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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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9.8 KiB
TeX
218 lines
9.8 KiB
TeX
\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook}
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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\usepackage{mathtools} % \xRightarrow
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\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{marvosym}
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\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references
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\usepackage{tabto}
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{csquotes} % \enquote{}
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\usepackage{subfig} % multiple figures in one
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\usepackage{parskip} % nicer paragraphs
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\usepackage{xifthen} % \isempty
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\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment
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\usepackage{pst-solides3d}
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\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.7}
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\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
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\usepackage{caption} % get newlines within captions
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{tikz} % draw
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\usepackage{tikz-3dplot} % draw
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\usepackage{tkz-fct} % draw
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\usepackage{tkz-euclide} % draw
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\usetkzobj{all} % tkz-euclide
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\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing}
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\usepackage{tqft}
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\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
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\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
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\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
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\usepackage{../shortcuts}
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
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pdftitle = {Fragen zu Definitionen}
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}
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\allowdisplaybreaks
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\chapter{Fragen zu Definitionen}
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\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
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Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
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Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
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\[f:|K| \rightarrow |L|\]
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heißt \textbf{simplizial}, wenn für
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jedes $\Delta \in K$ gilt:
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\begin{defenum}
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\item $f(\Delta) \in L$
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\item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
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affine Abbildung.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\todo[inline]{Dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder?
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Gibt es eine Abbildung
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$f:|K| \rightarrow |L|$
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mit $f(\Delta) \notin L$?}
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\section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
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\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$.
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Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
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der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.
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\underline{Beh.:} Die Topologie $\fT'$ und $\fT|_A$ (Spurtopologie) stimmen überein.
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\underline{Bew.:}
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\enquote{$\fT|_A \subseteq \fT'$}:
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Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\
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Dann ex. also $V \in \fT$ mit
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$U = V \cap A$.\\
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Sei $x \in U$.\\
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Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit
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\begin{align*}
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\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\
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\Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U
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\end{align*}
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also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$.
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\todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?}
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Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
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\section*{19.) Topologische Gruppe und stetige Gruppenoperation}
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\begin{definition}%
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Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe.
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\begin{defenum}
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\item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
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wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
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und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch
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\[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\]
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stetig sind.
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\item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
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$G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
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$(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
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\begin{defenum}
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\item \xindex{Gruppe operiert durch Homöomorphismen}\textbf{$G$ operiert durch Homöomorphismen}, wenn für jedes $g \in G$
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die Abbildung
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\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\]
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ein Homöomorphismus ist.
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\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
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\textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
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\end{defenum}
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\end{definition}
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\todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}
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\section*{22.) MF-Beispiel}
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$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
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der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:
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Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$.
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Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung
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\begin{align*}
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U_i &\rightarrow \mdr^n\\
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(x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
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|
(y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
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\end{align*}
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ist bijektiv.
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\todo[inline]{Was wird im Folgenden gemacht?}
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Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas:
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\begin{align*}
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x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\
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y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1)
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\end{align*}
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$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\
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$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\
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$V_1 \cap V_2 = \emptyset$?
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$(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
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$\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
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$\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
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$\Rightarrow$ Widerspruch
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\section*{23) Hyperbolische Geraden erfüllen 3.ii}
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
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Die hyperbolischen Geraden erfüllen das Anordnungsaxiom 3 ii
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\
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\underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\
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Dann gilt:
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\[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
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Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.
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\underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
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$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
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\enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
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direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
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ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der
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größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere
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auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen
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kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
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\enquote{$\Rightarrow$}:
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\todo[inline]{TODO}
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\underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
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Die disjunkte Zerlegung ist:
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\[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
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\underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
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|
$i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
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$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
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\enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.
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\enquote{$\Rightarrow$}:
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\todo[inline]{TODO}
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\end{beweis}
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\section*{25.) Fragen}
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\begin{enumerate}
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\item Kapitel II:
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\begin{enumerate}
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\item Frage 7: Anschaulich ist mir klar, warum durch Verkleben gegenüberliegernder Seiten ein Torus entsteht. Was wird hier erwartet?
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\end{enumerate}
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\item Kapitel III
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\begin{enumerate}
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\item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Übungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist?
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Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie.
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\item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"?
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\item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene
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\item Was ist eine Inklusionsabbildung?
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\item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?)
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\item Frage 4: Was ist eine Rose?
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\item Frage 5: Wieso ist $\GL(n, \mdr)$ eine Lie-Gruppe?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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