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\chapter*{Lösungen der Übungsaufgaben}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Lösungen der Übungsaufgaben}
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\begin{solution}[\ref{ub:aufg1}]
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\textbf{Teilaufgabe a)} Es gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $\emptyset, X \in \fT_X$.
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\item $\fT_X$ ist offensichtlich unter Durchschnitten abgeschlossen,
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d.~h. es gilt für alle $U_1, U_2 \in \fT_X: U_1 \cap U_2 \in \fT_X$.
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\item Auch unter beliebigen Vereinigungen ist $\fT_X$ abgeschlossen,
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d.~h. es gilt für eine beliebige Indexmenge $I$ und alle
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$U_i \in \fT_X$ für alle $i \in I: \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT_X$
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\end{enumerate}
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Also ist $(X, \fT_X)$ ein topologischer Raum.
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\textbf{Teilaufgabe b)} Wähle $x=1, y=0$. Dann gilt $x \neq y$
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und die einzige Umgebung von $x$ ist $X$. Da $y=0 \in X$ können
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also $x$ und $y$ nicht durch offene Mengen getrennt werden.
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$(X, \fT_X)$ ist also nicht hausdorffsch.
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\textbf{Teilaufgabe c)} Nach Bemerkung \ref{Trennungseigenschaft}
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sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht
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hausdorffsch ist, liefert die Kontraposition der Trennungseigenschaft,
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dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann.
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\end{solution}
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\begin{solution}[\ref{ub:aufg4}]
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\todo[inline]{Lösung schreiben}
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\end{solution}
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