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TeX
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% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
\section{Homotopie von Wegen}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie
\enquote{zueinander verschieben} kann.]{
\input{figures/topology-homotop-paths.tex}
\label{fig:homotope-wege-anschaulich}
}\hspace{1em}%
\subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
\input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
\label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
}
\label{fig:paths-homotop-example-counterexample}
\caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
\end{figure}
\begin{definition}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
$\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
wenn es eine stetige Abbildung
\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
$H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
\item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{korollar}
\enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
\end{korollar}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{itemize}
\item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
\item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
\item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
$\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
$\gamma_2$
\end{itemize}
$\qed$
\end{beweis}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
\cref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
aus \cref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
nicht homöotop.
\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
sind homöotop.
\begin{figure}
\centering
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$}
\label{fig:paths-from-origin}
\end{figure}
Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
$\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
$\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.
$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
\end{enumerate}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Kreis mit zwei Wegen]{
\input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
\label{fig:circle-two-paths}
}%
\subfloat[Torus mit drei Wegen]{
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-three-paths.pdf}
\label{fig:torus-three-paths}
}%
\label{fig:homotop-paths}
\caption{Beispiele für (nicht)-Homotopie von Wegen}
\end{figure}
\end{beispiel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 05.12.2013 %
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\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
$\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
homotop.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
Dann ist $H$ stetig, $H(t,0) = \gamma(t),\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t)),\;\;\;$
$H(0,s) = \gamma(0)$ und $H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
$\Rightarrow H$ ist Homotopie. $\qed$
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
Dann ist
\[\gamma (t) = \begin{cases}
\gamma_1(2t) &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
\gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
\end{cases}\]
ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
\end{definition}
\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
Homotopie assoziativ, d.~h.:
\begin{align*}
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
\end{align*}
mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
\end{korollar}
\begin{beweis}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
\input{figures/topology-path-not-associative-1.tex}
\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
}
\subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
\input{figures/topology-path-not-associative-2.tex}
\label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
}%
\label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
\caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
\end{figure}
Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
bis auf Homotopie assoziativ, da
\[\gamma(t) = \begin{cases}
\frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
\end{cases}\]
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
Wege von $a$ nach $b$ und $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
\end{korollar}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
\label{fig:situation-bemerkung-10-6}
\end{figure}
\begin{beweis}
Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
$i=1,2$.
Dann ist
\[H(t,s) := \begin{cases}
H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
\end{cases}\]
Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
\todo[inline]{Hier fehlt noch was}
\end{beweis}
\section{Fundamentalgruppe}
Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
\begin{definition}
Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
\[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
Durch $[\gamma_1] *_G [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
$\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
in $X$ im Basispunkt $x$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}[Fundamentalgruppe ist eine Gruppe]\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
\item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
\item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
$e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
\item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $S^1 = \Set{z \in \mdc | {|z|} = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
$[\gamma^k] \mapsto k$
\item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
\item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
\item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$,
wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
ist.
Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
$\pi_1(G,x) = \Set{e}$
\begin{figure}
\centering
\input{figures/star-shaped-domain.tex}
\caption{Sternförmiges Gebiet}.
\label{fig:sternfoermiges-gebiet}
\end{figure}
\item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
werden.
Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
Wegen!
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
ein Weg von $a$ nach $b$.
Dann ist die Abbildung
\[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
ein Gruppenisomorphismus.
\end{korollar}
\begin{figure}
\centering
\input{figures/todo.tex}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
\label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
\end{figure}
\begin{beweis}
\begin{align*}
\alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
&= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
&= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
\end{align*}
\end{beweis}
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% Tânias Mitschrieb vom 10.12.2013 %
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\begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4
Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt
\textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$
für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
\end{definition}
\begin{korollar}\label{korr:11.5}
Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y),
[y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus.
\item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$
eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
$(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$.
Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ mit
\todo{Warum die Punkte?}{\dots} $(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$.
$f_*([\gamma_1] * [\gamma_2]) = [f \circ (\gamma_1 * \gamma_2)] = [(f \circ \gamma_1)] * [(f \circ \gamma_2)] = f_*([\gamma_1]) * f_*([\gamma_2])$
\item $(g \circ f)_* ([\gamma]) = [(g \circ f) \circ \gamma] = [g \circ (f \circ \gamma)] = g_* ([f \circ \gamma]) = g_* (f_* ([\gamma])) = (g_* \circ f_*)([\gamma])$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber
$f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$
ist nicht injektiv
\item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$
ist nicht surjektiv
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}%Folgerung 11.6
Sei $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen
Räumen $X, Y$. Dann gilt:
\[f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\]
ist ein Isomorphismus für jedes $x \in X$.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
und $f \circ g = \id_Y$, $g \circ f = \id_X$
$\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\id_Y)_* = \id_{\pi_1 (Y, f(X)}$
und $g_* \circ f_* = \id_{\pi_1(X,x)}$.
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}
Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
$f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(X,0) = f(X), H(X,1)=g(x)$
für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
\end{definition}
\begin{korollar}
Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h.
$[\gamma] \in \pi_1 (X, x_0)$.
Z.~Z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$
Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), S)$.
Dann gilt: $H_\gamma (t,0) = H(\gamma(t), 0) = (g \circ \gamma)(t)$,
$H_\gamma(1,s) = H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0$ für alle $s$.
\end{beweis}
\begin{beispiel}
$f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \id_X,$
$f \circ g \sim \id_Y$
$\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$
$g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$
$\Rightarrow f \circ g = \id_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
$x \mapsto 0$ für alle $x$.
$g \circ f \sim \id_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
$\Rightarrow H(X,0) = X = \id_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
\end{beispiel}
\begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit
$U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend.
Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen
Wegen um $x$, die ganz in $U$ oder ganz in $V$ verlaufen.
\end{satz}
\begin{beweis}
Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$.
Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in
$\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.
\Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.
Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$.
Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$
ist homotop zu
\[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2\]
\end{beweis}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item
\begin{figure}
\centering
\input{figures/topologischer-raum-x.tex}
\caption{Topologischer Raum $X$}
\label{fig:top-raum-kreise}
\end{figure}
Sei $X$ wie in \cref{fig:top-raum-kreise}. $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
$\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
\item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
\begin{figure}
\centering
\input{figures/topology-4.tex}
\caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$}
\label{fig:torous-a-b}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{beispiel}
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% Mitschrieb vom 12.12.2013 %
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\section{Überlagerungen}\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|(}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=4cm, keepaspectratio]{figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf}
\caption{$\mdr \rightarrow S^1$,\\$t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$}
\label{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
\end{figure}
\begin{definition}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung}\label{def:12.1}%Definition 12.1 der Vorlesung
Es seien $X, Y$ zusammenhängende topologische Räume und
$p: Y \rightarrow X$ eine stetige Abbildung.
$p$ heißt \textbf{Überlagerung}, wenn jedes $x \in X$ eine offene
Umgebung $U = U(x) \subseteq X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
von offenen Teilmengen $V_j \subseteq Y$ ist $(j \in I)$ und
$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist.
\end{definition}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item siehe \cref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
\item siehe \cref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
\item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
\item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$\xindex{Raum!projektiver}
\item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe \cref{fig:liftung-s1-s1}
\end{enumerate}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$]{
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg}
\label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
}%
\subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{
\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}}
\label{fig:liftung-s1-s1}
}%
\label{fig:ueberlagerungen}
\caption{Beispiele für Überlagerungen}
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{korollar}
Überlagerungen sind surjektiv.
\end{korollar}
\begin{beweis}durch Widerspruch\\
Sei $p$ eine Überlagerung.
\underline{Annahme}: $p$ ist nicht surjektiv
Dann $\exists x \in X$ mit $U=U(x): p^{-1}(U) = \emptyset$.
Da $p$ eine Überlagerung ist, existiert eine offene Umgebung $U$,
sodass $p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen
$V_j \subseteq Y$ ist und $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein
Homöomorphismus ist.
Da jedes $x$ eine solche Umgebung $U$ besitzt, ist $U \neq \emptyset$.
Da $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist, kann also
auch $V_j$ nicht leer sein. $\Rightarrow$ Widerspruch zur Annahme.
$\qed$
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine
Abbildung.
$f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
\end{definition}
\begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
Überlappungen sind offene Abbildungen.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.
Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.
$\Rightarrow p(V \cap V_j)$ ist offen in $p(V_j)$, also auch offen
in $X$. Außerdem ist $p(y) = x \in p(V \cap V_j)$ und
$p(V \cap V_j) \subseteq p(V)$.
$\Rightarrow p(V)$ ist offen.
\end{beweis}
\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal?
Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\begin{definition}\xindex{diskret}
Sei $M$ eine Menge und $X$ ein topologischer Raum.
$M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
Häufungspunkt hat.
\end{definition}
\begin{korollar} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
\item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Seien $y_1, y_2 \in Y$.
\underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.
Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
$V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
$y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide ein Element aus $p^{-1}(x)$
enthalten.
$\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.
\underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$
und $p(y_2)$.
$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
$y_1$ und $y_2$.
\item Sei $y \in Y$
\underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$
Finde $v_j$, sodass kein \dots
\todo[inline]{...}
\underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$
\todo[inline]{...}
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
\end{korollar}
\begin{beweis}
Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
$p^{-1}(x)$
$\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant auf $U$
$\xRightarrow{X \text{zhgd.}} |p^{-1}(x)|$ ist konstant auf $X$
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Liftung}
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $Z$ ein weiterer topologischer
Raum, $f:Z \rightarrow X$ stetig.
Eine stetige Abbildung $\tilde{f}: Z \rightarrow Y$ heißt
\textbf{Liftung} von $f$, wenn $p \circ \tilde{f} = f$ ist.
\end{definition}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/liftung-torus-r.jpg}
\caption{Beim liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
\label{fig:satz-seifert-van-kampen}
\end{figure}
\begin{korollar}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
Liftungen von $f$.
$\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
\end{korollar}
\begin{figure}
\centering
\input{figures/commutative-diagram-2.tex}
\caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:12.5}}
\label{fig:situation-kor-12.5}
\end{figure}
\begin{beweis}
Sei $T = \Set{z \in Z | f_0(z) = f_1(z)}$.
\underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.
Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
$V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}
Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist
offene Umgebung in $Z$ von $z$.
\underline{Behauptung:} $B \subseteq T$
Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$
$\Rightarrow T$ ist offen.
Analog: $Z \setminus T$ ist offen.
\end{beweis}
\begin{satz}\label{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $\gamma: I \rightarrow X$
ein Weg, $y \in Y$ mit $p(y) = \gamma(0) =: x$.
Dann gibt es genau einen Weg $\tilde{\gamma}: I \rightarrow Y$
mit $\tilde{\gamma}(0)=y$ und $p \circ \tilde{\gamma} = \gamma$.
\end{satz}
\begin{beweis}
Existenz: Siehe \Cref{fig:satz-12.6}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-1.jpg}
\caption{Skizze für den Beweis von Satz~\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}}
\label{fig:satz-12.6}
\end{figure}
\end{beweis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Sebastians Mitschrieb vom 17.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$p:Y \rightarrow X$ Überlagerung, $X,Y$ wegzusammenhängend.
$p$ stetig und surjektiv, zu $x \in X \exists$ Umgebung $U$, so dass
$p^{-1}(U) = \bigcup V_j$
$p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
\begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung
Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften.
Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von
$\gamma$.
\end{bemerkung}
\begin{proposition}\label{proposition:12.7}%Proposition 12.7 der Vorlesung
Seien $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $a,b \in X$,
$\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach
$b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$
Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit
$\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{0}$.
Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und
$\tilde{\gamma_0} \sim \tilde{\gamma_1}$.
\end{proposition}
\begin{beweis}
Sei $H: I \times I \rightarrow X$ Homotopie zwischen $\gamma_1$
und $\gamma_2$.
Für $s \in [0,1]$ sei $\gamma_s: I \rightarrow X$, $t \mapsto H(t,s)$.
Sei $\tilde{\gamma_s}$ Lift von $\gamma_s$ mit $\tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$
Sei $\tilde{H}: I \times I \rightarrow Y,\;\;\; \tilde{H}(t,s) := (\tilde{\gamma_s}(t), s)$
Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für Korollar~\ref{kor:12.5})
\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_s}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{0}$
\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
\end{enumerate}
Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\
$\Rightarrow \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) = \tilde{b_s} \forall s \in I$\\
$\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $H$ ist Homotopie
zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
\item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und
$p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$
Nach Proposition~\ref{proposition:12.7} ist dann
$\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs
$\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu
$\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$
\item Sei $d = \deg{p}, p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, y_1, \dots, y_{d-1}}$.
Für einen geschlossenen Weg $\gamma$ in $X$ um $x_0$
sei $\tilde{\gamma}$ die Liftung mit $\tilde{\gamma}(0) = y_0$.
$\tilde{\gamma}(1) \in \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$ hängt
nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab.
Es gilt:
\begin{align*}
\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))
\end{align*}
Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\sigma_i(1) = y_i$\\
$\Rightarrow p * \delta_i$ ist geschlossener Weg in
$X$ um $x_0$.\\
$\Rightarrow \sigma_i = \widetilde{p*\delta_i}$\\
$\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist
$\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung und $X$ einfach zusammenhängend.
Dann ist $p$ ein Homöomorphismus.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Wegen Korollar~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
und wegen Korollar~\ref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
bijektiv.
Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
ist stetig. $\qed$
\end{beweis}
\begin{definition}%In Vorlesung: "Definition 12.10"
Eine Überlagerung $p: \tilde{X} \rightarrow X$ heißt
\textbf{universell}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!universelle}, wenn
$\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist.
\end{definition}
\begin{beispiel}
$\mdr \rightarrow S^1, \;\;\; t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$
$S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$ für $n \geq 2$
\end{beispiel}
\begin{satz}\label{thm:12.11}%In Vorlesung: Satz 12.11
Sei $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung,
$q:Y \rightarrow X$ weitere Überlagerung.
Sei $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}, y_0 \in Y$ mit
$q(y_1) = x_0, p(\tilde{x_0}) = x_0$.
Dann gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow Y$
mit $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = y_0$.
\end{satz}
\begin{beweis}
Sei $z \in \tilde{X}, y_z: I \rightarrow \tilde{X}$ ein Weg von
$\tilde{x_0}$ nach $z$.
Sei $\delta_Z$ \underline{die} Liftung von $p \circ \gamma_z$
nach $y$ mit $\delta_2(0) = y_0$.
Setze $\tilde{p}(z) = \delta_Z(1)$.
Da $\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist, hängt $\tilde{p}(z)$
nicht vom gewählten $y_z$ ab.
Offensichtlich ist $q(\tilde{p}(z)) = p(z)$.
$\tilde{p}$ ist stetig (in $z \in \tilde{X}$). Sei $W \subseteq Y$
offene Umgebung von $\tilde{p}(z)$.
$\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Definition~\ref{def:12.1} und
$V \subseteq q^{-1}(U)$ die \todo{Was?}{Komp.} die $\tilde{p}(z)$
enthält.
\Obda sei $V \subseteq W$.
Sei $Z := p^{-1}(U)$. Für $u \in Z$ sei $\delta$ ein Weg in $Z$
von $z$ nach $u$.
$\Rightarrow \gamma_Z * \delta$ ist Weg von $x_0$ nach $u$\\
$\Rightarrow \tilde{p}(u) \in V$\\
$\Rightarrow Z \subseteq \tilde{p^{-1}}(W)$\\
$\Rightarrow \tilde{p}$ ist stetig
\end{beweis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 19.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}%Vorlesung: Folgerung 12.12
\todo{Hier stimmt was mit den Tilden nicht}
Sind $p:X \rightarrow X$ und $y: \tilde{Y} \rightarrow X$
universelle Überlagerungen, so sind $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$
homöomorph.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
$p(\tilde{x_0}) = x_0$ und
$\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$.
Nach Satz~\ref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung
\[f:\tilde{X} \rightarrow \tilde{Y} \text{ mit } f(x_0) = \tilde{Y_0} \text{ und } q \circ f = p\]
und genau eine Überlagerung
\[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\]
Damit gilt: $p \circ q \circ f = q \circ f = p$, $q \circ f \circ g = p \circ g = q$.
Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von
$p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
Analog $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$
\end{beweis}
Die Frage, wann es eine universelle Überlagerung gibt, beantwortet
der folgende Satz:
\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 12.13
Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum in dem
jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus einfach zusammenhängenden
Mengen hat.
Dann gibt es eine universelle Überlagerung.
\end{satz}
\begin{beweis}
Sei $x_0 \in X$ und $\tilde{X} := \Set{(x, [\gamma]) | x \in X, \gamma \text{ Weg von } x_o \text{ nach } x}$
und $p: \tilde{X} \rightarrow X, (x, [\gamma]) \mapsto x$.
Die Topologie auf $\tilde{X}$ ist folgende:
Definiere eine Umgebungsbasis von $(x, [\gamma])$ wie folgt:
Es sei $U$ eine einfach zusammenhängende Umgebung von $x$ und
\[\tilde{U} = \tilde{U}(x, [\gamma]) := \Set{(y, [\gamma * \alpha]) | y \in U, \alpha \text{ Weg in } U \text{ von } x \text{ nach } y} \]
$p$ ist Überlagerung: $p|_{\tilde{U}} : \tilde{U} \rightarrow U$
bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein
Homöomorphismus.
Sind $\gamma_1, \gamma_2$ Wege von $x_0$ nach $x$ und $\gamma_1 \sim \gamma_2$,
so ist $\tilde{U}(x, [\gamma_1]) \cap \tilde{U}(x, [\gamma_2]) = \emptyset$,
denn: Ist $\gamma_1 * \alpha \sim \gamma_2 * \alpha$, so ist auch
$\gamma_1 \sim \gamma_2$. Also ist $p$ eine Überlagerung.
$\tilde{X}$ ist einfach zusammenhängend: Es sei $\tilde{x_0} := (x_0, e)$
und $\tilde{\gamma}: I \rightarrow \tilde{X}$ ein geschlossener
Weg um $\tilde{x_0}$.
Sei $\gamma := p(\tilde{\gamma})$.
\underline{Annahme}: $[\tilde{\gamma}] \neq e$
Mit Korollar~\ref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
Dann ist der Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit Anfangspunkt
$\tilde{x_0}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $(x_0, [\gamma])$.
Widerspruch.
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Decktransformation}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
Es sei $p:Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $f:Y \rightarrow Y$
ein Homöomorphismus.
$f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
\end{definition}
\begin{korollar}%In Vorlesung:12.14
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
$\Deck(p) = \Deck(Y/X) = \Deck(Y \rightarrow X)$
\item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
$f$ keinen Fixpunkt.
\item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
\item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
$\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Es gilt:
\begin{itemize}
\item $\id_Y \in \Deck{Y/X}$,
\item $f,g \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ (f \circ g) = (p \circ f) \circ g = p \circ g \Rightarrow f \circ g \in \Deck{Y/X}$
\item $f \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ f =$
$p \Rightarrow p \circ f^{-1} =$
$(p \circ f) \circ f^{-1} =$
$p \circ (f \circ f^{-1}) = p \Rightarrow f^{-1} \in \Deck{Y/X}$
\end{itemize}
\item Die Menge
\[\Fix(f) = \Set{y \in Y | f(y) = y}\]
ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale
$\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen
Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$
offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine
Umgebung von $p(y) \in X$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$
enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus.
Dann ist $W := f^{-1}(V) \cap V$ offene Umgebung von $y$.
Für $z \in W$ ist $f(z) \in V$ und $p(f(z)) = p(z)$.
Da $p$ injektiv auf $V$ ist, folgt $f(z) = z$, d.~h.
$\Fix(f) \neq \emptyset$.
Da $Y$ zusammenhängend ist, folgt aus $\Fix(\tilde{f}) \neq \emptyset$
schon $\Fix(f) = Y$, also $f = \id_Y$.
\item Es sei $x_0 \in X$, $\deg(p) = d$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
Für $f \in \Deck(Y/X)$ ist $f(y_0)= \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein
$f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
$f(y_0) = g(y_0)$, so ist \todo{Was steht hier?}{$(g^{-1} - f) y_0 = y_0$},
also nach \ref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $p: \mdr \rightarrow S^1: \Deck(\mdr / S^1) = \Set{t \mapsto t + n | n \in \mdz} \cong \mdz$
\item $p: \mdr^2 \rightarrow T^2: \Deck(\mdr^2 / T^2) \cong \mdz \times \mdz = \mdz^2$
\item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(g^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$
\end{enumerate}
\end{beispiel}
Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe
und der Fundamentalgruppe herstellen:
\begin{satz}\label{thm:12.15}%In Vorlesung: Satz 12.15
Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung,
so gilt:
\[\Deck(\tilde{X}/X) \cong \pi_1(X, x_0)\;\;\;\forall x_0 \in X\]
\end{satz}
\begin{beweis}
Wähle $\tilde{x_0} \in p^{-1}(x_0)$. Es sei $\rho: \Deck(\tilde{x}/x) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$
die Abbildung, die $f$ auf $[p(\gamma_f)]$ abbildet, wobei $\gamma_f$
ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $f(\tilde{x_0})$ sei. Da $\tilde{x}$
einfach zusammenhängend ist, ist $\gamma_f$ bis auf Homotopie
eindeutig bestimmt und damit auch $\rho$ wohldefiniert.
\begin{itemize}
\item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien
$f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$
$\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$
\item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$
$\xRightarrow{\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$
$\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\ref{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$.
\item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$,
$\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit
Anfangspunkt $\tilde{x_0}$. Der Endpunkt von $\tilde{\gamma}$
sei $\tilde{x_1}$.
\underline{$p$ ist reguläre Überlagerung}: Seien
$\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit
$p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach Satz~\ref{thm:12.11}
gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$
mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
Somit ist $\tilde{p}$ eine Decktransformation und damit
$p$ eine reguläre Überlagerung.
Da $p$ reguläre Überlagerung ist, gibt es ein $f \in \Deck(\tilde{X}/X)$
mit $f(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
Aus der Definition von $\rho$ folgt: $\rho(f) = p (\gamma_f) = \gamma$
\end{itemize}
$\qed$
\end{beweis}
\begin{beispiel}[Bestimmung von $\pi_1(S^1)$]
$p: \mdr \rightarrow S^1$, $t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
ist universelle Überlagerung, da $\mdr$ zusammenhängend ist.
Für $n \in \mdz$ sei $f_n: \mdr \rightarrow \mdr, t \mapsto t + n$
die Translation um $n$.
Es gilt: $(p \circ f_n)(t) = p(f_n(t)) = p(t) \;\;\; \forall t \in \mdr$,
d.~h. $f_n$ ist Decktransformation.
Ist umgekehrt $g$ irgendeine Decktransformation, so gilt insbesondere
für $t=0$:
\[(\cos(2 \pi g(0)), \sin(2 \pi g(0))) = (p \circ g)(0) = p(0) = (1,0)\]
Es existiert $n \in \mdz$ mit $g(0) = n$. Da auch $f_n(0) = 0 + n = n$
gilt, folgt mit Korollar~\ref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
\[\Deck(\mdr/S^1) = \Set{f_n | n \in \mdz} \cong \mdz\]
Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
\end{beispiel}
\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
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% Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014 %
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\section{Gruppenoperationen}\index{Gruppenoperation|(}\index{Aktion|see{Gruppenoperation}}\index{Gruppenaktion|see{Gruppenoperation}}
\begin{definition}\xindex{Gruppenoperation}% in Vorlesung: Definition 13.1
Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
Eine \textbf{Gruppenoperation} von $G$ auf
$X$ ist eine Abbildung $\circ$:
\[ \circ: G \times X \rightarrow X,\;\;\; (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
für die gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
\item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.1}
\item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.2}
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
\item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1}
\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
\item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
\item \begin{align*}
(g_1 \cdot g_2) \circ h &= (g_1 \cdot g_2) \cdot h \cdot (g \cdot g_2)^{-1}\\
&= g_1 \cdot (g_2 \cdot h \cdot g_2^{-1}) \cdot g_1^{-1}\\
&= g_1 \circ (g_2 \circ h)
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{definition}
Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
die Abbildung
\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
ein Homöomorphismus ist.
\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
\textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
\end{korollar}
\begin{beweis}
Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$:
\begin{align*}
(m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
&= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
&= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
&= 1_G \circ x\\
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.1}}{=} x
\end{align*}
\end{beweis}
\begin{beispiel}
In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
\item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
$G \rightarrow \Homoo(X)$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{beweis}
\item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$
auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert
durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$,
also $\varrho(g) = m_g$.
$\varrho$ ist Homomorphismus: $\varrho(g_1 \cdot g_2) = m_{g_1 \cdot g_2} = m_{g_1} \circ m_{g_2} = \varrho(g_1) \circ \varrho(g_2)$,
denn für $x \in X: \varrho(g_1 \cdot g_2) (x) = (g_1 \cdot g_2) \circ x = g_1 \circ (g_2 \circ x) = \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x)) = (\varrho(g_1) \circ \varrho (g_2)) (x)$
Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.2}:
\begin{align*}
g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
&= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
&= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
&\stackrel{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
&= (g_1 \cdot g_2) \circ x
\end{align*}
z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.1}:
$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
\end{beweis}
\begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4
Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $p: \tilde{X} \rightarrow X$
eine universelle Überlagerung, $x_0 \in X$, $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
$p(\tilde{x_0}) = x_0$.
Dann operiert $\pi_1(X, x_0)$ auf $\tilde{X}$ durch Homöomorphismen wie folgt:
Für $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$ und $\tilde{x} \in \tilde{X}$ sei
$[\gamma] \circ \tilde{x} = \tilde{\gamma * \varrho} (1)$ wobei
$\tilde{\gamma}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $\tilde{x}$ in
$\tilde{X}$ sei, $\varrho := p(\tilde{\delta}) = p \circ \delta$.
Also: $\delta$ ist ein Weg in $X$ von $x_0$ nach $x=p(\tilde{x})$
und $\rtilde{\gamma * \delta}$ die Liftung von $\gamma * \delta$
mit Anfangspunkt $\tilde{x_0}$.
$[\gamma] \cdot \tilde{x}$ hängt nicht von der Wahl von $\tilde{\gamma}$
ab; ist $\tilde{\gamma}'$ ein anderer Weg von $\tilde{x_0}$ nach
$\tilde{x}$, so sind $\tilde{\delta}$ und $\tilde{\delta}'$ homotop,
also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$
homotop.
Gruppenoperation, denn:
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
\item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
\item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
$\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
\begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6
Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse
um $180^\circ$.
$g = \langle \tau \rangle = \Set{\id, \tau}$ operiert auf $S^2$
durch Homöomorphismen.
Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit?
\end{beispiel}
\index{Gruppenoperation|)}
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel3-UB}
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