mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-26 06:48:04 +02:00
77 lines
3.5 KiB
TeX
77 lines
3.5 KiB
TeX
\section{Multiplikativ inverses Element}\label{sec:Multiplikativ-Inverses}
|
|
\subsection{Definition und Beispiele}
|
|
Das multiplikativ inverse Element $d$ von $e$ ergibt bei der
|
|
Multiplikation mit $e$ das neutrale Element der Multiplikation, also
|
|
die Eins: $d \cdot e = 1$
|
|
|
|
In $\mathbb{R} \setminus \Set{0}$ hat jedes Element ein multiplikativ
|
|
Inverses, den Kehrbruch. In $\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}$ ist das
|
|
multiplikativ Inverse von zwei in der Restgruppe von vier, da
|
|
$2 \cdot 4 = 8$ und $8 \equiv 1 \imod{7}$.
|
|
Mit dem erweitertem euklidischem Algorithmus kann man das
|
|
multiplikativ Inverse von $a$ in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden.
|
|
|
|
\subsection{Erweiterter euklidischer Algorithmus}
|
|
Sind zwei Zahlen $a > b$ gegeben und will deren größten gemeinsamen
|
|
Teiler berechnen, so kann man den erweiterten euklidischen
|
|
Algorithmus anwenden:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Größtmögliches $q$ wählen, so dass gilt $a = q_1 \cdot b + r_1$
|
|
\item $b = q_2 \cdot r_1 + r_2$
|
|
\item $r_1 = q_3 \cdot r_2 + r_3$
|
|
\item \dots
|
|
\item bis $r_{n-2} = q_n \cdot r_{n-1} + r_n$ mit $r_n = 0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Dann ist $r_{n-1} = ggT(a,b)$
|
|
|
|
Mit diesem Algorithmus kann man nun das multiplikativ Inverse von $a$
|
|
in $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ finden, wenn der größte gemeinsame Teiler von $a$ und
|
|
$n$ gleich 1 ist. Da im vorletzten Schritt $r_{n - 1} = 1$ ist, kann man 1 als
|
|
Linearkombination der Reste von $r_{n - 3}$ und $r_{n - 2}$
|
|
darstellen. Diese Reste kann man wiederum als Linearkombination
|
|
vorhergehender Reste darstellen. Dies setzt man so lange fort,
|
|
bis man eine Linearkombination mit $a$ und $n$ von 1 hat. Da wir im
|
|
Restklassenring $n$ sind, muss man nur das Produkt mit $a$ betrachten
|
|
und kann das multiplikativ Inverse zu $a$ im Restklassenring
|
|
$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ ablesen.
|
|
|
|
|
|
Hier ein Beispiel zur Veranschaulichung:
|
|
|
|
Sei $a = (\text{Primzahl}_1 - 1) \cdot (\text{Primzahl}_2 - 1) =(3 - 1) \cdot (47 - 1) = 92$ und $b=71$
|
|
|
|
Gesucht ist das multiplikativ Inverse $b \in \mathbb{Z} / a \mathbb{Z}$ von $x \cdot 71 \equiv 1 \imod{92}$:
|
|
|
|
\begin{tabular}{lll}
|
|
\textbf{Schritt 1}: euklidischer Algorithmus & & \textbf{Schritt 2}: nach Rest auflösen\\
|
|
$91=1 \cdot 71 + 21$ \myDownArrow & $\rightarrow$ & $21 = 92 - 71$ \myUpArrow\\
|
|
$71=3 \cdot 21 + 8$ & $\rightarrow$ & $8 = 71 - 3 \cdot 21$\\
|
|
$21=2 \cdot 8 + 5$ & $\rightarrow$ & $5 = 21 - 2 \cdot 8$\\
|
|
$ 8=1 \cdot 5 + 3$ & $\rightarrow$ & $3 = 8 - 1 \cdot 5$\\
|
|
$ 5=1 \cdot 3 + 2$ & $\rightarrow$ & $2 = 5 - 1 \cdot 3$\\
|
|
$ 3=1 \cdot 2 + 1$ & $\rightarrow$ & $1 = 3 - 1 \cdot 2$
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
\textbf{Schritt 3}: so lange Reste einsetzen, bis eine Linearkombination der Form
|
|
$1 = x \cdot 92 + y \cdot 71$ gefunden ist:
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
1 &= 3 - (5 - 3) &&= 2 \cdot 3 - 5 \\
|
|
1 &= 2 \cdot (8 - 5) - (21 - 2 \cdot 8) &&= 4 \cdot 8 - 2 \cdot 5 - 21 \\
|
|
1 &= 4 \cdot 8 - 2 \cdot (21 - 2 \cdot 8) - 21 &&= 8 \cdot 8 - 3 \cdot 21 \\
|
|
1 &= 8 \cdot (71 - 3 \cdot 21) - 3 \cdot (92 - 71) &&= 11 \cdot 71 - 24 \cdot 21 - 3 \cdot 92 \\
|
|
1 &= 11 \cdot 71 - 3 \cdot 92 - 24 \cdot (92 - 71) &&= 35 \cdot 71 - 27 \cdot 92
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Das bedeutet 35 ist das multiplikativ Inverse zu 71 in
|
|
$ \mathbb{Z} / 92 \mathbb{Z}$ und erfüllt damit die Kongruenzgleichung
|
|
$35 \cdot 71 \equiv 1 \imod{92}$.
|
|
|
|
Zusätzlich hat man damit weitere multiplikativ Inverse gefunden:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $-27 \cdot 92 \equiv 1 \imod{71}$
|
|
\item $-27 \cdot 92 \equiv 1 \imod{35}$
|
|
\item $35 \cdot 71 \equiv 1 \imod{27}$
|
|
\end{itemize}
|