tex-projects/LaTeX-examples
2
0
Fork 0
mirror of https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git synced 2025-04-26 06:48:04 +02:00
Code Activity
LaTeX-examples/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex
Martin Thoma 84416324f5 Triangulierung des Torus
2014-02-21 12:48:06 +01:00

1053 lines
No EOL
45 KiB
TeX
Raw Blame History

%!TEX root = GeoTopo.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
\begin{definition}%
Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
\begin{defenum}
\item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
$X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \in \fT$
und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
\item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
\item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
Topologie hat und einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
\end{defenum}
\end{definition}
Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ähnlich.
\begin{bemerkung}[Mächtigkeit von Mannigfaltigkeiten]
Jede $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit $n \geq 1$ ist mindestens so mächtig wie $\mdr$.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$
und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$,
wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$.
Da jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ genauso mächtig ist wie der $\mdr^n$,
$\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen
denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig
wie der $\mdr^n$. Da jede Mannigfaltigkeit mindestens eine Karte hat, muss
jede Mannigfaltigkeit $X$ mindestens so mächtig sein wie der $\mdr^n$. $\qed$
\end{beweis}
\underline{Hinweis:} Es gibt auch noch $0$-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Diese
Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
\begin{bemerkung}
\begin{bemenum}
\item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
\item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
Ist $U \subseteq \mdr^n$ offen und $f: U \rightarrow \mdr^n$
stetig und injektiv, so ist $f(U)$ offen.
Ist $n < m$ und $\mdr^m$ homöomorph zu $\mdr^n$, so wäre
\[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\]
eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$
offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch
\end{bemenum}
\end{bemerkung}
\begin{beispiel}[Mannigfaltigkeiten]
\begin{bspenum}
\item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine
$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus
einer Karte.
\item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
mit einem Atlas aus einer Karte:
\[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\Re(z_1), \Im(z_1), \dots, \Re(z_n), \Im(z_n))\]
\item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:
Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$.
Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung
\begin{align*}
U_i &\rightarrow \mdr^n\\
(x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
(y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
\end{align*}
ist bijektiv.
Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas:
\begin{align*}
x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\
y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1)
\end{align*}
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\
$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\
$V_1 \cap V_2 = \emptyset$?
$(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
$\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
$\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
$\Rightarrow$ Widerspruch
\item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale
Mannigfaltigkeit.
Karten: \\
$D_i := \{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0\} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\
$C_i := \{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i < 0\} \rightarrow \fB_1 (0, \dots, 0)$\\
$(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, \cancel{x_i}, \dots, x_{n+1})$\footnote{$x_i$ wird rausgenommen}\\
$(x_1, \dots, x_{n}) \mapsto (x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}, x_i, \dots, x_n)$, oder $-\sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}$ für $C_i$\\
$S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (C_i \cup D_i)$
Als kompakte Mannigfaltigkeit wird $S^n$ auch \enquote{geschlossene Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!geschlossene} genannt.
\item $[0,1]$ ist keine Mannigfaltigkeit, denn:\\
Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
zu einem offenem Intervall ist.
\item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
keine Mannigfaltigkeit.
Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt,
zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten.
Jeder $\mdr^n$ zerfällt jedoch in höchstens zwei
Zusammenhangskomponenten, wenn man einen Punkt entfernt.
\item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
Mannigfaltigkeit.
\item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (0_1, 0_2)$ \label{bsp:mannigfaltigkeit8}
\[U \subseteq X \text{ offen } \gdw
\begin{cases}
U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\
\exists \varepsilon > 0: (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U
\end{cases}\]
Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$
und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ offen und
homöomorph zu $\mdr$.
\underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und
$0_2$.
\item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension
$n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
Mannigfaltigkeit bilden.
\end{bspenum}
\end{beispiel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 14.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\xindex{Verklebung}%
Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
$Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u)\;\forall{u \in U}$
erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten
Quotiententopologie.
$Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
$Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
Mannigfaltigkeit.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
$X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
\end{beweis}
\begin{beispiel}
Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph
\item $S^1$
\end{enumerate}
Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $\mdr^2$
\item $S^2$ (0 Henkel)
\item $T^2$ (1 Henkel)
\item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in \cref{fig:double-torus}
\end{enumerate}
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png}
\caption{Durch Verklebung zweier Tori entsteht ein Zweifachtorus.}
\label{fig:double-torus}
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}\xindex{vanishing set}.
Dann gilt:
\begin{bemenum}
\item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
\item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
$X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}
\end{bemenum}
\end{bemerkung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
\item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
$\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
ist offen.
\item Sei $x \in X$ mit $\grad(F)(x) \neq 0$, also
\obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
$x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare
Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass
$G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$
eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von
$x$ in $X$ ist.
\end{enumerate}
$\qed$
\end{beweis}
\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}%
\begin{bspenum}
\item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
$V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\crefabbr{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
\item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex}}
\label{fig:semicubical-parabola-2d}
}%
\subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/2d-semicubical-parabola.tex}}
\label{fig:semicubical-parabola-3d}
}%
\label{Neilsche-Parabel}
\caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
\end{figure}
Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$.
Daher ist \cref{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}
nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
$X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
Teilmenge von
\[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\]
ist.
\end{definition}
$\mdr_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
\underline{Hinweis:} Mannigfaltigkeiten mit Rand sind keine Mannigfaltigkeiten.
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Halbraum]{
\input{figures/topology-halfspace.tex}
\label{fig:half-space}
}%
\subfloat[Pair of pants]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-pair-of-pants.tex}}
\label{fig:pair-of-pants}
}%
\subfloat[Sphäre mit einem Loch]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sphere-with-hole.tex}}
\label{fig:sphere-with-hole}
}%
\label{Mannigfaltigkeiten mit Rand}
\caption{Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Rand}
\end{figure}
\begin{definition}\xindex{Rand}%
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
Atlas $\atlas$. Dann heißt
\[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\]
\textbf{Rand} von $X$.
\end{definition}
$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\index{Uebergangsfunktion@""Ubergangsfunktion|see{Kartenwechsel}}%
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
$(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$
Für $i, j \in I$ mit $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ heißt
\begin{align*}
\varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\
\varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j)
\end{align*}
\textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}.
\end{definition}
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/topology-kartenwechsel.tex}
\caption{Kartenwechsel}
\label{fig:kartenwechsel}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 19.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}\label{sec:8}
\begin{definition}%
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
\begin{defenum}
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
$k$-mal stetig differenzierbar ist.
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
Klasse $C^\infty$ ist.
\end{defenum}
\end{definition}
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\textit{glatt} genannt.
\begin{definition}%
Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$
($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $\atlas = (U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
\begin{defenum}
\item Eine Karte $(U, \varphi)$ auf $X$ heißt \textbf{verträglich}\xindex{verträglich}
mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$
und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$)
differenzierbar von Klasse $C^k$ sind.
\item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf
$X$ bildet einen maximalen Atlas der Klasse $C^k$. Er
heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{Ck-Struktur@$C^k$-Struktur} auf $X$.
Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare}
auf $X$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Für $n \geq 4$ gibt es auf $S^n$ mehrere verschiedene differenzierbare
Strukturen, die sogenannten \enquote{exotische Sphären}\xindex{Sphäre!exotische}.
\end{bemerkung}
\begin{definition}
Seien $X, Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
$n$ bzw. $m$, $x \in X$.
\begin{defenum}
\item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar}
\textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare}
in $x$ (von Klasse $C^k$),
wenn es Karten $(U, \varphi)$ von $X$ mit
$x \in U$ und $(V, \psi)$ von $Y$ mit $f(U) \subseteq V$
gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig
differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist.
\item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}
(von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$
differenzierbar ist.
\item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus},
wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und
es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$
von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \id_X$
und $f \circ g = \id_Y$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Die Bedingung in \cref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
von den gewählten Karten ab.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$.
$\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\
$= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$
ist genau dann differenzierbar, wenn $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$
differenzierbar ist.
\end{beweis}
\begin{beispiel}
$f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
Diffeomorphismus, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist
\[\Diffeo(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
\end{bemerkung}
\begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}\xindex{Parametrisierung!reguläre}%
$S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$
$\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen:
$\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$:
$\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$.
$F$ heißt (lokale) \textbf{reguläre Parametrisierung} von $S$.
\begin{align*}
F(u,v) &= \left (x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right )\\
J_F(u,v) &= \begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\
\frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\
\frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p)
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{definition}
\begin{beispiel}
\begin{bspenum}
\item Rotationsflächen: Sei $r:\mdr \rightarrow \mdr_{> 0}$
eine differenzierbare Funktion.
$F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3 \;\;\; (u,v) \mapsto (r(u) \cos (u), r(v) \sin(u), v)$
\begin{figure}[htp]
\centering
\subfloat[Kugelkoordinaten]{
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
\label{fig:spherical-coordinates}
}%
\subfloat[Rotationskörper]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/solid-of-revolution.tex}}
\label{fig:solid-of-revolution}
}%
\subfloat[Sinus und Kosinus haben keine gemeinsame Nullstelle]{
\includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
\label{fig:sin-cos}
}%
\label{fig:example-image-gallery-1}
%\caption{}
\end{figure}
\[J_F(u,v) =
\begin{pmatrix}
-r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\
r(v) \cos u & r'(v) \sin u\\
0 & 1
\end{pmatrix}\]
hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$.
\item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$,\\
$(u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$\\
Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn
\begin{align*}
& R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\
=& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\
=& R^2 \left (\cos^2(v) (\cos^2(u) + \sin^2(u)) + \sin^2(v) \right)\\
=& R^2 \left (\cos^2(v) + \sin^2(v) \right)\\
=&R^2
\end{align*}
Die Jacobi-Matrix
\[J_F(u,v) =
\begin{pmatrix}
-R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\
R \cos v \cos u & -R \sin v \sin u\\
0 & R \cos v
\end{pmatrix}\]
hat Rang 2 für $\cos v \neq 0$. In $N$ und $S$ ist
$\cos v = 0$.
\end{bspenum}
\end{beispiel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 21.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{bemerkung}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale,
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}\leavevmode
$S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Aus der Definition von regulären Flächen folgt direkt, dass Karten $(U_i, F_i)$ und
$(U_j \subseteq \mdr^2, F_j:\mdr^2 \rightarrow \mdr^3)$ von $S$ mit
$U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach
Definition differenzierbare Abbildungen sind.
\underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist ein Diffeomorphismus.
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/topology-parametric-surface-mapping.tex}
\caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von \cref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}}
\label{fig:parametric-surface-mapping}
\end{figure}
\underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\widetilde{F_j^{-1}}$
in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\widetilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$.
\underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$, $v_0 \in U_j$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0)$.
Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda
\[\det
\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{pmatrix} (v_0) \neq 0
\]
und $F_j(u,v) = \left ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right)$.
Definiere $\widetilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch
\[\widetilde{F_j} (u, v, t) := \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\]
Offensichtlich: $\widetilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$
\[J_{\widetilde{F_j}} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & 1
\end{pmatrix} \Rightarrow \det J_{\widetilde{F_j}} (v_0, 0) \neq 0\]
$\xRightarrow{\text{Analysis II}}$ Es gibt Umgebungen $W$ von
$F_j$ von $\widetilde{F_j}(v_0, 0) = F_j(v_0) = s$, sodass $\widetilde{F_j}$
auf $W$ eine differenzierbar Inverse $F_j^{-1}$ hat.
Weiter gilt:
\begin{align*}
\widetilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} &= F_j^{-1} |_{W \cap S}\\
\Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} &= F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)}
\end{align*}
ist differenzierbar.
\end{beweis}
\begin{definition}%
Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe.
\begin{defenum}
\item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch
\[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\]
stetig sind.
\item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
$G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
$(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{beispiel}[Lie-Gruppen]
\begin{bspenum}
\item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
\item $\GL_n(\mdr)$
% ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist.
% $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung.
\item $(\mdr^\times, \cdot)$
\item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
\item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
nach allen Variablen differenzierbar
$(A^{-1}) (i,j) = \frac{\det(A_{ij})}{\det A}$
\[A_{ij} = \begin{pmatrix}
a_{i1} & \dots & a_{in}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\]
ist differenzierbar.
$\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
\[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
\item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1}$
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Ist $G$ eine Lie-Gruppe und $g \in G$, so ist die Abbildung
\begin{align*}
l_g &: G \rightarrow G\\
h &\mapsto g \cdot h
\end{align*}
ein Diffeomorphismus.
\end{bemerkung}
\section{Simplizialkomplex}
\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}%
Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.\xindex{Punkt}
\begin{defenum}
\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage}\\
\hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält\\
\hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
\item $\conv(v_0, \dots, v_k) := \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $ heißt die \textbf{konvexe Hülle}\xindex{Hülle!konvexe} von $v_0, \dots, v_k$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{definition}
\begin{defenum}
\item Sei $\Delta^n = \conv(e_0, \dots, e_n) \subseteq \mdr^{n+1}$
die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_n$.
Dann heißt $\Delta^n$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
und $n$ die Dimension des Simplex.
\item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
Lage heißt $\Delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
\item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
$I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
so ist $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
ein $r$-Simplex und heißt
\textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
von $\Delta$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[0-Simplex $\Delta^0$]{
\parbox{5cm}{\centering\input{figures/topology-simplex-0.tex}}
\label{fig:simplex-0}
}
\subfloat[1-Simplex $\Delta^1$]{
\input{figures/topology-simplex-1.tex}
\label{fig:simplex-1}
}%
\subfloat[2-Simplex $\Delta^2$]{
\input{figures/topology-simplex-2.tex}
\label{fig:simplex-2}
}%
\subfloat[3-Simplex $\Delta^3$]{
\input{figures/topology-simplex-3.tex}
\label{fig:simplex-3}
}%
\label{fig:k-simplexe}
\caption{Beispiele für $k$-Simplexe}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 21.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}%
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
\item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
wenn gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
\item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
ist $S \in K$.
\item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
$\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein
Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
$\Delta_2$.
\end{enumerate}
\item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie)
heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
von $K$.
\item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn_0 | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$,
so heißt $d$ die \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
$K$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\xindex{Oktaeder}\xindex{Würfel}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[1D Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-1-d-simplizialkomplex}}
\label{fig:simplizialkomplex-1-d}
}%
\subfloat[2D Simplizialkomplex (ohne untere Fläche!)]{
\parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-pyramid.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-2-d}
}%
\subfloat[2D Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-oktaeder.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-2-d-okateder}
}%
\subfloat[1D Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-cube}
}%
\subfloat[2D Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube-divided.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
}
\subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \cref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
\label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
}%
\subfloat[Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-triangles}
}%
\label{fig:simplizialkomplexe}
\caption{Beispiele für Simplizialkomplexe}
\end{figure}
\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
\[f:|K| \rightarrow |L|\]
heißt \textbf{simplizial}, wenn für
jedes $\Delta \in K$ gilt:
\begin{defenum}
\item $f(\Delta) \in L$
\item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
affine Abbildung.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{beispiel}[Simpliziale Abbildungen]
\begin{bspenum}
\item $\varphi(e_1) := b_1$, $\varphi(e_2) := b_2$\\
$\varphi$ ist eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\input{figures/topology-linear-mapping.tex}
\item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$
ist simplizial:
\input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
\item Tori können simplizial auf Sphären abgebildet werden (vgl. \cref{fig:faltungsdiagramm})
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[width=0.9\linewidth, keepaspectratio]{figures/faltungsdiagramm.pdf}
\caption{Abbildung eines Torus auf eine Sphäre}
\label{fig:faltungsdiagramm}
\end{figure}
%\resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2}}
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{definition}\xindex{Eulerzahl}%
Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei
$a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$.
Dann heißt
\[\chi(K) := \sum_{n=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
\textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
von $K$.
\end{definition}
\begin{beispiel}
\begin{bspenum}
\item $\chi(\Delta^1) = 2 - 1 = 1$\\
$\chi(\Delta^2) = 3 - 3 + 1 = 1$\\
$\chi(\Delta^3) = 4 - 6 + 4 - 1 = 1$
\item $\chi(\text{Oktaeder-Oberfläche}) = 6 - 12 + 8 = 2$\\
$\chi(\text{Rand des Tetraeders}) = 2$\\
$\chi(\text{Ikosaeder}) = 12 - 30 + 20 = 2$
\item $\chi(\text{Würfel}) = 8 - 12 + 6 = 2$\\
$\chi(\text{Würfel, unterteilt in Dreiecksflächen}) = 8 - (12 + 6) + (6 \cdot 2) = 2$
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
$\chi(\Delta^n) = 1$ für jedes $n \in \mdn_0$
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
$\Delta^n$ ist die konvexe Hülle von $(e_0, \dots, e_n)$ in $\mdr^{n+1}$.
Jede $(k+1)$-elementige Teilmenge von $\Set{e_0, \dots, e_n}$
definiert ein $k$-Simplex.\\
$\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\
$f(x) = (x+1)^{n+1} \overset{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
$\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$
\end{beweis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 28.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}%
\begin{defenum}
\item Ein 1D-Simplizialkomplex heißt \textbf{Graph}\xindex{Graph}.
\item Ein Graph, der homöomorph zu $S^1$ ist, heißt \textbf{Kreis}\xindex{Kreis}.
\item Ein zusammenhängender Graph heißt \textbf{Baum}\xindex{Baum},
wenn er keinen Kreis enthält.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Dies wird häufig auch als Multigraph bezeichnet.]{
\parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-simple.tex}}
\label{fig:topology-graph-simple}
}%
\subfloat[Planare Einbettung des Tetraeders]{
\parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder.tex}}
\label{fig:topology-graph-tetraeder}
}
\subfloat[$K_5$]{
\parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-5.tex}}
\label{fig:k-5}
}%
\subfloat[$K_{3,3}$]{
\parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-3-3.tex}}
\label{fig:k-3-3}
}%
\caption{Beispiele für Graphen}
\label{fig:graphen-beispiele}
\end{figure}
\begin{bemerkung}
Für jeden Baum $T$ gilt $\chi(T) = 1$.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
Induktion über die Anzahl der Ecken.
\end{beweis}
\begin{bemerkung}
\begin{bemenum}
\item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen
Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.%
\footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.}
\item Ist $n = a_1(\Gamma) - a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$.
\end{bemenum}
\end{bemerkung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
\item Siehe \enquote{Algorithmus von Kruskal}.
\item $\begin{aligned}[t]\chi(\Gamma) &= a_0(\Gamma) - a_1(\Gamma)\\
&= a_0(\Gamma) - (n+a_1(T))\\
&= a_0(T) - a_1(T) - n\\
&= \chi(T) - n\\
&= 1-n
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{bemerkung}\label{kor:simplex-unterteilung}
Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$.
Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch
\enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$.
\end{bemerkung}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$K$]{
\parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area.tex}}
\label{fig:topology-simplizial-complex-k}
}%
\subfloat[$\Delta$, das aus $K$ durch Unterteilung entsteht]{
\parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex}}
\label{fig:topology-simplizial-complex-k-division}
}%
\caption{Beispiel für \cref{kor:simplex-unterteilung}.}
\label{fig:simplex-unterteilung-beispiel}
\end{figure}
\begin{beweis}
$\chi(K) = \chi(\Delta) - \underbrace{\underbrace{(-1)^n}_{n\text{-Simplex}} + \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k}}_{(1+(-1))^{n+1}} = \chi(\Delta) \qed$
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Triangulierung}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $K$ ein Simplizialkomplex und
\[h:|K| \rightarrow X\]
ein Homöomorphismus von der geometrischen Realisierung $|K|$ auf $X$.
Dann heißt $h$ eine \textbf{Triangulierung} von $X$.
\end{definition}
\begin{beispiel}[Triangulierung des Torus]\xindex{Torus}%
Für eine Triangulierung des Torus werden mindestens 14 Dreiecke benötigt.
Beispiele für fehlerhafte \enquote{Triangulierungen} sind in \cref{fig:torus-triangulierung-fails}
zu sehen. Korrekte Triangulierungen sind in \cref{fig:torus-triangulierung}.
\begin{figure}[htp]
\centering
\subfloat[Die beiden markierten Dreiecke schneiden sich im Mittelpunkt und in einer Seite.]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-invalid-triangulation-1.tex}}
\label{fig:torus-triangulierung-fail-1}
}%
\subfloat[Die beiden markierten Dreiecke schneiden sich im Mittelpunkt und außen.]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-invalid-triangulation-2.tex}}
\label{fig:torus-triangulierung-fail-2}
}%
\label{fig:torus-triangulierung-fails}
\caption{Fehlerhafte Triangulierungen}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\centering
\subfloat[Einfache Triangulierung]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-triangulation.tex}}
\label{fig:torus-triangulierung-simple}
}%
\subfloat[Minimale Triangulierung]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-triangulation-minimal.tex}}
\label{fig:torus-triangulierung-minimal}
}%
\label{fig:torus-triangulierung}
\caption{Triangulierungen des Torus}
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{satz}[Eulersche Polyederformel]\xindex{Eulersche Polyederformel}%
Sei $P$ ein konvexes Polyeder in $\mdr^3$, d.~h. $\partial P$ ist
ein 2-dimensionaler Simplizialkomplex, sodass gilt:
\[\forall x,y \in \partial P: [x,y] \subseteq P\]
Dann ist $\chi(\partial P) = 2$.
\end{satz}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Die Aussage ist richtig für den Tetraeder.
\item \Obda{} sei $0 \in P$ und $P \subseteq \fB_1(0)$. Projeziere
$\partial P$ von $0$ aus auf $\partial \fB_1(0) = S^2$.
Erhalte Triangulierung von $S^2$.
\item Sind $P_1$ und $P_2$ konvexe Polygone und $T_1, T_2$
die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es
eine Triangulierung $T$, die sowohl um $T_1$ als
auch um $T_2$ Verfeinerung ist (vgl. \cref{fig:topology-3}).
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/topology-3.tex}
\caption{$T$ ist eine Triangulierung, die für $T_1$ und $T_2$ eine Verfeinerung ist.}
\label{fig:topology-3}
\end{figure}
Nach \cref{kor:simplex-unterteilung} ist
$\chi(\partial P_1) = \chi(T_1) = \chi(T) = \chi(T_2) = \chi(\partial P_2) = 2$,
weil \obda{} $P_2$ ein Tetraeder ist.
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{bemerkung}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
\[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n} \;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
\[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]
Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass
$x_0 < x_1 < \dots < x_n$.
Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$
die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$
und $d_n: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare
Abbildung.
Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$
\end{bemerkung}
\begin{beispiel}
\begin{figure}[h!]
\centering
\input{figures/topology-oriented-triangle.tex}
\caption{Simplizialkomplex mit Totalordnung}
\end{figure}
Sei $a < b < c$. Dann gilt:
\begin{align*}
d_2 \sigma &= e_1 - e_2 + e_3\\
d_1(e_1- e_2 + e_3) &= (c - b) - (c-a) + (b - a)\\
&= 0
\end{align*}
Sei $a<b<c<d$. Dann gilt für Tetraeder:\\
\begin{align*}
d_3(\Delta(a,b,c,d)) &= \Delta(b,c,d)-\Delta(a,c,d)+\Delta(a,b,d)-\Delta(a,b,c), \text{wobei:}\\
d_2(\hphantom{-}\Delta(b,c,d)) &= \hphantom{-}\textcolor{red}{\Delta(c,d)}\textcolor{blue}{-\Delta(b,d)}+\textcolor{green}{\Delta(b,c)}\\
d_2(-\Delta(a,c,d)) &= \textcolor{red}{-\Delta(c,d)}+\textcolor{black}{\Delta(a,d)}\textcolor{brown}{-\Delta(a,c)}\\
d_2(\hphantom{-}\Delta(a,b,d)) &= \hphantom{-}\textcolor{blue}{\Delta(b,d)}\textcolor{black}{-\Delta(a,d)}+\textcolor{orange}{\Delta(a,b)}\\
d_2(-\Delta(a,b,c)) &= \textcolor{green}{-\Delta(b,c)}+\textcolor{brown}{\Delta(a,c)}\textcolor{orange}{-\Delta(a,b)}\\
\Rightarrow d_2(d_3(\Delta(a,b,c,d))) &=0
\end{align*}
\end{beispiel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{beweis}
Sei $\sigma \in A_n$. Dann gilt:
\begin{align*}
d_{n-1}(d_n \sigma) &= d_{n-1} (\sum_{i=0}^n (-1)^i \partial_i \sigma)\\
&= \sum_{i=0}^n (-1)^i d_{n-1} (\partial_i \sigma)\\
&= \sum_{i=0}^n (-1)^i \sum_{j=0}^{n-1} \partial_i (\partial_j \sigma) (-1)^j\\
&= \sum_{\mathclap{0 \leq i \leq j \leq n-1}} (-1)^{i+j} \partial_j (\partial_i (\sigma)) + \sum_{\mathclap{0 \leq j < i \leq n}} (-1)^{i+j} \partial_{i-1} (\partial_j \sigma)\\
&= 0
\end{align*}
weil jeder Summand aus der ersten Summe auch in der zweiten
Summe vorkommt, aber mit umgekehrten Vorzeichen. $\qed$
\end{beweis}
\begin{definition}%
Sei $K$ ein Simplizialkomplex,
$Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und
$B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$.
\begin{defenum}
\item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te
\textbf{Homologiegruppe}\xindex{Homologiegruppe} von $K$.
\item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te
\textbf{Betti-Zahl}\xindex{Betti-Zahl} von $K$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Nach \cref{kor:9.11} ist $B_n \subseteq Z_n$, denn
$d_{n+1}(C) \in \text{Kern}(d_n)$ für $C \in C_{n+1}$.
\end{bemerkung}
\begin{minipage}{\textwidth}%don't break this theorem!
\begin{satz}
Für jeden endlichen Simplizialkomplex $K$ der Dimension $d$ gilt:
\[\sum_{k=0}^d (-1)^k b_k (K) = \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k(K) = \chi(K) \]
\end{satz}
\end{minipage}
\begin{bemerkung}
Es gilt \underline{nicht} $a_k = b_k\;\forall k \in \mdn_0$.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{itemize}
\item Dimensionsformel für $d_n$: $a_n = \dim Z_n + \dim B_{n-1}$ für $n \geq 1$
\item Dimensionsformel für $Z_n \rightarrow H_n = Z_n / B_n: \dim Z_n = b_n + \dim B_n$
\item $\dim Z_d = b_d$, da $\dim Z_d = b_d + \dim B_d$, wobei $\dim B_d = 0$, da $a_{d+1} = 0$
\item $a_0 - \dim B_0 = b_0$, da $a_0 - \dim B_0 = a_0 - \dim Z_0 + b_0$ und $a_0 = \dim Z_0$, weil
$a{-1} = 0$
\end{itemize}
\begin{align*}
\Rightarrow \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k (\dim Z_k + \dim B_{k-1})\\
&= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k + \sum_{k=0}^{d-1} (-1)^{k+1} \dim B_{k}\\
&= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k - \sum_{k=0}^{d-1} (-1)^k \dim B_{k}\\
&= a_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d \underbrace{\dim Z_d}_{= b_d} - \dim B_0\\
&= b_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d b_d\\
&= \sum_{k=0}^d (-1)^k b_k
\end{align*}
\end{beweis}
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel2-UB}
View git blame Copy permalink