}
|
|
Sei $\frac 1q<\alpha<\frac 1p$, dann ist $f\in\fl^p(X)$ und $f\not\in\fl^q(X)$. D.h. $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$ und aus \ref{Satz 16.2} folgt $\fl^q(X)\subseteq\fl^p(X)$.
|
|
\item Sei $X:=[1,\infty)$, $p=1$, $q\in(1,\infty)$ und $f(x):=\frac 1x$. Dann gilt nach \ref{Satz 4.14} und Analysis I: $f\not\in\fl^p(X)$ und $f\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^q(X)\not\subseteq\fl^p(X)$.\\
|
|
Definiere $g(x):=\mathds{1}_{[1,2)}\cdot (2-x)^{-\frac 1q}$. Übung: $g\in\fl^p(X)$ und $g\not\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Lebesgue ($\fl^p$-Version)]
|
|
\label{Satz 16.3}
|
|
Sei $1\le p<\infty$, $f:X\to\mdr$ sei messbar, $g:X\to[0,\infty]$ integrierbar und $(f_n)$ eine Folge in $\fl^p(X)$ mit den Eigenschaften:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f_n\to f$ f.ü. auf $X$
|
|
\item $\forall n\in\mdn: |f_n|^p\le g$ f.ü. auf $X$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt
|
|
\[\|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü.
|
|
Im Paragraphen 5 haben wir gesehen, dass dann gilt:
|
|
\[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \]
|
|
(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar).
|
|
Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$.
|
|
|
|
Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.ü. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt:
|
|
\[ f_n - f \in \fl^p(X) \]
|
|
Also $g_n \in \fl^1(X)$.
|
|
Es ist
|
|
\[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.ü.} \]
|
|
Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich:
|
|
\[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
Aus \ref{Satz 16.1} folgt: $\fl^p(X)$ ist ein reeller Vektorraum (VR), wobei für $f,g\in\fl^p(X)$ gilt:
|
|
\[\|\alpha f\|_p=|\alpha|\cdot \|f\|_p\quad (\alpha\in\mdr)\]
|
|
\[\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p\]
|
|
Aber $\|\cdot\|_p$ ist \textbf{keine} Norm auf $\fl^p(X)$! Denn aus $\|f\|_p=0$ folgt nur $f=0$ f.ü.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Es sei $\cn:=\{f:X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und } f=0 \text{ f.ü.}\}$, dann ist $\cn$ ein Untervektorraum von $\fl^p(X)$. Definiere
|
|
\[L^p(X):=\fl^p(X)\diagup\cn=\{\hat f=f+\cn\mid f\in\fl^p(X)\}\]
|
|
Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass $L^p(X)$ durch die Skalarmultiplikation
|
|
\[\alpha\cdot\hat f := \widehat{\alpha f}\]
|
|
und die Addition
|
|
\[\hat f+\hat g:=\widehat{f+g}\]
|
|
zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Setze für $\hat f \in L^1(X)$:
|
|
\[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\]
|
|
dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.ü. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$.
|
|
|
|
Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere
|
|
\[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\]
|
|
wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$.
|
|
|
|
Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze
|
|
\[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\]
|
|
(auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ )
|
|
|
|
\textbf{Dann gilt:}
|
|
\index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz}
|
|
\begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR).
|
|
\item Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt:
|
|
\[ | ( \hat f | \hat g ) | = | \int_X f(x)g(x) \text{ d}x | \leq \int_X |fg| \text{ d}x = \| fg \|_1 \overset{\ref{Satz 16.1}}{\leq} \| f \|_2 \| g \|_2 = \| \hat f \|_2 \| \hat g \|_2 \]
|
|
\textbf{(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\textbf{Nachrechnen:} $( \hat f | \hat g )$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X)$. Es gilt:
|
|
\[ ( \hat f | \hat f) = \int_X f(x)^2 \text{ d}x = \| \hat f \|_2^2 \]
|
|
\textbf{Also:} $\| \hat f \|_2 = \sqrt{( \hat f | \hat f )}$
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Prähilbertraum}
|
|
\index{Hilbertraum}
|
|
Sei $(B, \| \cdot \|)$ ein normierter Raum. Gilt mit einem Skalarprodukt $( \cdot | \cdot )$ auf $B$:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{$*$} \| v \| = \sqrt{(v | v)} \quad \forall v \in B
|
|
\end{align*}
|
|
so hei\ss t $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so hei\ss t $B$ ein \textbf{Hilbertraum}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\textbf{Vereinbarung:} ab jetzt sei stets in diesem Paragraphen $1 \leq p < \infty$.
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\index{Chauchyfolge}
|
|
Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\)
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau
|
|
dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\)
|
|
mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist.
|
|
\item \((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tag{$*$} \| \hat f_n-\hat f_m\|_p =\| f_n-f_m\|_p<\ep\quad\forall n,m\geq n_0
|
|
\end{align*}
|
|
\item Wie in Analysis II zeigt man: gilt \(\| f_n-f\|_p=
|
|
\| \hat f_n-\hat f\|_p\to 0\), so ist \((\hat f_n)\) eine Cauchyfolge
|
|
in \(L^p(X)\).
|
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Riesz-Fischer]
|
|
\label{Satz 16.4}
|
|
\((\hat f_n)\) sei eine Cauchyfolge in \(L^p(X)\), das heißt es gilt \((\ast)\) aus obiger Bemerkung (2).
|
|
Dann existiert ein \(f\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) mit:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(f_{n_j}\to f\) fast überall auf \(X\).
|
|
\item \(\| f_n-f\|_p\to 0 \ \ (n\to\infty)\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
Das heißt \(L^p(X)\) ist ein Banachraum (\(L^2(X)\) ist ein Hilbertraum).
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in \ref{Satz 16.4}. Im Allgmeinen wird \textbf{nicht}
|
|
gelten, dass fast überall \(f_n\to f\) ist.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen:
|
|
\[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right],
|
|
I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \ldots\]
|
|
Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\).
|
|
Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\).
|
|
Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge
|
|
\(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\)
|
|
und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\).
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}]
|
|
Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\).
|
|
Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\)
|
|
für alle \(l\geq n_1\).
|
|
Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und
|
|
\(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\).
|
|
Etc.\\
|
|
Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit
|
|
\[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\]
|
|
Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\).
|
|
Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\]
|
|
Dann:
|
|
\begin{align*}
|
|
S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p
|
|
\leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p
|
|
\overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j
|
|
=\sum^N_{j=1}\frac1{2^j}
|
|
\leq 1
|
|
\end{align*}
|
|
Setze \[g(x):=\sum^\infty_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert \text{ für } x\in X\]
|
|
Es ist \(g\geq0\) und messbar. Weiter gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
0\leq \int_X g^p\,dx
|
|
=\int_X\lim_{N\to\infty}\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right)^p\,dx
|
|
\overset{\ref{Satz 6.2}}\leq \liminf_{N\to\infty}S_N^p
|
|
\leq 1
|
|
\end{align*}
|
|
Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\)
|
|
existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch
|
|
\(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass
|
|
\(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\).
|
|
Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem
|
|
\(x\in X\setminus N_1\) konvergiert.
|
|
|
|
Für \(m\in\mdn\):
|
|
\[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \]
|
|
Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\).
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x):=
|
|
\begin{cases}
|
|
\lim_{m\to\infty}f_{n_m}(x) &, x\in X\setminus N_1 \\
|
|
0 &, x\in N_1
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und
|
|
\(f(X)\subseteq\mdr\).
|
|
Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit
|
|
\[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert +
|
|
\lvert g\rvert\]
|
|
Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir
|
|
\[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \]
|
|
\(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\)
|
|
und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\]
|
|
Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und
|
|
\(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\).
|
|
Für \(l\geq n_m\) gilt:
|
|
\[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p
|
|
\leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p
|
|
\overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\]
|
|
Das heißt
|
|
\[\| f_l-f\|_p\to0 \ (l\to\infty)\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 16.5}
|
|
Sei auch noch \(1\leq q<\infty\). \((f_n)\) sei eine Folge in \(\fl^p(X)\cap\fl^q(X)\). Es sei
|
|
\begin{align*}
|
|
f\in\fl^p(X) & \text{ und } g\in\fl^q(X)
|
|
\intertext{Weiter gelte: }
|
|
\| f_n-f\|_p\to 0 & \text{ und } \| f_n-g\|_q\to 0 \ (n\to\infty)
|
|
\end{align*}
|
|
Dann ist fast überall \(f=g\).
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[\textbf{1.}]
|
|
Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in
|
|
\(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge
|
|
\((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und
|
|
\(\| f_n-\varphi\|_p\to0\)
|
|
\begin{align*}
|
|
\| f-\varphi\|_p
|
|
= \| f-f_n+f_n-\varphi\|_p
|
|
\leq \| f-f_n\|_p + \| f_n-\varphi\|_p
|
|
\to 0\ \ (n\to\infty)
|
|
\end{align*}
|
|
Somit ist \(\| f-\varphi\|_p=0\) und deshalb fast überall \(f=\varphi\).
|
|
Also gilt fast überall \(f_{n_j}\to f\). Das heißt, dass es eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\) gibt,
|
|
für die gilt: \[f_{n_j}(x)\to f(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_1\]
|
|
\item[\textbf{2.}]
|
|
Setze \(g_j:=f_{n_j}\), dann gilt \(\| g_j-g\|_q\to0\ \ (j\to\infty)\). Wie
|
|
im ersten Schritt zeigt man, dass eine Nullmenge \(N_2\subseteq X\) und eine Teilmenge
|
|
\((g_{j_k})\) existiert mit, für die gilt:
|
|
\[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann
|
|
folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus
|
|
\[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \]
|
|
Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\).
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der
|
|
Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit
|
|
\(f_{n_j}\to f\) fast überall.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Konvergenz im Sinne der Norm \(\|\cdot\|_p\) und punktweise Konvergenz fast
|
|
überall haben im Allgemeinen \textbf{nichts} miteinander zu tun!
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), aber
|
|
\(f_n\nrightarrow 0\) fast überall.
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
%Bild einfügen
|
|
Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar.
|
|
\[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\]
|
|
Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\).
|
|
\[f_n(x)\to
|
|
\begin{cases}
|
|
0, x\in(0,1]\\
|
|
1, x=0
|
|
\end{cases}\]
|
|
Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber
|
|
\(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\)
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Reihe ! unendliche}
|
|
\index{stetig}
|
|
Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei \((x_n)\) eine Folge in $E$ und \(s_n:=x_1+x_2+\cdots+x_n\) (\natn).
|
|
Dann heißt \((s_n)\) eine \textbf{unendliche Reihe} und wird mit
|
|
\[\sum^\infty_{n=1}x_n\] bezeichnet. \(\sum^\infty_{n=1}x_n\) heißt
|
|
\textbf{konvergent} genau dann, wenn \((s_n)\) konvergiert. In diesem Fall ist
|
|
\[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\]
|
|
\item \(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\)
|
|
genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\)
|
|
gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\]
|
|
\(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig.
|
|
\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze
|
|
\[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\]
|
|
Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt
|
|
\[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Ist $(x_n)$ eine konvergente Folge in $E$, so ist $(x_n)$ beschränkt (d.h. $\exists c>0: \|x_n\|_1\le c \forall n\in\mdn$).
|
|
|
|
(Beweis wie in Ana I)
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{vereinbarung}
|
|
Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und identifizieren $\fl^p(X)$ mit $L^p(X)$. Ebenso schreiben wir $\int_X f\text{ d}x$ statt $\int_X \hat f\text{ d}x$ und $(f|g)$ statt $(\hat f|\hat g)$.
|
|
\end{vereinbarung}
|
|
|
|
\begin{wichtigesbeispiel}
|
|
\label{Beispiel 16.6}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch
|
|
\[\Phi(f):=\|f\|_p\]
|
|
ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also
|
|
\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Aus Analysis II §17 folgt:
|
|
\[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\]
|
|
\end{beweis}
|
|
\item Die Abbildung $\Phi:L^1(X)\to\mdr$ definiert durch
|
|
\[\Phi(f):=\int_X f\text{ d}x\]
|
|
ist stetig auf $L^1(X)$. D.h. aus $f_n,f\in L^1(X)$ und $f_n\stackrel{\|\cdot\|_1}\to f$ folgt
|
|
\[\int_X f_n\text{ d}x\to\int_X f \text{ d}x\]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
|\int_X f_n \text{ d}x-\int_X f \text{ d}x| &=|\int_X f_n-f \text{ d}x|\\
|
|
&\le \int_X |f_n-f| \text{ d}x\\
|
|
&= \|f_n-f\|_1\stackrel{n\to\infty}\to 0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
\item Die Abbildung $\Phi:L^2(X)\times L^2(X)\to\mdr$ definiert durch
|
|
\[\Phi(f,g):=(f|g)\]
|
|
ist stetig auf $L^2(X)\times L^2(X)$. D.h. für $f_n,g_n,f,g\in L^2(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to f$ und $g_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to g$ gilt
|
|
\[(f_n|g_n)\stackrel{n\to\infty}\to(f|g)\]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
|(f_n|g_n)-(f|g)|&=|(f_n|g_n)-(f_n|g)+(f_n|g)-(f|g)|\\
|
|
&=|(f_n|g_n-g)+(f_n-f|g)|\\
|
|
&\le |(f_n|g_n-g)|+|(f_n-f|g)|\\
|
|
&\le \|f_n\|_2\cdot \|g_n-g\|_2 + \|f_n-f\|_2\cdot\|g\|_2\stackrel{n\to\infty}\to 0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{wichtigesbeispiel}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 16.7}
|
|
Sei $f=f_+-f_-\in L^p(X)$ und $(g_n)$ und $(h_n)$ seien zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$ (d.h. $g_n,h_n$ einfach, $0\le g_n\le g_{n+1}, g_n\to f_+$, $0\le h_n\le h_{n+1}, h_n\to f_-$). Setze $f_n:=g_n-h_n$.\\
|
|
Dann sind $f_n,g_n,h_n\in L^p(X)$ und es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\|g_n-f_+\|_p\to 0&&\|h_n-f_-\|_p\to 0&&\|f_n-f\|_p\to 0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei also $(f_n)$ zulässig für $f$. Definiere $\varphi:=|f_n-f|^p$. Es ist klar, dass punktweise gilt $\varphi_n\to 0$. Außerdem gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\
|
|
&=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\
|
|
&=2^pf^p=:g
|
|
\end{align*}
|
|
Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\
|
|
Aus \ref{Satz 4.9} folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\
|
|
&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X)
|
|
\end{align*}
|
|
Aus \ref{Satz 6.2} folgt:
|
|
\[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Träger}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $f:X\to\mdr$. Dann heißt
|
|
\[\supp (f):=\overline{\{x\in X\mid f(x)\ne 0\}}\]
|
|
der \textbf{Träger} von $f$
|
|
\item $C_c(X,\mdr):=\{f\in C(X,\mdr)\mid \supp(f)\subseteq X\text{ und } \supp(f) \text{ kompakt}\}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\index{dicht}
|
|
\label{Satz 16.8}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $C_c(X,\mdr)\subseteq L^p(X)$
|
|
\item Ist $X$ offen, so liegt $C_c(X,\mdr)$ \textbf{dicht} in $L^p(X)$, d.h. ist $f\in L^p(X)$ und $\ep>0$, so existiert $g\in C_c(X,\mdr)$ mit $\|f-g\|_p<\ep$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $f\in C_c(C,\mdr)$ und $K:=\supp(f)$, dann ist $K\subseteq X$ kompakt, also $K\in\fb_d$. Es gilt für alle $x\in X\setminus K$ $f(x)=0$ und damit folgt aus \ref{Satz 4.12} $\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty$. Dann gilt:
|
|
\[\int_X |f|^p\text{ d}x=\int_{X\setminus K} |f|^p\text{ d}x+\int_K |f|^p\text{ d}x=\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty\]
|
|
Also ist $f\in L^p(X)$.
|
|
\item Siehe Übungsblatt 13.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Das Integral im Komplexen}
|
|
\label{Kapitel 17}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei $\emptyset \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$.
|
|
|
|
Wir versehen $\MdC$ mit der $\sigma$-Algebra $\fb_2$ (wir identifizieren $\MdC$ mit $\mdr^2$).
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{messbar}
|
|
$f$ heißt (Borel-)\textbf{messbar}, genau dann wenn gilt: $f$ ist $\fb_d$-$\fb_2$-messbar.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{integrierbar}\index{Integral}
|
|
Sei $f$ messbar. $f$ heißt \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind.
|
|
In diesem Fall setze
|
|
\[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Es gilt: $|u|, |v| \leq |f| \leq |u| + |v|$ auf $X$.
|
|
Hieraus und aus 4.9 folgt: $f$ ist integrierbar genau dann, wenn $|f|$ integrierbar ist.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\[ \fl^p(X, \MdC) := \{ f : X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } \int_X |f|^p \text{ d}x < \infty \} \]
|
|
(Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!)
|
|
\[ \cn := \{ f: X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } f = 0 \text{ f.ü.} \} \]
|
|
$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$.
|
|
\[ L^p(X,\MdC ) := \fl^p(X,\MdC)\diagup\cn \]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{orthogonal}
|
|
Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze
|
|
\[(f | g) := \int_X f(x) \overline{g(x)} \text{ d}x\]
|
|
sowie
|
|
\[f \bot g :\Longleftrightarrow (f | g) = 0 \quad \text{ ($f$ und $g$ sind \textbf{orthogonal}).} \]
|
|
( $\overline{z}$ bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von $z$, vgl. Lineare Algebra).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\textbf{Klar:} \begin{enumerate}
|
|
\item $L^p(X,\MdC )$ ist mit $\| f \|_p := (\int_X |f|^p \text{ d}x )^{\frac{1}{p}}$ ein komplexer normierter Raum (NR).
|
|
\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist
|
|
\[(f | g) = \overline{(g | f)}, \]
|
|
\[ (f | f) = \int_X f(x) \overline{f(x)} \text{ d}x = \int_X |f(x)|^2 \text{ d}x = \| f \|_2^2 \text{, also:} \]
|
|
\[ \| f\|_2 = \sqrt{(f|f)} \quad (f,g \in L^2(X,\MdC )) \]
|
|
(Beachte: es ist $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ für $z \in \MdC$).
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\textbf{Inoffizielle Anmerkung:} Dieses Skalarprodukt ist auf $\MdC$ nur linear in der ersten Komponente! Wenn man einen $\MdC$-Skalar aus der zweiten Komponente rausziehen möchte, muss man diesen komplex konjugieren:
|
|
\begin{align*}
|
|
\alpha \in \MdC:\quad &(f|\alpha g) = \overline{\alpha} (f|g)\\
|
|
&(\alpha f|g) = \alpha (f | g)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 17.1}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Seien \(f,g\colon X\to\mdc\) integrierbar und \(\alpha,\beta\in\mdc\). Dann gelten:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und
|
|
\[\int_X(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_Xf\,dx+\beta\int_Xg\,dx\]
|
|
\item[(ii)] \(\text{Re}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Re}(f)\,dx\ \) und
|
|
\(\ \text{Im}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Im}(f)\,dx\)
|
|
\item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und
|
|
\[\int_X\overline f\,dx=\overline{\int_Xf\,dx}\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in
|
|
\(L^p(X,\mdc)\).
|
|
\item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer
|
|
Hilbertraum.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{wichtigesbeispiel}
|
|
\label{Beispiel 17.2}
|
|
Sei \(X=[0,2\pi]\). Für \(k\in\MdZ\) und \(t\in\mdr\) setzen wir
|
|
\begin{align*}
|
|
e_k(t):=e^{ikt}=\cos(kt)+i\sin(kt) && \text{ und } && b_k:=\frac1{\sqrt{2\pi}}e_k
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt: \(b_k,e_k\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \[\int_0^{2\pi}e_0(t)\,dt=2\pi\]
|
|
Für \(k\in\MdZ\) und \(k\neq0\) ist
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi}
|
|
= \frac1{ik}\left(e^{2\pi ki}-1\right)=0
|
|
\intertext{Damit ist}
|
|
(b_k\mid b_l) = \int^{2\pi}_0 b_k\overline{b_l}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ikt}e^{-ilt}\,dt
|
|
= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)t}\,dt =
|
|
\begin{cases}
|
|
1 ,\text{falls } k=l\\
|
|
0 ,\text{falls }k\neq l
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Insbesondere ist \(\| b_k\|_2=1\). Das heißt \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist ein
|
|
\textbf{Orthonormalsystem} in \(L^2([0,2\pi],\mdc)\).
|
|
Zur Übung: \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist linear unabhängig in \(L^2([0,2\pi],\mdc)\).
|
|
\end{wichtigesbeispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in
|
|
\(L^2(X,\mdc)\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
|
\[s_n:=\sum^n_{k=-n}\alpha_k = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\alpha_k
|
|
=\alpha_{-n}+\alpha_{-(n-1)}+\cdots+\alpha_0+\alpha_1+\cdots+\alpha_n\]
|
|
Existiert \(\lim_{n\to\infty}s_n\) in \(\mdc\), so schreiben wir
|
|
\(\sum_{k\in\MdZ}\alpha_k:=\lim_{n\to\infty}s_n\)
|
|
\item Für \(n\in\mdn_0\) setze
|
|
\[\sigma_n:=\sum^n_{k=-n}f_k=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}f_k\]
|
|
Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\):
|
|
\(\| f-\sigma_n\|_2\overset{n\to\infty}\longrightarrow 0\), so schreiben
|
|
wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \
|
|
\left(=\lim_{n\to\infty}\sigma_n \text{ im Sinne der } L^2\text{-Norm}\right)\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Orthonormalbasis}
|
|
Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) heißt eine
|
|
\textbf{Orthonormalbasis (ONB)} von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\) genau dann, wenn es zu jedem
|
|
\(f\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) eine Folge \[(c_k)_{k\in\MdZ}=(c_k(f))_{k\in\MdZ}\] gibt, mit
|
|
\[(\ast)\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \]
|
|
\textbf{Frage:} Ist \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) eine ONB von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\)?\\
|
|
\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit
|
|
\(c_k=(f\mid b_k)\).
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\chapter{Fourierreihen}
|
|
\label{Kapitel 18}
|
|
|
|
In diesem Paragraphen sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
|
|
\(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\). Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}.
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.1}
|
|
Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
|
|
\(f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \), so gilt:
|
|
\[c_k=(f\mid b_k) \text{ für alle } k\in\MdZ\]
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_kb_k\] Aus der Voraussetzung folgt
|
|
\(\| \sigma_n-f\|_2\to 0\) für \(n\to\infty\). Sei \(j\in\MdZ\) und \(n\in\mdn\) mit
|
|
\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits
|
|
\[(\sigma_n\mid b_j) = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_k(b_k\mid b_j)=c_j, \text{ da gilt: }
|
|
(b_k\mid b_j)=
|
|
\begin{cases}
|
|
0, \text{ falls } k\neq j\\
|
|
1, \text{ falls } k= j
|
|
\end{cases}\]
|
|
Andererseits: \((\sigma_n\mid b_j)\to(f\mid b_j)\) für \(n\to\infty\) wegen \ref{Beispiel 16.6}(3). Daraus
|
|
folgt \(c_j=(f\mid b_j)\)
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Fourier ! -sche Partialsumme}
|
|
\index{Fourier ! -koeffizient}
|
|
\index{Fourier ! -reihe}
|
|
Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\) heißt
|
|
\textbf{n-te Fouriersche Partialsumme}. Also gilt:
|
|
\[f\overset{\|\cdot\|_2}
|
|
=\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\gdw\| f-S_nf\|_2
|
|
\to0\]
|
|
\item \((f\mid b_k)\) heißt \textbf{k-ter Fourierkoeffizient von f}.
|
|
\item \(\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\) heißt \textbf{Fourierreihe von f}.
|
|
\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze
|
|
\(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\ldots,b_0,b_1,\ldots,b_n]\)
|
|
(lineare Hülle). Es ist dann \[\dim E_n=2n+1\]
|
|
\textbf{Beachte: } Für \(v\in E_n\) gilt \(v(0)=v(2\pi)\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.2}
|
|
\index{Besselsche Ungleichung}
|
|
\index{Ungleichung ! Besselsche}
|
|
Seien \(f_1,\ldots,f_n,f\in L^2\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Gilt \(f_\mu\perp f_\nu\) für \(\mu\neq\nu\) (\(\mu,\nu=1,\ldots,n\)),
|
|
so gilt der Satz des Pythagoras
|
|
\[\| f_1+\cdots+f_n\|^2_2=
|
|
\| f_1\|^2_2+\cdots+
|
|
\| f_n\|^2_2\]
|
|
\item Die Abbildung \[S_n\colon
|
|
\begin{cases}
|
|
L^2\to E_n\\
|
|
S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k
|
|
\end{cases}\]
|
|
ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und
|
|
\((f-S_nf)\perp v\) mit \(f\in L^2\).
|
|
\item Die \textbf{Besselsche Ungleichung} lautet:
|
|
\[\| S_nf\|^2_2
|
|
=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
|
|
=\| f\|_2^2-\|(f-S_nf)\|^2_2
|
|
\leq\| f\|^2_2\]
|
|
\item Für alle \(v\in E_n\) gilt:
|
|
\[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es genügt den Fall \(n=2\) zu betrachten, der Rest folgt induktiv.
|
|
\begin{align*}
|
|
\| f_1+f_2\|_2^2
|
|
&= (f_1+f_2\mid f_1+f_2) \\
|
|
&= (f_1\mid f_1)+(f_1\mid f_2)+(f_2\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\
|
|
&= (f_1\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\
|
|
&=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2
|
|
\end{align*}
|
|
\item Übung!
|
|
\item Es gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
\| S_nf\|^2_2
|
|
&= \left\lvert\left\lvert\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\right\rvert
|
|
\right\rvert^2_2
|
|
\overset{(1)}=
|
|
\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\|(f\mid b_k)b_k\rvert
|
|
\rvert^2_2
|
|
= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2\| b_k\rvert
|
|
\rvert^2_2
|
|
= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
|
|
\end{align*}
|
|
und
|
|
\begin{align*}
|
|
\| f\|^2_2
|
|
= \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\underset{(2)}\perp E_n}
|
|
+\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2
|
|
= \| f-S_nf\|^2_2 + \| S_nf\|^2_2
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei \(v\in E_n\). Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\| f-v\|^2_2
|
|
&= \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\perp E_n}
|
|
+\underbrace{(S_nf-v)}_{\in E_n}\|^2_2 \\
|
|
&\overset{(1)}=
|
|
\| f-S_nf\|^2_2
|
|
+\| S_nf-v\|^2_2 \\
|
|
&\geq \| f-S_nf\|^2_2
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{wichtigebemerkung}
|
|
\label{Bemerkung 18.3}
|
|
Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a<b)\) und \(f_{n},\,f,\,g\in C(I,\mdk)\); es war
|
|
\(\lVert f\rVert_{\infty}:=\max_{t\in I}\lvert f(t)\rvert\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \((f_{n})\) konvergiert auf \(I\) gleichmä\ss ig gegen \(f\) genau dann, wenn
|
|
\(\lVert f_{n}-f\rVert_{\infty}\to 0\,(n\to\infty)\) (vgl. Analysis I/II).
|
|
\item \(f\in\mathrm{L}^{p}(I,\mdk)\) und \(\lVert f\rVert_{p}\leq(b-a)^{\frac{1}{p}}\lVert f\rVert_{\infty}\) (siehe \ref{Satz 16.2}).
|
|
\item Gilt \(f=g\) fast überall, so ist \(f=g\) auf \(I\).
|
|
\begin{beweis}
|
|
Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq I:\,f(x)=g(x)\,\forall x\in I\setminus N\).\\
|
|
Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls:
|
|
\(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das hei\ss t, es existiert ein
|
|
\(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also:
|
|
\(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\
|
|
Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\)
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{wichtigebemerkung}
|
|
|
|
\begin{satz}[Approximationssatz von Weierstra\ss]
|
|
\label{Satz 18.4}
|
|
Es sei \(I=[a,b]\) wie in \ref{Bemerkung 18.3} und \(\mdk\in\{\mdr, \mdc\}\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist \(f\in C(I,\mdk)\) und \(\ep>0\), so existiert ein Polynom \(p\) mit Koeffizienten in \(\mdk\) mit:
|
|
\[
|
|
\lVert f-p\rVert_{\infty}<\ep
|
|
\]
|
|
\item Ist \(a=0,\,b=2\pi,\,f\in C(I,\mdk),\,f(0)=f(2\pi)\) und \(\ep>0\), so existiert ein \(n\in\mdn\) und ein
|
|
\(v\in\mathrm{E}_{n}\) mit:
|
|
\[
|
|
\lVert f-v\rVert_{\infty}<\ep
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.5}
|
|
Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}\). Dann gilt: \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\sum_{k\in\mdz}{(f\mid b_{k})b_{k}}\) und
|
|
\[\lVert f\rVert_{2}^{2}=\sum_{k\in\mdz}{\lvert(f\mid b_{k})\rvert^{2}}\quad\text{(\textbf{Parsevalsche Gleichung})}\] Insbesondere gilt:
|
|
\((f\mid b_{k})\to 0\quad(\lvert k\rvert\to\infty)\).
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Zu zeigen: \(\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}\to0\,(n\to\infty)\). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus \ref{Satz 18.2}.\\
|
|
Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion
|
|
\(g:\,(0,2\pi)\to\mdc\) mit: \(K:=\supp(g)\subseteq(0,2\pi)\), \(K\) kompakt und \(\lVert f-g\rVert_{2}<\ep\).\\
|
|
Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun:
|
|
\(\exists n\in\mdn\exists v\in\mathrm{E}_{n}:\,\lVert g-v\rVert_{\infty}<\ep\).\\
|
|
Damit: \(\lVert g-v\rVert_{2}\leq\sqrt{2\pi}\lVert g-v\rVert_{\infty}<\sqrt{2\pi}\ep\). Somit:
|
|
\begin{align*}
|
|
\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}&=\lVert f-g+g-S_{n}g+S_{n}g-S_{n}f\rVert_{2}\\
|
|
&\leq\underbrace{\lVert f-g\rVert_{2}}_{<\ep}
|
|
+\underbrace{\lVert g-S_{n}g\rVert_{2}}_{\overset{18.2(4)}{\leq}\lVert g-v\lVert_2}
|
|
+\underbrace{\lVert S_{n}(g-f)\rVert_{2}}_{\overset{18.2(3)}{\leq}\lVert g-f\lVert_2}\\
|
|
&<2\ep+\sqrt{2\pi}\ep=\ep(2+\sqrt{2\pi})
|
|
\end{align*}
|
|
Sei \(m\geq n\). Dann gilt: \(\mathrm{E}_{n}\subseteq\mathrm{E}_{m}\), also \(w:=S_{n}f\in\mathrm{E}_{m}\). Damit:
|
|
\[
|
|
\lVert f-S_{m}f\rVert_{2}\leq\lVert f-w\rVert_{2}=\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}<\ep(2+\sqrt{2\pi})
|
|
\]
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\subsubsection*{Reelle Version}
|
|
Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}_{\mdr}\).
|
|
Es gelten die folgenden Bezeichnungen:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Für \(k\in\mdn\) bezeichnen wir die Funktionen \(t\mapsto\cos(kt)\) und \(t\mapsto\sin(kt)\) mit \(\cos(k\cdot)\) bzw.
|
|
\(\sin(k\cdot)\).
|
|
\item Für \(k\in\mdn_{0}:\,\alpha_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Re(f\mid e_{k})\).\\
|
|
Für \(k\in\mdn:\,\beta_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Im(f\mid e_{k}),\,\beta_{0}:=0\).
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{gerade Funktion}
|
|
\index{ungerade Funktion}
|
|
\(f\) hei\ss t \textbf{gerade} (bezüglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=f(2\pi-t)\) für fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\
|
|
\(f\) hei\ss t \textbf{ungerade} (bezüglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=-f(2\pi-t)\) für fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\
|
|
% Bild nicht vergessen...
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.6}
|
|
(Dieser Satz folgt aus \ref{Satz 18.5} und ``etwas'' rechnen)\\
|
|
Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}_{\mdr}\) und \(n\in\mdn_{0}\).
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(S_{n}f=\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{(\alpha_{k}\cos(k\cdot)+\beta_{k}\sin(k\cdot))}\)
|
|
\item \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{(\alpha_{k}\cos(k\cdot)+\beta_{k}\sin(k\cdot))}\)
|
|
\item \(\frac{1}{\pi}\lVert f\rVert_{2}^{2}=\frac{\alpha_{0}^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{(\alpha_{k}^{2}+\beta_{k}^{2})}\quad\)
|
|
(Parsevalsche Gleichung)\\
|
|
Insbesondere gilt: \(\alpha_{k}\to0,\,\beta_{k}\to0\quad(k\to\infty)\)
|
|
\item Ist \(f\) gerade, so sind alle \(\beta_{k}=0\) und \(\alpha_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}\). Die
|
|
Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Cosinusreihe}.\\
|
|
Ist \(f\) ungerade, so sind alle \(\alpha_{k}=0\) und \(\beta_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}\). Die
|
|
Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Sinusreihe}.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beispiele}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \(f(t):=\begin{cases}1,&0\leq t\leq\pi\\-1,&\pi<t\leq 2\pi\end{cases}\)
|
|
|
|
\(f\) ist ungerade, also \(\alpha_{k}=0\,\forall k\in\mdn_{0}\). Es ist
|
|
\(\beta_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\sin(kt)\mathrm{d}t}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\\frac{4}{k\pi},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\
|
|
Damit:
|
|
\[
|
|
f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\sin((2j+1)\cdot)}{2j+1}}
|
|
\]
|
|
Beachte: \((S_{n}f)(0)=0\to 0\neq1=f(0)\) und \((S_{n}f)(2\pi)=0\to 0\neq -1=f(2\pi)\).
|
|
\item \(f(t):=\begin{cases}t,&0\leq t\leq\pi\\2\pi-t,&\pi\leq t\leq 2\pi\end{cases}\)\\
|
|
\(f\) ist gerade, das hei\ss t \(\beta_{k}=0\,\forall k\in\mdn\) und \(\alpha_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{t\cos(kt)\mathrm{d}t},\,\alpha_{0}=\pi\).\\
|
|
Für \(k\geq 1:\quad\alpha_{k}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\-\frac{4}{\pi k^{2}},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\
|
|
Damit:
|
|
\[
|
|
f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\cos((2j+1)\cdot)}{(2j+1)^{2}}}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiele}
|
|
% Ende der reellen Version
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.7}
|
|
Sei $f \in L^2$ und $\sum_{k \in \MdZ} |(f|b_k)| < \infty$. Dann:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Die Reihe $\sum_{k \in \MdZ} (f\mid b_k) b_k(t)$ konvergiert auf $[0, 2 \pi ]$ absolut und gleichmäßig.
|
|
Setzt man $g(t) := \sum_{k \in \MdZ} (f\mid b_k)b_k(t)$ für $t \in [0, 2\pi ]$, so ist $g$ stetig, $g(0)=g(2\pi )$ und $f=g$ f.ü. auf $[0,2 \pi ]$.
|
|
\item Ist $f$ stetig, so gilt $f=g$ auf $[0,2\pi ]$, also:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\label{Gleichung 2, Satz 18.7}
|
|
f(t)=\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k(t)\quad\forall t\in[0,2\pi]
|
|
\end{equation*}
|
|
Insbesondere: $f(0)=f(2\pi)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f_k(t) := (f\mid b_k)b_k(t)$;
|
|
\[
|
|
\lvert f_k(t)\rvert=\lvert(f\mid b_k)\rvert\cdot\lvert b_k(t)\rvert=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lvert(f\mid b_k)\rvert\quad\forall t \in [0,2\pi ] \forall k \in \MdZ
|
|
\]
|
|
Aus Analysis I, 19.1(2) (Konvergenzkriterium von Weierstraß) folgt: Die Reihe in (1) konvergiert auf $[0,2\pi]$ absolut und gleichmäßig.
|
|
Aus Analysis I, 19.2 folgt: $g$ ist stetig.
|
|
Klar: $g(0) = g(2\pi )$.
|
|
\[ s_n(t) := \sum_{\lvert k\rvert \leq n} f_k(t) \quad (n \in \MdN_0, t \in [0,2\pi ]).\]
|
|
Aus \ref{Satz 18.5} folgt: $\| f-s_n \|_2 \to 0 (n\to \infty )$.
|
|
$\| g-s_n \|_2 \overset{18.3(2)}{\leq} \| g-s_n \|_\infty \sqrt{2\pi } \to 0 (n\to \infty )$
|
|
Also: $\| g -s_n\|_2 \to 0 (n \to \infty)$
|
|
Aus \ref{Satz 16.5} folgt: $f=g$ f.ü.
|
|
\item $f=g$ f.ü. $\overset{18.3(3)}{\implies}\,f=g$ auf $[0,2\pi]$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.8}
|
|
$f \in L^2_\MdR$ und die Folgen $(\alpha_k )$ und $(\beta_k )$ seien definiert wie im Abschnitt ``Reelle Version''. Weiter gelte: $\sum_{k=1}^\infty\lvert\alpha_k\rvert<\infty$ und $\sum_{k=1}^\infty\lvert\beta_k\rvert<\infty$. Dann gelten die Aussagen in \ref{Satz 18.7} für die Reihen in \ref{Satz 18.6}.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{Satz 18.9}
|
|
Sei $f:[0,2\pi] \to \MdC$ \textbf{stetig differenzierbar} und $f(0)=f(2\pi)$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es ist $(f'\mid b_k)=ik(f\mid b_k)\quad\forall k\in\MdZ$
|
|
\item $\sum_{k\in\MdZ}\lvert(f\mid b_k)\rvert<\infty$ (d.h.: die Voraussetzungen von \ref{Satz 18.7} sind erfüllt)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \begin{align*}
|
|
(f'|b_k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi} f'(t)e^{-ikt} \text{ d}t \\
|
|
&\overset{P.I.}{=} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ f(t)e^{-ikt} \right]_0^{2\pi} - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{2\pi} f(t)(-ik)e^{-ikt}\text{ d}t \\
|
|
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(f(2\pi ) - f(0)) + ik(f|b_k).
|
|
\end{align*}
|
|
\item Setze $\sigma_n := \sum_{|k|\leq n} |(f|b_k)| \quad (n \in \MdN_0)$. Es genügt zu zeigen: $(\sigma_n )$ ist beschränkt. Klar: $0 \leq \sigma_n$.
|
|
\begin{align*}
|
|
\sigma_n - |(f|b_0)| &= \sum_{0<|k|\leq n} |(f|b_k)| \overset{(1)}{=} \sum_{0<|k|\leq n} \underbrace{\frac{1}{|k|}}_{:= u_k}\underbrace{(f'|b_k)}_{:= v_k} \\
|
|
&= \sum_{0<|k|\leq n} u_k v_k \overset{\text{CS-Ugl.}}{\leq} \left( \sum_{0<|k|\leq n} u_k^2 \right)^\frac{1}{2} \left( \sum_{0<|k|\leq n} v_k^2 \right)^\frac{1}{2}\\
|
|
&= \left( 2\sum_{k=1}^n u_k^2 \right)^\frac{1}{2} \underbrace{ \left( \sum_{0<|k|\leq n} v_k^2 \right)^\frac{1}{2} }_{ \overset{18.2(3)}{\leq} \|f'\|_2} \\
|
|
&\leq \left( 2\sum_{k=1}^\infty u_k^2 \right)^\frac{1}{2} \| f' \|_2
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f$ sei wie im Beispiel (2) vor \ref{Satz 18.7}. Es war:
|
|
\[ f \overset{\| \cdot \|_2}{=} \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^\infty \frac{\cos((2j+1) \cdot )}{(2j+1)^2} \quad \quad \left(\alpha_{2j+1} = \frac{1}{(2j+1)^2}, \alpha_{2j} = 0 \right) \]
|
|
Aus \ref{Satz 18.7} bzw. \ref{Satz 18.8} folgt:
|
|
\[ f(t) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^\infty \frac{\cos((2j+1) t )}{(2j+1)^2} \quad \forall t \in [0,2\pi] \]
|
|
Setzt man nun $t=0$, folgt
|
|
\[ 0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{(2j+1)^2} \]
|
|
und man erhält durch Umstellen eine Auswertung für diese eigentlich kompliziert wirkende Reihe:
|
|
\[ \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{(2j+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{8} \]
|
|
(dass diese Reihe konvergiert, ist eine einfache Übung aus Ana I; ihren Wert aber haben wir bislang noch nicht berechnet)
|
|
|
|
\item $f(t) = (t - \pi)^2 \quad (t \in [0,2\pi])$. $f$ ist gerade bzgl. $\pi$, also ist $\beta_k = 0$. Es ist
|
|
\[ \alpha_k = \begin{cases} \frac{2}{3}\pi^2, &k=0\\ \frac{4}{k^2}, &k \geq 1 \end{cases} \quad \text{(nachrechnen!)}\]
|
|
Also:
|
|
\[ f \overset{\| \cdot \|_2}{=} \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{\cos(j \cdot)}{j^2} \]
|
|
Aus \ref{Satz 18.9} bzw. \ref{Satz 18.7}(2) folgt:
|
|
\[ f(t) = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{\cos(j t)}{j^2} \quad \forall t \in [0, 2\pi] \]
|
|
Setzt man nun $t=0$, erhält man
|
|
\[ \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2}, \text{ also } \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6} \]
|
|
Damit erhält man z.B. auch
|
|
\[ \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{(2j)^2} = \frac{1}{4} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{24} \]
|
|
und damit
|
|
\[ \sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}}{j^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \pm \ldots = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12} \]
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\appendix
|
|
\chapter{Satz um Satz (hüpft der Has)}
|
|
\theoremlisttype{optname}
|
|
\listtheorems{satz,wichtigedefinition}
|
|
|
|
\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis}
|
|
\addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}
|
|
\printindex
|
|
|
|
\chapter{Credits für Analysis III} Abgetippt haben die folgenden Paragraphen:\\% no data in Ana2Vorwort.tex
|
|
\textbf{§ 1: $\sigma$-Algebren und Maße}: Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Philipp Ost\\
|
|
\textbf{§ 2: Das Lebesguemaß}: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost\\
|
|
\textbf{§ 3: Messbare Funktionen}: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost\\
|
|
\textbf{§ 4: Konstruktion des Lebesgueintegrals}: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Peter Pan\\
|
|
\textbf{§ 5: Nullmengen}: Rebecca Schwerdt, Jan Ihrens, Philipp Ost\\
|
|
\textbf{§ 6: Der Konvergenzsatz von Lebesgue}: Philipp Ost, Jan Ihrens \\
|
|
\textbf{§ 7: Parameterintegrale}: Jan Ihrens \\
|
|
\textbf{§ 8: Vorbereitungen}: Jan Ihrens \\
|
|
\textbf{§ 9: Das Prinzip von Cavalieri}: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt\\
|
|
\textbf{§ 10: Der Satz von Fubini}: Jan Ihrens\\
|
|
\textbf{§ 11: Der Transformationssatz}: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt\\
|
|
\textbf{§ 12: Vorbereitungen für die Integralsätze}: Rebecca Schwerdt\\
|
|
\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gau\ss \ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\
|
|
\textbf{§ 14: Flächen im \(\mdr^{3}\)}: Benjamin Unger\\
|
|
\textbf{§ 15: Der Integralsatz von Stokes}: Philipp Ost\\
|
|
\textbf{§ 16: \(\fl^{p}\)-Räume und \(\mathrm{L}^{p}\)-Räume}: Philipp Ost, Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Jan Ihrens \\
|
|
\textbf{§ 17: Das Integral im Komplexen}: Peter Pan, Jan Ihrens \\
|
|
\textbf{§ 18: Fourierreihen}: Jan Ihrens, Philipp Ost, Peter Pan \\
|
|
\end{document}
|