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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
and
find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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TeX
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TeX
%!TEX root = GeoTopo.tex
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\markboth{Ergänzende Definitionen und Sätze}{Ergänzende Definitionen und Sätze}
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\chapter*{Ergänzende Definitionen und Sätze}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Ergänzende Definitionen und Sätze}
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Da dieses Skript in die Geometrie und Topologie einführen soll, sollten soweit
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wie möglich alle benötigten Begriffe definiert und erklärt werden. Die folgenden
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Begriffe wurden zwar verwendet, aber nicht erklärt, da sie Bestandteil der
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Vorlesungen \enquote{Analysis I und II} sowie \enquote{Lineare Algebra und analytische Geometrie I und II}
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sind. Jedoch will ich zumindest die Definitionen bereitstellen.
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\begin{definition}\xindex{Häufungspunkt}%
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Sei $D \subseteq \mdr$ und $x_0 \in \mdr$. $x_0$ heißt ein \textbf{Häufungspunkt}
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von $D :\gdw \exists$ Folge $x_n$ in $D \setminus \Set{x_0}$ mit $x_n \rightarrow x_0$.
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\end{definition}
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Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof.~Dr.~Leuzinger für
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Lineare Algebra entnommen:
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}%
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Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die
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zugehörigen affinen Räume. Eine Abbildung $f:V \rightarrow W$ heißt \textbf{affin},
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falls für alle $a, b \in V$ und alle $\lambda, \mu \in \mdk$ mit $\lambda + \mu = 1$ gilt:
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\[f(\lambda a + \mu b) = \lambda f(a) + \mu f(b)\]
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\end{definition}
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\begin{definition}\xindex{Orthonormalbasis}%
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Sei $V$ ein Vektorraum und $S \subseteq V$ eine Teilmenge.
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$S$ heißt eine \textbf{Orthonormalbasis} von $V$, wenn gilt:
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\begin{defenumprops}
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\item $S$ ist eine Basis von $V$
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\item $\forall v \in S: \|v\| = 1$
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\item $\forall v_1, v_2 \in S: v_1 \neq v_2 \Rightarrow \langle v_1, v_2 \rangle = 0$
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\end{defenumprops}
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\end{definition}
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\begin{satz*}[Zwischenwertsatz]\xindex{Zwischenwertsatz}%
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Sei $a<b$ und $f \in\ C[a, b]:=C([a, b])$, weiter sei $y_0 \in \mdr$ und
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$f(a) < y_0 < f(b)$ oder $f(b) < y_0 < f(a)$. Dann existiert ein
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$x_0 \in [a, b]$ mit $f(x_0) = y_0$.
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\end{satz*}
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\begin{definition}\xindex{Eigenwert}\xindex{Eigenvektor}%
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Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mdk$ und $f: V \rightarrow V$ eine
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lineare Abbildung.
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$v \in V \setminus \Set{0}$ heißt \textbf{Eigenvektor} $:\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mdk: f(v) = \lambda v$.
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Wenn ein solches $\lambda \in \mdk$ existiert, heißt es \textbf{Eigenwert} von $f$.
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\end{definition}
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\begin{satz*}[Binomischer Lehrsatz]\xindex{Lehrsatz!Binomischer}%
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Sei $x, y \in \mdr$. Dann gilt:
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\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \;\;\; \forall n \in \mdn_0\]
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\end{satz*}
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\begin{definition}\xindex{Kreuzprodukt}\index{Vektorprodukt|see{Kreuzprodukt}}
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Seien $a, b \in \mdr^3$ Vektoren.
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\[ a \times b := \begin{pmatrix}a_1\\b_3\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a_1\\b_3\\a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 b_3 - a_3 b_2\\a_3 b_1 - a_1 b_3\\a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\]
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\end{definition} |