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Die Kontraktionskonstante war falsch und die Variablen für den MWS sind nicht aus dem Intervall D gekommen.
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TeX
\section*{Aufgabe 2}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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\textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
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\textbf{Beweis:}
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Sei $ D := [-1, 1]$.\\
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Trivial: $D$ ist abgeschlossen.
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Sei $ x \in D$, so gilt:
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\begin{align*}
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0 < cos(x) \leq 1
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\end{align*}
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Also: $cos(x) \in D$.\\ Wenn $x \not\in D$, so gilt $y := cos(x)$ und $cos(y) \in D$. D.h. bereits nach einem Iterationschritt wäre $cos(x) \in D$ für $x \in \mathbb{R}$! Dies ist wichtig, da damit gezeigt ist, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ konvergiert! Es kommt nur dieser einzige Iteratationsschritt für $x \not\in \mathbb{R}$ hinzu.
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Nun gilt mit $ x, y \in D, x < y, \xi \in (x,y) $ und dem Mittelwert der Differentialrechnung:
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\begin{align*}
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\frac{cos(x) - cos(y)}{x - y} = cos'(\xi) \\
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\Leftrightarrow cos(x) - cos(y) = cos'(\xi) * (x - y) \\
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\Leftrightarrow | cos(x) - cos(y) | = | cos'(\xi) * (x - y) | \leq | cos'(\xi) | * | (x - y) |
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\end{align*}
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Da $ \xi \in (0, 1) $ gilt:
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\begin{align*}
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0 \leq | cos'(\xi) | = | sin(\xi) | < 1
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\end{align*}
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Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
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Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
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Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage. |