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% Mitschrieb vom 09.01.2014 %
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\chapter{Euklidische und nichteuklidische Geometrie}
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\begin{definition}%
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Das Tripel $(X, d, G)$ heißt genau dann eine \textbf{Geometrie}\xindex{Geometrie},
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wenn $(X, d)$ ein metrischer Raum und $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$
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gilt. Dann heißt $G$ die Menge aller \textbf{Geraden}\xindex{Gerade}.
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\end{definition}
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\section{Axiome für die euklidische Ebene}
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Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
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Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
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Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch
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ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
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\textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
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\textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
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Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
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herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache
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Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen,
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dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom
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unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht
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gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der
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Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
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jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
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ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz,
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der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
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formal bewiesen oder widerlegt werden können.
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Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner
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Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
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aufgestellt.
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\textbf{Euklids Axiome}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Strecke} zwischen je zwei Punkten
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\item Jede Strecke bestimmt genau eine \textbf{Gerade}
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\item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius)
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\item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung)
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\item Parallelenaxiom von Euklid:\xindex{Parallelenaxiom}\\
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Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die
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Summe der Innenwinkel kleiner als zwei Rechte ist, dann schneiden sich
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diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\
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\\
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Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist,
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wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen.
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\end{itemize}
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\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
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Eine \textbf{euklidische Ebene} ist eine Geometrie $(X,d, G)$, die
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Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:5} erfüllt:
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
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\item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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\item \label{axiom:1.1} Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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$\Set{P, Q} \subseteq g$.
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\item \label{axiom:1.2} $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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\item \label{axiom:1.3} $X \notin G$
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
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genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
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wenn gilt:
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\begin{itemize}[]
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\item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder
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|
\item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder
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|
\item $d(Q, R) = d(Q, P) + d(P, R)$
|
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\end{itemize}
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|
\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie und seien $P, Q, R \in X$.
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\begin{defenum}
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\item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear},
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wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
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\item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
|
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und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
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\item \textbf{Strecke}\xindex{Strecke} $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
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\item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\
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$PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
|
|
$PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\
|
|
\end{defenum}
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|
\end{definition}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/topo-halbgerade.tex}
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\caption{Halbgeraden}
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\label{fig:halbgeraden}
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\end{figure}
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\begin{bemerkung}
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\begin{bemenum}
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\item $PR^+ \cup PR^- = PR$
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\item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
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\enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
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|
sind kollinear.\\
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$\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
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\begin{cases}
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Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
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|
R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\
|
|
P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR
|
|
\end{cases}$
|
|
\item \enquote{$\supseteq$} ist offensichtlich\\
|
|
\enquote{$\subseteq$}: Sei $PR^+ \cap PR^-$. Dann ist
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$d(Q,R) = d(P,Q) + d(P,R)$ weil $Q \in PR^-$ und
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\begin{align*}
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&\left \{ \begin{array}{l}
|
|
d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R) \text{ oder }\\
|
|
d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q)
|
|
\end{array} \right \}\\
|
|
&\Rightarrow d(Q,R) = 2d(P,Q) + d(Q,R)\\
|
|
&\Rightarrow d(P,Q) = 0\\
|
|
&\Rightarrow P=Q\\
|
|
&d(P,Q) = 2d(P,R) + d(P,Q)\\
|
|
&\Rightarrow P=R\\
|
|
&\Rightarrow \text{Widerspruch}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
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\begin{definition}%
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
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|
\item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}
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|
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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|
\item \label{axiom:3.1} Zu jeder
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Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem
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$r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
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$Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
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\item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt
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$X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei
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nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$,
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sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
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$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\
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|
Diese Teilmengen $H_i$ heißen
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\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
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$g$.
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\end{enumerate}
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\item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}:
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Zu $P, Q, P', Q' \in X$
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mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
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mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
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\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
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Für jedes $g \in G$ und jedes
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit $P \in h$ und
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|
$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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% Mitschrieb vom 14.01.2014 %
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\begin{satz}[Satz von Pasch]\label{satz:pasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5
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Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$
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und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$.
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Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder
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$g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$.
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\end{satz}
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Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks
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(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite
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schneiden.
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\begin{beweis}
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$g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$\\
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$\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.2}}}{\Rightarrow} P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$\\
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$\Rightarrow$ \obda $R$ und $P$ liegen in verschieden
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Halbebenen bzgl. $g$\\
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$\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$
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\end{beweis}
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\begin{bemerkung}\label{kor:beh3}
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Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$
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mit $A \neq B$.
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Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
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$Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$.
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Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
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\end{bemerkung}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/geometry-5.tex}
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\caption{Situation aus \cref{kor:beh3}}
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\label{fig:geometry-5}
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\end{figure}
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Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel
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einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks
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schneiden sich.
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\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3
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Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$
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$\overset{\cref{satz:pasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet
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$\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$
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Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben
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Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch
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$\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$.
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\item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie
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$B$, weil das für $Q$ gilt.
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$\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene
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bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$
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|
\end{enumerate}
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Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt:
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$\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
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\end{beweis}
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\begin{bemerkung}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
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Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$
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in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$
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und $d(A, Q) = d(B, Q)$.
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Dann ist $A = B$.
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\end{bemerkung}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/geometry-2.tex}
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\caption{\cref{kor:14.6}: Die beiden roten und die beiden blauen Linien sind gleich lang. Intuitiv weiß man, dass daraus folgt, dass $A = B$ gilt.}
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\label{fig:geometriy-2}
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\end{figure}
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\begin{beweis} durch Widerspruch\\
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\underline{Annahme}: $A \neq B$
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Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[1. Fall]{
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\input{figures/geometry-3.tex}
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\label{fig:geometry-3}
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}%
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\subfloat[2. Fall]{
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\input{figures/geometry-4.tex}
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\label{fig:geometry-4}
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}%
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\label{fig:bem:14.6}
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\caption{Fallunterscheidung aus \cref{kor:14.6}}
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\end{figure}
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\underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
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$\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh3}} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
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Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $d(A, C) + d(A, Q) = d(B, Q) < d(B, C) + d(C, Q) \Rightarrow d(A, C) < d(B, C)$ \label{enum:komischer-beweis-i}
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|
\item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $B$ liegt zwischen $P$ und $C$.
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$d(P,A) + d(A, C) > d(P,C) = d(P,B) + d(B,c) = d(P,A) + d(B,C)$
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|
$\Rightarrow d(A,c) > d(B,C) \Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i}
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|
\item $C$ liegt zwischen $P$ und $B$
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|
$d(P,C) + d(C,A) > d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) + d(C, B)$\\
|
|
$\Rightarrow d(C, A) > d(C, B)$\\
|
|
$\Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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\underline{2. Fall}: $Q$ und $B$ liegen auf verscheiden Halbebenen bzgl. $PA$.
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Dann liegen $A$ und $Q$ in derselben Halbebene bzgl. $PB$.
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Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 $\qed$
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\end{beweis}
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\begin{bemerkung}\label{kor:beh2'}
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Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3}
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erfüllt und $\varphi$ eine Isometrie mit $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
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Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$.
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|
\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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\begin{align*}
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\text{\Obda sei } S \in \overline{PQ} &\Leftrightarrow d(P,Q) = d(P,S) + d(S,Q)\\
|
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&\overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\
|
|
&\overset{\mathclap{P, Q \in \Fix(\varphi)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\
|
|
&\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\\
|
|
&\Rightarrow d(P, \varphi(S)) = d(P,S)\\
|
|
&\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
$\qed$
|
|
\end{beweis}
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\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
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|
In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt,
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|
gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens
|
|
zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$
|
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|
Aus den Axiomen folgt, dass es in
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|
den Situation \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
|
|
$\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Isometrien mit
|
|
$\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$, $i=1,2,3$
|
|
|
|
\begin{behauptung}[1]
|
|
$\exists R \in X \setminus PQ$ mit $\varphi_{1} (R) = \varphi_{2} (R)$.
|
|
\end{behauptung}
|
|
\begin{behauptung}[2]
|
|
Hat $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind,
|
|
so ist $\varphi = \id_X$.
|
|
\end{behauptung}
|
|
|
|
Aus Beh.~1 und Beh.~2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
|
|
also $\varphi_2 = \varphi_1$, da $P$, $Q$ und $R$ in diesem Fall
|
|
Fixpunkte sind.
|
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|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{behauptung}
|
|
Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist
|
|
$\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$.
|
|
\end{behauptung}
|
|
\begin{beweis}[von Beh. 2 mit \cref{kor:beh2'}]
|
|
Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$
|
|
und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$.
|
|
Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist
|
|
$\varphi(B) = B$ wegen \cref{kor:beh2'}.
|
|
|
|
Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$
|
|
$\overset{\cref{kor:beh2'}}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$.
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
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|
\input{figures/geometry-1.tex}
|
|
\caption{$P, Q, R$ sind Fixpunkte, $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P,Q}$, $A \notin PQ \cup PR \cup QR$}
|
|
\label{fig:geometry-1}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Ist $R \notin AB$, so ist $AB \cap \overline{PR} \neq \emptyset$
|
|
oder $AB \in \overline{RQ} \neq \emptyset$ nach \cref{satz:pasch}.
|
|
Der Schnittpunkt $C$ ist dann Fixpunkt von $\varphi'$
|
|
nach \cref{kor:beh2'} $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beweis}[von Beh. 1]
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|
Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
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$\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
|
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in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
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|
\Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der
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|
selben Halbebene.
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|
|
|
Es gilt:
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\begin{align*}
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|
d(P', \varphi_1(R)) &= d(\varphi_1(P), \varphi_1(R))\\
|
|
&= d(P, R)\\
|
|
&= d(\varphi_2(P), \varphi_2(R))\\
|
|
&= d(P', \varphi_2(R))\\
|
|
&= d(Q', \varphi_2(R))
|
|
\end{align*}
|
|
und analog $d(Q', \varphi_1(R)) = d(Q', \varphi_2(R))$
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Mit \cref{kor:14.6} lassen sich die Kongruenzsätze für Dreiecke,
|
|
wie man sie aus der Schule kennt, beweisen.
|
|
\end{bemerkung}
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\begin{proposition}\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
|
|
Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}.
|
|
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|
Dann gibt es zu jedem $g \in G$ und jedem $P \in X \setminus g$ ein
|
|
$h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h \eq \emptyset$.
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|
\end{proposition}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/geometry-6.tex}
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|
\caption{Situation aus \cref{prop:14.7}}
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\label{fig:geometry-6}
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|
\end{figure}
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\begin{beweis}
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Sei $f \in G$ mit $P \in f$. Ist $f \cap g = \emptyset$, so setze
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$h := f$. Andernfalls sei $\Set{Q} : = f \cap g$.
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|
|
Sei $\varphi$ die eindeutige Isometrie mit $\varphi(Q) = P$,
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|
$\varphi(P) = P'$, die die Halbebenen bzgl. $f$ nicht vertauscht.
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|
Setze $h := \varphi(g)$.
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|
\underline{Z.~Z.:} $h \cap g = \emptyset$.
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Andernfalls sei $\Set{R} = h \cap g$.
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|
\end{beweis}
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|
\begin{bemerkung}
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Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als alle nicht-anliegenden
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Außenwinkel.
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\end{bemerkung}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Mitschrieb vom 16.01.2014 %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{beweis}
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Sei $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P'$
|
|
mit $P' \in f, d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen
|
|
bzgl. $f$ erhält.
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\end{beweis}
|
|
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\begin{behauptung}[Herz]\label{beh:herz}
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|
$\varphi(g) \cap g = \emptyset$
|
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\end{behauptung}
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\begin{beweis}
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|
Ist $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$, so ist $R$ der Schnittpunkt.
|
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\end{beweis}
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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|
\input{figures/geometry-7.tex}
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\caption{Skizze zu \cref{beh:herz}}
|
|
\label{fig:geometry-7}
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|
\end{figure}
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|
\begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8
|
|
\begin{defenum}
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|
\item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$
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|
zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\
|
|
Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.}
|
|
\item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt,
|
|
die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
|
|
\item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
|
|
$\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
|
|
gibt, mit $\varphi(P) = P'$, $\varphi(PR'^{+}_{1}) = P' R_{1}^{+}$
|
|
und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene
|
|
bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
|
|
bzgl. $PR_2$ wie $R_1$
|
|
\item \label{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es \textbf{Innenwinkel}\xindex{Innenwinkel} und
|
|
\textbf{Außenwinkel}\xindex{Außenwinkel}.
|
|
\end{defenum}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[$\angle R_1' P' R_2'$ ist kleiner als $\angle R_1 P R_2$, vgl. \cref{def:14.8c}]{
|
|
\input{figures/smaller-angle.tex}
|
|
\label{fig:def.14.8.1}
|
|
}%
|
|
\subfloat[{\color{green} Innenwinkel} und {\color{blue} Außenwinkel} in $\triangle PQR$, vgl. \cref{def:14.8d}]{
|
|
\input{figures/interiour-exteriour-angles-triangle.tex}
|
|
\label{fig:def.14.8.2}
|
|
}
|
|
\label{fig:def.14.8.0}
|
|
\caption{Situation aus \cref{def:14.8}}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}\label{bem:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
|
|
In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht
|
|
anliegende Außenwinkel.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/geometry-9.tex}
|
|
\caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
|
|
\label{fig:bem:14.9}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Zeige $\angle PRQ < \angle RQP'$.
|
|
|
|
Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{QR}$. Sei
|
|
$A \in MP^-$ mit $d(P,M) = d(M,A)$.
|
|
|
|
Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie
|
|
$\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist
|
|
kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die
|
|
$\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und
|
|
$P$ auf $A$ ab.
|
|
|
|
$\Rightarrow \angle MQA = \angle MRP = \angle QRP = \angle PRQ$.
|
|
|
|
Noch zu zeigen: $\angle MQA < \angle RQP'$, denn $A$ liegt in der
|
|
selben Halbebene bzgl. $PQ$ wie $M$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{beweis}[von \cref{prop:14.7}]
|
|
Wäre $\varphi(g)$ nicht parallel zu $g$, so gäbe es einen
|
|
Schnittpunkt $R$. Dann ist $\angle QPR < \angle RQP^-$ nach
|
|
\cref{bem:14.9} und $\angle QPR = \angle RQP^-$, weil
|
|
$\varphi(\angle RQP') = \angle RPQ$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10
|
|
Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als $\pi$.
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
D.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$
|
|
und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen
|
|
Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Die Summe eines Innenwinkels mit den anliegenden Außenwinkeln ist
|
|
$\pi$, d.~h. die beiden Halbgeraden bilden eine Gerade.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png}
|
|
\caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.}
|
|
\label{fig:spherical-triangle}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{proposition}\label{prop:14.11}%In Vorlesung: Proposition 14.11
|
|
In einer Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}
|
|
ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[Summe der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$]{
|
|
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/three-angles.tex}}
|
|
\label{fig:prop14.11.1}
|
|
}%
|
|
\subfloat[Situation aus \cref{prop:14.11}]{
|
|
\resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/geometry-8.tex}}
|
|
\label{fig:prop14.11.2}
|
|
}
|
|
\label{fig:prop14.11.0}
|
|
\caption{Situation aus \cref{prop:14.11}}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$.
|
|
|
|
\begin{behauptung}
|
|
Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit
|
|
$\IWS(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
|
|
$\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$.
|
|
|
|
Dann gibt es für jedes $n$ ein $\triangle_n$ mit $\IWS(\triangle_n) = \IWS(\triangle)$
|
|
und Innenwinkel $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$
|
|
ist dann die Summe der beiden Innenwinkel
|
|
um $\triangle_n$ größer als $\pi \Rightarrow$ Widerspruch zu
|
|
\cref{folgerung:14.10}.
|
|
\end{behauptung}
|
|
|
|
\begin{beweis}[der Behauptung]
|
|
Sei $M$ der Mittelpunkt $\overline{RC}$ und $A' \in MA^-$ mit
|
|
$d(A', M) = d(A, M) \Rightarrow \triangle(MA'C)$ und
|
|
$\triangle(MAB)$ sind kongruent.
|
|
$\Rightarrow \angle ABM = \angle A'CM$ und $\angle MA'C = \angle MAB$.
|
|
$\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma =\IWS(\triangle ABC) = \IWS(\triangle AA'C)$
|
|
und $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha$, also \obda $\alpha_1 \leq \frac{\alpha}{2}$
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
% Mitschrieb vom 21.01.2014 %
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\begin{bemerkung}\label{bem:14.12}%In Vorlesung: Bemerkung 14.12
|
|
In einer euklidischen Ebene ist in jedem Dreieck die Innenwinkelsumme
|
|
gleich $\pi$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/triangle-2.tex}
|
|
\caption{Situation aus \cref{bem:14.12}}
|
|
\label{fig:14.12}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Es gibt $\alpha' = \alpha$ wegen \cref{prop:14.7}.
|
|
\item Es gibt $\beta' = \beta$ wegen \cref{prop:14.7}.
|
|
\item Es gibt $\alpha'' = \alpha'$ wegen \cref{ub11:aufg1}.
|
|
\end{itemize}
|
|
$\Rightarrow \IWS(\triangle ABC) = \gamma + \alpha'' + \beta' = \pi$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\section{Weitere Eigenschaften einer euklidischen Ebene}
|
|
\begin{satz}[Strahlensatz]
|
|
In ähnlichen Dreiecken sind Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}
|
|
\caption{Strahlensatz}
|
|
\label{fig:hyperbolische-geometrie-2}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich
|
|
dankbar.
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|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/triangle-similar.tex}
|
|
\caption{Die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle AB'C'$ sind ähnlich.}
|
|
\label{fig:triangle-similar}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsection{Flächeninhalt}
|
|
\begin{definition}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche}%
|
|
\enquote{Simplizialkomplexe} in euklidischer Ebene $(X,d)$ heißen
|
|
\textbf{flächengleich},
|
|
wenn sie sich in kongruente Dreiecke zerlegen lassen.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[Zwei kongruente Dreiecke]{
|
|
\input{figures/rectangle-2.1.tex}
|
|
\label{fig:rectangle-2.1}
|
|
}%
|
|
\subfloat[Zwei weitere kongruente Dreiecke]{
|
|
\input{figures/rectangle-2.2.tex}
|
|
\label{fig:rectangle-2.2}
|
|
}%
|
|
\label{fig:flaechengleichheit}
|
|
\caption{Flächengleichheit}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[$\nicefrac{1}{2} \cdot |\overline{AB}| \cdot |h_c|$]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/triangle-5.tex}}
|
|
\label{fig:triangle-5}
|
|
}%
|
|
\subfloat[$\nicefrac{1}{2} \cdot |\overline{BC}| \cdot |h_a|$]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/triangle-4.tex}}
|
|
\label{fig:triangle-4}
|
|
}%
|
|
\caption{Flächenberechnung im Dreieck}
|
|
\label{fig:flaechenberechnung-dreieck}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\underline{Zu zeigen:} Unabhängigkeit von der gewählten Grundseite.
|
|
|
|
\begin{figure}[htp]
|
|
\centering
|
|
\input{figures/triangle-3.tex}
|
|
\caption{$\triangle ABL_a$ und $\triangle C{L_C}B$ sind ähnlich, weil $\IWS = \pi$}
|
|
\label{fig:flaechenberechnung-dreieck-2}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
$\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz des Pythagoras]
|
|
Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die
|
|
Hypothenuse und $a, b$ die beiden Katheten sind.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[$a,b$ sind Katheten und $c$ ist die Hypothenuse]{
|
|
\input{figures/pythagoras.tex}
|
|
\label{fig:pythagoras-bezeichnungen}
|
|
}%
|
|
\subfloat[Beweisskizze]{
|
|
\input{figures/pythagoras-2.tex}
|
|
\label{fig:pythagoras-2}
|
|
}%
|
|
\label{fig:pythagoras}
|
|
\caption{Satz des Pythagoras}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
$(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 +4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b)$
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{satz}\label{satz:14.13} %In Vorlesung: Satz 14.13
|
|
Bis auf Isometrie gibt es genau eine euklidische Ebene, nämlich
|
|
$X=\mdr^2$, $d = \text{euklidischer Abstand}$, $G = \text{Menge der üblichen Geraden}$.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
|
|
\item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
|
|
in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
|
|
schneiden. Sei $X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
|
|
$g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}).
|
|
|
|
Sei $Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
|
|
|
|
Setze $h(P) := (x_P, y_P)$ mit
|
|
$x_P := d(X, 0)$ und $y_P := d(Y, 0)$.
|
|
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[Schritt 1]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-1.tex}}
|
|
\label{fig:14.13.1}
|
|
}%
|
|
\subfloat[Schritt 2]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
|
|
\label{fig:14.13.2}
|
|
}%
|
|
\label{fig:14.13.0.1}
|
|
\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Dadurch wird $h:X \rightarrow \mdr^2$ auf dem Quadranten
|
|
definiert, in dem $P$ liegt (d.~h. $\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2$)
|
|
Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl.
|
|
|
|
\begin{behauptung}[1]
|
|
$h$ ist surjektiv
|
|
\end{behauptung}
|
|
\begin{behauptung}[2]
|
|
$h$ ist abstandserhaltend ($\rightarrow$ injektiv)
|
|
\end{behauptung}
|
|
\begin{beweis}[von 1]
|
|
Sei $(x, y) \in \mdr^2$, z.~B. $x \geq 0, y \geq 0$.
|
|
Sei $P' \in g_1$ mit $d(0, P') = x$ und
|
|
$P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$.
|
|
\end{beweis}
|
|
\begin{beweis}[von 2]
|
|
\begin{figure}[ht]
|
|
\centering
|
|
\subfloat[Schritt 1]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
|
|
\label{fig:14.13.3}
|
|
}%
|
|
\subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
|
|
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/todo.tex}}
|
|
\label{fig:14.13.4}
|
|
}%
|
|
\label{fig:14.13.0.2}
|
|
\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
|
|
\end{figure}
|
|
Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$
|
|
|
|
$d(P, Q)^2 \overset{\text{Pythagoras}}{=} d(P, R)^2 + d(R, Q)^2 = (y_Q - y_P)^2 + (x_Q - x_P)^2$.
|
|
|
|
$h(Q) = (x_Q, y_Q)$
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
% Mitschrieb vom 23.01.2014 %
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Hyperbolische Geometrie}
|
|
\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
|
|
Sei
|
|
\[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
|
|
die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
|
|
mit
|
|
\begin{align*}
|
|
G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\
|
|
G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
|
|
Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots
|
|
\begin{bemenum}
|
|
\item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1}
|
|
\item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2}
|
|
\item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5}
|
|
\end{bemenum}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{beweis}\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*), ref=\theproposition (\alph*)]
|
|
\item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2}
|
|
erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\
|
|
Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\
|
|
\textbf{Existenz:}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item[Fall 1] $\Re(z_1) = \Re(z_2)$\\
|
|
$\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf
|
|
\[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re(z_1) \land \mdh}\]
|
|
Siehe \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1}.
|
|
\item[Fall 2] $\Re(z_1) \neq \Re(z_2)$\\
|
|
Betrachte nun $z_1$ und $z_2$ als Punkte in der
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euklidischen Ebene. Die Mittelsenkrechte zu diesen
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Punkten schneidet die $x$-Achse. Alle Punkte auf
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der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich
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weit von $z_1$ und $z_2$ entfernt. Daher ist
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der Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Mittelpunkt
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eines Kreises durch $z_1$ und $z_2$ (vgl. \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2})
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\end{enumerate}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[Fall 1]{
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex}}
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\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1}
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}%
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\subfloat[Fall 2]{
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex}}
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\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2}
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}%
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\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-0}
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\caption{Zwei Punkte liegen in der hyperbolischen Geometrie immer auf genau einer Geraden}
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\end{figure}
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\item TODO
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\item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
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\begin{figure}[hp]
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\centering
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\input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex}
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\caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.}
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\label{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}
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\end{figure}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}%
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Es seien $a,b,c,d \in \mdc$ mit $ad - bc \neq 0$ und
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$\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch
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\[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\]
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$\sigma$ heißt \textbf{Möbiustransformation}.
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\end{definition}
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\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2
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\begin{propenum}
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\item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch die Möbiustransformation
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\[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\]
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\item Die Gruppe $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$ operiert durch $\sigma$ auf $\mdh$.
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\item \label{prop:15.2c} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
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$x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
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$\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
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$\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$.
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\item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen
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\[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix},
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\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix} \text{ und }
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\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} \text{ mit } a, \lambda \in \mdr\]
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erzeugt.
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\item \label{prop:15.2e} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$.
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\end{propenum}
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\end{proposition}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Sei $z = x + \iu y \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und
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$\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$
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\begin{align*}
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\Rightarrow \sigma(z) &= \frac{a(x + \iu y) + b}{c(x + \iu y) +d}\\
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&= \frac{(ax + b) + \iu ay}{(cx + d) + \iu cy} \cdot \frac{(cx+d)-\iu cy}{(cx+d)-\iu cy}\\
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&= \frac{(ax+b)(cx+d) + aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{ay(cx + d) - (ax+b)cy}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
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&= \frac{axcx+axd+bcx+bd+aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
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|
&\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=}\hspace{5 mm} \frac{ac(x^2+y^2)+adx+bcx+bd}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
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\end{align*}
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$\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$
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Die Abbildung bildet also nach $\mdh$ ab. Außerdem gilt:
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\[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \circ z = \frac{x+\iu y}{1} = x + \iu y = z\]
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|
und
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\begin{align*}
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\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \left ( \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \circ z \right )&=
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|
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \frac{a'z + b'}{c'z + d'}\\
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&= \frac{a \frac{a'z + b'}{c'z + d'} + b}{c \frac{a'z + b'}{c'z + d'} + d}\\
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&= \frac{\frac{a(a'z+b') + b(c'z+d')}{c'z+d'}}{\frac{c(a'z+b')+d(c'z+d')}{c'z+d'}}\\
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&= \frac{a(a'z+b')+b(c'z+d')}{c(a'z+b') + d(c'z+d')}\\
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&= \frac{(aa'+bc')z + ab' + bd'}{(ca'+db')z + cb' + dd'}\\
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|
&= \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+db'&cb'+dd'\end{pmatrix} \circ z\\
|
|
&= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z
|
|
\end{align*}
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\item Es gilt $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
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und $z \in \mdh$.
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\item Ansatz: $\sigma = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$
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$\sigma(x_0) = \frac{ax_0 + b}{c x_0 + d} \overset{!}{=} 0$
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$\Rightarrow a x_0 + b = 0 \Rightarrow b = -a x_0$\\
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$\sigma(x_\infty) = \infty \Rightarrow c x_\infty + d = 0 \Rightarrow d = - x_\infty$\\
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$\sigma(x_1) = 1 \Rightarrow a x_1 + b = c x_1 + d$\\
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$a (x_1 - x_0) = c (x_1 - x_\infty) \Rightarrow c = a \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty}$\\
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$\Rightarrow - a^2 \cdot x_\infty \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty} + a^2 x_0 \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty} = 1$\\
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|
$\Rightarrow a^2 \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty} (x_0 - x_\infty) = 1$
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$\Rightarrow a^2 = \frac{x_1 - x_\infty}{(x_1 - x_\infty) (x_1 - x_0)}$
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|
\item TODO d)
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\item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d}
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zu zeigen.
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\begin{itemize}
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\item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$.
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|
Daraus ergeben sich die Situationen, die in \cref{fig:prop15.2.e.fall1.1} und
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|
\cref{fig:prop15.2.e.fall1.2} dargestellt sind.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[Fall 1]{
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-1.tex}}
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\label{fig:prop15.2.e.fall1.1}
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}%
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|
\subfloat[Fall 2 (Strahlensatz)]{
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\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}}
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|
\label{fig:prop15.2.e.fall1.2}
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|
}%
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|
\label{fig:prop15.2.e.fall1.0}
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\caption{Beweis von \cref{prop:15.2e} für eine Diagonalmatrix}
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\end{figure}
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\item Offensichtlich gilt die Aussage für $\sigma = \begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}$
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\item Sei nun $\sigma = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = - \frac{1}{z}$
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\begin{figure}[htp]
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\centering
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\input{figures/inversion-am-kreis.tex}
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\caption{Inversion am Kreis}
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\label{fig:inversion-am-kreis}
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\end{figure}
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Mitschrieb vom 28.01.2014 %
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 15.3
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Zu hyperbolischen Geraden $g_1, g_2$ gibt es $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$
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mit $\sigma(g_1) = g_2$.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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Nach \cref{prop:15.2c} gibt es $\sigma$ mit $\sigma(a_1) = b_1$
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und $\sigma(a_2) = b_2$. Dann existiert $\sigma(g_1) := g_2$
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wegen dem Inzidenzaxiom \ref{axiom:1} und ist eindeutig bestimmt.
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\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Doppelverhältnis}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4
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Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden.
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Dann heißt
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\[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\]
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|
\textbf{Doppelverhältnis} von
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$z_1, \dots, z_4$.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften des Doppelverhältnisses]
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\begin{bemenum}
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\item $\DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdc \setminus \Set{0,1}$
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\item \label{bem:15.4b.ii} $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
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|
\item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
|
\item $\DV$ ist auch wohldefiniert, wenn eines der $z_i = \infty$
|
|
oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind.
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\item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen).
|
|
\item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$
|
|
ist
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\[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)\]
|
|
und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt
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\[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\]
|
|
\item \label{bem:15.4e} $\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow z_1, \dots, z_4$
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liegen auf einer hyperbolischen Geraden.
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 0$, da $z_i$ paarweise verschieden\\
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$\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 1$, da:
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\begin{adjustwidth}{2.5em}{0pt}
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|
\underline{Annahme:} $\DV(z_1, \dots, z_4) = 1$
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\begin{align*}
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\Leftrightarrow (z_1 - z_2) (z_3 - z_4) &= (z_1 - z_4) (z_3 - z_2)\\
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|
\Leftrightarrow z_1 z_3 - z_2 z_3 - z_1 z_4 + z_2 z_4 &= z_1 z_3 - z_3 z_4 - z_1 z_2 + z_2 z_4\\
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|
\Leftrightarrow z_2 z_3 + z_1 z_4 &= z_3 z_4 + z_1 z_2\\
|
|
\Leftrightarrow z_2 z_3 - z_3 z_4 &= z_1 z_2 - z_1 z_4\\
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|
\Leftrightarrow z_3 (z_2 - z_4) &= z_1 (z_2 - z_4)\\
|
|
\Leftrightarrow z_3 &= z_1 \text{ oder } z_2 = z_4
|
|
\end{align*}
|
|
Alle $z_i$ sind paarweise verschieden $\Rightarrow$ Widerspruch $\qed$
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|
\end{adjustwidth}
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|
\item $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
|
\item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{(z_3 - z_4) \cdot (z_1 - z_2)}{(z_3 - z_2) \cdot (z_1 - z_4)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
|
\item Zwei der $z_i$ dürfen gleich sein, da:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[Fall 1] $z_1 = z_4$ oder $z_3 = z_2$\\
|
|
In diesem Fall ist $\DV(z_1, \dots, z_4) = 0$
|
|
\item[Fall 2] $z_1 = z_2$ oder $z_3 = z_4$\\
|
|
Mit der Regel von L'Hospital folgt, dass in diesem
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|
Fall $\DV(z_1, \dots, z_4) = \infty$ gilt.
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|
\item[Fall 3] $z_1 = z_3$ oder $z_2 = z_4$\\
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Durch Einsetzen ergibt sich $\DV(z_1, \dots, z_4)=1$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist
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entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$
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\item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$
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|
\item TODO
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|
\item Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
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$\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
|
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|
$\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4d}}}{\Rightarrow}\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
|
|
$\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$\\
|
|
$\Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$
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Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
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eine Gerade in $\mdc$ ist.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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|
\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
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Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
|
|
Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
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|
\enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln |\DV(a_1, z_4, a_2, z_2) |$
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|
und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}.
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|
\end{definition}
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\begin{behauptung}
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|
Die hyperbolische Metrik ist eine Metrik auf $\mdh$.
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\end{behauptung}
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\begin{beweis}
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Wegen \cref{bem:15.4d} ist
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\[d(z_1, z_2) := d(\sigma(z_1), \sigma(z_2)) \text{ mit } \sigma(a_1) = 0,\; \sigma(a_2) = \infty\]
|
|
d.~h. $\sigma(g_{z_1, z_2}) = \iu \mdr$ (imaginäre Achse).
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|
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|
also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$.
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\begin{align*}
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2d(\iu a, \iu b)&= \ln \mid \DV(0, \iu a, \infty, \iu b) \mid \\
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&= \ln \mid \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)} \mid \\
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&= \ln \mid \frac{b}{a} \mid\\
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&= \ln b - \ln a
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|
\end{align*}
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|
Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
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\begin{align*}
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|
2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
|
|
&= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
|
|
&\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{5mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
|
|
&= 2 d(z_1, z_2)
|
|
\end{align*}
|
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|
Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in \mdc$ auf einer hyperbolischen
|
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Geraden, so gilt $d(z_1, z_3) = d(z_1, z_2) + d(z_2, z_3)$
|
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(wenn $z_2$ zwischen $z_1$ und $z_3$ liegt).
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Dreiecksungleichung: Beweis ist umständlich und wird hier nicht geführt. Es sei auf die Vorlesung \enquote{Hyperbolische Geometrie}
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verwiesen.
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\end{beweis}
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\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 15.6
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Die hyperbolische Ebene $\mdh$ mit der hyperbolischen Metrik $d$
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und den hyperbolischen Geraden bildet eine \enquote{nichteuklidische Geometrie},
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d.~h. die Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} sind erfüllt,
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aber Axiom~\ref{axiom:5} ist verletzt.
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\end{satz}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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