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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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197 KiB
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4018 lines
197 KiB
TeX
% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/SS10/Ana2Bachelor.tex
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\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm]{scrbook}
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\usepackage{mathe}
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\usepackage{saetze-schmoeger}
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\lecturer{Dr. C. Schmoeger}
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\semester{Sommersemester 2010 und 2012}
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\scriptstate{complete}
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\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de} und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}}
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\title{Analysis II}
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\makeindex
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
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pdfkeywords = {Analysis},
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pdftitle = {Analysis II}
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
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%\chapter{Inhaltsverzeichnis}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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\chapter*{Vorwort}
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\section*{Über dieses Skriptum}
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Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung "`Analysis II"' von Herrn Schmoeger im
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Sommersemester 2005 (bis einschließlich §14) und im Sommersemester 2010 (ab §15) an der Universität
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Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung
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von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht
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verantwortlich.
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\section*{Wer}
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Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt am
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Mitschrieb (von 2005) sind außer Joachim
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noch Pascal Maillard, Wenzel Jakob und andere.
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Beteiligt am Mitschrieb (von 2010) sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost und Manuel Kaiser.
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Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7255 von
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\href{http://svn.nomeata.de/wsvn/mitschriebwiki/SS10/Ana2Bachelor.tex?op=log&}{mitschriebwiki}
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auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20II}{GitHub} hochgeladen.
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\section*{Wo}
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Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
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\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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abgerufen werden.
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Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
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\LaTeX-Funktionen erweitert.
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Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung
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beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich.
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Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20II/}{github},
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erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
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\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
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\renewcommand{\chaptername}{§}
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\setcounter{chapter}{0}
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\chapter{Der Raum $\MdR^n$}
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Sei $n\in\MdN$. $\MdR^n=\{(x_1, \ldots, x_n) : x_1,\ldots, x_n \in \MdR\}$ ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum.\\
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$e_1 := (1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \in \MdR^n$.
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\begin{definition}
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Seien $x=(x_1, \ldots, x_n), y=(y_1, \ldots, y_n) \in \MdR^n$
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\begin{enumerate}
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\item $x\cdot y := xy := x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ heißt das \textbf{Skalar}\indexlabel{Skalarprodukt}- oder \begriff{Innenprodukt} von $x$ und $y$.
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\item $\|x\|=(x\cdot x)^\frac{1}{2} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^\frac{1}{2}$ heißt die \begriff{Norm} oder \begriff{Länge} von $x$.
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|
\item \indexlabel{Abstand!zwischen zwei Vektoren}$\|x-y\|$ heißt der \textbf{Abstand} von $x$ und $y$.
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|
\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item $\|e_j\|=1\ (j=1,\dots,n)$
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\item $n=3: \|(1,2,3)\|=(1+4+9)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{14}$
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\end{beispiele}
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\textbf{Beachte: }
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\begin{enumerate}
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\item $x \cdot y \in \MdR$
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\item $\|x\|^2=x \cdot x$
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\end{enumerate}
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\begin{satz}[Rechenregeln zur Norm]
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Seien $x,y,z \in \MdR^n,\ \alpha, \beta \in \MdR,\ x=(x_1, \ldots, x_n),\ y=(y_1, \ldots, y_n)$
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\begin{enumerate}
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\index{Cauchy-!Schwarzsche Ungleichung}
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|
\item $(\alpha x + \beta y)\cdot z=\alpha(x\cdot z)+\beta(y \cdot z),\ x(\alpha y + \beta z)=\alpha(xy)+\beta(xz)$
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\item $\|x\|\ge 0; \|x\|=0\equizu x=0$
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|
\item $\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|$
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\item $|x \cdot y|\le\|x\| \|y\|$ \textbf{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung} (\begriff{CSU})
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|
\item $\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$
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|
\item ${\left|\|x\|-\|y\|\right|}\le \|x-y\|$
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|
\item $|x_j|\le\|x\|\le |x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|\ (j=1,\ldots,n)$
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item[(1)], (2), (3)\ nachrechnen.
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\item[(6)] Übung.
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\item[(4)] O.B.d.A: $y\ne0$ also $\|y\|>0$. $a:=x\cdot x=\|x\|^2,\ b:=xy,\ c:=\|y\|^2=y\cdot y,\ \alpha:=\frac{b}{c}.\ 0\le\sum_{j=1}^n(x_j-\alpha y_j)^2=\sum_{j=1}^n(x_j^2-2\alpha x_jy_j+\alpha^2y_j^2)=a-2\alpha b + \alpha^2 c=a-2\frac{b}{c}b+\frac{b^2}{c^2}c=a-\frac{b^2}{c}\folgt0\le ac-b^2\folgt b^2\le ac\folgt(xy)^2\le\|x\|^2\|y\|^2$.
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|
\item[(5)] $\|x+y\|^2=(x+y)(x+y)\gleichnach{(1)}x\cdot x + 2xy+y \cdot y=\|x\|^2+2xy+\|y\|^2\le\|x\|^2+2|xy|+\|y\|^2\overset{\text{(4)}}{\le}\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2$.
|
|
\item[(7)] $|x_j|^2=x_j^2\le x_1^2 + \ldots + x_n^2 = \|x\|^2\folgt$ 1. Ungleichung; $x=x_1e_1+\ldots+x_ne_n\folgt\|x\|=\|x_1e_1+\ldots+x_ne_n\|\overset{(5)}{\le}\|x_1e_1\|+\ldots+\|x_ne_n\|=|x_1|+\ldots+|x_n|$
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|
\end{beweise}
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Seien $p,q,l \in \MdN$. Es sei $A$ eine reelle $p${\tiny x}$q$-Matrix.
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\[
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A = \begin{pmatrix}
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\alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1q}\\
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\vdots & & \vdots\\
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|
\alpha_{p1} & \cdots & \alpha_{pq}
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|
\end{pmatrix}\qquad \|A\|:=\left(\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^q\alpha^2_{jk}\right)^\frac{1}{2} \text{\textbf{Norm} von A}
|
|
\]
|
|
Sei $B$ eine reelle $q${\tiny x}$l$-Matrix ($\folgt AB$ existiert). \textbf{Übung}: $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$\\
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|
Sei $x=(x_1,\ldots,x_q) \in \MdR^q$. $Ax:=A\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_q\end{pmatrix}$ (\begriff{Matrix-Vektorprodukt}). \\
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|
Es folgt: \[\|Ax\|\le\|A\|\|x\|\]
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\begin{definition}
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|
Sei $x_0 \in \MdR^n$, $\delta > 0$, $A, U\subseteq \MdR^n$.
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item $U_\delta(x_0) := \{ x \in \MdR^n: \|x-x_0\|<\delta\}$ heißt $\delta$-Umgebung von $x_0$ oder \begriff{offene Kugel} um $x_0$ mit Radius $\delta$.
|
|
\item $U$ ist eine \begriff{Umgebung} von $x_0$ $:\equizu$ $\exists \delta > 0 : U_\delta(x_0) \subseteq U$.
|
|
\item \indexlabel{Beschränktheit!einer Menge}$A$ heißt \textbf{beschränkt} $:\equizu$ $\exists c \ge 0: \|a\|\le c \forall a\in A$.
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|
\item $x_0\in A$ heißt ein \begriff{innerer Punkt} von A $:\equizu$ $\exists \delta>0: U_\delta(x_0) \subseteq A$. \\
|
|
$A^\circ:=\{ x\in A: x \text{ ist innerer Punkt von }A\}$ heißt das \indexlabel{Inneres einer Menge}\textbf{Innere} von A. Klar: $A^\circ\subseteq A.$
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|
\item $A$ heißt offen $:\equizu$ $A=A^\circ$. Zur Übung: $A^\circ$ ist offen.
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|
\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item offene Kugeln sind offen, $\MdR^n$ ist offen, $\emptyset$ ist offen.
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\item $A=\{x\in\MdR^n: \|x-x_0\|\le \delta\}$, $A^\circ = U_\delta(x_0)$
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|
\item $n=2$: $A=\{(x_1,x_2)\in\MdR^n: x_2 = x_1^2\}$, $A^\circ=\emptyset$
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|
\end{beispiele}
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\begin{definition}
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$A\subseteq \MdR^n$
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $x_0\in \MdR^n$ heißt ein \begriff{Häufungspunkt} (HP) von $A$ $:\equizu$ $\forall \delta > 0: (U_\delta(x_0) \backslash \{x_0\}) \cap A \ne \emptyset$. $\H(A) := \{ x\in\MdR^n: x \text{ ist Häufungspunkt von } A\}$.
|
|
\item $x_0\in\MdR^n$ heißt ein \begriff{Berührungspunkt} (BP) von $A$ $:\equizu$ $\forall\delta>0: U_\delta(x_0) \cap A \ne \emptyset$. $\bar{A}:=\{x\in\MdR^n: x \text{ ist ein Berührungspunkt von } A\}$ heißt der \begriff{Abschluss} von $A$.\\
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|
Klar: $A\subseteq\bar{A}$. Zur Übung: $\bar{A} = A \cup \H(A)$.
|
|
\item \indexlabel{abgeschlossen!Menge}$A$ heißt \textbf{abgeschlossen} $:\equizu$ $A=\bar{A}$. Zur Übung: $\bar{A}$ ist abgeschlossen.
|
|
\item $x_0\in\MdR^n$ heißt ein \begriff{Randpunkt} von $A$ $:\equizu$ $\forall\delta>0: U_\delta(x_0) \cap A \ne \emptyset$ und $U_\delta(x_0) \cap (\MdR^n\backslash A) \ne \emptyset$. $\partial A := \{x\in\MdR^n: x \text{ ist ein Randpunkt von } A \}$ heißt der \begriff{Rand} von $A$. Zur Übung: $\partial A = \bar{A}\backslash A^\circ$.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\index{abgeschlossen!Kugel}
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\item $\MdR^n$ ist abgeschlossen, $\emptyset$ ist abgeschlossen; \\
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$\bar{A}=\overline{U_\delta(x_0)} = \{x\in\MdR^n: \|x-x_0\| \le \delta\}$ (\textbf{abgeschlossene Kugel} um $x_0$ mit Radius $\delta$)
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|
\item $\partial U_\delta(x_0) = \{x\in\MdR^n: \|x-x_0\|=\delta\} = \partial \overline{U_\delta(x_0)}$
|
|
\item $A = \{(x_1,x_2)\in\MdR^2; x_2 = x_1^2\}$. $A=\bar{A}=\partial A$
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|
\end{beispiele}
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\begin{satz}[Offene und abgeschlossene Mengen]
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\begin{enumerate}
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\item Sei $A\subseteq\MdR^n$. $A$ ist abgeschlossen $:\equizu$ $\MdR^n\backslash A$ ist offen.
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|
\item Die Vereinigung offener Mengen ist offen.
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\item Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
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|
\item Sind $A_1,\ldots,A_n\subseteq\MdR^n$ offen $\folgt$ $\bigcap_{j=1}^nA_j$ ist offen
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\item Sind $A_1,\ldots,A_n\subseteq\MdR^n$ abgeschlossen $\folgt$ $\bigcup_{j=1}^nA_j$ ist abgeschlossen
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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\begin{beispiel}
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$(n=1)$. $A_t := (0,1+t)\ (t>0)$. Jedes $A_t$ ist offen. $\bigcap_{t>0}A_t = (0,1]$ ist nicht offen.
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|
\end{beispiel}
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\begin{beweise}
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\item "`\folgt"': Sei $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Annahme: $\forall \delta>0: U_\delta(x_0) \nsubseteq \MdR^n\backslash A\folgt\forall\delta>0: U_\delta(x_0)\cap A\ne\emptyset \folgt x_0\in\bar{A} \gleichnach{Vor.} A$, Widerspruch \\
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|
"`$\impliedby$"': Annahme: $\subset\bar{A} \folgt \ \exists x_0\in\bar{A}: x_0\notin A$; also $x_0\in\MdR^n\backslash A$. Voraussetzung $\folgt \ \exists \delta > 0: U_\delta(x_0) \subseteq \MdR^n\backslash A \folgt U_\delta(x_0) \cap A = \emptyset \folgt x_0 \notin \bar{A}$, Widerspruch!
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|
\item Sei $(A_\lambda)_{\lambda\in M}$ eine Familie offener Mengen und $V := \bigcup_{\lambda\in M} A_\lambda$. Sei $x_0\in V \folgt \exists\lambda_0\in M: x_0 \in A_{\lambda_0}$. $A_{\lambda_0}$ offen $\folgt \ \exists \delta > 0: U_\delta(x_0) \subseteq A_{\lambda_0} \subseteq V$
|
|
\item folgt aus (1) und (2) (Komplemente!)
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|
\item $D:=\bigcap_{j=1}^mA_j$. Sei $x_0\in D$. $\forall j\in\{1,\ldots,m\}: x_0\in A_j$, also eixistiert $\delta_j>0: U_\delta(x_0)\subseteq A_j$. $\delta := \min\{\delta_j,\ldots,\delta_m\} \folgt U_\delta(x_0) \subseteq D$
|
|
\item folgt aus (1) und (4)
|
|
\end{beweise}
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\chapter{Konvergenz im $\MdR^n$}
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Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$, also $(a^{(k)}) = ( a^{(1)}, a^{(2)}, \ldots ) $ mit $a^{(k)} = (a_1^{(k)}, \ldots a_n^{(k)}) \in \MdR^n$. Die Begriffe \begriff{Teilfolge} und \begriff{Umordnung} definiert man wie in Analysis I. $(a^{(k)})$ heißt beschränkt $:\equizu$ $\exists c\ge0: \|a^{(k)}\| \le c \ \forall k\in\MdN$.
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\begin{definition*}[Grenzwert und Beschränktheit]
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\indexlabel{Konvergenz}$(a^{(k)})$ heißt \textbf{konvergent}
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$:\equizu$ $\exists a\in\MdR^n: \|a^{(k)} - a\| \to 0 \ (k\to\infty)$ ($\equizu\ \exists a\in\MdR^n: \forall \ep>0\exists k_0 \in\MdN: \|a^{(k)} - a\|<\ep \ \forall k\ge k_0$).
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In diesem Fall heißt $a$ der \begriff{Grenzwert} (GW) oder \begriff{Limes} von $(a^{(k)})$ und man schreibt:
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$a=\lim_{k\to\infty}a^{(k)}$ oder $a^{(k)} \to a \ (k\to\infty)$
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|
\end{definition*}
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\begin{beispiel}
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$(n=2)$: $a^{(k)} = (\frac{1}{k}, 1+\frac{1}{k^2})$ (Erinnerung: $\frac{1}{n}$ konvergiert gegen 0); $a := (0,1)$; $\|a^{(k)} - a \| = \|(\frac{1}{k} , \frac{1}{k^2})\| = (\frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^4})^\frac{1}{2} \to 0 \folgt a^{(k)} \to (0,1)$
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|
\end{beispiel}
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%satz 2.1
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\begin{satz}[Konvergenz]
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Sei $(a^{(k)})$ eine Folge in $\MdR^n$.
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\begin{enumerate}
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\item Sei $a^{(k)} = (a_1^{(k)}, \ldots, a_n^{(k)})$ und
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|
$a = (a_1,\ldots,a_n)\in\MdR^n$. Dann:
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|
\[ a^{(k)} \to a \ (k\to\infty) \equizu a_1^{(k)} \to a_1, \ldots, a_n^{(k)} \to a_n \ (k\to\infty) \]
|
|
\item Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
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\item Ist $(a^{(k)})$ konvergent $\folgt \ a^{(k)}$ ist beschränkt
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|
und jede Teilfolge und jede Umordnung von $(a^{(k)})$ konvergiert gegen $\lim a^{(k)}$.
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|
\item Sei $(b^{(k)})$ eine weitere Folge, $a,b\in\MdR^n$ und $\alpha\in\MdR$.
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|
Es gelte $a^{(k)}\to a$, $b^{(k)} \to b$ Dann:
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\begin{align*}
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\|a^{(k)}\| &\to \|a\|\\
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|
a^{(k)} + b ^{(k)} &\to a+b\\
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\alpha a^{(k)} &\to \alpha a\\
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|
a^{(k)}\cdot b^{(k)}&\to a\cdot b
|
|
\end{align*}
|
|
\item \begriff{Bolzano-Weierstraß}: Ist $(a^{(k)})$ beschränkt, so enthält $(a^{(k)})$ eine konvergente Teilfolge.
|
|
\item \indexlabel{Cauchy!-Kriterium}\textbf{Cauchy-Kriterium}:
|
|
$(a^{(k)})$ konvergent $\equizu \ \forall\ep>0\ \exists k_0\in\MdN: \|a^{(k)} - a^{(l)}\| <\ep \ \forall k,l \ge k_0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweise}
|
|
\item 1.1(7) $\folgt |a_j^{(k)} - a_j| \le \|a^{(k)}-a\| \le \sum_{i=1}^n|a_j^{(k)} - a_j| \folgt $ Behauptung.
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|
\item und
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|
\item wie in Analysis I.
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|
\item folgt aus (1)
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|
\item Sei $(a^{(k)})$ beschränkt. O.B.d.A: $n=2$. Also $a^{(k)}=(a_1^{(k)},a_2^{(k)})$ 1.1(7) $\folgt |a_1^{(k)}|,|a_2^{(k)}|\le\|a^{(k)}\|\ \forall k\in\MdN \folgt (a_1^{(k)},a_2^{(k)})$ sind beschränkte Folgen in $\MdR$. Analysis 1 $\folgt (a_1^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a_1^{(k_j)})$. $(a_2^{(k_j)})$ enthält eine konvergente Teilfolge$ (a_2^{(k_{j_l})})$. Analysis 1 $\folgt (a_1^{(k_{j_l})})$ ist konvergent $\overset{(1)}{\folgt} (a^{(k_{j_l})})$ konvergiert.
|
|
\item "`$\folgt$"': wie in Analysis 1. "`$\impliedby$"': 1.1(7) $\folgt |a_j^{(k)}-a_j^{(l)}| \le \|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ (j=1,\ldots,n)\ \folgt$ jede Folge $(a_j^{(k)})$ ist eine Cauchyfolge in $\MdR$, also konvergent $\overset{(1)}{\folgt} (a^{(k)})$ konvergiert.
|
|
\end{beweise}
|
|
|
|
\begin{satz}[Häufungswerte und konvergente Folgen]
|
|
Sei $A\subseteq\MdR^n$
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $x_0 \in \H(A)\equizu\ \exists$ Folge $(x^{(k)})$ in $A\ \backslash\ \{x_0\}$ mit $x^{(k)}\to x_0$.
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|
\item $x_0 \in \bar A\equizu\ \exists$ Folge $(x^{(k)})$ in $A$ mit $x^{(k)}\to x_0$.
|
|
\item $A$ ist abgeschlossen $\equizu$ der Grenzwert jeder konvergenten Folge in $A$ gehört zu $A$.
|
|
\item Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
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\begin{enumerate}
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|
\item $A$ ist beschränkt und abgeschlossen
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|
\item Jede Folge in $A$ enthält eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert zu $A$ gehört.
|
|
\item A ist kompakt
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\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
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|
\begin{beweise}
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|
\item Wie in Analysis 1
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\item Fast wörtlich wie bei (1)
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|
\item[(4)] Wörtlich wie in Analysis 1
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|
\item[(3)] "`$\folgt$"': Sei $(a^{(k)})$ eine konvergente Folge in $A$ und $x_0:=\lim a^{(k)} \overset{(2)}{\folgt} x_0 \in \bar A \overset{\text{Vor.}}{=}A$. "`$\impliedby$"': z.z: $\bar A \subseteq A$. Sei $x_0 \in \bar A \overset{(2)}{\folgt}x_0 \in A$. Also: $A=\bar A$.
|
|
\end{beweise}
|
|
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|
\begin{satz}[Überdeckungen]
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|
$A \subseteq \MdR^n$ sei abgeschlossen und beschränkt
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\begin{enumerate}
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\item Ist $\ep>0\folgt\ \exists a^{(1)},\ldots,a^{(m)} \in A: A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m U_\ep(a^{(j)})$
|
|
\item $\exists$ abzählbare Teilmenge $B$ von $A: \bar B=A$.
|
|
\item \begriff{Überdeckungssatz von Heine-Borel}: Ist $(G_\lambda)_{\lambda \in M}$ eine Familie offener Mengen mit $A \subseteq \displaystyle\bigcup_{\lambda \in M} G_\lambda$, dann existieren $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in M: A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m G_{\lambda_j}$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweise}
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\item Sei $\ep>0$. Annahme: Die Behauptung ist falsch. Sei $a^{(1)}\in A$. Dann: $A\nsubseteq U_{\ep}(a^{(1)})\folgt\exists a^{(2)}\in A: a^{(2)}\notin U_\ep(a^{(1)})\folgt\|a^{(2)}-a^{(1)}\|\ge\ep$. $A\nsubseteq U_\ep(a^{(1)})\cup U_\ep(a^{(2)})\folgt\exists a^{(3)} \in A: \|a^{(3)}-a^{(2)}\|\ge\ep,\ \|a^{(3)}-a^{(1)}\|\ge\ep$ etc.. Wir erhalten so eine Folge $(a^{(k)})$ in A: $\|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ge\ep$ für $k\ne l$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $\folgtnach{2.1(6)}\ \exists j_0 \in\MdN:\ \|a^{(k_j)}-a^{(k_l)}\|<\ep\ \forall j,l\ge j_0$, Widerspruch!
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\item Sei $j\in\MdN$. $\ep:=\frac{1}{j}$. (1) $\folgt\exists$ endl. Teilmenge $B_j$ von $A$ mit $(*)\ A\subseteq \displaystyle\bigcup_{x \in B_j}U_{\frac{1}{j}}(x)$. $B:=\displaystyle\bigcup_{j\in\MdN}B_j\folgt B\subseteq A$ und $B$ ist abzählbar. Dann: $\bar B\subseteq\bar A\gleichnach{Vor.}A$. Noch zu zeigen: $A\subseteq\bar B$. Sei $x_0\in A$ und $\delta>0$: zu zeigen: $U_\delta(x_0)\cap B\ne\emptyset$. Wähle $j\in\MdN$ so, dass $\frac{1}{j}<\delta\ (*)\folgt\exists x \in B_j\subseteq B:\ x_0\in U_{\frac{1}{j}}(x)\folgt \|x_0-x\|<\frac{1}{j}<\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x\in U_\delta(x_0)\cap B$.
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\item Teil 1: Behauptung: $\exists \ep>0:\ \forall a \in A\ \exists\lambda\in M: U_\ep(a)\subseteq G_\lambda$. Beweis: Annahme: Die Behauptung ist falsch. $\forall k\in\MdN\ \exists a^{(k)}\in A:\ (**) U_{\frac{1}{k}}(a^{(k)})\nsubseteq G_\lambda\ \forall \lambda\in M$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a^{(k_j)})$ und $x_0:=\displaystyle\lim_{j\to\infty}a^{k_j}\in A\folgt\exists \lambda_0\in M: x_0 \in G_{\lambda_0};\ G_{\lambda_0}$ offen $\folgt\exists \delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq G_{\lambda_0}.\ a^{(k_j)}\to x_0\ (j\to\infty)\folgt\exists m_0\in\MdN: a^{(m_0)}\in U_{\frac{\delta}{2}}(x_0)$ und $m_0\ge\frac{2}{\delta}$. Sei $x\in U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\folgt \|x-x_0\|=\|x-a^{(m_0)}+a^{(m_0)}-x_0\|\le\|x-a^{(m_0)}\|+\|a^{(m_0)}-x_0\|\le\frac{1}{m_0}+\frac{\delta}{2}\le\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x \in G_{\lambda_0}$. Also: $U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\subseteq G_{\lambda_0}$, Widerspruch zu $(**)$!\\
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Teil 2: Sei $\ep>0$ wie in Teil 1. (1) $\folgt\exists a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\in A: A\subseteq\displaystyle\bigcup_{j=1}^mU_\ep(a^{(j)})$. Teil 1 $\folgt\exists \lambda_j\in M: U_\ep(a^{(j)})\subseteq G_{\lambda_j}\ (j=1,\ldots,m)\folgt A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m G_{\lambda_j}$
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\end{beweise}
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\chapter{Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit}
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\begin{vereinbarung}
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\indexlabel{vektorwertige Funktion}Stets in dem Paragraphen: Sei $\emptyset \ne D \subseteq \MdR^n$ und $f: D\to\MdR^m$ eine (\textbf{vektorwertige}) Funktion. Für Punkte $(x_1, x_2) \in \MdR^2$ schreiben wir auch $(x,y)$. Für Punkte $(x_1, x_2, x_3) \in\MdR^3$ schreiben wir auch $(x, y, z)$. Mit $x=(x_1,\ldots,x_n)\in D$ hat $f$ die Form $f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)=(f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,\ldots,x_n))$, wobei $f_j:D\to\MdR\ (j=1,\ldots,m)$. Kurz: $f=(f_1,\ldots,f_m)$.
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\end{vereinbarung}
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\begin{beispiele}
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\item $n=2,m=3$. $f(x,y)=(x+y,xy,xe^y);\ f_1(x,y)=x+y, f_2(x,y)=xy, f_3(x,y)=xe^y$.
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\item $n=3,m=1$. $f(x,y,z)=1+x^2+y^2+z^2$
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\end{beispiele}
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\begin{definition*}
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Sei $x_0\in \H(D)$.
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\begin{enumerate}
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\item Sei $y_0 \in \MdR^m$. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0 :\equizu$ für \textbf{jede} Folge $(x^{(k)})$ in $D\ \backslash\ \{x_0\}$ mit $x^{(k)}\to x_0$ gilt: $f(x^{(k)})\to y_0$. In diesem Fall schreibt man: $f(x)\to y_0(x\to x_0)$.
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\item $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ existiert $:\equizu\ \exists y_0 \in \MdR^m: \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$.
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y)=(x+y,xy,xe^y); \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y)=(2,1,e)$, denn: ist $((x_k, y_n))$ eine Folge mit $(x_k,y_k)\to(1,1)\folgtnach{2.1}x_k\to 1, y_k\to 1 \folgt x_k+y_k\to 2, x_ky_k\to 1, x_ke^{y_k}\to e\folgtnach{2.1}(x_k,y_k)\to(2,1,e)$.
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\item $f(x,y)=\begin{cases}
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\frac{xy}{x^2+y^2}&\text{, falls }(x,y)\ne(0,0)\\
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0&\text{, falls }(x,y)=(0,0)
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\end{cases}$\\
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$f(\frac{1}{k},0)=0\to 0\ (k\to \infty), (\frac{1}{k},0)\to(0,0), f(\frac{1}{k},\frac{1}{k})=\frac{1}{2}\to\frac{1}{2}\ (k\to \infty), (\frac{1}{k},\frac{1}{k})\to(0,0)$, d.h $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ existiert nicht! \textbf{Aber}: $\displaystyle\lim_{x\to 0}(\displaystyle\lim_{y\to 0} f(x,y))=0=\displaystyle\lim_{y\to 0}(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x,y))$.
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Grenzwerte vektorwertiger Funktionen]
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\begin{enumerate}
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\item Ist $f = (f_1,\ldots,f_m)$ und $y_0 = (y_1,\ldots,y_m) \in \MdR^m$, so gilt: $f(x) \to y_0\ (x \to x_0) \equizu f_j(x) \to y_j\ (x \to x_0)\ (j=1,\ldots,m)$
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\item Die Aussagen des Satzes Ana I, 16.1 und die Aussagen (1) und (2) des Satzes Ana I, 16.2 gelten sinngemäß für Funktionen von mehreren Variablen.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item folgt aus 2.1
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\item wie in Ana I
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\end{beweise}
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\begin{definition*}[Stetigkeit vektorwertiger Funktionen]
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\begin{enumerate}
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\item \indexlabel{Stetigkeit}Sei $x_0 \in D$. $f$ heißt \textbf{stetig} in $x_0$ gdw. für jede Folge $(x^{(k)})$ in $D$ mit $(x^{(k)}) \to x_0$ gilt: $f(x^{(k)}) \to f(x_0)$. Wie in Ana I: Ist $x_0 \in D \cap \H(D)$, so gilt: $f$ ist stetig in $x_0 \equizu \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)$.
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\item \indexlabel{Stetigkeit!auf einem Intervall}$f$ heißt auf $D$ stetig gdw. $f$ in jedem $x \in D$ stetig ist. In diesem Fall schreibt man: $f \in C(D,\MdR^m)\ (C(D) = C(D,\MdR)).$
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\item \indexlabel{Stetigkeit!gleichmäßige}$f$ heißt auf $D$ \textbf{gleichmäßig} (glm) stetig gdw. gilt:\\
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$\forall \ep>0\ \exists \delta>0: \|f(x)-f(y)\| < \ep\ \forall x,y \in D: \|x-y\| < \delta$
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\item \indexlabel{Stetigkeit!Lipschitz-}$f$ heißt auf $D$ \textbf{Lipschitzstetig} gdw. gilt:\\
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$\exists L\ge0: \|f(x)-f(y)\| \le L\|x-y\|\ \forall x,y \in D.$
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Stetigkeit vektorwertiger Funktionen]
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\begin{enumerate}
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\item Sei $x_0 \in D$ und $f = (f_1,\ldots,f_m).$ Dann ist $f$ stetig in $x_0$ gdw. alle $f_j$ stetig in $x_0$ sind. Entsprechendes gilt für "`stetig auf $D$"', "`glm stetig auf $D$"', "`Lipschitzstetig auf $D$"'.
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\item Die Aussagen des Satzes Ana I, 17.1 gelten sinngemäß für Funktionen von mehreren Variablen.
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\item Sei $x_0 \in D$. $f$ ist stetig in $x_0$ gdw. zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_0)$ eine Umgebung $U$ von $x_0$ existiert mit $f(U \cap D) \subseteq V$.
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\item Sei $\emptyset \ne E \subseteq \MdR^m$, $f(D) \subseteq E$, $g: E \to \MdR^p$ eine Funktion, $f$ stetig in $x_0 \in D$ und $g$ stetig in $f(x_0)$. Dann ist $g \circ f: D \to \MdR^p$ stetig in $x_0$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item folgt aus 2.1
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\item wie in Ana 1
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\item Übung
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\item wie in Ana 1
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\end{beweise}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y) := \begin{cases}
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\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne (0,0)\\
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0, & (x,y) = (0,0)
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\end{cases}\quad(D = \MdR^2)$
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$f(\frac{1}{k},\frac{1}{k}) = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \ne 0 = f(0,0) \folgt f$ ist in $(0,0)$ \emph{nicht} stetig.
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\item $f(x,y) := \begin{cases}
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\frac{1}{y} \sin(xy), & y \ne 0\\
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x, & y = 0
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\end{cases}$
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Für $y \ne 0: |f(x,y) - f(0,0)| = \frac{1}{|y|}|\sin(xy)| \le \frac{1}{|y|}|xy| = |x|.$
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Also gilt: $|f(x,y) - f(0,0)| \le |x|\ \forall (x,y) \in \MdR^2 \folgt f(x,y) \to f(0,0)\ ((x,y) \to (0,0)) \folgt f$ ist stetig in $(0,0)$.
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\item Sei $\Phi \in C^1(\MdR),\ \Phi(0) = 0,\ \Phi'(0) = 2$ und $a \in \MdR$.
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$f(x,y) := \begin{cases}
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\frac{\Phi(a(x^2+y^2))}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne (0,0)\\
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\frac{1}{2}, & (x,y) = (0,0)
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\end{cases}$
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Für welche $a \in \MdR$ ist $f$ stetig in $(0,0)$?
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Fall 1: $a = 0$
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$f(x,y) = 0\ \forall(x,y) \in \MdR^2\backslash\{(0,0)\} \folgt f$ ist in $(0,0)$ nicht stetig.
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Fall 2: $a \ne 0$
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$r := x^2 + y^2.\ (x,y) \to (0,0) \equizu \|(x,y)\| \to 0 \equizu r \to 0$, Sei $(x,y) \ne (0,0)$. Dann gilt:
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$f(x,y) = \frac{\Phi(ar)}{r} = \frac{\Phi(ar) - \Phi(0)}{r - 0} = a \frac{\Phi(ar) - \Phi(0)}{ar - 0} \overset{r \to 0}{\to} a \Phi'(0) = 2a$. Das heißt: $f(x,y) \to 2a\ ((x,y)\to(0,0))$.
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Daher gilt: $f$ ist stetig in $(0,0) \equizu 2a = \frac{1}{2} \equizu a = \frac{1}{4}$.
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\end{beispiele}
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\begin{definition*}[Beschränktheit einer Funktion]
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\indexlabel{Beschränktheit!einer Funktion}
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$f:D \to \MdR^m$ heißt \textbf{beschränkt} (auf $D$) gdw. $f(D)$ beschränkt ist $(\equizu \exists c \ge 0: \|f(x)\| \le c\ \forall x \in D)$.
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Funktionen auf beschränkten und abgeschlossenen Intervallen]
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$D$ sei beschränkt und abgeschlossen und es sei $f \in C(D,\MdR^m)$.
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\begin{enumerate}
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\item $f(D)$ ist beschränkt und abgeschlossen.
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\item $f$ ist auf $D$ gleichmäßig stetig.
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\item Ist $f$ injektiv auf $D$, so gilt: $f^{-1} \in C(f(D),\MdR^n)$.
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\item Ist $m = 1$, so gilt: $\exists a,b \in D: f(a) \le f(x) \le f(b)\ \forall x \in D$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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wie in Ana I.
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Fortsetzungssatz von Tietze]
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Sei $D$ abgeschlossen und $f \in C(D,\MdR^m) \folgt \exists F \in C(\MdR^n,\MdR^m): F=f$ auf $D$.
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\end{satz}
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\begin{satz}[Lineare Funktionen und Untervektorräume von $\MdR^n$]
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\begin{enumerate}
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\item Ist $f:\MdR^n \to \MdR^m$ und \emph{linear}, so gilt: $f$ ist Lipschitzstetig auf $\MdR^n$, insbesondere gilt: $f \in C(\MdR^n,\MdR^m)$.
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\item Ist $U$ ein Untervektorraum von $\MdR^n$, so ist $U$ abgeschlossen.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Aus der Linearen Algebra ist bekannt: Es gibt eine $(m \times n)$-Matrix $A$ mit $f(x) = Ax$. Für $x,y \in \MdR^n$ gilt: $\|f(x)-f(y)\| = \|Ax - Ay\| = \|A(x-y)\| \le \|A\|\cdot \|x-y\|$
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\item Aus der Linearen Algebra ist bekannt: Es gibt einen UVR $V$ von $\MdR^n$ mit: $\MdR^n = U \oplus V$. Definiere $P: \MdR^n \to \MdR^n$ wie folgt: zu $x \in \MdR^n$ existieren eindeutig bestimmte $u \in U,\ v \in V$ mit: $x = u+v;\ P(x) := u$.
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Nachrechnen: $P$ ist linear.
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$P(\MdR^n) = U$ (Kern $P = V,\ P^2 = P$). Sei $(u^{(k)})$ eine konvergente Folge in $U$ und $x_0 := \lim u^{(k)}$, z.z.: $x_0 \in U$.
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Aus (1) folgt: $P$ ist stetig $\folgt P(u^{(k)}) \to P(x_0) \folgt x_0 = \lim u^{(k)} = \lim P(u^{(k)}) = P(x_0) \in P(\MdR^n) = U$.
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\end{beweise}
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\begin{definition*}[Abstand eines Vektor zu einer Menge]
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\indexlabel{Abstand!zwischen Vektor und Menge}
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Sei $\emptyset \ne A \subseteq \MdR^n,\ x \in \MdR^n.\ d(x,A) := \inf\{\|x-a\|:a \in A\}$ heißt der \textbf{Abstand} von $x$ und $A$.
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Klar: $d(a,A) = 0\ \forall a \in A$.
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Eigenschaften des Abstands zwischen Vektor und Menge]
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\begin{enumerate}
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\item $|d(x,A) - d(y,A)| \le \|x-y\|\ \forall x,y \in \MdR^n$.
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\item $d(x,A) = 0 \equizu x \in \overline{A}$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Seien $x,y \in \MdR^n$. Sei $a \in A$. $d(x,A) \le \|x-a\| = \|x-y+y-a\| \le \|x-y\|+\|y-a\|\\
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\folgt d(x,A)-\|x-y\| \le \|y-a\|\ \forall a \in A\\
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\folgt d(x,A) - \|x-y\| \le d(y,A)\\
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\folgt d(x,A) - d(y,A) \le \|x-y\|$
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Genauso: $d(y,A) - d(x,A) \le \|y-x\| = \|x-y\| \folgt$ Beh.
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\item Der Beweis erfolgt duch Implikation in beiden Richtungen:
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\begin{itemize}
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\item["`$\impliedby$"':] Sei $x \in \overline{A} \folgtnach{2.2} \exists$ Folge $(a^{(k)})$ in $A: a^{(k)} \to x \folgtnach{(1)} d(a^{(k)},A) \to d(x,A) \folgt d(x,A) = 0$.
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\item["`$\implies$"':] Sei $d(x,A) = 0.\ \forall k \in \MdN\ \exists a^{(k)} \in A: \|a^{(k)} - x\| < \frac{1}{k} \folgt a^{(k)} \to x \folgtnach{2.2} x \in \overline{A}$.
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\end{itemize}
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\end{beweise}
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\chapter{Partielle Ableitungen}
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Stets in diesem Paragraphen: $\emptyset\ne D\subseteq \MdR^n$, $D$ sei offen und $f:D\to\MdR$ eine reellwertige Funktion. $x_0 = (x_1^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}) \in D$. Sei $j\in\{1,\ldots,n\}$ (fest).
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Die Gerade durch $x_0$ mit der Richtung $e_j$ ist gegeben durch folgende Menge: $\{x_0+te_j:t\in\MdR\}$. $D$ offen $\folgt$ $\exists\delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq D$. $\|x_0+te_j - x_0\| = \|te_j\| = |t| \folgt x_0+e_j \in D $ für $t\in(-\delta,\delta)$. $g(t) := f(x_0+te_j)$ $(t\in(-\delta,\delta))$
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Es ist $g(t) = f(x_1^{(0)}, \ldots, x_{j-1}^{(0)}, x_j^{(0)} + t, x_{j+1}^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)} )$
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\begin{definition}
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$f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} nach $x_j$ :\equizu es exisitert
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der Grenzwert
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\[\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+te_j) - f(x_0)}t\]
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und ist $\in\MdR$. In diesem Fall heißt obiger Grenzwert die \textbf{partielle Ableitung
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von $f$ in $x_0$} nach $x_j$ und man schreibt für diesen Grenzwert:
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\[f_{x_j}(x_0) \text{ oder }\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\]
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Im Falle $n=2$ oder $n=3$ schreibt man $f_x$, $f_y$, $f_z$ bzw. $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial f}{\partial z}$
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y,z) = xy+z^2+e^{x+y}$; $f_x(x,y,z) = y + e^{x+y} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)$. $f_x(1,1,2)=1+e^2$. $f_y(x,y,z) = x+e^{x+y}$. $f_z(x,y,z) = 2z = \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)$.
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\item $f(x) = f(x_1,\ldots, x_n) = \|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$.
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Sei $x\ne0$: $f_{x_j}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}}2x_j = \frac{x_j}{\|x\|} $
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Sei $x=0$: $\frac{f(t,0,\ldots,0) - f(0,0,\ldots,0)}{t} = \frac{|t|}{t} = \begin{cases} 1, &t>0\\-1,&t<0\end{cases} \folgt f$ ist in $(0,\ldots,0)$ nicht partiell differenzierbar nach $x_1$. Analog: $f$ ist in $(0,\ldots,0)$ nicht partiell differenzierbar nach $x_2,\ldots,x_n$
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\item $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0)\\0,&(x,y) = (0,0) \end{cases}$
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$\frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = 0 \to 0 \ (t\to0) \folgt f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $x$ und $f_x(0,0) = 0$. Analog: $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $y$ und $f_y(0,0) = 0$. Aber: $f$ ist in $(0,0)$ nicht stetig.
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\end{beispiele}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{definition}
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\indexlabel{partiell!Differenzierbarkeit}
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\indexlabel{partiell!Ableitung}
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\indexlabel{Differenzierbarkeit!partielle}
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\indexlabel{Ableitung!partielle}
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\begin{enumerate}
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\item $f$ heißt in $x_0$ \textbf{partiell differenzierbar} $:\equizu$ $f$ ist in $x_0$
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partiell differenzierbar nach allen Variablen $x_1,\ldots, x_n$. In diesem Fall heißt
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$\grad f(x_0) := \nabla f(x_0) := (f_{x_1}(x_0),\ldots, f_{x_n}(x_0))$ der \textbf{Gradient} von
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$f$ in $x_0$. \indexlabel{Gradient}
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\item $f$ ist auf $D$ \textbf{partiell differenzierbar} nach $x_j$ oder $f_{x_j}$ ist auf $D$ vorhanden :\equizu $f$ ist in jedem $x\in D$ partiell differenzierbar nach $x_j$. In diesem Fall wird durch $x\mapsto f_{x_j}(x)$ eine Funktion $f_{x_j}: D\to \MdR$ definiert die \textbf{partielle Ableitung} von $f$ auf $D$ nach $x_j$.
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\item $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} auf $D$ :\equizu $f_{x_1},\ldots,f_{x_n}$ sind auf $D$ vorhanden.
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\item $f$ heißt auf $D$ \textbf{stetig partiell differenzierbar} :\equizu $f$ ist auf $D$ partiell differenzierbar und $f_{x_1},\ldots,f_{x_n}$ sind auf $D$ stetig. In diesem Fall schreibt man $f\in C^1(D,\MdR)$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item Sei $f$ wie in obigem Beispiel (3). $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar und $\grad f(0,0) = (0,0)$
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\item Sei $f$ wie in obigem Beispiel (2). $f$ ist auf $\MdR^n\backslash\{0\}$ partiell differenzierbar und $\grad f(x) = (\frac{x_1}{\|x_n\|},\ldots,\frac{x_n}{\|x_n\|}) = \frac{1}{\|x\|} x \ (x\ne 0)$
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\end{beispiele}
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\begin{definition}
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Seien $j,k\in\{1,\ldots,n\}$ und $f_{x_j}$ sei auf $D$ vorhanden. Ist $f_{x_j}$ in
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$x_0\in D$ partiell differenzierbar nach $x_k$, so heißt
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\[f_{x_jx_k}(x_0) := \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_k}(x_0) := \left(f_{x_j}\right)_{x_k}(x_0)\]
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die \textbf{partielle Ableitung zweiter Ordnung} von $f$ in $x_0$
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nach $x_j$ und $x_k$. Ist $k=j$, so schreibt man:
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\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_j^2}(x_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_j}(x_0) \]
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Entsprechend definiert man partielle Ableitungen höherer Ordnung (soweit vorhanden).
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\end{definition}
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\begin{schreibweisen}
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$\ds f_{xxyzz} = \frac{\partial^5 f}{\partial x^2\partial y\partial z^2}$, vergleiche: $\ds\frac{\partial^{180} f}{\partial x^{179}\partial y}$
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\end{schreibweisen}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y) = xy + y^2$, $f_x(x,y)=y$, $f_{xx} = 0$, $f_y = x + 2y$, $f_{yy} = 2$, $f_{xy}=1$, $f_{yx} = 1$.
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\item $f(x,y,z) = xy + z^2e^x$, $f_x = y+z^2e^x$, $f_{xy} = 1$, $f_{xyz} = 0$. $f_z=2ze^x$, $f_{zy}=0$, $f_{zyx} = 0$.
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\item $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne (0,0) \\ 0, &(x,y)=(0,0)\end{cases}$
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Übungsblatt: $f_{xy}(0,0)$, $f_{yx}(0,0)$ existieren, aber $f_{xy}(0,0) \ne f_{yx}(0,0)$
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\end{beispiele}
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\begin{definition}
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Sei $m\in\MdN$. $f$ heißt auf $D$ \textbf{$m$-mal stetig partiell differenzierbar} :\equizu alle partiellen Ableitungen von $f$ der Ordnung $\le m$ sind auf $D$ vorhanden und auf $D$ stetig. In diesem Fall schreibt man: $f\in C^m(D,\MdR)$
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\[C^0(D, \MdR) := C(D,\MdR),\qquad C^\infty(D,\MdR) := \bigcap_{k\in\MdN_0}C^{k}(D,\MdR)\]
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\end{definition}
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\begin{satz}[Satz von Schwarz]
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Es sei $f\in C^2(D,\MdR)$, $x_0\in D$ und $j,k\in\{1,\ldots,n\}$. Dann: $f_{x_jx_k}(x_0) = f_{x_kx_j}(x_0)$
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\end{satz}
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\begin{satz}[Folgerung]
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Ist $f\in C^m(D,\MdR)$, so sind die partiellen Ableitungen von $f$
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der Ordnung $\le m$ unabhängig von der Reihenfolge der Differentation.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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O.B.d.A: $n=2$ und $x_0=(0,0)$. Zu zeigen: $f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$. $D$
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offen $\folgt\exists\delta>0: U_\delta(0,0)\subseteq D$. Sei $(x,y) \in U_\delta(0,0)$ und $x\ne 0\ne y$.
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\[\nabla:=f(x,y)-f(x,0)-(f(0,y)-f(0,0)),\quad\varphi(t):=f(t,y)-f(t,0)\]
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für $t$ zwischen $0$ und $x$. $\varphi$ ist differenzierbar und
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$\varphi'(t)=f_x(t,y)-f_x(t,0)$. $\varphi(x)-\varphi(0)=\nabla$.
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|
MWS, Analysis I $\folgt\exists\xi=\xi(x,y)$ zwischen $0$ und $x$:
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$\nabla=x\varphi'(\xi)=x(f_x(\xi,y)-f_x(\xi,0))$. $g(s):=f_x(\xi,s)$
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für s zwischen $0$ und $y$; $g$ ist differenzierbar und
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$g'(s)=f_{xy}(\xi,s)$. Es ist $\nabla=x(g(y)-g(0))\gleichnach{MWS}xyg'(\eta),\ \eta=\eta(x,y)$
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zwischen $0$ und $y$. $\folgt \nabla=xyf_{xy}(\xi,\eta).$ (1)\\
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$\psi(t):=f(x,t)-f(0,t)$, $t$ zwischen $0$ und $y$.
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|
$\psi'(t)=f_y(x,t)-f_y(0,t)$. $\nabla=\psi(y)-\psi(0)$.
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|
Analog: $\exists \bar\eta=\bar\eta(x,y)$ und $\bar\xi=\bar\xi(x,y)$, $\bar\eta$
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zwischen $0$ und $y$, $\bar\xi$ zwischen $0$ und $x$. $\nabla=xyf_{yx}(\bar\xi,\bar\eta).$ (2)\\
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Aus (1), (2) und $xy\ne0$ folgt $f_{xy}(\xi,\eta)=f_{yx}(\bar\xi,\bar\eta)$.
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|
$(x,y)\to(0,0)\folgt\xi,\bar\xi,\eta,\bar\eta\to 0\folgtwegen{f\in C^2}f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$
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\end{beweis}
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\chapter{Differentiation}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{vereinbarung}
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Stets in dem Paragraphen: $\emptyset\ne D\subseteq\MdR^n$, $D$ offen und $f:D\to\MdR^m$ eine Funktion, also $f=(f_1,\ldots,f_m)$
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\end{vereinbarung}
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\begin{definition*}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $k\in\MdN$. $f\in C^k(D,\MdR^m) :\equizu f_j\in C^k(D,\MdR)\ (j=1,\ldots,m)$
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|
\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} in
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|
$x_0 :\equizu$ jedes $f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar.
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In diesem Fall heißt
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\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0):=\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:=J_f(x_0):=
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|
\begin{pmatrix}
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|
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_0) \\
|
|
\vdots & & \vdots \\
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|
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_0)
|
|
\end{pmatrix}\]
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\indexlabel{Jacobi-Matrix}
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\indexlabel{Funktionalmatrix}
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die \textbf{Jacobi-} oder \textbf{Funktionalmatrix} von $f$ in $x_0$.
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\end{enumerate}
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\textbf{Beachte:}
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\begin{enumerate}
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\item $J_f(x_0)$ ist eine $(m \times n)$-Matrix.
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\item Ist $m=1$ folgt $J_f(x_0)=\grad f(x_0)$.
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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\begin{erinnerung}
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Sei $I\subseteq\MdR$ ein Intervall, $\varphi:I\to\MdR$ eine Funktion, $x_0\in I$. $\varphi$ ist in $x_0$ differenzierbar
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\[
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\overset{\text{ANA 1}}{\equizu}\exists a \in\MdR: \ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=a
|
|
\equizu\exists a\in\MdR:\ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)-ah}{h}=0
|
|
\equizu\exists a\in\MdR: \ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)-ah}{|h|}=0
|
|
\]
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|
\end{erinnerung}
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\begin{definition*}
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\begin{enumerate}
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\index{Differenzierbarkeit}
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\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{differenzierbar} (db) in
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$x_0 :\equizu \exists (m \times n)$-Matrix $A$, sodass gilt:
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\begin{align*}
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\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}=0\ \tag{$*$}
|
|
\end{align*}
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|
\item $f$ heißt differenzierbar auf $D\ :\equizu f$ ist in
|
|
jedem $x\in D$ differenzierbar.
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\end{enumerate}
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|
\end{definition*}
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\begin{bemerkungen}
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\item $f$ ist differenzierbar in
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$x_0\equizu\exists (m \times n)$-Matrix $A$:
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|
\[ \ds\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\|x-x_0\|}=0 \]
|
|
\item Ist $m=1$, so gilt: $f$ ist differenzierbar in $x_0$
|
|
\begin{align*}
|
|
\equizu \exists a \in\MdR^n:
|
|
\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{\|h\|}=0\ \tag{$**$}
|
|
\end{align*}
|
|
\item Aus 2.1 folgt: $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu$ jedes
|
|
$f_j$ ist differenzierbar in $x_0$.
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\end{bemerkungen}
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\begin{satz}[Differenzierbarkeit und Stetigkeit]
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$f$ sei in $x_0\in D$ differenzierbar
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\begin{enumerate}
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\item $f$ ist in $x_0$ stetig
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\item $f$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und die Matrix A in
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$(*)$ ist eindeutig bestimmt: \\
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$A=J_f(x_0)$. $f'(x_0):=A=J_f(x_0)$ (\begriff{Ableitung} von $f$ in $x_0$).
|
|
\item Ist $m=1$, so ist $f'(x_0) = a$ (aus $(**)$), also $f'(x_0) = \grad(f(x_0))$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei A wie in $(*)$, $A=(a_{jk})$, $\varrho(h):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}$,
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also: $\varrho(h)\to0\ (h\to 0)$. Sei $\varrho=(\varrho_1,\ldots,\varrho_m)$.
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|
2.1 $\folgt \varrho_j(h)\to 0\ (h\to 0)\ (j=1,\ldots,m)$
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item $f(x_0+h)=f(x_0)+\underbrace{Ah}_{\overset{\text{3.5}}{\to}0}+\underbrace{\|h\|\varrho(h)}_{\to 0\ (h\to 0)}\to f(x_0)\ (h\to 0)$
|
|
\item Sei $j\in\{1,\ldots,m\}$ und $k\in\{1,\ldots,n\}$.
|
|
Zu zeigen: $f_j$ ist partiell differenzierbar und
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$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(x_0)=a_{jk}$.
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$\varrho_j(h)=\frac{1}{\|h\|}(f_j(x_0+h)-f_j(x_0)-(a_{j1},\ldots,a_{jn})\cdot h)\to 0\ (h \to 0)$.
|
|
Für $t\in\MdR$ sei $h=te_k\folgt\varrho(h)=\frac{1}{|t|}(f(x_0+te_k)-a_{jk}t)\to 0\ (t\to 0)\folgt\left|\frac{f(x_0+te_k)-f(x_0)}{t}-a_{jk}\right|\to 0\ (t\to 0)\folgt f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und $\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(x_0)=a_{jk}$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beweis}
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|
\begin{beispiele}
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\item $$f(x,y)=\begin{cases}
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\frac{xy}{x^2+y^2}&\text{, falls } (x,y)\ne(0,0)\\
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|
0&\text{, falls } (x,y)=(0,0)
|
|
\end{cases}$$
|
|
Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} stetig, aber partiell
|
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differenzierbar und $\grad f(0,0)=(0,0)$ 5.1 $\folgt f$ ist in
|
|
$(0,0)$ \textbf{nicht} differenzierbar.
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\item \[
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|
f(x,y)=
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|
\begin{cases}
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|
(x^2+y^2) \underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}_\text{beschränkt}&\text{, falls } (x,y)\ne(0,0)\\
|
|
0&\text{, falls }(x,y)=(0,0)
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Für $(x,y)\ne(0,0): \left|f(x,y)\right|=(x^2+y^2)\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|
|
|
\le x^2+y^2\overset{(x,y)\to(0,0)}{\to}0 \folgt f$ ist in $(0,0)$ stetig.
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|
$\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}t^2\sin\frac{1}{|t|}=t\sin\frac{1}{|t|}\to 0\ (t\to 0)\folgt f$
|
|
ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $x$ und $f_x(0,0)=0$.
|
|
Analog: $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $y$ und
|
|
$f_y(0,0)=0$. $\varrho(h)=\frac{1}{\|h\|}f(h)\gleichwegen{h=(h_1,h_2)}\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}(h_1^2+h_2^2)\sin\frac{1}{h_1^2+h_2^2}=\sqrt{h_1^2+h_2^2}\underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}_{\text{beschränkt}}\to 0\ (h\to 0)\folgt f$
|
|
ist differenzierbar in $(0,0)$ und $f'(0,0)=\grad f(0,0)=(0,0)$
|
|
|
|
\item $$f(x,y) := \begin{cases}
|
|
\frac{x^3}{x^2+y^2}&\text{, falls} (x,y) \ne (0,0)\\
|
|
0&\text{, falls} (x,y) = (0,0)\end{cases}$$
|
|
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|
Übung: $f$ ist in $(0,0)$ stetig.
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$\frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \frac{1}{t} \frac{t^3}{t^2} = 1 \to 1\ (t \to 0).\ \frac{f(0,t) - f(0,0)}{t} = 0 \to 0\ (t \to 0)$.
|
|
|
|
$\folgt f$ ist in $(0,0)$ partiell db und $\grad f(0,0) = (1,0)$.
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|
Für $h = (h_1,h_2) \ne (0,0): \rho(h) = \frac{1}{\|h\|}(f(h) - f(0,0) - \grad f(0,0)\cdot h) = \frac{1}{\|h\|} (\frac{h_1^3}{h_1^2+h_2^2} - h_1) = \frac{1}{\|h\|} \frac{-h_1 h_2^2}{h_1^2 + h_2^2} = \frac{-h_1 h_2^2}{(h_1^2 + h_2^2)^{3/2}}.$
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|
Für $h_2 = h_1 > 0: \rho(h) = \frac{-h_1^3}{(\sqrt{2})^3 h_1^3} = - \frac{1}{(\sqrt{2})^3} \folgt \rho(h) \nrightarrow 0\ (h \to 0) \folgt f$ ist in $(0,0)$ \emph{nicht} db.
|
|
\end{beispiele}
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\begin{satz}[Stetigkeit aller partiellen Ableitungen]
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Sei $x_0 \in D$ und \emph{alle} partiellen Ableitungen
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$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}$ seien auf $D$ vorhanden und in
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$x_0$ stetig $(j=1,\ldots,m,\ k=1,\ldots,n)$. Dann ist $f$ in $x_0$
|
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db.
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|
\end{satz}
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\begin{beweis}
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O.B.d.A: $m=1$ und $x_0=0$. Der Übersicht wegen sei $n=2$.
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Für $h = (h_1,h_2) \ne (0,0):$ $$\rho(h) := \frac{1}{\|h\|}(f(h) - f(0,0) - (\underbrace{h_1 f_x(0,0) + h_2 f_y(0,0)}_{= \grad f(0,0)\cdot h}))$$
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|
$f(h) - f(0) = f(h_1,h_2) - f(0,0) = \underbrace{f(h_1,h_2) - f(0,h_2)}_{=:\Delta_1} + \underbrace{f(0,h_2) - f(0,0)}_{=:\Delta_2}$
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|
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|
$\varphi(t) := f(t,h_2),\ t$ zwischen $0$ und $h_1 \folgt \Delta_1 = \varphi(h_1) - \varphi(0),\ \varphi'(t) = f_x(t,h_2)$
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Aus dem Mittelwertsatz aus Analysis I folgt:
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$\exists \xi = \xi(h)$ mit $0 \leq \xi \leq h_1: \Delta_1 = h_1\varphi(\xi) = h_1 f_x(\xi,h_2)\\
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|
\exists \eta = \eta(h)$ zw. $0$ und $h_2: \Delta_2 = h_2\varphi(\eta) = h_2 f_x(\eta,h_2)$
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$\folgt \rho(h) := \frac{1}{\|h\|}(h_1 f_x(\xi,h_2) - h_2 f_y(0,\eta) - (h_1 f_x(0,0) + h_2 f_y(0,0)))\\
|
|
= \frac{1}{\|h\|} h(\underbrace{f_x(\xi,h_2) - f_x(0,0),\ f_y(0,\eta) - f_y(0,0)}_{=:v(h)})
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= \frac{1}{\|h\|} h\cdot v(h)$
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|
$\folgt |\rho(h)| = \frac{1}{\|h\|} |h\cdot v(h)| \overset{\text{CSU}}{\le} \frac{1}{\|h\|} \|h\| \|v(h)\| = \|v(h)\|$
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|
$f_x,f_y$ sind stetig in $(0,0) \folgt v(h) \to 0\ (h \to 0) \folgt \rho(h) \to 0\ (h \to 0)$
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\end{beweis}
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\begin{folgerung}
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Ist $f \in C^1(D,\MdR^m) \folgt f$ ist auf $D$ db.
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\end{folgerung}
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\begin{definition*}
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Sei $k \in \MdN$ und $f \in C^k(D,\MdR^m)$.
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Dann heißt $f$ \textbf{auf $D$ $k$-mal stetig db}.
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y,z) = (x^2+y, xyz).\ J_f(x,y,z) = \begin{pmatrix}
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2x & 1 & 0\\
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yz & xz & xy\end{pmatrix} \folgt f \in C^1(\MdR^3,\MdR^2)$
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$\folgtnach{5.3} f$ ist auf $\MdR^3$ db und $f'(x,y,z) = J_f(x,y,z)\ \forall (x,y,z) \in \MdR^3.$
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\item Sei $f:\MdR^n \to \MdR^m$ \emph{linear}, es ex. also eine $(m \times n)$-Matrix $A:f(x) = Ax\ (x \in \MdR^n).$
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Für $x_0 \in \MdR^n$ und $h \in \MdR^n \backslash\{0\}$ gilt:\\
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$\rho(h) = \frac{1}{\|h\|}(f(x_0+h) - f(x_0) - Ah) = \frac{1}{\|h\|}(f(x_0) + f(h) - f(x_0) - f(h)) = 0.$
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Also: $f$ ist auf $\MdR^n$ db und $f'(x) = A\ \forall x \in \MdR^n$. Insbesondere ist $f \in C^1(\MdR^n,\MdR^m).$
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\item[(2.1)] $n = m$ und $f(x) = x = Ix$ ($I = (m \times n)$-Einheitsmatrix). Dann: $f'(x) = I\ \forall x \in \MdR^n$.
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\item[(2.2)] $m = 1:\ \exists a \in \MdR^n: f(x) = ax\ (x \in \MdR^n)$ (Linearform). $f'(x) = a\ \forall x \in \MdR^n$.
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\item $$f(x,y) = \begin{cases}
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(x^2+y^2) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{, falls} (x,y) \ne (0,0)\\
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|
0 & \text{, falls} (x,y) = (0,0)\end{cases}$$
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|
Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ db. Übungsblatt: $f_x,f_y$ sind in
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|
$(0,0)$ \emph{nicht} stetig.
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\item Sei $I \subseteq \MdR$ ein Intervall und
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$g = (g_1,\ldots,g_m): I \to \MdR^m;\ g_1,\ldots,g_m: I \to \MdR.$
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$g$ ist in $t_0 \in I$ db $\equizu g_1,\ldots,g_m$ sind in $t_0 \in I$ db. In diesem Fall gilt: $g'(t_0) = (g_1'(t_0),\ldots,g_m'(t_0)).$
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\item[(4.1)] $m = 2: g(t) = (\cos t,\sin t),\ t \in [0,2\pi].\ g'(t) = (-\sin t,\cos t).$
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\item[(4.2)] Seien $a,b \in \MdR^m,\ g(t) = a+t(b-a),\ t \in [0,1],\ g'(t) = b-a$.
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Kettenregel]
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$f$ sei in $x_0 \in D$ db, $\emptyset \ne E \subseteq \MdR^m,\ E$ sei offen, $f(D) \subseteq E$ und $g:E \to \MdR^p$ sei db in $y_0 := f(x_0)$. Dann ist $g \circ f: D \to \MdR^p$ db in $x_0$ und $$(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)\text{ (Matrizenprodukt)}$$
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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$A := f'(x_0),\ B := g'(y_0) = g'(f(x_0)),\ h := g \circ f.$
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$$\tilde{g}(y) = \begin{cases}
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\frac{g(y)-g(y_0)-B(y-y_0)}{\|y-y_0\|} & \text{, falls } y \in E\backslash\{y_0\} \\
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0 & \text{, falls } y = y_0
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\end{cases}$$
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$g$ ist db in $y_0 \folgt \tilde{g}(y) \to 0\ (y \to y_0).$ Aus Satz 5.1 folgt, dass $f$ stetig ist in $x_0 \folgt f(x) \to f(x_0) = y_0\ (x \to x_0) \folgt \tilde{g}(f(x)) \to 0\ (x \to x_0)$
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Es ist $g(y) - g(y_0) = \|y-y_0\| \tilde{g}(y) = B(y-y_0)\ \forall y \in E.$
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$\ds{\frac{h(x)-h(x_0)-BA(x-x_0)}{\|x-x_0\|} = \frac{1}{\|x-x_0\|}(g(f(x))-g(f(x_0))-BA(x-x_0))}$\\
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$\ds{= \frac{1}{\|x-x_0\|} (\|f(x)-f(x_0)\| \tilde{g}(f(x)) + B(f(x)-f(x_0))-BA(x-x_0))}$\\
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$\ds{= \underbrace{\frac{\|f(x)-f(x_0)\|}{\|x-x_0\|}}_{=:D(x)} \underbrace{\tilde{g}(f(x))}_{\to 0} + \underbrace{B(\underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\|x-x_0\|}}_{\overset{f\text{ db}}{\to} 0\ (x \to x_0)})}_{\overset{\text{3.5}}{\to} 0\ (x \to x_0)}}$
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Noch zu zeigen: $D(x)$ bleibt in der "`Nähe"' von $x_0$ beschränkt.
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$0 \le D(x) = \ds{\frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)+A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}$\\
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$\ds{= \underbrace{\frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}_{\to 0\ (x \to x_0)} + \underbrace{\frac{\|A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}}_{\le \|A\|}}.$
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\end{beweis}
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\paragraph{Wichtigster Fall}
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$g = g(x_1,\ldots,x_m)$ reellwertig,
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\begin{align*}
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h(x) &= h(x_1,\ldots,x_n) \\
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&= g(f_1(x_1,\ldots,x_n),f_2(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,\ldots,x_n)) \\
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&= (g \circ f)(x)
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\end{align*}
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$h_{x_j}(x) = g_{x_1}(f(x))\frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x)+g_{x_2}(f(x))\frac{\partial f_2}{\partial x_j}(x)+\cdots+g_{x_m}(f(x))\frac{\partial f_m}{\partial x_j}(x)$
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\begin{beispiel}
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$g = g(x,y,z),\ h(x,y) = g(xy,x^2+y,x \sin y) = g(f(x,y)).$
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$h_x(x,y) = g_x(f(x,y))y + g_y(f(x,y))2x + g_z(f(x,y))\sin y.$\\
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$h_y(x,y) = g_x(f(x,y))x + g_y(f(x,y))1 + g_z(f(x,y))x \cos y.$
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\end{beispiel}
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\begin{hilfssatz}
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Es sei $A$ eine $(m \times n)$-Matrix (reell), es sei $B$ eine $(n \times m)$-Matrix (reell) und es gelte
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\begin{itemize}
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\item[(i)] $BA = I $($= (n \times n)$-Einheitsmatrix) und
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\item[(ii)] $AB = \tilde{I} $($= (m \times m)$-Einheitsmatrix)
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\end{itemize}
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Dann: $m = n$.
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\end{hilfssatz}
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\begin{beweis}
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$\Phi(x):=Ax (x \in \MdR^n). \text{ Lin. Alg.} \folgt \Phi \text{ ist linear, }
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\Phi:\MdR^n \to \MdR^m. \folgtnach{(i)} \Phi \text{ ist injektiv, also }
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Kern \Phi = {0}. \text{ (ii) Sei }z \in \MdR^m, x:=Bz \folgtnach{(ii)} z = ABz = Ax = \Phi(x) \folgt \Phi \text{ ist surjektiv. Dann: } n = \dim \MdR^n \gleichnach{LA} \dim\kernn\Phi + \text{dim}\Phi(\MdR^n) = m.$
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Injektivität und Dimensionsgleichheit]
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$f:D\to \MdR^m$ sei db auf $D$, es sei $f(D)$ offen, $f$ injektiv auf $D$ und $f^{-1}:f(D)\to \MdR^n$ sei db auf $f(D)$. Dann:
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\item[(1)] $m = n$
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\item[(2)] $\forall x \in D:f'(x)$ ist eine invertierbare Matrix und $f'(x)^{-1} = (f^{-1})'(f(x))$
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\end{satz}
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\textbf{Beachte:}
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\begin{itemize}
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\item[(1)] Ist $D$ offen und $f:D\to \MdR^m$ db, so muss i. A. $f(D)$ nicht offen sein. Z.B.: $f(x) = \sin x, D = \MdR, f(D) = [-1,1]$
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\item[(2)] Ist $D$ offen, $f:D\to \MdR^m$ db und injektiv, so muss i.A. $f^{-1}$ \underline{nicht} db sein. Z.B.: $f(x) = x^3, D = \MdR, f^{-1}$ ist in 0 \underline{nicht} db.
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\end{itemize}
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\begin{beweis} von 5.5: $g:=f^{-1}; x_0 \in D, z_0:=f(x_0) (\folgt x_0 = g(z_0))$
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Es gilt: $g(f(x)) = x \forall x \in D, f(g(z)) = z \forall z \in f(D) \folgtnach{5.4} g'(f(x))\cdot f'(x) = I \forall x \in D; f'(g(z))\cdot g'(z) = \tilde{I}
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\forall z \in f(D) \folgt \underbrace{g'(z_0)}_{=:B}\cdot \underbrace{f'(x_0)}_{=:A} = I, f'(x_0)\cdot g'(z_0) = \tilde{I} \folgtnach{5.5} m = n$ und $f'(x_0)^{-1} = g'(z_0) = (f^{-1})'(f(x_0))$.
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\end{beweis}
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\theoremstyle{numberbreak}
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\newtheorem{spezialfall}[satz]{Spezialfall}
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\chapter{Differenzierbarkeitseigenschaften reellwertiger Funktionen}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}
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\index{Konvexität}
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\item Seien $a,b \in \MdR^n; S[a,b]:=\{a+t(b-a): t\in [0,1]\}$ heißt
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\begriff{Verbindungsstrecke} von $a$ und $b$
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\item $M\subseteq \MdR^n$ heißt \textbf{konvex} $:\equizu$\ aus $a,b \in M$ folgt
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stets: $S[a,b] \subseteq M$
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\item Sei $k \in \MdN$ und $x^{(0)},\ldots,x^{(k)} \in \MdR^n.\ S[x^{(0)},\ldots,x^{(k)}]:=\bigcup_{j=1}^{k}S[x^{(j-1)}, x^{(j)}]$ heißt \begriff{Streckenzug} durch $x^{(0)},\ldots,x^{(k)}$ (in dieser Reihenfolge!)
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|
\item Sei $G \subseteq \MdR^n$. $G$ heißt \begriff{Gebiet}$:\equizu\ G$ ist offen und aus $a,b \in G$ folgt: $\exists x^{(0)},\ldots,x^{(k)} \in G: x^{(0)}=a, x^{(k)}=b$ und $S[x^{(0)},\ldots,x^{(k)}] \subseteq G$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{vereinbarung}
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Ab jetzt in diesem Paragraphen: $\emptyset \ne D \subseteq \MdR^n$, $D$ offen und
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$f:D\to \MdR$ eine Funktion.
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\end{vereinbarung}
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\begin{satz}[Der Mittelwertsatz]
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$f:D\to\MdR$ sei differenzierbar auf $D$, es seien $a,b \in D$ und $S[a,b]\subseteq D$. Dann: $$\exists\ \xi \in S[a,b]: f(b)-f(a)=f'(\xi)\cdot(b-a)$$
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$ $%Bug
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei $g(t):=a+t\cdot(b-a)$ für $t\in[0,1]$. $g([0,1])=S[a,b]\subseteq D$. $\Phi(t):=f(g(t)) (t \in [0,1])$ 5.4 $\folgt \Phi$ ist differenzierbar auf $[0,1]$ und $\Phi'(t) = f'(g(t))\cdot g'(t) = f'(a+t(b-a))\cdot(b-a)$. $f(b)-f(a)=\Phi(1)-\Phi(0) \folgtnach{MWS, AI} \Phi'(\eta) = f'(\underbrace{a+\eta(b-a)}_{=:\xi \in S})\cdot(b-a), \eta \in [0,1]$
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\end{beweis}
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\begin{folgerungen}
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Sei $D$ ein \textbf{Gebiet} und $f,g:D\to\MdR$ seien differenzierbar auf $D$.
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\begin{enumerate}
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\item Ist $f'(x)=0\ \forall x \in D \folgt f$ ist auf $D$ konstant.
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\item Ist $f'(x)=g'(x) \forall x \in D \folgt \exists c \in \MdR: f=g+c$ auf $D$.
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\end{enumerate}
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\end{folgerungen}
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\begin{beweis}
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(2) folgt aus (1). (1) Seien $a,b \in D$. Z.z.: $f(a)=f(b)$.
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$\exists x^{(0)},\ldots,x^{(k)} \in D, x^{(0)}=a, x^{(k)}=b: S[x^{(0)},\ldots,x^{(k)}] \subseteq D$
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$\forall j \in \{1,\ldots,k\}$ ex. nach 6.1 ein $\xi_j \in S[x^{(j-1)}, x^{(j)}]:
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f(x^{(j)})-f(x^{(j-1)}) = \underbrace{f'(\xi_j)}_0\cdot(x^{(j)}-x^{(j-1)})=0
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\folgt f(x^{(j)}) = f(x^{(j-1)}) \folgt f(a)=f(x^{(0)})=f(x^{(1)})=f(x^{(2)})=\ldots = f(x^{(k)}) = f(b)$.
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Bedingung für Lipschitzstetigkeit]
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$D$ sei konvex und $f:D\to\MdR$ sei differenzierbar auf $D$. Weiter sei $f'$ auf $D$ beschränkt. Dann ist $f$ auf $D$ Lipschitzstetig.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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$\exists L \ge 0: \|f'(x)\| \le L \forall x \in D$. Seien $u,v \in D$. $D$ konvex $\folgt S[u,v]\subseteq D$. 6.1 $\folgt \exists\xi\in S[u,v]:f(u)-f(v)=f'(\xi)\cdot(u-v) \folgt |f(u)-f(v)|=|f'(\xi)\cdot(u-v)|\stackrel{CSU}{\le}\|f'(\xi)\| \|u-v\| \le L\|u-v\|$.
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Linearität]
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Sei $\Phi:\MdR^n\to\MdR^m$ eine Funktion.
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$\Phi$ ist linear $\equizu \Phi \in C^1(\MdR^n, \MdR^m)$ und $\Phi(\alpha x)=\alpha\Phi(x)\ \forall x \in \MdR^n\ \forall \alpha \in \MdR.$
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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``$\folgt$'':
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``$\impliedby$'': O.B.d.A.: $m=1$. Z.z.: $\exists a \in \MdR^n:\Phi(x)=a\cdot x \forall x \in \MdR^n$.
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$a:=\Phi'(0) \Phi(0)=\Phi(2\cdot0)=2\cdot \Phi(0) \folgt \Phi(0)=0$.
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$\forall x \in \MdR^n \forall \alpha \in \MdR: \Phi(\alpha x)=\alpha\Phi(x) \folgtnach{5.4} \alpha \Phi'(\alpha x)=\alpha\Phi'(x)\ \forall x \in \MdR^n\ \forall \alpha \in \MdR
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|
\folgt \Phi'(x)=\Phi'(\alpha x)\ \forall x \in\MdR^n\ \forall\alpha\ne0$.$ \folgtnach{$\alpha\to0, f\in C^1$} \Phi'(x)=\Phi'(0)=a\ \forall x \in\MdR^n$.
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$g(x):=(\Phi(x)-ax)^2\ (x \in \MdR^n)$, $ g(0)=(\Phi(0)-a\cdot0)^2=0$.
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5.4 $\folgt g$ ist differenzierbar auf $\MdR^n$ und $g'(x)=2(\Phi(x)-ax)(\Phi'(x)-a)=0\ \forall x \in \MdR^n$.
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6.2(1) $\folgt g(x)=g(0)=0\ \forall x\in\MdR^n \folgt \Phi(x)=a\cdot x\ \forall x \in \MdR^n.$
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\end{beweis}
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\paragraph{Die Richtungsableitung}
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\indexlabel{Richtung}
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\indexlabel{Richtungs-!Vektor}
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\indexlabel{Richtungs-!Ableitung}
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Sei $\emptyset \ne D \subseteq \MdR^n,\ D$ offen, $f:D \to \MdR$ und $x_0 \in D$. Ist $a \in \MdR^n$ und $\|a\|=1$, so heißt $a$ eine \textbf{Richtung} (oder ein \textbf{Richtungsvektor}).
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Sei $a \in \MdR^n$ eine Richtung. $D$ offen $\folgt \exists \delta>0: U_\delta(x_0) \subseteq D$. Gerade durch $x_0$ mit Richtung $a:\{x_0+ta:t\in\MdR\}.\ \|x_0+ta-x_0\| = \|ta\| = |t|$. Also: $x_0+ta \in D$ für $t \in (-\delta,\delta),\ g(t) := f(x_0+ta)\ (t \in (-\delta,\delta))$.
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$f$ heißt \textbf{in $x_0$ in Richtung $a$ db}, gdw. der Grenzwert $$\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+ta)-f(x_0)}{t}$$ existiert und $\in \MdR$ ist. In diesem Fall heißt $$\frac{\partial f}{\partial a}(x_0) := \lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+ta)-f(x_0)}{t}$$ die \textbf{Richtungsableitung von $f$ in $x_0$ in Richtung $a$}.
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\begin{beispiele}
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\item $f$ ist in $x_0$ partiell db nach $x_j \equizu f$ ist in $x_0$ db in Richtung $e_j$. In diesem Fall gilt: $\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) = \frac{\partial f}{\partial e_j}(x_0)$.
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\item $$f(x,y) := \begin{cases}
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\frac{xy}{x^2+y^2} & \text{, falls } (x,y) \ne (0,0)\\
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0 & \text{, falls } (x,y) = (0,0)\end{cases}$$
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$x_0 = (0,0).$ Sei $a=(a_1,a_2) \in \MdR^2$ eine Richtung, also $a_1^2+a_2^2=1;\ \frac{f(ta)-f(0,0)}{t} = \frac{1}{t} \frac{t^2a_1a_2}{t^2a_1^2+t^2a_2^2} = \frac{a_1a_2}{t}$. D.h.: $\frac{\partial f}{\partial a}(0,0)$ ex. $\equizu a_1a_2 = 0 \equizu a \in \{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$. In diesem Fall: $\frac{\partial f}{\partial a}(0,0) = 0.$
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\item $$f(x,y) := \begin{cases}
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\frac{xy^2}{x^2+y^4} & \text{, falls } (x,y) \ne (0,0)\\
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0 & \text{, falls } (x,y) = (0,0)\end{cases}$$
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|
$x_0 = (0,0)$. Sei $a = (a_1,a_2) \in \MdR$ eine Richtung. $\frac{f(ta)-f(0,0)}{t} = \frac{1}{t} \frac{t^3a_1a_2^2}{t^2a_1^2+t^4a_2^4} = \frac{a_1a_2^2}{a_1^2+t^2a_2^4} \overset{t \to 0}{\to} \begin{cases}
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0 & \text{, falls } a_1=0\\
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\frac{a_2^2}{a_1} & \text{, falls } a_1 \ne 0 \end{cases}$
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D.h. $\frac{\partial f}{\partial a}(0,0)$ existiert für \emph{jede} Richtung $a \in \MdR^2$. Z.B.: $a = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1): \frac{\partial f}{\partial a}(0,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
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$f(x,\sqrt{x}) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}\ \forall x>0 \folgt f$ ist in $(0,0)$ \emph{nicht} stetig.
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Richtungsableitungen]
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Sei $x_0 \in D,\ a \in \MdR^n$ eine Richtung, $f:D \to \MdR$.
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\begin{enumerate}
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\item $\frac{\partial f}{\partial a}(x_0)$ existiert $\equizu \frac{\partial f}{\partial (-a)}(x_0)$ existiert. In diesem Fall ist: $$\frac{\partial f}{\partial (-a)}(x_0) = -\frac{\partial f}{\partial a}(x_0)$$
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\item $f$ sei in $x_0$ db. Dann:
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\begin{enumerate}
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\item[(i)] $\frac{\partial f}{\partial a}(x_0)$ existiert und $$\frac{\partial f}{\partial a}(x_0) = a\cdot \grad f(x_0).$$
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|
\item[(ii)] Sei $\grad f(x_0) \ne 0$ und $a_0 := \|\grad f(x_0)\|^{-1}\cdot \grad f(x_0)$. Dann: $$\frac{\partial f}{\partial (-a_0)}(x_0) \le \frac{\partial f}{\partial a}(x_0) \le \frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0) = \|\grad f(x_0)\|.$$ Weiter gilt: $\frac{\partial f}{\partial a}(x_0) < \frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0)$, falls $a \ne a_0$; $\frac{\partial f}{\partial (-a_0)}(x_0) < \frac{\partial f}{\partial a}(x_0)$, falls $a \ne -a_0$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item $\frac{(f(x_0+t(-a))-f(x_0))}{t} = -\frac{(f(x_0+(-t)a)-f(x_0))}{-t} \folgt$ Beh.
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\item \begin{enumerate}
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\item[(i)] $g(t) := f(x_0+ta)$ ($|t|$ hinreichend klein). Aus Satz 5.4 folgt: $g$ ist db in $t=0$ und $g'(0) = f'(x_0) \cdot a \folgt \frac{\partial f}{\partial a}(x_0)$ existiert und ist $= g'(0) = \grad f(x_0)\cdot a$
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|
\item[(ii)] $\uwave{\left| \frac{\partial f}{\partial a}(x_0) \right|} \gleichnach{(i)} |a\cdot \grad f(x_0)| \overset{\text{CSU}}{\le} \|a\|\cdot \|\grad f(x_0)\| = \|\grad f(x_0)\| = \frac{1}{\|\grad f(x_0)\|} \grad f(x_0) \cdot \grad f(x_0) = a_0\cdot \grad f(x_0) \gleichnach{(i)} \uwave{\frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0)}$
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$\folgt \frac{\partial f}{\partial (-a_0)}(x_0) \gleichnach{(1)} -\frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0) \le \frac{\partial f}{\partial a}(x_0) \le \frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0) = \|\grad f(x_0)\|$
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Sei $\frac{\partial f}{\partial a}(x_0) = \frac{\partial f}{\partial a_0}(x_0) \folgtnach{(i),(ii)} a\cdot\grad f(x_0) = \|\grad f(x_0)\| \folgt a\cdot a_0 = 1 \folgt \|a-a_0\|^2 = (a-a_0)(a-a_0) = a\cdot a - 2a\cdot a_0 + a_0\cdot a_0 = 1-2+1 = 0 \folgt a=a_0.$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\paragraph{Der Satz von Taylor}
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Im Folgenden sei $f:D \to \MdR$ zunächst "`genügend oft partiell db"', $x_0 \in D$ und $h=(h_1,\ldots,h_n) \in \MdR^n$. Wir führen folgenden Formalismus ein.
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$$\nabla := \left( \frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right)\ \text{("`Nabla"')};\ \nabla f:= \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = \grad f;\ \nabla f(x_0) := \grad f(x_0)$$
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$$(h\cdot\nabla) := h_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \ldots + h_n \frac{\partial}{\partial x_n};\ (h\cdot\nabla) f:= h_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + \ldots + h_n \frac{\partial f}{\partial x_n} = h \grad f;\ (h\cdot\nabla) f(x_0) := h\cdot\grad f(x_0)$$
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$(h\cdot\nabla)^{(0)} f(x_0) := f(x_0)$. Für $k\in\MdN: (h\cdot\nabla)^{(k)} := \left( h_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \ldots + h_n \frac{\partial}{\partial x_n} \right)^k$
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$(h\cdot\nabla)^{(2)} f(x_0) = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n h_jh_k\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} (x_0)$
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$(h\cdot\nabla)^{(3)} f(x_0) = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n h_jh_kh_l\frac{\partial^3 f}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_0)$
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\begin{beispiel}
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$(n=2): h = (h_1,h_2).$
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$(h\cdot\nabla)^{(0)} f(x_0) = f(x_0),\ (h\cdot\nabla)^{(1)} f(x_0) = h\cdot \grad f(x_0) = h_1 f_x(x_0) + h_2 f_y(x_0)$.
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$(h\cdot\nabla)^{(2)} f(x_0) = \left( h_1 \frac{\partial f}{\partial x} + h_2 \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 (x_0) = h_1^2 \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x} (x_0) + h_1h_2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x_0) + h_2h_1 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x_0) + h_2^2 \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y} (x_0).$
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\end{beispiel}
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\begin{satz}[Der Satz von Taylor]
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Sei $k\in\MdN, f\in C^{k+1}(D,\MdR),x_0 \in D, h\in\MdR^n$ und $S[x_0,x_0+h]\subseteq D$. Dann:
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$$f(x_0+h)=\sum_{j=0}^k\frac{(h\cdot\nabla)^{(j)}f(x_0)}{j!}+\frac{(h\cdot\nabla)^{(k+1)}f(\xi)}{(k+1)!}$$
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wobei $\xi \in S[x_0, x_0+h]$
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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$\Phi(t):=f(x_0+th)$ für $t\in[0,1]$. 5.4$\folgt \Phi \in C^{k+1}[0,1],\ \Phi'(t)=f'(x_0+th) \cdot h=(h \cdot \nabla)f(x_0+th)$\\
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Induktiv: $\Phi^{(j)}(t)=(h\cdot\nabla)^{(j)}f(x_0+th)\ (j=0,\ldots,k+1, t\in[0,1]).\ \Phi(0)=f(x_0), \Phi(1)=f(x_0+h);\ \Phi^{(j)}(0)=(h\cdot\nabla)^{(j)}f(x_0)$. Analysis 1 (22.2) $\folgt \Phi(1)=\ds\sum_{j=0}^k\frac{\Phi^{(j)}(0)f(x_0)}{j!}+\frac{\Phi^{(k+1)}f(\eta)}{(k+1)!}$, wobei $\eta\in[0,1]\folgt f(x_0+h)=\ds\sum_{j=1}^k\frac{(h\cdot\nabla)^{(j)}f(x_0)}{j!}+\frac{(h\cdot\nabla)^{(k+1)}f(x_0+\eta h)}{(k+1)!},\ \xi:=x_0+\eta h$
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\end{beweis}
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\begin{spezialfall}
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Sei $f\in C^2(D,\MdR),x_0\in D, h\in \MdR^n, S[x_0,x_0+h]\subseteq D$. Dann:
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$$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h+\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^nh_jh_k\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_k}(x_0+\eta h)$$
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\end{spezialfall}
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\chapter{Quadratische Formen}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{vereinbarung}
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In diesem Paragraphen sei $A$ stets eine reelle und symmetrische $(n\times n)$-Matrix, $(A=A^\top)$. Also: $A=(a_{jk})$, dann $a_{jk}=a_{kj}\ (k,j=1,\ldots,n)$
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\end{vereinbarung}
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\begin{definition*}
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$Q_A:\MdR^n\to\MdR$ durch $Q_A(x):=x(Ax)$. $Q_A$ heißt die zu $A$ gehörende \begriff{quadratische Form}. Für $x=(x_1,\ldots,x_n):$
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$$Q_A(x)=\ds\sum_{j,k=1}^na_{jk}x_jx_k$$
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\end{definition*}
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\begin{beispiel}
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Sei $f\in C^2(D,\MdR),x_0\in D, h\in \MdR^n, S[x_0,x_0+h]\subseteq D$.
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$$H_f(x_0):=\begin{pmatrix}
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f_{x_1x_1}(x_0)&\cdots&f_{x_1x_n}(x_0)\\
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f_{x_2x_1}(x_0)&\cdots&f_{x_2x_n}(x_0)\\
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|
\vdots& &\vdots\\
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|
f_{x_nx_1}(x_0)&\cdots&f_{x_nx_n}(x_0)\\
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|
\end{pmatrix}$$
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heißt die \begriff{Hesse-Matrix} von $f$ in $x_0$. 4.1$\folgt H_f(x_0)$ ist symmetrisch. Aus 6.7 folgt:
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$$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h + \frac{1}{2}Q_B(h)\text{ mit }B=H_f(x_0+\eta h)$$
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\end{beispiel}
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\begin{definition*}
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\begin{tabular}{ll}
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\\ % Bug!
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\\
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\index{Positivdefinitheit}
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\index{Indefinitheit}
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\index{Negativdefinitheit}
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$A$ heißt $\textbf{positiv definit}$ (pd) & $:\equizu$ $Q_A(x)>0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
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$A$ heißt $\textbf{negativ definit}$ (nd) & $:\equizu$ $Q_A(x)<0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
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|
$A$ heißt $\textbf{indefinit}$ (id) & $:\equizu \exists u,v\in\MdR^n: Q_A(u)>0, Q_A(v)<0$
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\end{tabular}
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item $(n=2),\ A=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix}\right)$\\
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$Q_A(x,y):=ax^2+2bxy+cy^2\ \left((x,y)\in\MdR^2\right)$. Nachrechnen:\\
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$$aQ_A(x,y)=(ax+by)^2+(\det A)y^2\ \forall (x,y)\in\MdR^2$$ Übung:\\
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\begin{tabular}{ll}
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A ist positiv definit & $\equizu a>0, \det A>0$\\
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A ist negativ definit & $\equizu a<0, \det A>0$\\
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A ist indefinit& $\equizu \det A<0$
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\end{tabular}
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\item $(n=3),\ A=\left(\begin{smallmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)$\\
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$Q_A(x,y,z)=(x+z)^2\ \forall\ (x,y,z)\in\MdR^3.\ Q_A(0,1,0)=0.\ A$ ist weder pd, noch id, noch nd.
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|
\item ohne Beweis ($\to$ Lineare Algebra). $A$ symmetrisch $\folgt$ alle \begriff{Eigenwerte} (EW) von $A$ sind $\in\MdR$.\\
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\begin{tabular}{ll}
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A ist positiv definit & $\equizu$ Alle Eigenwerte von $A$ sind $>0$\\
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|
A ist negativ definit & $\equizu$ Alle Eigenwerte von $A$ sind $<0$\\
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|
A ist indefinit& $\equizu \exists$ Eigenwerte $\lambda, \mu$ von $A$ mit $\lambda>0,\ \mu<0$
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\end{tabular}
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Regeln zu definiten Matrizen und quadratischen Formen]
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\begin{enumerate}
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\item $A$ ist positiv definit $\equizu$ $-A$ ist negativ definit
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\item $Q_A(\alpha x)=\alpha^2Q_A(x)\ \forall x\in\MdR^n\ \forall \alpha\in\MdR$
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\item \begin{tabular}{ll}
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A ist positiv definit & $\equizu \exists c>0: Q_A(x)\ge c\|x\|^2\ \forall x\in\MdR^n$\\
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|
A ist negativ definit & $\equizu \exists c>0: Q_A(x)\le -c\|x\|^2\ \forall x\in\MdR^n$
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\end{tabular}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Klar
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\item $Q_A(\alpha x)=(\alpha x)(A(\alpha x))=\alpha^2x(Ax)=\alpha^2Q_A(x)$
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\item "`$\impliedby$"': Klar. "`$\folgt$"': $K:=\{x\in\MdR^n: \|x\|=1\}=\partial U_1(0)$ ist beschränkt und abgeschlossen. $Q_A$ ist stetig auf $K$. 3.3 $\folgt\exists x_0\in K: Q_A(x_0)\le Q_A(x)\ \forall x\in K$. $c:=Q_A(x_0).\ A$ positiv definit, $x_0\ne 0\folgt Q_A(x_0)=c>0$. Sei $x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\};\ z:=\frac{1}{\|x\|}x\folgt z\in K\folgt Q_A(z)\ge c\folgt c \le Q_A\left(\frac{1}{\|x\|}x\right)\gleichnach{(2)}\frac{1}{\|x\|}^2Q_A(x)\folgt Q_A(x)\ge c\|x\|^2$
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\end{beweise}
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\begin{satz}[Störung von definiten Matrizen]
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\begin{enumerate}
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\item $A$ sei positiv definit \alt{negativ definit}. Dann existiert ein $\ep>0$ mit: Ist $B=(b_{jk})$ eine weitere symmetrische $(n\times n)$-Matrix und gilt: $(*)\ |a_{jk}-b_{jk}|\le\ep\ (j,k=1,\ldots, n)$, so ist B positiv definit \alt{negativ definit}.
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|
\item $A$ sei indefinit. Dann existieren $u,v\in\MdR^n$ und $\ep>0$ mit: ist $B=(b_{jk})$ eine weitere symmetrische $(n\times n)$-Matrix und gilt: $(*)\ |a_{jk}-b_{jk}|\le\ep\ (j,k=1,\ldots,n)$, so ist $Q_B(u)>0, Q_B(v)<0$. Insbesondere: $B$ ist indefinit.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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|
\begin{beweise}
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\item $A$ sei positiv definit $\folgtnach{7.1}\exists c>0: Q_A(x)\ge c\|x\|^2\ \forall x\in\MdR^n$. $\ep:=\frac{c}{2n^2}$. Sei $B=(b_{jk})$ eine symmetrische Matrix mit $(*)$. Für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\MdR^n:\ Q_A(x)-Q_B(x)\le|Q_A(x)-Q_B(x)|=\left|\ds\sum_{j,k=1}^m(a_{jk}-b_{jk})x_jx_k\right|\le\ds\sum_{j,k=1}^n\underbrace{|a_{jk}-b_{jk}|}_{\le\ep}\underbrace{|x_j|}_{\le\|x\|}\underbrace{|x_k|}_{\le\|x\|}\le\ep\|x\|^2n^2=\frac{c}{2n^2}\|x\|^2n^2=\frac{c}{2}\|x\|^2$
|
|
\item $A$ sei indefinit. $\exists u,v\in\MdR^n:\ Q_A(u)>0, Q_A(v)<0$. $\alpha:=\min\left\{\frac{Q_A(u)}{\|u\|^2},\ -\frac{Q_A(v)}{\|v\|^2}\right\}\folgt\alpha>0$. $\ep:=\frac{\alpha}{2n^2}$. Sei $B=(b_{jk})$ eine symmetrische Matrix mit $(*)$.\\
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|
$Q_A(u)-Q_B(u)\overset{\text{Wie bei (1)}}{\le}\ep u^2\|u\|^2=\frac{\alpha}{2n^2}n^2\|u\|^2=\frac{\alpha}{2}\|u\|^2\le\frac{1}{2}\frac{Q_A(u)}{\|u\|^2}\|u\|^2=\frac{1}{2}Q_A(u) \folgt Q_B(u)\ge\frac{1}{2}Q_A(u)>0$. Analog: $Q_B(v)<0$.
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|
\end{beweise}
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\chapter{Extremwerte}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{vereinbarung}
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In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne D \subseteq\MdR^n, f:D\to\MdR$ und $x_0\in D$
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\end{vereinbarung}
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\begin{definition*}
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\indexlabel{lokal!Maximum}
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\indexlabel{lokal!Minimum}
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\indexlabel{lokal!Extremum}
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\indexlabel{stationärer Punkt}
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\begin{enumerate}
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\item
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$f$ hat in $x_0$ ein \textbf{lokales Maximum} $:\equizu \exists \delta>0:\ f(x)\le f(x_0)\ \forall x\in D \cap U_\delta(x_0)$.\\
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|
$f$ hat in $x_0$ ein \textbf{lokales Minimum} $:\equizu \exists \delta>0:\ f(x)\ge f(x_0)\ \forall x\in D \cap U_\delta(x_0)$.\\
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|
\textbf{lokales Extremum} = lokales Maximum oder lokales Minimum
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\item Ist $D$ offen, $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar und $\grad f(x_0)=0$, so heißt $x_0$ ein stationärer Punkt.
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Nullstelle des Gradienten]
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Ist $D$ offen und hat $f$ in $x_0$ ein lokales Extremum und ist $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar, dann ist $\grad f(x_0)=0$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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$f$ habe in $x_0$ ein lokales Maximum. Also $\exists \delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq D$ und $f(x)\le f(x_0)\ \forall x\in U_\delta(x_0)$. Sei $j \in \{1,\ldots,n\}$. Dann: $x_0 + te_j \in U_\delta(x_0)$ für $t\in (-\delta, \delta)$. $g(t):=f(x_0 + te_j)\ (t\in (-\delta, \delta))$. $g$ ist differenzierbar in $t=0$ und $g'(0)=f_{x_j}(x_0)$. $g(t)=f(x_0+te_j)\le f(x_0)=g(0)\ \forall t\in(-\delta,\delta)$. Analysis 1, 21.5 $\folgt g'(0)=0\folgt f_{x_j}(x_0)=0$
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|
\end{beweis}
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\begin{satz}[Definitheit und Extremwerte]
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Sei $D$ offen, $f\in C^2(D,\MdR)$ und $\grad f(x_0)=0$.
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\begin{enumerate}
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\item[(i)]
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Ist $H_f(x_0)$ positiv definit $\folgt f$ hat in $x_0$ ein lokales Minimum.
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\item[(ii)]
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Ist $H_f(x_0)$ negativ definit $\folgt f$ hat in $x_0$ ein lokales Maximum.
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\item[(iii)]
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Ist $H_f(x_0)$ indefinit $\folgt f$ hat in $x_0$ \underline{kein} lokales Extremum.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item[(i),]
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(ii) $A:=H_f(x_0)$ sei positiv definit oder negativ definit oder indefinit. Sei $\ep>0$ wie in 7.2. $f\in C^2(D,\MdR)\folgt \exists \delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq D$ und $(*)\ |f_{x_jx_k}(x)-f_{x_jx_k}(x_0)|\le\ep\ \forall x\in U_\delta(x_0)\ (j,k=1,\ldots,n)$. Sei $x\in U_\delta(x_0) \ \backslash\ \{x_0\}, h:=x-x_0\folgt x=x_0+h, h\ne 0$ und $S[x_0,x_0+h] \subseteq U_\delta(x_0)$ 6.7$\folgt\exists \eta\in [0,1]:\ f(x)=f(x_0+h)=f(x_0) + \underbrace{h\cdot \grad f(x_0)}_{=0}+\frac{1}{2}Q_B(h)$, wobei $B=H_f(x_0 + \eta h)$. Also: $(**)\ f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2}Q_B(h)$. $A$ sei positiv definit \alt{negativ definit} $\folgtnach{7.2} B$ ist positiv definit \alt{negativ definit}. $\folgtwegen{h\ne 0}Q_B(h)\stackrel{(<)}{>}0 \folgtwegen{(**)}f(x)\stackrel{(<)}{>}f(x_0)\folgt f$ hat in $x_0$ ein lokales Minimum \alt{Maximum}.
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|
\item[(iii)]$A$ sei indefinit und es seien $u, v\in\MdR^n$ wie in 7.2. Wegen 7.1 OBdA: $\|u\|=\|v\|=1$. Dann: $x_0+tu, x_0+tv \in U_\delta(x_0)$ für $t\in(-\delta, \delta)$. Sei $t\in(-\delta, \delta), t\ne 0$. Mit $h:=t\stackrel{(v)}{u}$ folgt aus 7.2 und $(**):\ f(x_0+t\stackrel{(v)}{u})=f(x_0)+\frac{1}{2}Q_B(t\stackrel{(v)}{u})=f(x_0)+\frac{t^2}{2}\underbrace{Q_B(\stackrel{(v)}{u})}_{>0\text{/}<0\text{ (7.2)}}\stackrel{(>)}{<}f(x_0)\folgt f$ hat in $x_0$ kein lokales Extremum.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{beispiele}
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\item $D=\MdR^2, f(x,y)=x^2+y^2-2xy-5$. $f_x=2x-2y, f_y=2y-2x;\ \grad f(x,y)=(0,0)\equizu x=y$. Stationäre Punkte: $(x,x)\ (x\in\MdR)$.\\
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$$f_{xx}=2,\ f_{xy}=-2=f_{yx},\ f_{yy}=2\folgt H_f(x,x)=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}$$
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$\det H_f(x,x)=0\folgt H_f(x,x)$ ist weder pd, noch nd, noch id.\\
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Es ist $f(x,y)=(x-y)^2-5\ge -5\ \forall\ (x,y)\in\MdR^2$ und $f(x,x)=-5\ \forall x\in\MdR$.
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\item $D=\MdR^2, f(x,y)=x^3-12xy+8y^3$.\\
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$f_x=3x^2-12y=3(x^2-4y),\ f_y=-12x+24y^2=12(-x+2y^2)$. $\grad f(x,y)=(0,0)\equizu x^2=4y, x=2y^2\folgt 4y^4=4y\folgt y=0$ oder $y=1\folgt (x,y)=(0,0)$ oder $(x,y)=(2,1)$\\
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$$f_{xx}=6x,\ f_{xy}=-12=f_{yx},\ f_{yy}=48y.\ H_f(0,0)=\begin{pmatrix}0&-12&\\-12&0\end{pmatrix}$$
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$\det H_f(0,0)=-144<0\folgt H_f(0,0)$ ist indefinit $\folgt f$ hat in $(0,0)$ kein lokales Extremum.
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$$H_f(2,1)=\begin{pmatrix}12&-12\\-12&48\end{pmatrix}$$
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$12>0, \det H_f(2,1)>0\folgt H_f(2,1)$ ist positiv definit $\folgt f$ hat in $(2,1)$ ein lokales Minimum.
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|
\item $K:=\{(x,y)\in\MdR^2: x,y\ge 0, y\le -x+3\}, f(x,y)=3xy-x^2y-xy^2$. Bestimme $\max f(K), \min f(K)$. $f(x,y)=xy(3-x-y).\ K=\partial K \cup K^\circ$. $K$ ist beschränkt und abgeschlossen $\folgtnach{3.3}\exists\ (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in K: \max f(K)=f(x_1, y_1), \min f(K)=f(x_2,y_2)$. $f\ge 0$ auf $K$, $f=0$ auf $\partial K$, also $\min f(K)=0$. $f$ ist nicht konstant $\folgt f(x_2,y_2)>0\folgt (x_2,y_2)\in K^\circ\folgtnach{8.1}\grad f(x_1,x_2)=0$. Nachrechnen: $(x_2,y_2)=(1,1); f(1,1)=1=\max f(K)$.
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|
\end{beispiele}
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\chapter{Der Umkehrsatz}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\begin{erinnerung}
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Sei $x_0\in\MdR^n$ und $U\subseteq\MdR^n$. $U$ ist eine Umgebung von $x_0\equizu\exists\delta>0:U_\delta(x_0)\subseteq U$
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\end{erinnerung}
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\begin{wichtigerhilfssatz}[Offenheit des Bildes]
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Sei $\delta>0, f:U_\delta(0)\subseteq\MdR^n\to\MdR^n$ stetig, $f(0)=0$ und $V$ sei eine offene Umgebung von $f(0)\ (=0)$. $U:=\{x\in U_\delta(0):f(x)\in V\}$. Dann ist $U$ eine offene Umgebung von $0$.
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\end{wichtigerhilfssatz}
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\begin{beweis}
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Übung
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\end{beweis}
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\begin{erinnerung}
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\begriff{Cramersche Regel}: Sei $A$ eine reelle $(n\times n)$-Matrix, $\det A\ne 0$, und $b\in\MdR^n$. Das lineare Gleichungssystem $Ax=b$ hat genau eine Lösung: $x=(x_1,\ldots,x_n)=A^{-1}b$. Ersetze in $A$ die $j$-te Spalte durch $b^\top$. Es entsteht eine Matrix $A_j$. Dann: $x_j=\frac{\det A_j}{\det A}$.
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\end{erinnerung}
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\begin{satz}[Stetigkeit der Umkehrfunktion]
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Sei $\emptyset\ne D\subseteq \MdR^n, D$ offen, $f\in C^1(D,\MdR^n)$. $f$ sei auf $D$ injektiv und es sei $f(D)$ offen. Weiter sei $\det f'(x)\ne 0\ \forall x\in D$ und $f^{-1}$ sei auf $f(D)$ differenzierbar. Dann: $f^{-1}\in C^1(f(D),\MdR^n)$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei $f^{-1}=g=(g_1,\ldots,g_n), g=g(y)$. Zu zeigen: $\frac{\partial g_j}{\partial y_k}$ sind stetig auf $f(D)$. 5.6\folgt $g'(y)\cdot f'(x)=I$ $(n\times n\text{-Einheitsmatrix})$, wobei $y=f(x)\in f(D)\folgt$
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$$
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\begin{pmatrix}
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g_1'(y)\\
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\vdots\\
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g_n'(y)
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\end{pmatrix}\cdot f'(x)=
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|
\begin{pmatrix}
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1 & & 0 \\
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& \ddots &\\
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0 & & 1
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\end{pmatrix}$$
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$\folgt \grad g_j(y)\cdot f'(x)=e_j\folgt f'(x)^\top\cdot \grad g_j(y)^\top=e_j^\top$. Ersetze in $f'(x)^\top$ die $k$-te Spalte durch $e_j^\top$. Es entsteht die Matrix $A_k(x)=A_k(f^{-1}(y))$. Cramersche Regel $\folgt \frac{\partial g_j}{\partial y_k}(y)=\frac{\det A_k(f^{-1}(y))}{\det f'(x)}=\frac{\det A_k(f^{-1}(y))}{\det f'(f^{-1}(y))}$. $f\in C^1(D,\MdR), f^{-1}$ stetig $\folgt$ obige Definitionen hängen stetig von y ab $\folgt \frac{\partial g_j}{\partial y_k}\in C(f(D),\MdR)$.
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Der Umkehrsatz]
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Sei $\emptyset \ne D \subseteq \MdR ^n$, $D$ sei offen,
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$f\in C^1(D, \MdR^n)$, $x_0\in D$ und $\det f'(x_0) \ne 0$.\\
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Dann existiert eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ und eine offene
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Umgebung $V$ von $f(x_0)$ mit:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $f$ ist auf $U$ injektiv, $f(U)=V$ und
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$\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in U$
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\item Für $f^{-1}: V\to U$ gilt: $f^{-1}$ ist stetig
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differenzierbar auf $V$ und
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\[ (f^{-1})'(f(x)) = (f'(x))^{-1}\ \forall x\in U \]
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{folgerung}[Satz von der offenen Abbildung]
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$D$ und $f$ seien wie in 9.3 und es gelte: $\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in D$. Dann ist $f(D)$ offen.
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\end{folgerung}
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\begin{beweis}
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O.B.d.A: $x_0 = 0$, $f(x_0) = f(0) = 0$ und $f'(0) = I$ (=$(n\times n)$-Einheitsmatrix)
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Die Abbildungen $x \mapsto \det f'(x)$ und $x\mapsto \|f'(x) - I\|$ sind auf D stetig, $\det f'(0) \ne 0$, $\| f'(0)- I \| = 0$. Dann existiert ein $\delta > 0$: $K := U_\delta(0) \subseteq D$, $\overline{K} = \overline{U_\delta(0)} \subseteq D$ und
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\begin{enumerate}
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\item $\det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in\overline{K}$ und
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\item $\|f'(x) - I \| \le \frac{1}{2n} \ \forall x\in\overline{K}$
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\item \textbf{Behauptung:} $\frac{1}{2} \|u-v\| \le \|f(u) - f(v)\| \ \forall u,v\in\overline{K}$, insbesondere ist $f$ injektiv auf $\overline{K}$
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\item $f^{-1}$ ist stetig auf $f(\overline{K})$: Seien $\xi, \eta \in f(\overline{K})$, $u:=f^{-1}(\xi)$, $v:= f^{-1}(\eta) \folgt u,v \in \overline{K}$ und $\|f^{-1}(\xi) - f^{-1}(\eta)\| = \|u-v\| \stackrel{\text{(3)}}{\le} 2\|f(u) - f(v)\| = 2\|\xi - \eta\|$
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\end{enumerate}
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Beweis zu (3): $h(x) := f(x) - x \ (x\in D) \folgt h\in C^1(D,\MdR^n)$ und $h'(x) = f'(x) - I $. Sei $h=(h1,\ldots,h_n)$. Also: $h' = \begin{pmatrix} h_1' \\ \vdots \\ h_n' \end{pmatrix}$. Seien $u,v\in \overline{K}$ und $j\in \{1,\ldots,n\}$.
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$|h_j(u) - h_j(v)| \gleichnach{6.1} |h_j'(\xi) \cdot (u-v)| \stackrel{\text{CSU}}{\le} \|h_j'(\xi)\| \|u-v\| \le \|h'(\xi)\| \|u-v\|$, $\xi \in S[u,v] \in \overline{K}$. (2) $\folgt \le \frac{1}{2n}\|u-v\|$ \\
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$\folgt \|h(u) - h(v)\| = \left(\sum_{j=1}^{n}(h_j(n) - h_j(v))^2\right)^{\frac{1}{2}} \le \left( \sum_{j=1}^n \frac{1}{4n^2}\|u-v\|^2\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2n}\|u-v\|\sqrt{n} \le \frac{1}{2}\|u-v\| \folgt \|u-v\| - \|f(u)-f(v)\| \le \|f(u) - f(v) - (u-v)\| = \|h(u) - h(v)\| \le \frac{1}{2}\|u-v\| \folgt$ (3)
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$V:=U_{\frac{\delta}{4}}(0)$ ist eine offene Umgebung von $f(0) \ (=0)$. $U:=\{x\in K: f(x) \in V\}$ Klar: $U\subseteq K \subseteq \overline{K}$, $0\in U$, 9.1 $\folgt$ $U$ ist eine offene Umgebung von 0. (3) $\folgt$ $f$ ist auf $U$ injektiv. (1) $\folgt \det f'(x) \ne 0 \ \forall x\in U$. (4) $\folgt$ $f^{-1}$ ist stetig auf $f(U)$. Klar: $f(U) \subseteq V$. Für (a) ist noch zu zeigen: $V\subseteq f(U)$.
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Sei $y\in V$. $w(x) := \| f(x) - y\|^2 = (f(x) - y)\cdot(f(x)-y) \folgt w\in C^1(D,\MdR)$ und (nachzurechnen) $w'(x) = 2(f(x)-y)\cdot f'(x)$. $\overline K$ ist beschränkt und abgeschlossen $\folgtnach{3.3} \exists x_1 \in \overline K: \text{ (5) } w(x_1) \le w(x) \ \forall x\in\overline K$.
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\textbf{Behauptung:} $x_1 \in K$. \\
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Annahme: $x_1\ne K \folgt x_1 \in \partial K \folgt \| x_1 \| = \delta$. $2\sqrt {w(0)} = 2\|f(0) - y\| = 2\|y\|\le 2 \frac{\delta} 4 = \frac \delta 2 = \frac{\|x_1\|} 2 = \frac 1 2 \|x_1 - 0 \| \stackrel{\text{(3)}}{\le} \|f(x_1) - f(0)\| = \|f(x_1) - y + y - f(0)\| \le \|f(x_1)-y\| -\|f(0) - y\| = \sqrt{w(x_1)} + \sqrt{w(0)} \folgt \sqrt{w(0)} < \sqrt{w(x_1)} \folgt w(0) < w(x_1) \overset{\text{(5)}}{\le} w(0)$, Widerspruch. Also: $x_1\in K$
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(5) $\folgt w(x_1) \le w(x) \ \forall x\in K$. 8.1 $\folgt w'(x_1) = 0 \folgt \left( f(x_1) - y \right) \cdot f'(x_1) = 0$; (1) $\folgt f'(x_1)$ ist invertierbar $\folgt y = f(x_1) \folgt x_1 \in U \folgt y=f(x_1) \in f(U)$. Also: $f(U) = V$. Damit ist (a) gezeigt.
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% Laut Schmöger 5.6, bei uns 5.5. Wessen Zählung ist falsch? Wer Lust hat, mal überprüfen
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(b): Wegen 5.5 und 9.2 ist nur zu zeigen: $f^{-1}$ ist differenzierbar auf $V$. Sei $y_1 \in V$, $y \in V\backslash\{y_1\}$, $x_1 := f^{-1}(y_1)$, $x := f^{-1}(y)$; $L(y) := \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_1) - f'(x_0)^{-1}(y-y_1)}{\|y-y_1\|}$. zu zeigen: $L(y) \to 0 \ (y-y_1)$. $\varrho(x) := f(x)-f(x_1)-f'(x_1)(x-x_1)$. $f$ ist differenzierbar in $x_1$ $\folgt \frac{\varrho(x)}{\|x-x_1\|} \to 0 \ (x\to x_1)$.
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$$f'(x_1)^{-1}\varrho(x) = f'(x_1)^{-1}(y-y_1) - (f^{-1}(y) - f^{-1}(y_1)) = -\|y-y_1\| L(y)$$
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$$\folgt L(y) = -f'(x_1)^{-1} \frac{\varrho(x)}{\|y-y_1\|} = - f'(x_1)^{-1} \underbrace{\frac{\varrho(x)}{\|x-x_1\|}}_{\to 0\ (x\to x_1)} \cdot \underbrace{\frac{\|x-x_1\|}{\|f(x)-f(x_1)}}_{\le 2, \text{ nach (3)}}$$
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Für $y\to y_1$, gilt (wegen (4)) $x\to x_1 \folgt L(y) \to 0$.
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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$$f(x,y) = (x \cos y, x \sin y)$$
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$$f'(x,y) = \begin{pmatrix} \cos y & -x \sin y \\ \sin y & x \cos y \end{pmatrix}, \det f'(x,y) = x \cos^2 y + x \sin^2 y = x$$
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$D:=\{(x,y) \in \MdR^2: x\ne 0\}$. Sei $(\xi, \eta)\in D$ 9.3 $\folgt \exists$ Umgebung $U$ von $(\xi, \eta)$ mit: $f$ ist auf $U$ injektiv $(*)$. z.B. $(\xi, \eta) = (1, \frac{\pi}{2}) \folgt f(1,\frac{\pi}2) = (0,1)$. $f'(1,\frac{\pi}2) = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $(f^{-1})(0,1) = f'(1,\frac{\pi}{2})^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$.
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\end{beispiel}
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\paragraph{Beachte:} $f$ ist auf $D$ "`lokal"' injektiv (im Sinne von $(*)$), aber $f$ ist auf $D$ \emph{nicht} injektiv, da $f(x,y) = f(x,y+2 k\pi) \ \forall x,y\in\MdR \ \forall k\in\MdZ$.
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\chapter{Implizit definierte Funktionen}
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\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
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\def\MdU{\ensuremath{\mathbb{U}}}
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\begin{beispiele}
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\item $f(x,y)=x^2+y^2-1$. $f(x,y)=0\equizu y^2=1-x^2\equizu y=\pm\sqrt{1-x^2}$. \\
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Sei $(x_0, y_0)\in\MdR^2$ mit $f(x_0, y_0)=0$ und $y_0\overset{(<)}{>}0$. Dann existiert eine Umgebung $U$ von $x_0$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(x_0)=y_0$ und $f(x,g(x))=0\ \forall x \in U$, nämlich $g(x)=\overset{(-\sqrt{\cdots})}{\sqrt{1-x^2}}$
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\textbf{Sprechweisen}: "`$g$ ist implizit durch die Gleichung $f(x,y)=0$ definiert"' oder "`die Gleichung $f(x,y)=0$ kann in der Form $y=g(x)$ aufgelöst werden"'
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\item $f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Wir werden sehen: $\exists$ Umgebung $U\subseteq \MdR^2$ von $(0,1)$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall\ (x,y)\in U$.
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\end{beispiele}
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\textbf{Der allgemeine Fall}:
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Es seien $p,n\in\MdN,\ \emptyset\ne D\subseteq\MdR^{n+p},\ D$ offen, $f=(f_1,\ldots, f_p) \in C^1(D,\MdR^p)$. Punkte in $D$ (bzw. $\MdR^{n+p}$) bezeichnen wir mit $(x,y)$, wobei $x=(x_1,\ldots, x_n)\in\MdR^n$ und $y=(y_1,\ldots, y_p)\in\MdR^p$, also $(x,y)=(x_1,\dots,x_n,y_1,\ldots,y_p)$. Damit:
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$$ f'=
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\underbrace{
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\left(
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\begin{array}{ccc|}
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\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
|
|
\vdots & & \vdots \\
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|
\frac{\partial f_p}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n} \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
}_{=:\frac{\partial f}{\partial x}\ (p \times n)\text{-Matrix}}
|
|
\underbrace{
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_p} \\
|
|
\vdots & & \vdots \\
|
|
\frac{\partial f_p}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial y_p} \\
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|
\end{array}
|
|
\right)
|
|
}_{=:\frac{\partial f}{\partial y}\ (p\times p)\text{-Matrix}}
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|
\text{; also } f'(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$$
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\begin{satz}[Satz über implizit definierte Funktionen]
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Sei $f:D \rightarrow \MdR^p,\ f \in C^1(D, \MdR^p),\ (x_0, y_0) \in D,\ f(x_0, y_0)=0$ und
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$\det\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0$. \\
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|
Dann existiert eine offene Umgebung $U\subseteq \MdR^n$ von $x_0$ und
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genau eine Funktion $g:U\to D \subseteq \MdR^p$ mit:
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\begin{enumerate}
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\item $(x, g(x))\in D\ \forall x\in U$
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|
\item $g(x_0)=y_0$
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|
\item $f(x,g(x))=0\ \forall x\in U$, mit $V = g(U)$ gilt:
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$V$ ist offen und für $(a, b) \in U \times V$ mit
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|
$f(a,b) = 0$ gilt: $b = g(a)$
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\item $g \in C^1(U,\MdR^p)$
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\item $\det\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\ne0\ \forall x\in U$
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|
\item $g'(x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\right)^{-1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x, g(x))\ \forall x\in U$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Definition: $F:D\to\MdR^{n+p}$ durch $F(x,y):=(x,f(x,y))$. Dann: $F\in C^1(D,\MdR^{n+p})$ und
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$$
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F'(x,y)=\left(\begin{array}{c|c}
|
|
\begin{array}{ccc}
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|
1 & & 0 \\
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|
& \ddots & \\
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0 & & 1 \\
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|
\end{array} &
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|
\begin{array}{ccc}
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0 & \cdots & 0 \\
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|
\vdots & & \vdots \\
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0 & \cdots & 0 \\
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|
\end{array} \\
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|
\hline\\
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|
\ds\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&
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|
\ds\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
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|
\end{array}
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\right)$$
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Dann: \begin{enumerate}
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\item[(I)] $\det F'(x,y)\gleichnach{LA}\det\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\ ((x, y) \in D)$, insbesondere: $\det F'(x_0, y_0)\ne 0$. Es ist $F(x_0, y_0)=(x_0, 0)$. 9.3$\folgt\exists$ eine offene Umgebung $\MdU$ von $(x_0, y_0)$ mit: $\MdU\subseteq D, f(\MdU)=\vartheta$. $F$ ist auf $\MdU$ injektiv, $F^{-1}:\vartheta\to\MdU$ ist stetig differenzierbar und
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|
\item[(II)] $\det F'(x,y)\gleichnach{(I)}\det\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\ne 0\ \forall\ (x,y)\in\MdU$
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|
\end{enumerate}
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|
\textbf{Bezeichnungen}: Sei $(s,t)\in\vartheta\ (s\in\MdR^n, t\in\MdR^p)$, $F^{-1}(s,t)=:(u(s,t),v(s,t))$, also $u:\vartheta\to\MdR^n$ stetig differenzierbar, $v:\vartheta\to\MdR^p$ stetig differenzierbar. Dann: $(s,t)=F(F^{-1}(s,t))=(u(s,t),f(u(s,t),v(s,t)))\folgt u(s,t)=s\folgt F^{-1}(s,t)=(s,v(s,t))$. Für $(x,y)\in\MdU: f(x,y)=0\equizu F(x,y)=(x,0)\equizu(x,y)=F^{-1}(x,0)=(x,v(x,0))\equizu y=v(x,0)$, insbesondere: $y_0=v(x_0,0)$. $U:=\{x\in\MdR^n: (x,0)\in\vartheta\}$. Es gilt: $x_0\in U$. Übung: $U$ ist eine offene Umgebung von $x_0$.
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\textbf{Definition}: $g:U\to\MdR^p$ durch $g(x):=v(x,0)$, für $x\in U$ gilt: $(x,0)\in\vartheta\folgt F^{-1}(x,0)=(x,v(x,0))=(x,g(x))\in \MdU$. Dann gelten: (1), (2), (3) und (4). (5) folgt aus (II).
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Zu (6): Definition für $x\in U: \psi(x):=(x,g(x)), \psi\in C^1(U,\MdR^{n+p}),$
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$$\psi'(x)=\left(\begin{array}{c}
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
1 & & 0 \\
|
|
& \ddots & \\
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|
0 & & 1 \\
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|
\end{array}\\
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|
\hline \\
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\ds{g'(x)}
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|
\end{array}\right)$$
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(3)$\folgt 0=f(\psi(x))\ \forall x\in U$. 5.4$\folgt 0=f'(\psi(x))\cdot\psi'(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, g(x))\ \vline \frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\right)\cdot\psi'(x)\gleichnach{LA}\frac{\partial f}{\partial x}(x, g(x)) + \frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\cdot g'(x)\ \forall x\in U$. (5) $\folgt \frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))$ invertierbar, Multiplikation von links mit $\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))^{-1}$ liefert (6).
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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$f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Zeige: $\exists$ offene Umgebung $U$ von $(0,1)$ und genau eine stetig differenzierbare Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall (x,y)\in U$. Berechne $g'$ an der Stelle $(0,-1)$.\\
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$f(0,-1,1)=0$, $f_z=1+\frac{1}{x+z}$; $f_z(0,-1,1)=2\ne 0$. Die Behauptung folgt aus dem Satz über impliziert definierte Funktionen. Also: $0=y+g(x,y)+\log(x+g(x,y))\ \forall (x,y)\in U$.\\
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Differentiation nach $x$: $0=g_x(x,y)+\frac{1}{x+g(x,y)}(1+g_x(x,y))\ \forall (x,y)\in U\overset{(x,y)=(0,-1)}{\folgt}0=g_x(0,-1)+\frac{1}{1}(g_x(0,-1)+1)\folgt g_x(0,-1)=-\frac{1}{2}$.\\
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Differentiation nach $y$: $0=1+g_y(x,y)+\frac{1}{x+g(x,y)}g_y(x,y)\ \forall (x,y)\in U \folgtnach{(x,y)=(0,-1)}g_y(0,-1)=-\frac{1}{2}$. Also: $g'(0,-1)=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
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\end{beispiel}
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\chapter{Extremwerte unter Nebenbedingungen}
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\begin{definition}
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\indexlabel{Einschränkung einer Funktion}
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Seien $M,N$ Mengen $\ne \emptyset,\ f:M\to N$ eine Funktion und
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$\emptyset \ne T \subseteq M$. Die Funktion
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$f_{|_T}: T \to N,\ f_{|_T}(x) := f(x)\ \forall x \in T$ heißt die
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\textbf{Einschränkung} von $f$ auf $T$.
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\end{definition}
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In diesem Paragraphen gelte stets: $\emptyset \ne D \subseteq \MdR^n,\ D$ offen, $f \in C^1(D,\MdR),\ p \in \MdN,\ p<n$ und $\varphi = (\varphi_1,\ldots,\varphi_p) \in C^1(D,\MdR^p)$. Es sei $T:=\{x\in D: \varphi(x) = 0\} \ne \emptyset.$
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\begin{definition}
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\indexlabel{lokal!Extremum unter einer Nebenbedingung}
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$f$ hat in $x_0\in D$ ein \textbf{lokales Extremum unter der Nebenbedingung
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$\varphi = 0$} $:\equizu x_0 \in T$ und $f_{|_T}$ hat in $x_0$ ein lokales Extremum.
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\end{definition}
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Wir führen folgende Hilfsfunktion ein: Für $x=(x_1,\ldots,x_n) \in D$ und
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$\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in \MdR^p$ gilt:
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\[ H(x,\lambda) := f(x) + \lambda\cdot\varphi(x) = f(x) + \lambda_1\varphi_1(x) + \cdots + \lambda_p\varphi_p(x)\]
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Es ist
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\[ H_{x_j} = f_{x_j} + \lambda_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial x_j} + \cdots +\lambda_p\frac{\partial\varphi_p}{\partial x_j}\ (j=1,\ldots,n),\ H_{\lambda_j} = \varphi_j ~~~ (j = 1, \dots, p)\]
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Für $x_0 \in D$ und $\lambda_0 \in \MdR^p$ gilt:
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$H'(x_0,\lambda_0) = 0 \equizu f'(x_0) + \lambda_0\varphi'(x_0) = 0$. Außerdem gilt:\\
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$\varphi(x_0) = 0 \equizu f'(x_0) + \lambda_0\varphi'(x_0) = 0$ und $x_0 \in T$ (I)
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\begin{satz}[Multiplikationenregel von Lagrange]
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\indexlabel{Multiplikator}
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$f$ habe in $x_0\in D$ eine lokales Extremum unter der Nebenbedingung
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$\varphi=0$ und es sei Rang $\varphi'(x_0) = p$. Dann existiert ein
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$\lambda_0 \in \MdR^p$ mit: $H'(x_0,\lambda_0) = 0$ ($\lambda_0$ heißt \textbf{Multiplikator}).
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\end{satz}
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\begin{beispiel}
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\begin{align*}
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f(x, y) &:= x^2 + y^2\\
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\varphi(x, y) &:= x + y -1\\
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\end{align*}
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(Also $n=2, p=1$), $\varphi(x,y)' = (1,1)$, $\text{Rang } \varphi(x,y)' = 1$\\
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$H(\uwave{x,y}, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-1)$\\
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\begin{align*}
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H_x &= 2x + \lambda \stackrel{!}{=} 0\\
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|
H_y &= 2y + \lambda \stackrel{!}{=} 0\\
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H_\lambda &= x+y-1 \stackrel{!}{=} 0\\
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|
\end{align*}
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$\Rightarrow x=y \Rightarrow 2x-1 = 0 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}$.\\
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Extremwertverdächtig: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
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\end{beispiel}
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\begin{folgerung}
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$T$ sei kompakt \folgtwegen{3.3} $\exists a,b \in T: f(a) = \max f(T),\ f(b) = \min f(T).$
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Ist Rang $\varphi'(\underset{b}{a}) = p \folgt \exists \lambda_0 \in \MdR^p: H'(\underset{b}{a},\lambda_0) = 0$.
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\end{folgerung}
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\begin{beweis}
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Es ist $x_0 \in T$ und
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$$\varphi'(x_0) =
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\underbrace{
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\left(
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\begin{array}{ccc|}
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\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_p}(x_0)\\
|
|
\vdots & & \vdots\\
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|
\frac{\partial \varphi_p}{\partial x_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial \varphi_p}{\partial x_p}(x_0)\\
|
|
\end{array}
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|
\right.
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|
}_{=:A}
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|
\left.
|
|
\begin{array}{cc}
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|
\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_n}(x_0)\\
|
|
& \vdots\\
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|
\cdots & \frac{\partial \varphi_p}{\partial x_n}(x_0)\\
|
|
\end{array}
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\right)$$
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Rang $\varphi'(x_0) = p \folgt$ o.B.d.A.: $\det A \ne 0.$
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Für $x=(x_1,\ldots,x_n) \in D$ schreiben wir $x=(y,z)$, wobei $y=(x_1,\dots,x_p),\ z=(x_{p+1},\ldots,x_n).$ Insbesondere ist $x_0=(y_0,z_0)$. Damit gilt: $\varphi(y_0,z_0) = 0$ und $\det \frac{\partial \varphi}{\partial y}(y_0,z_0) \ne 0$.
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Aus 10.1 folgt: $\exists$ offene Umgebung $U \subseteq \MdR^{n-p}$ von $z_0,\ \exists$ offene Umgebung $V \subseteq \MdR^p$ von $y_0$ und es existiert $g \in C^1(U,\MdR^p)$ mit:
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\begin{itemize}
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\item[(II)] $g(z_0)=y_0$
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\item[(III)] $\varphi(g(z),z) = 0\ \forall z \in U$
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\item[(IV)] $g'(z_0) = -(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\underbrace{(g(z_0),z_0)}_{=x_0})^{-1}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\underbrace{(g(z_0),z_0)}_{=x_0}$
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\end{itemize}
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(III) $\folgt (g(z),z) \in T\ \forall z \in U$. Wir definieren $h(z)$ durch
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$$h(z) := f(g(z),z)\ (z \in U)$$
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Dann hat $h$ in $z_0$ ein lokales Extremum (\emph{ohne} Nebenbedingung). Damit gilt nach 8.1:
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$$0=h'(z_0) \gleichnach{5.4} f'(g(z_0),z_0)\cdot\left(
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\begin{array}{c}
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g'(z_0)\\
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I
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\end{array}\right) = \left(
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\begin{array}{c|c}
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\frac{\partial f}{\partial y}(x_0) & \frac{\partial f}{\partial z}(x_0)
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\end{array}\right) \cdot \left(
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\begin{array}{c}
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g'(z_0)\\
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I
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\end{array}\right) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) g'(z_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(x_0)$$
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$$\gleichnach{(IV)} \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0) \left(-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x_0)\right)^{-1}}_{=: \lambda_0 \in \MdR^p} \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(x_0) \folgt \frac{\partial f}{\partial z}(x_0) + \lambda_0 \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x_0) = 0\text{ (V)}$$
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$\ds{\lambda_0 = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) \left(-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x_0)\right)^{-1} \folgt \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) + \lambda_0 \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x_0) = 0}$ (VI)
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Aus (V),(VI) folgt: $f'(x_0) + \lambda_0\varphi'(x_0) = 0 \folgtnach{(I)} H'(x_0,\lambda_0) = 0.$
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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$(n=3,p=2)\ f(x,y,z) = x+y+z,\ T:=\{(x,y,z) \in \MdR^3: x^2+y^2=2,\ x+z=1\},\ \varphi(x,y,z) = (x^2+y^2-2,x+z-1).$
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Bestimme $\max f(T),\ \min f(T)$. Übung: $T$ ist beschränkt und abgeschlossen $\folgtnach{3.3} \exists a,b \in T: f(a) = \max f(T),\ f(b) = \min f(T)$.
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$$\varphi'(x,y,z) = \left(\begin{array}{ccc}
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2x & 2y & 0\\
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1 & 0 & 1
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\end{array}\right)$$
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Rang $\varphi'(x,y,z) = 1 < p=2 \equizu x=y=0.\ a,b\in T \folgt$ Rang $\varphi'(a) =$ Rang $\varphi'(b) = 2$
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\def\shouldbe{\overset{!}{=}}
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$H(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = x+y+z+\lambda_1(x^2+y^2-2) + \lambda_2(x+z-1)$\\
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\begin{tabbing}
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$H_x=1+2\lambda_1x+\lambda_2$ \= $\shouldbe 0$ (1)\\
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$H_y=1+2\lambda_1y $ \> $\shouldbe 0$ (2)\\
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$H_z=1+\lambda_2 $ \> $\shouldbe 0$ (3)\\
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$H_{\lambda_1}=x^2+y^2-2 $ \> $\shouldbe 0$ (4)\\
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$H_{\lambda_2}=x+z-1 $ \> $\shouldbe 0$ (5)
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\end{tabbing}
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(3) $\folgt \lambda_2=-1 \folgtnach{(1)} 2\lambda_1x=0$; (2) $\folgt \lambda_1\ne0 \folgt x=0 \folgtnach{(5)} z=1$; (4) $\folgt y = \pm \sqrt{2}$
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11.2 $\folgt a,b \in \{(0,\sqrt{2},1),(0,-\sqrt{2},1)\}$
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$f(0,\sqrt{2},1) = 1+\sqrt{2} = \max f(T);\ f(0,-\sqrt{2},1) = 1-\sqrt{2} = \min f(T)$
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\end{beispiel}
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\paragraph{Anwendung}
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Sei $A$ eine reelle, \emph{symmetrische} $(n\times n)$-Matrix. Beh: $A$ besitzt einen reellen EW.
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\begin{beweis}
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$f(x) := x\cdot(Ax) = Q_A(x)\ (x \in \MdR^n),\ T:= \{x \in \MdR^n: \|x\|=1\} = \partial U_1(0)$ ist beschränkt und abgeschlossen.
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$\varphi(x) := \|x\|^2-1 = x\cdot x-1;\ \varphi'(x) = 2x,\ f'(x) = 2Ax$.
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3.3 $\folgt \exists x_0 \in T: f(x_0) = \max f(T);\ \varphi'(x) = 2(x_1,\ldots,x_n);\ x_0 \in T \folgt$ Rang $\varphi'(x_0) = 1\ (=p)$
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11.2 $\folgt \exists \lambda_0 \in \MdR: H'(x_0,\lambda_0) = 0;\ h(x,\lambda) = f(x)+\lambda\varphi(x);\ H'(x,\lambda) = 2Ax+2\lambda x$
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$\folgt 0 = 2(Ax_0+\lambda_0 x_0) \folgt Ax_0 = (-\lambda_0) x_0,\ x_0 \ne 0 \folgt -\lambda_0$ ist ein EW von $A$.
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\end{beweis}
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\chapter{Wege im $\MdR^n$}
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\indexlabel{Weg-}
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\indexlabel{Bogen}
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\indexlabel{Anfangspunkt}
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\indexlabel{Endpunkt}
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\indexlabel{Weg-!inverser}
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\indexlabel{Inverser Weg}
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\indexlabel{Parameter-!Intervall}
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $[a,b]\subseteq \MdR$ und $\gamma: [a,b] \to \MdR^n$ sei stetig. Dann heißt $\gamma$ ein \textbf{Weg} im $\MdR^n$
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\item Sei $\gamma :[a,b] \to \MdR^n$ ein Weg. $\Gamma_\gamma := \gamma([a,b])$ heißt der zu $\gamma$ gehörende \textbf{Bogen}, $\Gamma_\gamma \subseteq \MdR^n$. 3.3 \folgt{} $\Gamma_\gamma$ ist beschränkt und abgeschlossen.
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$\gamma(a)$ heißt der \textbf{Anfangspunkt} von $\gamma$, $\gamma(b)$ heißt der \textbf{Endpunkt} von $\gamma$. $[a,b]$ heißt \textbf{Parameterintervall} von $\gamma$. \\
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$\gamma$ heißt \textbf{geschlossen} $:\equizu \gamma(a) = \gamma(b)$.
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\item $\gamma^-:[a,b]\to \MdR^n$, definiert durch $\gamma^-(t):=\gamma(b+a-t)$ heißt der zu $\gamma$ \textbf{inverse Weg}. Beachte: $\gamma^- \ne \gamma$, aber $\Gamma_\gamma = \Gamma_{\gamma^-}$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item Sei $x_0, y_0\in\MdR^n$, $\gamma(t) := x_0 + t(y_0-x_0)$, $t\in[0,1]$. $\Gamma_\gamma=S[x_0,y_0]$
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\item Sei $r>0$ und $\gamma(t) := (r \cos t, r \sin t)$, $t\in[0,2\pi]$\\ $\Gamma_\gamma=\{(x,y)\in\MdR^2: x^2+y^2=r^2\} = \partial U_r(0)$ \\
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$\tilde\gamma(t) := (r \cos t, r \sin t)$, $t\in[0,4\pi]$. $\tilde\gamma \ne \gamma$, aber $\Gamma_{\tilde\gamma} = \Gamma_\gamma$.
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\item Sei $f:[a,b] \to \MdR$ stetig und $\gamma(t) := (t, f(t)) \quad (t \in [a,b])$. Dann: $\Gamma_\gamma = $ Graph von $f$.
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\end{beispiele}
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\begin{erinnerung}
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$\Z$ ist die Menge aller Zerlegungen von $[a,b]$
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\end{erinnerung}
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\begin{definition}
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Sei $\gamma:[a,b]\to \MdR^n$ ein Weg. Sei $Z=\{t_0, \ldots, t_m\} \in \Z$.\\
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$$L(\gamma,Z):= \sum_{j=1}^m\|\gamma(t_j) - \gamma(t_{j-1})\|$$
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Übung: Sind $Z_1,Z_2\in\Z$ und gilt $Z_1 \subseteq Z_2 \folgt L(\gamma,Z_1) \le L(\gamma,Z_2)$
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$\gamma$ heißt \textbf{rektifizierbar} (rb) \indexlabel{Rektifizierbarkeit} $:\equizu$ $\exists M\ge0: L(\gamma,Z)\le M\ \forall Z\in\Z$. In diesem Fall heißt $L(\gamma) := \sup\{L(\gamma,Z): Z\in\Z\}$ die \textbf{Länge} von $\gamma$\indexlabel{Länge}.
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Ist $n=1$, so gilt: $\gamma$ ist rektifizierbar $\equizu$ $\gamma\in \BV[a,b]$. In diesem Fall: $L(\gamma) = V_\gamma([a,b])$.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Rektifizierbarkeit und Beschränkte Variation]
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Sei $\gamma = (\eta_1, \ldots, \eta_n):[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg. $\gamma$ ist rektifizierbar $\equizu$ \mbox{$\eta_1,\ldots,\eta_n\in \BV[a,b]$}.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei $Z = \{t_0,\ldots,t_n\} \in \Z$ und $J=\{1,\ldots,n\}$.\\
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$|\eta_j(t_k)-\eta_j(t_{k-1})| \stackrel{\text{1.7}}{\le} \|\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})\| \stackrel{\text{1.7}}\le \sum_{\nu=1}^n |\eta_\nu(t_k) - \eta_\nu(t_{k-1})\|$. Summation über $k$ $\folgt$ $V_{\eta_j} \le L(\gamma,Z) \le \sum_{k=1}^m\sum_{\nu=1}^n |\eta_\nu(t_k)-\eta_\nu(t_{k-1})| = \sum_{\nu=1}^n V_{\eta_\nu}(Z) \folgt$ Behauptung
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\end{beweis}
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\paragraph{Übung:} $\gamma$ ist rektifizierbar $\equizu$ $\gamma^-$ ist rektifizierbar. In diesem Fall: \mbox{$L(\gamma) = L(\gamma^-)$}
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\paragraph{Summe von Wegen:}Gegeben: $a_0, a_1,\ldots a_l \in \MdR$, $a_0<a_1<a_2<\ldots<a_l$ und Wege $\gamma_k:[a_{k-1},a_k] \to \MdR^n$ $(k=1,\ldots,l)$ mit : $\gamma_k(a_k) = \gamma_{k+1}(a_k)$ $(k=1,\ldots,l-1)$.
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Definiere $\gamma:[a_0,a_l]\to\MdR^n$ durch $\gamma(t):=\gamma_k(t)$, falls $t\in[a_{k-1},a_k]$. $\gamma$ ist ein Weg im $\MdR^n$, $\Gamma_\gamma = \Gamma_{\gamma_1} \cup \Gamma_{\gamma_2} \cup \cdots \cup \Gamma_{\gamma_l}$. $\gamma$ heißt die Summe der Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_l$ und wird mit. $\gamma = \gamma_1 \oplus \gamma_2 \oplus \cdots \oplus \gamma_l$ bezeichnet. \indexlabel{Summe von Wegen}
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\begin{bemerkung}
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Ist $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg und $Z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ und $\gamma_k:=\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ $(k=1,\ldots,m)$ $\folgt$ $\gamma = \gamma_1 \oplus \cdots \oplus \gamma_m$. Aus Analysis I, 25.1(7) und 12.1 folgt:
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Summe von Wegen]
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Ist $\gamma = \gamma_1 \oplus \cdots \oplus \gamma_m$, so gilt: $\gamma$ ist rektifizierbar $\equizu$ $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ sind rektifizierbar. In diesem Fall: $L(\gamma)=L(\gamma_1) + \cdots + L(\gamma_m)$
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\end{satz}
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\begin{definition}
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\index{Weg-!Längenfunktion}
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Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein rektifizierbarer Weg. Sei $t\in(a,b]$. Dann: $\gamma_{|_{[a,t]}}$ ist rektifizierbar (12.2).
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$$s(t):= \begin{cases}L(\gamma_{|_{[a,t]}}),&\text{falls }t\in(a,b] \\0, &\text{falls }t=a\end{cases}$$ heißt die zu $\gamma$ gehörende \textbf{Weglängenfunktion}.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Eigenschaften der Weglängenfunktion]
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Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein rektifizierbarer Weg. Dann:
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\begin{enumerate}
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\item $s\in C[a,b]$
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\item $s$ ist wachsend.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{\color{red}In der großen Übung}
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\item Sei $t_1, t_2 \in [a,b]$ und $t_1<t_2$. $\gamma_1:=\gamma_{|_{[a,t_1]}}$, $\gamma_2:=\gamma_{|_{[t_1,t_2]}}$, $\gamma_3:=\gamma_{|_{[a,t_2]}}$. Dann $\gamma_3 = \gamma_1 \oplus \gamma_2$. 12.2 $\folgt$ $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ sind rektifizierbar und $\underbrace{L(\gamma_3)}_{=s(t_2)} = \underbrace{L(\gamma_1)}_{s(t_1)} + \underbrace{L(\gamma_2)}_{\ge 0} \folgt s(t_2) \ge s(t_1)$.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Rechenregeln für Wegintegrale]
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Sei $f=(f_1,\ldots,f_n):[a,b]\to\MdR^n$ und $f_1,\ldots,f_n\in R[a,b]$.
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$$\int_a^bf(t)dt := \left(\int_a^bf_1(t)dt, \int_a^bf_2(t)dt,\ldots, \int_a^bf_n(t)dt\right) \quad (\in\MdR^n)$$
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Dann: \begin{enumerate}
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\item $$x\cdot \int_a^bf(t)dt = \int_a^b(x\cdot f(t))dt \ \forall x\in\MdR^n$$
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\item $$\left\|\int_a^bf(t)dt\right\| \le \int_a^b\|f(t)\|dt$$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $x=(x_1,\ldots,x_n) \folgt$\\ $x\cdot\int_a^b f(t)dt = \sum_{j=1}^n x_j\int_a^bf_j(t) dt = \int_a^b\left(\sum_{j=1}^n x_j f_j(t)dt\right) = \int_a^b \left(x\cdot f(t)\right) dt$
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\item $y:=\int_a^bf(t)dt$. O.B.d.A: $y\ne 0$. $x:= \frac{1}{\|y\|} y \folgt \|x\|=1, y=\|y\|x$. $\|y\|^2 = y\cdot y = \|y\|(x\cdot y) = \|y\|\left(x\cdot \int_a^bf(t)dt \right) = \|y\|\int_a^b\left(x\cdot f(t)\right) dt \le \|y\|\int_a^b\underbrace{|x \cdot f(t)|}_{\le\|x\|\|f(t)\| = \|f(t)\|} dt \le \|y\| \int_a^b\|f(t)\|dt$
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Eigenschaften stetig differenzierbarer Wege]
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$\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ sei ein stetig differenzierbarer Weg. Dann:
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\begin{enumerate}
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\item $\gamma$ ist rektifizierbar
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\item Ist $s$ die zu $\gamma$ gehörende Weglängenfunktion, so ist $s\in C^1[a,b]$ und $s'(t)=\|\gamma'(t)\|\ \forall t\in[a,b]$
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\item $L(\gamma)=\int_a^b\|\gamma'(t)\|dt$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item $\gamma=(\eta_1,\ldots,\eta_n)$, $\eta_j\in C^1[a,b]\folgtnach{A1,25.1}\eta_j\in \text{BV}[a,b]\folgtnach{12.1}\gamma$ ist rektifizierbar.
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\item Sei $t_0\in[a,b)$. Wir zeigen:
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$$\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\to\|\gamma'(t_0)\|\ (t\to t_0+0)\text{. (analog zeigt man :}\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\to\|\gamma'(t_0)\|\ (t\to t_0-0)\text{).}$$
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|
Sei $t\in (t_0, b];\ \gamma_1:=\gamma_{|_{[a,t_0]}}, \gamma_2:=\gamma_{|_{[t_0,t]}}, \gamma_3:=\gamma_{|_{[a,t]}}$. Dann: $\gamma_3=\gamma_1 \oplus \gamma_2$ und $\underbrace{L(\gamma_3)}_{=s(t)}=\underbrace{L(\gamma_1)}_{=s(t_0)}+L(\gamma_2)\folgt s(t)-s(t_0)=L(\gamma_2)\ (I).$\\
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$\tilde{Z}:=\{t_0, t\}$ ist eine Zerlegung von $[t_0,t]\folgt \|\gamma(t)-\gamma(t_0)\|=L(\gamma_2,\tilde{Z})\le L(\gamma_2)$\\
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\textbf{Definition}: $F:[a,b]\to\MdR$ durch $F(t)=\ds\int_a^t\|\gamma'(\tau)\|\text{d}\tau$. 2.Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $\folgt F$ ist differenzierbar und $F'(t)=\|\gamma'(t)\|\ \forall t\in[a,b]$. Sei $Z=\{\tau_0,\ldots,\tau_m\}$ eine beliebige Zerlegung von $[t_0, t]$.
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$$\ds\int_{\tau_{j-1}}^{\tau_j}\gamma'(\tau)\text{d}\tau=\left(\cdots, \ds\int_{\tau_{j-1}}^{\tau_j}\eta_k'(\tau)\text{d}\tau,\cdots\right)\gleichnach{A1}\left(\cdots, \eta_k(\tau_j)-\eta_k(\tau_{j-1}),\cdots\right)=\gamma(\tau_j)-\gamma(\tau_{j-1})$$
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|
$\folgt \|\gamma(\tau_j)-\gamma(\tau_{j-1})\|\overset{12.4}{\le}\ds\int_{\tau_{j-1}}^{\tau_j}\|\gamma'(\tau)\|\text{d}\tau$. Summation $\folgt L(\gamma_2,Z)\le\ds\int_{t_0}^t\|\gamma'(\tau)\|\text{d}\tau=F(t)-F(t_0)\folgt L(\gamma_2)\le F(t)-F(t_0)\ (III)$.\\
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|
$(I), (II), (III)\folgt\|\gamma(t)-\gamma(t_0)\|\overset{(II)}{\le}L(\gamma_2)\overset{(I)}{=}s(t)-s(t_0)\overset{(III)}{\le}F(t)-F(t_0)$
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|
$$\folgt\underbrace{\frac{\|\gamma(t)-\gamma(t_0)\|}{t-t_0}}_{\overset{t\to t_0}{\to}\|\gamma'(t_0)\|}\le\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\le\underbrace{\frac{F(t)-F(t_0)}{t-t_0}}_{\overset{t\to t_0}{\to}F'(t_0)=\|\gamma'(t_0)\|}$$
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|
$(3)\ L(\gamma)=s(b)=s(b)-s(a)\overset{AI}{=}\ds\int_a^b s'(t)\text{d}t\gleichnach{(2)}\ds\int_a^b\|\gamma'(t)\|\text{d}t$
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\end{beweise}
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\begin{beispiele}
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\item $x_0, y_0\in\MdR^n, \gamma(t):=x_0+t(y_0-x_0)\ (t\in [0,1])$. $\gamma'(t)=y_0-x_0\folgt L(\gamma)=\ds\int_0^1\|y_0-x_0\|\text{d}t=\|y_0-x_0\|$.
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\item Sei $f:[a,b]\to\MdR$ stetig und $\gamma(t):=(t, f(t)), t\in[a,b]$. $\gamma$ ist ein Weg im $\MdR^2$. $\gamma$ ist rektifizierbar $\equizu f \in \text{BV}[a,b]$. $\Gamma_\gamma=$Graph von $f$. Jetzt sei $f\in C^1[a,b] \folgtnach{12.5} L(\gamma)=\ds\int_a^b\|\gamma'(t)\|\text{d}t=\ds\int_a^b (1+f'(t)^2)^{\frac{1}{2}}\text{d}t$.
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\item $\gamma(t):=(\cos t, \sin t)\ (t\in [0,2\pi])$. $\gamma'(t)=(-\sin t, \cos t)$. $\|\gamma'(t)\|=1\ \forall t\in [0,2\pi]\folgtnach{12.5}s'(t)=1\ \forall t\in[0,2\pi]\folgt s(t)=t\ \forall t\in[0,2\pi]$ (\begriff{Bogenmaß}). \begriff{Winkelmaß}: $\varphi:=\frac{180}{\pi}t$. $L(\gamma)=2\pi$.
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\end{beispiele}
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\begin{definition*}
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$\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ sei ein Weg.
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\begin{enumerate}
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\index{stückweise!stetige Differenzierbarkeit}\index{Differenzierbarkeit!stückweise stetige}
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\index{Glattheit}
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\index{stückweise!Glattheit}\index{Glattheit!stückweise}
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\item $\gamma$ heißt \textbf{stückweise stetig differenzierbar} $:\equizu\exists z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ mit: $\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ sind stetig differenzierbar $(k=1,\ldots,m)\equizu\exists$ stetig differenzierbare Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_l: \gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$.
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\item $\gamma$ heißt \textbf{glatt} $:\equizu \gamma$ ist stetig differenzierbar und $\|\gamma'(t)\|>0\ \forall t\in[a,b]$.
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\item $\gamma$ heißt \textbf{stückweise glatt} $:\equizu\exists$ glatte Wege $\gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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Aus 12.2 und 12.5 folgt:
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\begin{satz}[Rektifizierbarkeit von Wegsummen]
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Ist $\gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$ stückweise stetig differenzierbar, mit stetig differenzierbaren Wegen $\gamma_1,\ldots,\gamma_l\folgt \gamma$ ist rektifizierbar und $L(\gamma)=L(\gamma_1)+\cdots+L(\gamma_l)$.
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\end{satz}
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\begin{definition*}
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\index{Parameter-!Darstellung}
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Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg. $\gamma$ heißt eine \textbf{Parameterdarstellung} von $\Gamma_\gamma$.
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item $x_0, y_0\in\MdR^n, \gamma_1(t):=x_0+t(y_0-x_0)\ t\in[0,1],\ \gamma_2(t):=\gamma_1^-(t)\ t\in[0,1],\ \gamma_3(t):=x_0+7t(y_0-x_0)\ t\in[0,\frac{1}{7}].\ \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ sind Parameterdarstellungen von $S[x_0, y_0]$.
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\item $\gamma_1(t)=(\cos t, \sin t),\ (t\in [0,2\pi]), \gamma_2(t):=(\cos t, \sin t), (t\in[0,4\pi])$. $\gamma_1, \gamma_2$ sind Parameterdarstellungen von $K=\{(x,y)\in\MdR^2: x^2+y^2=1\}.$
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\end{beispiele}
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\begin{definition*}
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$\gamma_1:[a,b]\to\MdR^n$ und $\gamma_2:[\alpha,\beta]\to\MdR^n$ seien Wege.
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\index{Äquivalenz}
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\index{Parameter-!Transformation}
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{äquivalent}, in Zeichen $\gamma_1\sim\gamma_2:\equizu\exists h:[a,b]\to[\alpha, \beta]$ stetig und streng wachsend, $h(a)=\alpha, h(b)=\beta$ und $\gamma_1(t)=\gamma_2(h(t))\ \forall t\in[a,b]$ (also $\gamma_1=\gamma_2\circ h)$. $h$ heißt eine \textbf{Parametertransformation} (PTF). Analysis 1 $\folgt h([a,b])=[\alpha,\beta]\folgt \Gamma_{\gamma_1}=\Gamma_{\gamma_2}$.
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Es gilt: $\gamma_2=\gamma_1\circ h^{-1}\folgt \gamma_2\sim\gamma_1$. "`$\sim$"' ist eine Äquivalenzrelation.
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ seien wie in obigem Beispiel (1). $\gamma_1\sim\gamma_3, \gamma_1\sim\gamma_2$.
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\item $\gamma_1, \gamma_2$ seien wie in obigem Beispiel (2). $\gamma_1\nsim\gamma_2$, denn $L(\gamma_1)=2\pi\ne 4\pi=L(\gamma_2)$
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Eigenschaften der Parametertransformation]
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$\gamma_1:[a,b]\to\MdR^n$ und $\gamma_2:[\alpha,\beta]\to\MdR^n$ seien äquivalente Wege und $h:[a,b]\to[\alpha,\beta]$ eine Parametertransformation.
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\begin{enumerate}
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\item $\gamma_1$ ist rektifizierbar $\equizu \gamma_2$ ist rektifizierbar. In diesem Falle: $L(\gamma_1)=L(\gamma_2)$
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\item Sind $\gamma_1$ und $\gamma_2$ glatt $\folgt h\in C^1[a,b]$ und $h'>0$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item[(2)] \textbf{\color{red}In den großen Übungen.}
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\item[(1)] Es genügt zu zeigen: Aus $\gamma_2$ rektifizierbar folgt: $\gamma_1$ ist rektifizierbar und $L(\gamma_1)\le L(\gamma_2)$. Sei $Z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z\folgt\tilde{Z}:=\{h(t_0),\ldots, h(t_m)\}$ ist eine Zerlegung von $[\alpha,\beta]$.
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$$L(\gamma_1, Z)=\ds\sum_{j=1}^m\|\gamma_1(t_j)-\gamma_1(t_{j-1})\|=\ds\sum_{j=1}^m\|\gamma_2(h(t_j))-\gamma_2(h(t_{j-1}))\|=L(\gamma_2, \tilde{Z})\le L(\gamma_2)$$
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$\folgt \gamma_1$ ist rektifizierbar und $L(\gamma_1)\le L(\gamma_2)$.
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\end{beweise}
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\paragraph{Weglänge als Parameter}
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Es sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein \emph{glatter} Weg. 12.5 $\folgt \gamma$ ist rb. $L:=L(\gamma)$. 12.5 $\folgt s \in C^1[a,b]$ und $s'(t) = \|\gamma'(t)\| > 0\ \forall t\in[a,b].\ s$ ist also \emph{streng wachsend}. Dann gilt: $s([a,b]) = [0,L],\ s^{-1}:[0,L]\to[a,b]$ ist streng wachsend und stetig db. $(s^{-1})'(\sigma) = \frac{1}{s'(t)}$ für $\sigma \in [0,L],\ s(t) = \sigma.$
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\begin{definition}
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$\tilde{\gamma}[0,L] \to \MdR^n$ durch $\tilde{\gamma}(\sigma) := \gamma(s^{-1}(\sigma)),$ also $\tilde{\gamma} = \gamma\circ s^{-1};\ \tilde{\gamma}$ ist ein Weg im $\MdR^n$ und $\tilde{\gamma} \sim \gamma;\ \Gamma_\gamma = \Gamma_{\tilde{\gamma}}.$
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12.7 $\folgt \tilde{\gamma}$ ist rb, $L(\tilde{\gamma})=L(\gamma)=L,\ \tilde{\gamma}$ ist stetig db. $\tilde{\gamma}$ heißt Parameterdarstellung von $\Gamma_\gamma$ mit der Weglänge als Parameter. Warum?
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\end{definition}
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Darum: Sei $\tilde{s}$ die zu $\tilde{\gamma}$ gehörende Weglängenfunktion. $\forall \sigma\in[0,L]: \tilde{\gamma}(\sigma) = \gamma(s^{-1}(\sigma)).$ Sei $\sigma\in[0,L],\ t:= s^{-1}(\sigma) \in [a,b],\ s(t) = \sigma.$
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$\tilde{\gamma}(\sigma) = (s^{-1})'(\sigma)\cdot\gamma'(s^{-1}(\sigma)) = \frac{1}{s'(t)}\gamma'(t) \gleichnach{12.5} \frac{1}{\|\gamma'(t)\|}\gamma'(t) \folgt \|\gamma'(\sigma)\|=1$ ($\folgt \tilde{\gamma}$ ist glatt).
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$\tilde{s}'(\gamma) \gleichnach{12.5} \|\gamma'(\sigma)\| = 1 \folgtwegen{\tilde{s}(0)=0} \tilde{s}(\sigma)=\sigma.$
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Also: $\|\tilde{\gamma}'(\sigma)\| = 1,\ \tilde{s}(\sigma)=\sigma\ \forall \sigma\in[0,L].$
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\begin{beispiel}
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$\gamma(t) = \frac{e^t}{\sqrt{2}}(\cos t,\sin t),\ t \in [0,1];\ \gamma$ ist stetig db; Nachrechnen: $\|\gamma'(t)\|=e^t\ \forall t \in [0,1] \folgt \gamma$ ist glatt.
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$s'(t) \gleichnach{12.5} \|\gamma'(t)\| = e^t \folgt s(t) = e^t+c \folgt 0=s(0) = 1+c \folgt c=-1,\ s(t) = e^t-1\ (t\in[0,1]) \folgt L=L(\gamma)=s(1)=e-1.\ e^t=1+s(t),\ t=\log (1+s(t)).$
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$\tilde{\gamma}(\sigma) = \gamma(s^{-1}(\sigma)) = \gamma(\log (1+\sigma)) = \frac{1+\sigma}{\sqrt{2}}(\cos (\log(1+\sigma)),\sin (\log(1+\sigma))),\ \sigma\in[0,e-1].$
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\end{beispiel}
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\chapter{Wegintegrale}
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In diesem Paragraphen seien alle vorkommenden Wege stets stückweise stetig differenzierbar.
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\begin{definition}
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Sei $\gamma:[a,b]\to\mdr^n$ ein Weg, $\gamma=(\eta_1,\ldots,\eta_n), \Gamma :=\Gamma_\gamma.$
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$g:\Gamma\to\mdr$ stetig und $f=(f_1,\ldots,f_n):\Gamma\to\mdr^n$ stetig.
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\begin{enumerate}
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\item Für $j\in \{1,\ldots,n\}: \int_\gamma g(x) \text{ d}x_j:=\int_a^b g(\gamma(t))\cdot\eta_j'(t)\text{ d}t$
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\item \begin{align*}
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\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x &:= \int_\gamma f_1(x)\text{ d}x_1+\cdots+f_n(x)\text{ d}x_n\\
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&:=\sum_{j=1}^n \int_\gamma f_j(x)\text{ d}x_j
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\end{align*}
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Es ist $\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x=\int_a^b f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\text{ d}t$ und heißt das
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\textbf{Wegintegral von $f$ längs $\gamma$}.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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$f(x,y,z) := (z,y,x),\ \gamma(t) = (t,t^2,3t),\ t\in[0,1].\ f(\gamma(t)) = (3t,t^2,t),\ \gamma'(t)=(1,2t,3),\ f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) = 3t+2t^3+3t = 6t+2t^3$.
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$\int_\gamma f(x,y,z)\cdot d(x,y,z) = \int_0^1 (6t+2t^3) dt = \frac{7}{2}.$
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\end{beispiel}
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\begin{satz}[Rechnen mit Wegintegralen]
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$\gamma,\Gamma,f$ seien wie oben, $g:\Gamma\to\MdR^n$ sei stetig, $\hat\gamma = (\hat{\gamma}_1,\ldots,\hat{\gamma}_n): [\alpha,\beta] \to \MdR^n$ sei rektifizierbar und $\xi,\eta \in \MdR$.
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\begin{enumerate}
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\item $\ds{\int_\gamma(\xi f(x)+\eta g(x))\cdot dx = \xi \int_\gamma f(x)\cdot dx+\eta \int_\gamma g(x)\cdot dx}$
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\item Ist $\gamma = \gamma^{(1)} \oplus \gamma^{(2)} \folgt \ds{\int_\gamma f(x)\cdot dx = \int_{\gamma^{(1)}} f(x)\cdot dx + \int_{\gamma^{(2)}} f(x)\cdot dx}$
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\item $\ds{\int_{\gamma^-} f(x)\cdot dx = -\int_\gamma f(x)\cdot dx}$
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\item $\ds{\left| \int_\gamma f(x)\cdot dx\right| \le L(\gamma)\cdot \max\{\|f(x)\|:x \in \Gamma\}}$
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\item Ist $\ds{\hat{\gamma} \sim \gamma \folgt \int_\gamma f(x)\cdot dx = \int_{\hat{\gamma}} f(x)\cdot dx}$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item klar
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\item Ana I, 26.1(3)
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\item nur für $\gamma$ stetig differenzierbar. $\gamma^-(t) = \gamma(b+a-t),\ t\in[a,b].$
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$\int_{\gamma^-} f(x)\cdot dx = \int_a^b f(\gamma(b+a-t))\cdot \gamma'(b+a-t) (-1) dt =$ (subst. $\tau=b+a-t,\ d\tau = dt$) $= \int_b^a f(\gamma(\tau))\cdot\gamma'(\tau) d\tau = -\int_a^b f(\gamma(\tau))\cdot\gamma'(\tau) d\tau = -\int_\gamma f(x)\cdot dx.$
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\item Übung
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\item Sei $\hat{\gamma} = \gamma\circ h,\ h:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ stetig und streng wachsend. $h(\alpha) = a,\ h(\beta) = b$. Nur für $\gamma$ und $h$ stetig db. Dann ist $\hat{\gamma}$ stetig db.
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$\int_{\hat{\gamma}} f(x)\cdot dx = \int_\alpha^\beta f(\gamma(h(t)))\cdot \gamma'(h(t))\cdot h'(t) dt =$ (subst. $\tau = h(t),\ d\tau = h'(t)dt$) $= \int_a^b f(\gamma(\tau))\cdot \gamma'(\tau)d\tau = \int_\gamma f(x)\cdot dx.$
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\end{beweise}
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\begin{definition}
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$\gamma,\Gamma$ seien wie immer in diesem Paragraphen. $s$ sei die zu $\gamma$ gehörende Weglängenfunktion und $g:\Gamma \to \MdR$ stetig. 12.4 $\folgt s$ ist wachsend $\folgtnach{Ana I} s \in BV[a,b];\ g\circ\gamma$ stetig $\folgtnach{Ana I, 26.6} g\circ\gamma \in R_s[a,b]$.
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$$\int_\gamma g(x) ds := \int_a^b g(\gamma(t))ds(t)$$
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\textbf{Integral bzgl. der Weglänge}.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Rechnen mit Integralen bzgl. der Weglänge]
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Seien $\gamma,g$ wie oben.
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\begin{enumerate}
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\item $\ds{\int_{\gamma^-} g(x) ds = \int_\gamma g(x) ds}$
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\item Ist $\ds{\gamma = \gamma^{(1)} \oplus \gamma^{(2)} \folgt \int_\gamma g(x)ds = \int_{\gamma^{(1)}} g(x)ds + \int_{\gamma^{(2)}} g(x)ds}$.
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\item Ist $\gamma$ stetig db $\folgt \importantbox{\ds{\int_\gamma g(x)ds = \int_a^b g(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|dt}}$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beispiel}
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$g(x,y) = (1+x^2+3y)^{1/2},\ \gamma(t) = (t,t^2),\ t\in[0,1].$
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$g(\gamma(t)) = (1+t^2+3t^2)^{1/2} = (1+4t^2)^{1/2},\ \gamma'(t) = (1, 2t),\ \|\gamma'(t)\| = (1+4t^2)^{1/2} \folgt \int_\gamma g(x,y)ds = \int_0^1 (1+4t^2) dt = \frac{7}{3}$
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\end{beispiel}
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\paragraph{Gegeben:} $\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m$ rektifizierbare Wege, $\gamma_k:[a_k,b_k]\to\MdR^n$ mit $\gamma_1(b_1) = \gamma_2(a_2), \gamma_2(b_2) = \gamma_3(a_3),\ldots , \gamma_{m-1}(b_{m-1}) = \gamma_m(a_m)$. $\Gamma := \Gamma_{\gamma_1} \cup \ldots \cup \Gamma_{\gamma_m}$.
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$\text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m) := \{\gamma:\gamma$ ist ein rektifizierbarer Weg im $\MdR^n$ mit: $\Gamma_\gamma=\Gamma$, $L(\gamma)=L(\gamma_1)+\cdots+L(\gamma_m)$ und $\int_\gamma f(x)\cdot dx = \int_{\gamma_1}f(x)\cdot dx+ \cdots + \int_{\gamma_m}f(x)\cdot dx$ für \emph{jedes} stetige $f:\Gamma\to\MdR^n\}.$
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Ist $\gamma\in \text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$, so sagt man $\gamma$ entsteht durch \indexlabel{Aneinanderhängung}\textbf{Aneinanderhängen} der Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$.
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\begin{satz}[Stetige Differenzierbarekeit der Aneinanderhängung]
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$\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ seien wie oben. Dann: $\text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m) \ne \emptyset$. \\
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Sind $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ stetig differenzierbar, so existiert ein stückweise stetig differenzierbarer Weg $\gamma\in \text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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O.B.d.A: $m=2$.
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Def. $h:[b_1,c] \to [a_2,b_2]$ linear wie folgt: $h(x)=px+q$, $h(b_1)=a_2$, $h(c)=b_2$. $\hat\gamma_2 := \gamma_2\circ h$. Dann: $\gamma_2\sim \hat\gamma_2$. $\gamma := \gamma_1\oplus\hat\gamma_2$. 12.2, 12.7, 13.2 $\folgt$ $\gamma\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma_2)$.
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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In allen Beispielen sei $f(x,y)=(y,x-y)$ und $t\in[0,1]$.
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\begin{enumerate}
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\item $\gamma_1(t)=(t,0)$, $\gamma_2(t)=(1,t)$.
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Sei $\gamma \in \text{AH}(\gamma_1,\gamma_2)$. Anfangspunkt von $\gamma$ ist (0,0), Endpunkt von $\gamma$ ist (1,1). Nachrechnen: $\int_{\gamma_1}f(x,y)\cdot d(x,y) = 0$, $\int_{\gamma_2}f(x,y)\cdot d(x,y) = \frac{1}{2}$. Also: $\int_\gamma f(x,y) \cdot d(x,y) = \frac{1}{2}$
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\item $\gamma_1(t) = (0,t)$, $\gamma_2(t)=(t,1)$.
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Sei $\gamma\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma_2)$, Anfangspunkt von $\gamma$ ist (0,0), Endpunkt von $\gamma$ ist (1,1). Nachrechnen: $\int_{\gamma}f(x,y)\cdot d(x,y) = \frac{1}{2}$
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|
\item $\gamma(t)=(t,t^3)$. Anfangspunkt von $\gamma$ ist (0,0), Endpunkt von $\gamma$ ist (1,1). Nachrechnen: $\int_\gamma f(x,y)\cdot d(x,y) = \frac{1}{2}$
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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\chapter{Stammfunktionen}
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In diesem Paragraphen sei stets: $\emptyset \ne G \subseteq \MdR^n$, $G$ ein \emph{Gebiet} und $f=(f_1,\ldots,f_n): G\to\MdR^n$ stetig.
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\begin{definition}
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Eine Funktion $\varphi:G\to\MdR$ heißt eine \textbf{Stammfunktion (SF) von $f$ auf $G$}\indexlabel{Stammfunktion} $:\equizu$ $\varphi$ ist auf $G$ partiell differenzierbar und $\grad\varphi = f$ auf $G$. Also: $\varphi_{x_j} = f_j$ auf $G$ ($j=1,\ldots,n$).
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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\vspace{-1.5em}
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\begin{enumerate}
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\item Ist $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G$ $\folgt$ $\grad\varphi = f \folgt \varphi \in C^1(G,\MdR) \folgtnach{5.3} \varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi' = f$ auf $G$.
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\item Sind $\varphi_1$, $\varphi_2$ Stammfunktionen von $f$ auf $G$ $\folgtnach{(1)}$ $\varphi_1'=\varphi_2'$ auf $G$ $\folgtnach{6.2} \exists c\in\MdR: \varphi_1=\varphi_2+c$ auf $G$
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\item Ist $n=1$ $\folgt$ $G$ ist ein offenes Intervall. AI, 23.14 $\folgt$ \emph{jedes} stetige $f:G\to\MdR$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion! Im Falle $n\ge 2$ ist dies \emph{nicht} so.
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\end{enumerate}
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\end{bemerkung}
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\begin{beispiele}
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\item $G=\MdR^2$, $f(x,y) = (y,-x)$.
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Annahme: $f$ besitzt auf $\MdR^2$ die Stammfunktion $\varphi$. Dann: $\varphi_x = y$, $\varphi_y = -x$ auf $G$ $\folgt$ $\varphi\in C^2(\MdR^2,\MdR)$ und $\varphi_{xy} = 1 \ne -1 = \varphi_{yx}$. Widerspruch zu 4.1. Also: $f$ besitzt auf $\MdR^2$ \emph{keine} Stammfunktion.
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\item $G=\MdR^2$, $f(x,y) = (y,x-y)$.
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Ansatz für eine Stammfunktion $\varphi$ von $f$: $\varphi_x=y \folgt \varphi=xy+c(y)$, $c$ differenzierbar, $\folgt$ $\varphi_y\stackrel{!}{=}x+c'(y) = x-y \folgt c'(y) = -y$, etwa $c(y)=-\frac{1}{2}y^2$. Also: $\varphi(x,y) = xy - \frac{1}{2}y^2$. Probe: $\varphi_x=y$, $\varphi_y=x-y$, also: $\grad\varphi=f$. $\varphi$ ist also eine Stammfunktion von $f$ auf $\MdR^2$.
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%Weiß wer warum man da ne Probe braucht?
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%Braucht man nicht, war nur um uns zu überzeugen
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\end{beispiele}
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\vspace{2em} % ntheorembugumgehung
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\begin{satz}[Hauptsatz der mehrdimensionalen Integralrechnung]
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$f$ besitzt auf $G$ die Stammfunktion $\varphi$; $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein ein stückweise stetig differenzierbarer Weg mit $\Gamma_\gamma\subseteq G$. Dann:
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$$ \int_\gamma f(x)\cdot dx = \varphi\left(\gamma(b)\right) - \varphi\left(\gamma(a)\right) $$
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Das heißt: $\int_\gamma f(x)\cdot dx$ hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt von $\gamma$ ab.
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Ist $\gamma$ \emph{geschlossen}, das heißt $\gamma(a) = \gamma(b)$, dann gilt $\int_\gamma f(x)\cdot dx = 0$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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O.B.d.A.: $\gamma$ ist stetig differenzierbar. $\Phi(t):= \varphi (\gamma(t))$, $t\in[a,b]$. $\Phi$ ist stetig differenzierbar und $\Phi'(t) = \varphi'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = f(\gamma(t))\cdot\gamma(t)$ Dann: $\int_\gamma f(x)\cdot dx \gleichnach{13.1} \int_a^bf(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt = \int_a^b\Phi'(t)dt \gleichnach{AI} \Phi(b)-\Phi(a) = \varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a))$.
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\end{beweis}
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\begin{wichtigerhilfssatz}
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Es seien $x_0,y_0\in G$. Dann existiert ein stückweise stetig differenzierbarer Weg $\gamma$ mit: $\Gamma_\gamma\subseteq G$ und Anfangspunkt von $\gamma = x_0$ und Endpunkt von $\gamma=y_0$.
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\end{wichtigerhilfssatz}
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\begin{beweis}
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$G$ Gebiet $\folgt \exists z_0,z_1,\ldots,z_m \in G: S[z_0,\ldots,z_m]\subseteq G, z_0=x_0, z_m = y_0$.
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$\gamma_j(t) := z_{j-1} + t(z_j - z_{j-1})$, $(t\in[0,1])$, ($j=1,\ldots,n$). Dann:$\Gamma_{\gamma_j} = S[z_{j-1},z_{j}] \folgt \Gamma_{\gamma_1}\cup\ldots\cup\Gamma_{\gamma_m} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$. 13.4 $\folgt \exists \gamma \in \text{AH}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$ stückweise stetig differenzierbar $\folgt \Gamma_{\gamma} = S[z_0,\ldots,z_m] \subseteq G$.
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\end{beweis}
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\begin{definition*}
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\indexlabel{Weg-!unabhängig}
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$\int f(x)\cdot \text{d}x$ heißt \textbf{in G wegunabhängig} (wu) $:\equizu$ für je zwei Punkte $x_0, y_0\in G$ gilt: für jeden stückweise stetig differenzierbaren Weg $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ mit $\Gamma_\gamma\subseteq G$, $\gamma(a)=x_0$ und $\gamma(b)=y_0$ hat das Integral $\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$ stets denselben Wert. In diesem Fall: $\ds\int_{x_0}^{y_0}f(x)\cdot\text{d}x:=\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$.
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\end{definition*}
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\textbf{14.1 lautet dann}: besitzt f auf G die Stammfunktion $\varphi\folgt \ds\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist in $G$ wegunabhängig und $\int_{x_0}^{y_0}=\varphi(y_0)-\varphi(x_0)$ (Verallgemeinerung von Analysis 1, 23.5).
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\begin{satz}[Wegunabhängigkeit, Existenz von Stammfunktionen]
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$f$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion $\equizu\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist in G wegunabhängig. \\
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In diesem Fall: ist $x_0\in G$ und $\varphi:G\to\MdR$ definiert durch:
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\begin{align*}
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\varphi(z)=\ds\int_{x_0}^z f(x)\cdot\text{d}x\ (z\in G)\ \tag{$*$}
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\end{align*}
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Dann ist $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t):=z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h):=\frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren stückweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ stückweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann:
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$$\underbrace{\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0+h)}=\underbrace{\ds\int_{\gamma_1}f(x)\cdot\text{d}x}_{=\varphi(z_0)}+\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$
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$\ds\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist wegunabhängig in $G\folgt$\\
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$$\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\text{d}x=\ds\int_{\gamma_2}f(x)\cdot\text{d}x=\varphi(z_0+h)\folgt\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)=\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\text{d}x$$
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Es ist:
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\begin{eqnarray*}
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&&\ds\int_{\gamma}f(z_0)\cdot\text{d}x=\ds\int_0^1 f(z_0)\cdot\underbrace{\gamma'(t)}_{=h}\text{d}t=f(z_0)\cdot h\\
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&&\folgt \rho(h)=\frac{1}{\|h\|}\ds\int_{\gamma}(f(x)-f(z_0))\text{d}x\\
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&&\folgt |\rho(h)|=\frac{1}{\|h\|}\left|\ds\int_{\gamma}f(x)-f(z_0)\text{d}x\right|\\
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&&\le\frac{1}{\|h\|}\underbrace{L(\gamma)}_{=\|h\|}\underbrace{\max\{\|f(x)-f(z_0)\|: x\in\Gamma_\gamma\}}_{=\|f(x_n)-f(z_0)\|}
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\end{eqnarray*}
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wobei $x_n\in\Gamma_\gamma=S[z_0,z_0+h]\folgt |\rho(h)|\le\|f(x_n)-f(z_0)\|$. Für $h\to 0: x_n\to z_0\folgtnach{f stetig}\|f(x_n)-f(z_0)\|\to 0\folgt\rho(h)\to 0$.
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\end{beweis}
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\begin{satz}[Integrabilitätsbedingungen]
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Sei $f=(f_1,\ldots, f_n)\in C^1(G,\MdR^n)$. Besitzt $f$ auf $G$ die Stammfunktion $\varphi\folgt$
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$$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\frac{\partial f_k}{\partial x_j}\text{ auf }G\ (j,k=1,\ldots,n)$$
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(\begriff{Integrabilitätsbedingungen} (IB)). Warnung: Die Umkehrung von 14.4 gilt im Allgemeinen \textbf{nicht} ($\to$ Übungen!).
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Sei $\varphi$ eine Stammfunktion von $f$ auf $G\folgt\varphi$ ist differenzierbar auf $G$ und $\varphi_{x_j}=f_j$ auf $G\ (j=1,\ldots,n)$. $f\in C^1(G,\MdR^n)\folgt\varphi\in C^2(G,\MdR)$
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$$\folgt \frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\varphi_{x_jx_k}\gleichnach{4.7}\varphi_{x_kx_j}=\frac{\partial f_k}{\partial x_j}\text{ auf G.}$$ $ $
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\end{beweis}
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\begin{definition*}
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\index{Sternförmigkeit}
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Sei $\emptyset\ne M\subseteq\MdR^n$. $M$ heißt \textbf{sternförmig} $:\equizu\exists x_0\in M: S[x_0,x]\subseteq M\ \forall x\in M$.\\
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\textbf{Beachte:}
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\begin{enumerate}
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\item Ist $M$ konvex$\folgt M$ ist sternförmig
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\item Ist $M$ offen und sternförmig$\folgt M$ ist ein Gebiet
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\end{enumerate}
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen]
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Sei $G$ sternförmig und $f\in C^1(G,\MdR^n)$. Dann: $f$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion $:\equizu f$ erfüllt auf $G$ die Integrabilitätsbedingungen
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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"`$\folgt$"': 14.1\quad "`$\impliedby$"': $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$.
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Für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in G$ sei $\gamma_x(t)=tx, t\in [0,1]$.
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\begin{eqnarray*}
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\varphi(x)&:=&\int_{\gamma_x}f(z)\cdot\text{d}z\ (x\in G)\\
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&=&\ds\int_0^1 f(tx)\cdot x\text{d}t\\
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&=&\ds\int_0^1(f_1(tx)\cdot x_1+f_2(tx)\cdot x_2+\ldots+f_n(tx)\cdot x_n)\text{d}t\\
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\end{eqnarray*}
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Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ partiell differenzierbar nach $x_j$ und $\varphi_{x_j}=f_j\ (j=1,\ldots,n)$.
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OBdA: $j=1$. Später (in 21.3) zeigen wir: $\varphi$ ist partiell differenzierbar nach $x_1$ und:
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$$\varphi_{x_1}(x)=\ds\int_0^1\frac{\partial}{\partial x_1}(f_1(tx)x_1+\ldots+f_n(tx)\cdot x_n)\text{d}t$$
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Für $k=1,\ldots,n:\ g_k(x)=f_k(tx)\cdot x_k$.\\
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$k=1:\ g_1(x)=f_1(tx)x_1\folgt\frac{\partial g_1}{\partial x_1}(x)=f_1(tx)+t\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(tx)x_1$\\
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$k\ge 2:\ g_k(x)=f_k(tx)x_k\folgt\frac{\partial g_k}{\partial x_1}(x)=t\frac{\partial f_k}{\partial x_1}(tx)x_k\folgt$
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\begin{eqnarray*}
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\varphi_{x_1}(x)&=&\int_0^1(f_1(tx)+t(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(tx)x_1+\ldots+\frac{\partial f_n}{\partial x_1}(tx)x_n))\text{d}t\\
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&\gleichnach{IB}&\int_0^1(f_1(tx)+t(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(tx)x_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(tx)x_2+\ldots+\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(tx)x_n))\text{d}t\\
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&=&\ds\int_0^1(f_1(tx)+tf_1'(tx)\cdot x)\text{d}t
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\end{eqnarray*}
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Sei $x\in G$ (fest), $h(t):=t\cdot f_1(tx)\ (t\in [0,1])$. $h$ ist stetig differenzierbar und $h'(t)=f_1(tx)+tf_1'(tx)\cdot x\folgt \varphi_{x_1}(x)=\ds\int_0^1 h'(t)\text{d}t\gleichnach{A1}h(1)-h(0)=f_1(x)$.
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\end{beweis}
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\chapter{Vorgriff auf Analysis III}
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In Analysis III werden wir für gewisse Mengen $A\subseteq\MdR^n$ und gewisse Funktionen
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$f:A\to\MdR$ folgendes Integral definieren:
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\[\int_A f(x)\text{d}x=\int_A f(x_1,\ldots,x_n)\text{ d}(x_1,\ldots,x_n)\]
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In diesem Paragraphen geben wir "`Kochrezepte"' an, wie man solche Integrale
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für spezielle Mengen $A \subseteq \MdR^2$ (bzw. $A \subseteq \MdR^3$)
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und stetige Funktionen $f:A \to \MdR$ berechnen kann.
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\renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Der Fall $n=2$}:\\
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\begin{definition*}
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\indexlabel{Normalbereich}
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Es sei $[a,b]\subset\MdR$, $h_1,h_2\in C[a,b]$ und $h_1\le h_2$ auf $[a,b]$.
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\[A:=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | x\in[a,b],h_1(x)\le y\le h_2(x)}\]
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\[\left(A:=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | y\in[a,b],h_1(y)\le x\le h_2(y)}\right)\]
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heißt \textbf{Normalbereich} bezüglich der $x$-Achse ($y$-Achse).\\
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\textbf{Übung:} $A$ ist kompakt.
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\end{definition*}
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\begin{satz}[Integral über Normalbereiche im $\MdR^2$]
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Sei $A$ wie oben und $f:A\to\MdR$, dann gilt:
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\[\int_A f(x,y)\text{d}(x,y)=\int_a^b\left(\int_{h_1(x)}^{h_2(x)} f(x,y)\text{d}y\right)\text{ d}x\]
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|
\[\left(\int_A f(x,y)\text{d}(x,y)=\int_a^b\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\text{ d}x\right)\text{ d}y\right)\]
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\end{satz}
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\textbf{Achtung:} $\int_A f(x)\text{d}x$ nicht mit dem Wegintegral $\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$
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verwechseln!
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\begin{definition*}
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\indexlabel{Flächeninhalt}
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Sei $A$ ein Normalbereich bzgl. der $x$- oder $y$-Achse, so heißt:
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\[|A|:=\int_A 1\text{ d}(x,y)\]
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der \textbf{Flächeninhalt} von $A$.
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\end{definition*}
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\begin{beispiele}
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\item[(1)] Sei $A$ ein Normalbereich bzgl. der x-Achse und seien $h_1,h_2$ wie oben. Dann gilt:
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\begin{align*}
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|A|&=\int_A 1\text{ d}(x,y)\\
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&\stackrel{15.1}{=}\int_a^b\left(\int_{h_1(x)}^{h_2(x)} 1\text{ d}y\right)\text{ d}x\\
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|
&=\int_a^b(h_2(x)-h_1(x))\text{ d}x
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\end{align*}
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|
Ist z.B. $h_1=0$, so folgt:
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\[|A|=\int_a^b h_2(x)\text{ d}x\]
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|
\item[(2)] Sei $A=[a,b]\times[c,d]$, dann ist $A$ Normalbereich bezüglich der $x$-
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\textbf{und} der $y$-Achse. Sei $f:A\to\MdR$ stetig. Es folgt aus 15.1.:
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\begin{align*}
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\int_A f(x,y)\text{d}(x,y) &= \int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\text{ d}y\right)\text{ d}x\\
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&= \int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\text{ d}x\right)\text{ d}y
|
|
\end{align*}
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|
\item[(3)] Sei $r>0$ und $A:=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | x^2+y^2\le r^2}$. Dann ist
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$A$ ein Normalbereich der $x$-Achse mit $h_1(x):=\sqrt{r^2-x^2}$ und $h_2(x):=-\sqrt{r^2-x^2}$
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(mit $x\in[-r,r]$), und es gilt:
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\begin{align*}
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|A|&=\int_{-r}^r h_2(x)-h_1(x)\text{ d}x\\
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|
&=\int_{-r}^r 2\sqrt{r^2-x^2}\text{ d}x\\
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|
&=\pi r^2
|
|
\end{align*}
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|
\item[(4)] Sei $A:=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | x\in[0,1],x\le y\le \sqrt x}$ und $f(x,y)=xy$.
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|
Dann gilt für $h_1(x)=x$ und $h_2(x)=\sqrt x$:
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\begin{align*}
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\int_A xy\text{ d}(x,y) &= \int_0^1\left(\int_x^{\sqrt x} xy\text{ d}y\right)\text{ d}x\\
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|
&= \int_0^1\left(\left[\frac12 xy^2\right]_x^{\sqrt x}\right)\text{ d}x\\
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|
&= \int_0^1 \frac12x^2 -\frac12x^3\text{ d}x\\
|
|
&= \frac12\left[\frac13 x^3-\frac14 x^4\right]_0^1 = \frac1{24}
|
|
\end{align*}
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|
Da $A=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | y\in[0,1],y^2\le x\le y}$ außerdem Normalbereich bzgl. der
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|
$y$-Achse ist, gilt:
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|
\begin{align*}
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|
\int_A f(x,y)\text{ d}y &= \int_0^1\left(\int_{y^2}^y xy \text{ d}x\right)\text{ d}y\\
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|
&=\int_0^1 \left[ \frac12 x^2y\right]_{y^2}^y \text{ d}y\\
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|
&=\int_0^1 \frac12y^3-\frac12y^5 \text{ d}y\\
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|
&= \frac12 \left[ \frac14y^4-\frac16 y^5\right]_0^1 = \frac1{24}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beispiele}
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|
\item \textbf{Der Fall $n=3$:}\\
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\indexlabel{Normalbereich}
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\begin{definition}
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Sei $A\subseteq\MdR^2$ ein Normalbereich bzgl. der $x$- oder der $y$-Achse,
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es seien $g_1,g_2:A\to\MdR$ stetig und $g_1\le g_2$ auf $A$.
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\[B:=\Set{(x,y,z)\in\MdR^3 | (x,y)\in A, g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)}\]
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|
heißt ein \textbf{Normalbereich} bezüglich der $x$-$y$-Ebene.
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|
Normalbereiche bzgl der $x$-$z$- und $y$-$z$-Ebene werden analog definiert.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Integral über Normalbereiche im $\MdR^3$]
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Sei $B, g_1, g_2$ wie oben und $f:B\to\MdR$ stetig, dann gilt:
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\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\]
|
|
\end{satz}
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|
\begin{definition}
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|
\indexlabel{Volumen}
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$B$ sei wie in 15.2.
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\begin{align*}
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|B|&:=\int_B 1\text{ d}(x,y,z)\\
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|
&\left( = \int_A g_2(x,y)-g_1(x,y)\text{ d}(x,y)\right)
|
|
\end{align*}
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|
heißt \textbf{Volumen} von $B$.
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item[(1)] Sei $B:=\overbrace{[a,b]\times[c,d]}^{:= A}\times[\alpha,\beta]$, dann gilt:
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|
\begin{align*}
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|
\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) &= \int_A\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\\
|
|
&=\int_a^b\left(\int_c^d\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}y\right)\text{ d}x
|
|
\end{align*}
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|
Dabei darf die Integrationsreihenfolge beliebig vertauscht werden.
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|
\item[(2)] Sei $B:=\Set{(x,y,z)\in\MdR^3 | x^2+y^2\le 1, 0\le z\le h}$ für ein
|
|
$h>0$. Dann setze $A:=\Set{(x,y)\in\MdR^2 | x^2+y^2\le 1}, g_1=0, g_2=h$. Es gilt:
|
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\begin{align*}
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|
|B|&= \int_A h\text{ d}(x,y)\\
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|
&= h \int_A 1 \text{ d}(x,y)\\
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&= h\cdot |A| = h\pi
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\end{align*}
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|
\end{beispiele}
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\begin{satz}[Eigenschaften von Integralen über Normalbereiche]
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Sei $B\subseteq\MdR^2$ oder $B\subseteq\MdR^3$ und $f,g:B\to\MdR$ stetig.
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Je nach Definition von $B$ sei $X=(x,y)$ oder $X=(x,y,z)$.
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|
\begin{enumerate}
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|
\item[(1)] Für alle $\alpha,\beta\in\MdR$ gilt:
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|
\[\int_B \alpha f(X)+\beta g(X)\text{ d}X=\alpha\int_B f(X)\text{ d}X+\beta\int_B g(X)\text{ d}X\]
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\item[(2)] Es gilt die bekannte Dreiecksungleichung:
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|
\[\left|\int_B f(X)\text{ d}X\right|\le \int_B |f(X)| \text{ d}X\le |B|\cdot \max\{|f(X)|: X\in B\}\]
|
|
\item[(3)] Ist $f\le g$ auf $B$, so gilt:
|
|
\[\int_B f(X)\text{ d}X \le \int_B g(X)\text{ d}X\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
\end{enumerate}
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|
\chapter{Folgen, Reihen und Potenzreihen in $\MdC$}
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\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
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\index{komplex!Betrag}\index{Betrag!komplexer}
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|
$\MdC$ und $\MdR^2$ sind Vektorräume \textbf{über $\MdR$} der Dimension zwei.
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Sie unterscheiden sich als Vektorräume über $\mathbb{R}$ nur dadurch, dass ihre Elemente
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mit:
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\[z=x+\text{i} y\in \MdC \quad \text { bzw. }\quad (x,y)\in\MdR^2 \quad(x,y\in\MdR)\]
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bezeichnet werden. Mit dem \textbf{komplexen Betrag} $|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$ gilt:
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\[|z|=\|(x,y)\|\]
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Man sieht, dass alle aus der Addition, der Skalarmultiplikation und der Norm entwickelten Begriffe
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und Sätze aus §1 und §2 auch in $\MdC$ gelten.\\
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\begin{beispiel}[Konvergente Folgen]
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Sei $(z_n)$ eine Folge in $\MdC$ und $z_0\in\MdC$. $(z_n)$ konvergiert genau dann gegen
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$z_0$, wenn gilt:
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\begin{align*}
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|
&|z_n-z_0|\stackrel{n\to\infty}{\to}0\\
|
|
\stackrel{2.1}{\iff} &\Re(z_n)\stackrel{n\to\infty}{\to}\Re(z_0)\wedge
|
|
\Im(z_n)\stackrel{n\to\infty}{\to}\Im(z_0)
|
|
\end{align*}
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|
Außerdem ist $(z_n)$ genau dann eine Cauchyfolge, wenn gilt:
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|
\[\forall\ep>0\exists n_0\in\MdN\forall n,m\ge n_0: |z_n-z_m|<\ep\]
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Also nach Cauchykriterium genau dann, wenn $(z_n)$ konvergent ist.
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|
\end{beispiel}
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\begin{satz}[Produkte und Quotienten von Folgen]
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Seien $(z_n),(w_n)$ Folgen in $\MdC$ mit $z_n\stackrel{n\to\infty}{\to}z_0,
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|
w_n\stackrel{n\to\infty}{\to}w_0$.
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Es gilt:
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\[z_nw_n\stackrel{n\to\infty}{\to}z_0w_0\]
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|
\item Ist $z_0\ne 0$, so existiert ein $m\in\MdN:\forall n\ge m:z_n\ne 0$ und:
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|
\[\frac1{z_n}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac1{z_0}\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
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\begin{beweis}
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Wie in Ana I.
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\end{beweis}
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|
\begin{definition}
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|
\index{unendliche Reihe}\index{Reihe!unendliche}
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|
\index{Konvergenz}\index{Divergenz}
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|
Sei $(z_n)$ eine Folge in $\MdC$, $s_n:=z_1+\cdots+z_n (n\in\MdN)$. $(s_n)$ heißt
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\textbf{unendliche Reihe} und wird mit $\sum_{n=1}^{\infty} z_n$ bezeichnet.\\
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|
$\sum_{n=1}^{\infty} z_n$ heißt genau dann \textbf{konvergent} (\textbf{divergent}),
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|
wenn $(s_n)$ konvergent (bzw. divergent) ist. Im Konvergenzfall gilt:
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|
\[\sum_{n=1}^{\infty} z_n:=\limsup_{n\to\infty} s_n\]
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|
\end{definition}
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|
Die Definitionen und Sätze der Paragraphen 11, 12, 13 aus Ana I gelten wörtlich
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auch in $\MdC$, bis auf diejenigen Definitionen und Sätze, in denen die Anordnung
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auf $\MdR$ eine Rolle spielt (z.B. das Leibniz- und das Monotoniekriterium).
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\\
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\begin{beispiele}
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\index{geometrische Reihe}\index{Reihe!geometrische}
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\index{Exponentialfunktion}\index{komplex!Exponentialfunktion}
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\index{Cosinus}\index{Kosinus}\index{komplex!Kosinus}
|
|
\index{Sinus}\index{komplex!Sinus}
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|
\item Sei $z\in\MdC$. $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ heißt \textbf{geometrische Reihe}.\\
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|
\textbf{Fall 1:} Ist $|z|< 1$, dann gilt:
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\begin{align*}
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&\sum_{n=0}^{\infty} |z|^n \text{ konvergiert}\\
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\implies &\sum_{n=0}^{\infty} z^n\text{ konvergiert absolut}\\
|
|
\implies &\sum_{n=0}^{\infty} z^n\text{ konvergiert}
|
|
\end{align*}
|
|
\textbf{Fall 2:} Ist $|z|\ge 1$, dann gilt:
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|
\begin{align*}
|
|
&|z|^n=|z^n|\stackrel{n\to\infty}{\not\to} 0\\
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|
\implies &z^n\stackrel{n\to\infty}{\not\to} 0\\
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|
\implies &\sum_{n=0}^{\infty} z^n \text{ divergiert}
|
|
\end{align*}
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|
Ist $|z|<1$, so zeigt man wie in $\MdR$:
|
|
\[\sum_{n=0}^{\infty} z^n= \frac1{1-z}\]
|
|
\item Betrachte $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$. Für alle $z\in\MdC$ gilt:
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\begin{align*}
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&\sum_{n=0}^\infty \frac{|z|^n}{n!} \text{ konvergiert}\\
|
|
\implies &\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \text{ konvergiert absolut}
|
|
\end{align*}
|
|
Für alle $z\in\MdC$ definiere die (komplexe) \textbf{Exponentialfunktion} wie folgt:
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\[e^z:=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]
|
|
\item Wie in Beispiel (2) sieht man, dass $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$ und
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$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ für alle $z\in\MdC$ absolut konvergieren.\\
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|
Dadurch lassen sich auch \textbf{Cosinus} und \textbf{Sinus} auf ganz $\MdC$ definieren:
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\[\cos{z}:=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\]
|
|
\[\sin{z}:=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
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\end{beispiele}
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\begin{satz}[Eigenschaften von Exponentialfunktion, Cosinus und Sinus]
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Seien $z,w\in\MdC, z=x+iy$ mit $x,y\in\MdR$. Es gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $e^{z+w}=e^z e^w$
|
|
\item $e^{iy}=\cos y+i\sin y$, insbesondere ist: $|e^{iy}|=1$
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|
\item $e^z=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$
|
|
\item $ \cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$\\
|
|
Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} \infty,
|
|
\sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} - \infty$\\
|
|
Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt.
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|
\item $\forall k\in\MdZ:e^{z+2\pi i k}=e^z$
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|
\item $e^z=1 \iff \exists k\in\MdZ:z=2k\pi i$
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|
\item $e^{i\pi}+1=0$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Wie in Ana I.
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\item Nachrechnen!
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\item Folgt aus (1) und (2).
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\item Nachrechnen!
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\item Es gilt:
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\begin{align*}
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e^{z+2k\pi i} &\stackrel{(1)}{=}e^ze^{2k\pi i}\\
|
|
&\stackrel{(2)}{=}e^z(\underbrace{\cos(2k\pi)}_{=1}+i\underbrace{\sin(2k\pi)}_{=0})\\
|
|
&= e^z
|
|
\end{align*}
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|
$\Rightarrow e^z$ ist auf $\mathbb{C}$ nicht injektiv!
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|
\item
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Die Äquivalenz folgt aus Implikation in beiden Richtungen:
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\begin{enumerate}
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|
\item["`$\impliedby$"'] Folgt aus (5) mit $z=0$.
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|
\item["`$\implies$"'] Sei $z=x+iy$ mit $x,y\in\MdR$. Es gilt:
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\[1=e^z=e^x(\cos(y)+i\sin(y))=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)\]
|
|
Daraus folgt:
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\[\sin(y)=0\implies \exists j\in\MdZ:y=j\pi\]
|
|
Und damit:
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\begin{align*}
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&1=e^x\cos(j\pi)=e^x(-1)^j\\
|
|
\implies &x=0\wedge\exists k\in\MdN: j=2k
|
|
\end{align*}
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|
Also ist $z=i2k\pi$.
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|
\end{enumerate}
|
|
\item Es gilt:
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\[e^{i\pi}\stackrel{(2)}{=}\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1\]
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|
\end{beweise}
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|
\begin{beispiel}
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|
Im Folgenden wollen wir alle $z\in\MdC$ bestimmen, für die $\sin(z)=0$ ist. Es gilt:
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\begin{align*}
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\sin(z)=0 &\stackrel{16.2(4)}{\iff}e^{iz}=e^{-iz}\\
|
|
&\stackrel{16.2(1)}{\iff}e^{2iz}=e^{-iz}e^{iz}=e^0=1\\
|
|
&\stackrel{16.2(6)}{\iff}\exists k\in\MdZ: 2iz=i2k\pi\\
|
|
&\iff z=k\pi
|
|
\end{align*}
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|
Der Sinus hat also nur reelle Nullstellen.
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\end{beispiel}
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\begin{definition}
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\index{Potenzreihe}
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\index{Konvergenzradius}
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Sei $(a_n)$ ein Folge in $\MdC$ und $z_0\in\MdC$. $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$
|
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heißt eine \textbf{Potenzreihe} (PR). Sei nun:
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\[\rho:=\limsup \sqrt[n]{|a_n|}\]
|
|
Dabei ist $\rho=\infty$, falls $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschränkt ist. Dann heißt
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\[r:=
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\begin{cases}
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0&\text{, falls }\rho=\infty\\
|
|
\infty&\text{, falls }\rho=0\\
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|
\frac1\rho&\text{, falls }0<\rho<\infty
|
|
\end{cases}\]
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|
der \textbf{Konvergenzradius} (KR) der PR.
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|
\end{definition}
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|
\begin{satz}[Konvergenz von Potenzreihen]
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|
$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ und $r$ seien wie oben.
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\begin{enumerate}
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|
\item Ist $r=0$, so konvergiert die PR \textbf{nur} für $z=z_0$.
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|
\item Ist $r=\infty$, so konvergiert die PR absolut für alle $z\in\MdC$.
|
|
\item Sei $0<r<\infty$. Es gilt:
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ist $z\in\MdC$ und $|z-z_0|<r$, so konvergiert die PR absolut in $z$.
|
|
\item Ist $z\in\MdC$ und $|z-z_0|>r$, so divergiert die PR in $z$.
|
|
\item Ist $z\in\MdC$ und $|z-z_0|=r$, so ist keine allgemeine Aussage möglich.
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\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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|
Wie in Ana I.
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\end{beweis}
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\begin{beispiele}
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\item Die PR $\sum_{n=0}^\infty z^n$ hat den KR $r=1$ und es gilt:
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\[\sum_{n=0}^\infty z^n\text{ konvergiert }\iff |z|<1\]
|
|
\item Die PR $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n^2}$ hat den KR $r=1$. Für $|z|=1$ gilt:
|
|
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{|z|^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac1{n^2}\]
|
|
Also konvergiert $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n^2}$ absolut. Insgesamt gilt also:
|
|
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n^2}\text{ konvergiert }\iff |z|\le 1\]
|
|
\item Die PR $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n}$ hat KR $r=1$, divergiert in $z=1$ und
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|
konvergiert in $z=-1$.
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|
\item Die PRen
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\begin{align*}
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|
&\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}&&\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}
|
|
&&\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}
|
|
\end{align*}
|
|
haben jeweils KR $r=\infty$ (siehe 16.3).
|
|
\end{beispiele}
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|
\chapter{Normierte Räume, Banachräume, Fixpunktsatz}
|
|
In diesem Paragraphen sei $\mathbb{K}$ stets gleich $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$
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und sei $X$ ein Vektorraum (VR) über $\mathbb{K}$.
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|
\begin{definition}
|
|
\index{Norm}
|
|
\index{normierter Raum}\index{Raum!normierter}
|
|
Eine Abbildung $\|\cdot\|:X\to\mathbb{R}$ heißt genau dann eine \textbf{Norm} auf $X$,
|
|
wenn folgendes erfüllt ist:
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\begin{enumerate}
|
|
\item $\forall x\in X: \|x\|\ge0 \text{ und } \|x\|=0\iff x=0$
|
|
\item $\forall x\in X,\alpha\in\mathbb{K}:\|\alpha x\|=|\alpha|\cdot\|x\|$
|
|
\item $\forall x,y\in X: \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$
|
|
\end{enumerate}
|
|
In diesem Fall heißt $(X,\|\cdot\|)$ ein \textbf{normierter Raum} (NR).
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|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiele}
|
|
\index{euklidische Norm}\index{Norm!euklidische}
|
|
\item Sei $n\in\mathbb{N},X=\mathbb{K}^n$ und für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in X$
|
|
die \textbf{euklidische Norm} gegeben:
|
|
\[\|x\|_2:=\sqrt{\sum_{j=1}^n |x_j|^2}\]
|
|
Dann ist $(\mathbb{K}^n,\|\cdot\|_2)$ ein normierter Raum (vgl. §1).
|
|
\item Sei $X=C[a,b]$ und für $f\in X$ seien die folgenden Normen gegeben:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\|f\|_1:=\int_a^b|f(x)|\text{ d}x\\
|
|
&\|f\|_2:=\sqrt{\int_a^b|f(x)|^2\text{ d}x}\\
|
|
&\|f\|_\infty:=\max\{|f(x)|:x\in[a,b]\}
|
|
\end{align*}
|
|
Leichte Übung: $(X,\|\cdot\|_1),(X,\|\cdot\|_2)$ und $(X,\|\cdot\|_\infty)$
|
|
sind NRe.
|
|
\item Sei $K\subseteq \mathbb{R}^n$ kompakt, $X:=C(K,\mathbb{R}^m)$ und sei für
|
|
$f\in X$ die Norm
|
|
\[\|f\|_\infty:=\max\{\|f(x)\|:x\in K\}\]
|
|
Leichte Übung: $(X,\|\cdot\|_\infty)$ ist ein NR.
|
|
\end{beispiele}
|
|
|
|
Für den Rest dieses Paragraphen sei $X$ stets ein NR mit Norm $\|\cdot\|$.
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Wie in §1 zeigt man die umgekehrte Dreiecksungleichung:
|
|
\[\forall x,y\in X:|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Konvergenz}
|
|
\index{Divergenz}
|
|
\index{Grenzwert}
|
|
\index{Limes}
|
|
\index{Cauchy-!Folge}
|
|
\index{Offenheit}
|
|
\index{Abgeschlossenheit}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Sei $(x_n)$ eine Folge in $X$. $(x_n)$ heißt genau dann \textbf{konvergent},
|
|
wenn ein $x_0\in X$ existiert für das gilt:
|
|
\[\|x_n-x_0\|\stackrel{n\to\infty}\to 0\]
|
|
In diesem Fall ist $x_0$ eindeutig bestimmt und man schreibt $x_n\stackrel{n\to\infty}\to x_0$
|
|
oder $\lim_{n\to\infty} x_n=x_0$. $x_0$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes}
|
|
von $(x_n)$.
|
|
\item $(x_n)$ heißt genau dann \textbf{divergent}, wenn $(x_n)$ nicht konvergent ist.
|
|
\item $(x_n)$ heißt genau dann eine \textbf{Cauchyfolge} (CF), wenn gilt:
|
|
\[\forall\ep>0 \exists n_0=n_0(\ep)\in\MdN:\|x_n-x_m\|<\ep\quad \forall n,m\ge n_0\]
|
|
\item Sei $x_0\in X$ und $\delta>0$. Definiere:
|
|
\[U_\delta(x):=\Set{x\in X | \|x-x_0\|<\delta}\]
|
|
\item Sei $A\subseteq X$. $A$ heißt \textbf{offen}, genau dann wenn gilt:
|
|
\[\forall x\in A\exists \delta=\delta(x)>0: U_\delta(x)\subseteq A\]
|
|
A heißt \textbf{abgeschlossen}, genau dann wenn $X\setminus A$ offen ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Eigenschaften von Folgen in normierten Räumen]
|
|
\index{Beschränktheit}
|
|
\index{gleichmäßige Konvergenz}\index{Konvergenz!gleichmäßige}
|
|
Seien $(x_n),(y_n)$ Folgen in $X$, $(\alpha_n)$ Folge in $\mathbb{K}$, $x,y\in X$ und
|
|
$A\subseteq X$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Gilt $x_n\to x,y_n\to y$ und $\alpha_n\to\alpha\in\mathbb{K}$, so folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
&x_n+y_n\to x+y& &\alpha_n x_n\to\alpha x& &\|x_n\|\to\|x\|
|
|
\end{align*}
|
|
D.h. die Addition und Skalarmultiplikation sind stetig.
|
|
\item Ist $(x_n)$ konvergent, so ist $(x_n)$ \textbf{beschränkt}, d.h.:
|
|
\[\exists c\ge 0:\forall n\in\MdN:\|x_n\|\le c\]
|
|
und $(x_n)$ ist eine CF.
|
|
\item Genau dann wenn $A$ abgeschlossen ist, gilt für jede konvergente Folge $(x_n)$ in $A$:
|
|
\[\lim_{n\to\infty}x_n\in A\]
|
|
\item Sei $(X,\|\cdot\|_\infty)$ wie in obigem Beispiel (3). Dann gilt für
|
|
$(f_n)$ in $X$ und $f\in X$, dass $(f_n)$ genau dann auf $K$ \textbf{gleichmäßig} gegen $f$
|
|
\textbf{konvergiert}, wenn gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\|f_n-f\|_\infty \stackrel{n\to\infty}{\to}0\\
|
|
:\iff &\forall\ep>0\exists n_0\in\MdN:\|f_n(x)-f(x)\|<\ep\quad \forall n\ge n_0\forall x\in K
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweise}
|
|
\item Wie im $\MdR^n$.
|
|
\item Wie im $\MdR^n$.
|
|
\item Wie im $\MdR^n$.
|
|
\item \textbf{\color{red}In der großen Übung.}
|
|
\end{beweise}
|
|
|
|
\begin{beispiel}
|
|
Sei $X=C[-1,1]$ mit $\|f\|_2:=\sqrt{\int_{-1}^1 |f(x)|^2\text{ d}x}$. Definiere die
|
|
Folge $(f_n)$ wie folgt:
|
|
\[\forall n\in\MdN: f_n(x)=
|
|
\begin{cases}
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|
-1&,-1\le x\le -\frac1n\\
|
|
nx&,-\frac1n\le x\le \frac1n\\
|
|
1&,\frac1n\le x\le 1
|
|
\end{cases}\]
|
|
Dann ist klar, dass $f_n\in X$ für alle $n\in\MdN$. In den \textbf{\color{red}großen Übungen} wird gezeigt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $(f_n)$ ist eine CF in $X$.
|
|
\item Es existiert \textbf{kein} $f\in X$ mit $\|f_n-f\|_2\to 0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{beispiel}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Banachraum}
|
|
\index{vollständiger Raum}\index{Raum!vollständiger}
|
|
$X$ heißt ein \textbf{Banachraum} oder \textbf{vollständig}, genau dann wenn jede
|
|
CF in $X$ einen Grenzwert in $X$ hat.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beispiele}
|
|
\item Sei $X=\mathbb{K}^n, \|x\|_2=\sqrt{\sum_{j=1}^n |x_j|^2}$. Dann folgt aus §2,
|
|
dass $(X,\|\cdot\|_2)$ ein BR ist.
|
|
\item Sei $X=C[-1,1], \|f\|_2=\sqrt{\int_{-1}^1 |f(x)|^2 \text{ d}x}$. Dann ist
|
|
$(X,\|\cdot\|_2)$ \textbf{kein} BR.
|
|
\item Sei $(X,\|\cdot\|_\infty)$ wie in 17.1(4). In den \textbf{\color{red}großen Übungen} wird gezeigt,
|
|
dass $(X,\|\cdot\|_\infty)$ ein BR ist.
|
|
\end{beispiele}
|
|
|
|
\begin{satz}[Banachscher Fixpunktsatz]
|
|
\index{Kontraktion}
|
|
\index{Folge der sukzessiven Approximationen}\index{sukzessive Approximationen!Folge der}
|
|
Sei $(X,\|\cdot\|)$ ein BR, $\emptyset\ne A\subseteq X$ sei abgeschlossen und es sei
|
|
$F:A\to X$ eine Abbildung mit:
|
|
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $F(A)\subseteq A$
|
|
\item $F$ ist eine \textbf{Kontraktion}, d.h.:
|
|
\[\exists L\in[0,1):\forall x,y\in A:\|F(x)-F(y)\|\le L\cdot \|x-y\|\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
|
|
Dann existiert genau ein $x^*\in A$ mit $F(x^*)=x^*$.\\
|
|
Ist $x_0\in A$ beliebig und $(x_n)$ definiert durch $x_{n+1}:=F(x_n)\ (n\ge 0)$,
|
|
so ist $x_n\in A$ für alle $n\in\MdN$ und es gilt:
|
|
\[x_n\stackrel{n\to\infty}\to x^*\]
|
|
Weiter gilt für alle $n\in\MdN$:
|
|
\[\|x_n-x^*\|\le\frac{L^n}{1-L}\|x_1-x_0\|\]
|
|
Diese Folge heißt Folge der \textbf{sukzessiven Approximationen}.
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $x_0\in A$ und $(x_n)$ wie oben definiert. Es gilt:
|
|
\[\|x_2-x_1\|=\|F(x_1)-F(x_2)\|\le L\cdot \|x_1-x_0\|\]
|
|
Induktiv lässt sich zeigen:
|
|
\[\forall k\in\MdN_0: \|x_{k+1}-x_k\|\le L^k\cdot \|x_1-x_0\|\]
|
|
Seien nun $m,n\in\MdN$ und $m>n$, dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\|x_m-x_n\| &= \|(x_m-x_{m-1})+\cdots+(x_{n+1}-x_n)\|\\
|
|
&\le \|x_m-x_{m-1}\|+\cdots+\|x_{n+1}-x_n\|\\
|
|
&\le L^{m-1}\|x_1-x_0\|+\cdots+L^n\|x_1-x_0\|\\
|
|
&=(L^{m-1}+\cdots+L^n)\cdot \|x_1-x_0\|\\
|
|
&= L^n(1+\cdots+L^{m-n-1})\cdot \|x_1-x_0\|\\
|
|
&\le L^n(\sum_{j=0}^\infty L^j)\cdot \|x_1-x_0\|\\
|
|
&= \frac{L^n}{1-L}\|x_1-x_0\|
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist $(x_n)$ eine CF. Da $X$ außerdem $BR$ ist, existiert ein $x^*\in X$ mit
|
|
$x_n\to x^*$. Wegen $(x_n)\subseteq A$ und $A$ abgeschlossen ist außerdem $x^*\in A$.\\
|
|
Festes $n$ und $m\to\infty$ liefert aus obiger Gleichung:
|
|
\[\forall n\in\MdN:\|x_n-x^*\|\le \frac{L^n}{1-L}\|x_1-x_0\|\]
|
|
Für $F(x^*)$ gilt also:
|
|
\begin{align*}
|
|
\|F(x^*)-x^*\| &= \|F(x^*)-x_{n+1}+x_{n+1}-x^*\|\\
|
|
&\le \|F(x^*)-x_{n+1}\|+\|x_{n+1}-x^*\|\\
|
|
&=\|F(x^*)-F(x_n)\|+\|x_{n+1}-x^*\|\\
|
|
&\le L\|x^*-x_n\|+\|x_{n+1}-x^*\|\stackrel{n\to\infty}\to 0
|
|
\end{align*}
|
|
Daraus folgt:
|
|
\[\|F(x^*)-x^*\| = 0\iff F(x^*)=x^*\]
|
|
Sei nun $z\in A$ und $F(z)=z$. Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\|x^*-z\|=\|F(x^*)-F(z)\| \le L\|x^*-z\|\\
|
|
\implies &(1-L)\|x^*-z\| \le 0\\
|
|
\implies &x^*=z
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist $x^*$ eindeutig.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Differentialgleichungen: Grundbegriffe}
|
|
In diesem Paragraphen seien $I,J,\ldots$ immer Intervalle in $\MdR$.
|
|
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|
\begin{erinnerung}
|
|
Seien $p,k\in\MdN$. Eine Funktion $y=(y_1,\ldots,y_p):I\to\MdR^p$ heißt
|
|
$k$-mal (stetig) db, genau dann wenn $y_1,\ldots,y_p$ $k$-mal auf $I$ (stetig)
|
|
db sind.\\
|
|
In diesem Fall ist $y^{(j)}=(y_1^{(j)},\ldots,y_p^{(j)})\ (j=1,\ldots,k)$.
|
|
\end{erinnerung}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{gewöhnliche Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!gewöhnliche}
|
|
\index{Differentialgleichung!Lösung}\index{Lösung!einer Differentialgleichung}
|
|
Seien $n,p\in\MdN$, sei weiter
|
|
$D\subseteq\MdR\times\underbrace{\MdR^p\times\cdots\times\MdR^p}_{n+1 \text{ Faktoren}}$
|
|
und $F:D\to\MdR^p$ eine Funktion.\\
|
|
Eine Gleichung der Form:
|
|
\begin{align*}
|
|
F(x,y,\ldots,y^{(n)})=0 \tag{i}
|
|
\end{align*}
|
|
heißt eine \textbf{(gewöhnliche) Differentialgleichung} (Dgl) \textbf{$n$-ter Ordnung}.\\
|
|
Eine Funktion $y:I\to\MdR^p$ heißt eine \textbf{Lösung} (Lsg) von (i), genau dann wenn
|
|
$y$ auf $I$ $n$-mal db, für alle $x\in I, (x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))\in D$ ist und gilt:
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\[\forall x\in I: F(x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0\]
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item Sei $n=p=1$, $F(x,y,z)=z+\frac yx$ und $D=\Set{(x,y,z)\in\MdR^3 | x\ne 0}$, dann ist die
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zugehörige Dgl:
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\[y'+\frac yx =0\]
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Z.B. ist $y:(0,\infty)\to\MdR, y(x)=\frac1x$ eine Lösung der Dgl.\\
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Weitere Lösungen sind:
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\begin{align*}
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y:(0,1)\to\MdR,y(x):=0\\
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y:(-\infty,0)\to\MdR,y(x):=\frac3x
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\end{align*}
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\item Sei $n=1,p=2$ und folgende Dgl gegeben:
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\[y'=\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y_2\\y_1\end{pmatrix}\]
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Dann ist $y:\MdR\to\MdR^2, y(x):=(\cos x,\sin x)$ eine Lösung der Dgl.
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\end{beispiele}
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\begin{definition}
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|
\index{explizite Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!explizite}
|
|
Seien $n,p\in\MdN, D\subseteq \MdR\times\underbrace{\MdR^p\times\cdots\times\MdR^p}_{n \text{ Faktoren}}$
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und $f:D\to\MdR^p$.\\
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Eine Gleichung der Form:
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\begin{align*}
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y^{(n)}=f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})\tag{ii}
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\end{align*}
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heißt \textbf{explizite Differentialgleichung $n$-ter Ordnung}.\\
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(hier gilt: $F(x,y,\ldots,y^{(n)})=y^{(n)}-f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})$)
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\end{definition}
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\begin{definition}
|
|
\index{Anfangswertproblem}
|
|
\index{Anfangswertproblem!Lösung}\index{Lösung!eines Anfangswertproblems}
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|
\index{eindeutige Lösung}\index{Lösung!eindeutige}
|
|
Seien $p,n,D$ und $f$ wie oben. Weiter sei $(x_0,y_0,\ldots,y_{n-1})\in D$ fest.\\
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Dann heißt:
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\begin{align*}
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\begin{cases}y^{(n)}=f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})\\
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|
y(x_0)=y_0,\ldots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\end{cases}\tag{iii}
|
|
\end{align*}
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ein \textbf{Anfangswertproblem} (AwP).\\
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Eine Funktion $y:I\to\MdR^p$ heißt eine \textbf{Lösung} des AwP (iii), genau dann
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wenn $y$ eine Lösung von (ii) ist und gilt:
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\[y(x_0)=y_0,\ldots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\]
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Das AwP heißt \textbf{eindeutig lösbar}, genau dann wenn (iii) eine Lösung hat und
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für je zwei Lösungen $y:I\to\MdR^p,\tilde y:J\to\MdR^p$ von (iii) gilt:
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|
\[\forall x\in I\cap J:y(x)=\tilde y(x)\]
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|
(Beachte: $x_0\in I\cap J$)
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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\item Sei $n=p=1$ und das folgende AwP gegeben:
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\[\begin{cases}
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y'=2\sqrt{|y|}\\
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y(0)=0
|
|
\end{cases}\]
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Dann sind:
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\begin{align*}
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|
&y:\MdR\to\MdR, x\mapsto x^2\\
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|
&y:\MdR\to\MdR, x\mapsto 0
|
|
\end{align*}
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|
Lösungen des AwP.
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|
\item Sei $n=p=1$ und das folgende AwP gegeben:
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\[\begin{cases}
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|
y'=y\\
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|
y(0)=1
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|
\end{cases}\]
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|
Dann ist:
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\[y:\MdR\to\MdR, x\mapsto e^x\]
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eine Lösung des AwP. In §19 werden wir sehen, dass dieses AwP eindeutig lösbar ist.
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\end{beispiele}
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\chapter{Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung}
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In diesem Paragraphen sei $I\subseteq\MdR$ ein Intervall und $a,s:I\to\MdR$ \textbf{stetig}.
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Weiter sei $J\subseteq I$ ein Teilintervall von $I$.
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|
\begin{definition}
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|
\index{linear!Differentialgleichung (1. Ordnung)}\index{Differentialgleichung!lineare (1.Ordnung)}
|
|
\index{homogen!Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!homogene}
|
|
\index{inhomogen!Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!inhomogene}
|
|
\index{Störfunktion}
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|
Die Differentialgleichung
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\begin{align*}
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& y'=a(x)y+s(x)&\tag{$*$}
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|
\end{align*}
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heißt \textbf{lineare Differentialgleichung 1. Ordnung}. Sie heißt \textbf{homogen},
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falls $s\equiv 0$, anderenfalls heißt sie \textbf{inhomogen}. $s$ heißt \textbf{Störfunktion}.
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\end{definition}
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Wir betrachten zunächst die zu ($*$) gehörende \textbf{homogene Gleichung}:
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\begin{align*}
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&y'=a(x)y&\tag{H}
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\end{align*}
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Aus Ana I 23.14 folgt, dass $a$ auf $I$ eine Stammfunktion $A$ besitzt.
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\begin{satz}[Lösung einer homogenen linearen Dgl 1. Ordnung]
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Sei $y:J\to\MdR$ eine Funktion. $y$ ist genau dann eine Lsg von (H), wenn ein $c\in\MdR$
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existiert mit:
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\[y(x)=c\cdot e^{A(x)}\]
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item["`$\impliedby$"'] Es existiere ein $c\in\MdR$, sodass $y(x)=ce^{A(x)}$ für $x\in J$. Dann gilt:
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\[\forall x\in J: y'(x)=c\cdot e^{A(x)}\cdot A'(x)=a(x)\cdot c\cdot e^{A(x)}=a(x)y(x)\]
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|
\item["`$\implies$"'] Sei $g(x):=\frac{y(x)}{e^{A(x)}}$. Nachrechnen: $\forall x\in J:g'(x)=0$\\
|
|
Aus Ana I folgt, dass ein $c\in\MdR$ existiert, sodass für alle $x\in J$ gilt $g(x)=c$.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{beweis}
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|
\begin{satz}[Eindeutige Lösung eines Anfangswertproblems]
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Sei $x_0\in I,y_0\in\MdR$. Dann hat das
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\[\text{AwP}
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\begin{cases}
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|
y'=a(x)y\\
|
|
y(x_0)=y_0
|
|
\end{cases}\]
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|
auf $I$ genau eine Lösung.
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|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
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|
Sei $c\in\MdR,y(x)=c\cdot e^{A(x)}$ für alle $x\in I$. Dann folgt aus 19.1, dass
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|
$y$ eine Lösung von (H) ist. Außerdem gilt:
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|
\begin{align*}
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|
&y_0=y(x_0)\\
|
|
\iff &y_0=c\cdot e^{A(x_0)}\\
|
|
\iff &c=y_0\cdot e^{-A(x_0)}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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Sei das folgende AwP gegeben:
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\[\begin{cases}
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|
y'=\sin(x)y\\
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|
y(0)=1
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|
\end{cases}\]
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|
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung $y'=\sin(x)y$ ist für $c\in\MdR$:
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\[\importantbox{y(x)=c\cdot e^{-\cos(x)}}\]
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|
Außerdem gilt:
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\[1=y(0)=c\cdot e^{-\cos(0)}=\frac ce\]
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|
Also folgt $c=e$ und damit ist die Lösung des AwP $y(x)=e^{1-\cos(x)}$.
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\end{beispiel}
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\index{Variation der Konstanten}
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|
Nun betrachten wir die \textbf{inhomogene Gleichung}
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\begin{align*}
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|
y'=a(x)y+s(x)\tag{IH}
|
|
\end{align*}
|
|
Für eine spezielle Lösung $y_s$ von (IH) macht man den Ansatz $y_s(x)=c(x)\cdot e^{A(x)}$
|
|
mit einer (unbekannten) db Funktion $c$. Dies heißt \textbf{Variation der Konstanten}.\\
|
|
Mit diesem Ansatz gilt:
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|
\begin{align*}
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|
y_s'(x)&=c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot e^{A(x)}\cdot a(x)\\
|
|
&\stackrel{!}{=}a(x)y_s(x)+s(x)\\
|
|
&=a(x)c(x)\cdot e^{A(x)}+s(x)
|
|
\end{align*}
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|
Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:
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\begin{align*}
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|
&c'(x)\cdot e^{A(x)}=s(x)\\
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|
\iff &c'(x)=s(x)\cdot e^{-A(x)}\\
|
|
\iff &\importantbox{c(x)=\int s(x)\cdot e^{-A(x)}\text{ d}x}
|
|
\end{align*}
|
|
Ist also $c$ eine Stammfunktion von $s\cdot e^{-A}$, so ist $y_s(x):=c(x)\cdot e^{A(x)}$
|
|
eine Lösung von (IH). Insbesondere besitzt (IH) auf $I$ Lösungen.
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|
\begin{beispiel}
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Sei folgende inhomogene Gleichung gegeben:
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\begin{align*}
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y'=\sin(x)y+\sin(x)\tag{$*$}
|
|
\end{align*}
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|
Der Ansatz $y_s(x)=c(x)\cdot e^{-\cos(x)}$ für eine spezielle Lösung von ($*$) liefert wie oben:
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|
\[c(x)=\int \sin(x)\cdot e^{\cos(x)}\text{ d}x = -e^{\cos(x)}\]
|
|
Dann ist $y_s(x)=-e^{\cos(x)}\cdot e^{-\cos(x)}=-1$.
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|
\end{beispiel}
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\begin{definition}
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|
Definiere die Lösungsmengen:
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\begin{align*}
|
|
L_H &:=\Set{y:I\to\MdR | y\text{ ist eine Lösung von (H)} }\\
|
|
L_{IH}&:=\Set{y:I\to\MdR | y\text{ ist eine Lösung von (IH)}}
|
|
\end{align*}
|
|
16.1$\implies$ $L_H=\Set{c\cdot e^{A} | c\in \MdR}$. Bekannt: $L_{IH}\ne\emptyset$.
|
|
\end{definition}
|
|
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|
\begin{satz}[Lösungen]
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|
Sei $y_s\in L_{IH}, x_0\in I,y_0\in \MdR$.
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|
\begin{enumerate}
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\item $y\in L_{IH}\iff \exists y_h\in L_{H}: y=y_h+y_s$
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|
\item Das
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\[
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|
\text{AwP}
|
|
\begin{cases}
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|
y'=a(x)y+s(x)\\
|
|
y(x_0)=y_0
|
|
\end{cases}\]
|
|
hat auf $I$ genau eine Lösung
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|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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|
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|
\begin{beweis}
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|
Leichte Übung!
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\end{beweis}
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\begin{beispiele}
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\item ($I=\MdR$) Bestimme die allg. Lösung von
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\begin{align*}
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y'=2xy+x\tag{$*$}
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\end{align*}
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1. Bestimme die allg. Lösung der Gleichung $y'=2xy$: $y(x)=ce^{x^2} (c\in\MdR)$.\\
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|
2. Bestimme eine spezielle Lösung von $(*)$: $y_s(x)=ce^{x^2}$ mit $c(x)=\int xe^{-x^2}=-\frac 12 e^{-x^2}$
|
|
Also: $y_s(x)=-\frac12$\\
|
|
3. Die Allgemeine Lösung von $(*)$ lautet:
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|
\[y(x)=ce^{x^2}-\frac 12 \quad(c\in\MdR)\]
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|
\item Löse das AwP:
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\[\begin{cases}
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|
y'=2xy+x\\
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|
y(1)=-1
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|
\end{cases}\]
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|
Allg. Lösung der Dgl: $y(x)=ce^{x^2}-\frac 12$\\
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|
\[-1=y(1)=ce-\frac 12\implies c=-\frac 1{2e}\]
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|
Lösung des AwPs: $y(x)=-\frac1{2e}e^{x^2}-\frac 12$.
|
|
\end{beispiele}
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|
\chapter{Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen}
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|
In diesem §en seien $I,J\subseteq\MdR$ Intervalle, $f\in C(I),g\in C(J),x_0\in I$ und
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|
$y_0\in J$.
|
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|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Differentialgleichung!mit getrennten Veränderlichen}
|
|
\index{getrennte Veränderliche!Differentialgleichung mit}
|
|
Die Differentialgleichung:
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|
\begin{align*}
|
|
y'=f(x)g(y)\tag{i}
|
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\end{align*}
|
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heißt \textbf{Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen}.\\
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|
Wir betrachten auch noch das
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\begin{align*}
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|
\text{AwP}
|
|
\begin{cases}
|
|
y'=f(x)g(y)\\
|
|
y(x_0)=y_0
|
|
\end{cases}
|
|
\tag{ii}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Lösungen]
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Sei $y_0\in J^0$ (also ein innerer Punkt von $J$) \textbf{und} $g(y)\ne 0\ \forall y\in J$.\\
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|
Dann existiert ein Intervall $I_{x_0}$ mit $x_0\in I_{x_0}\subseteq I$ und:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Das AwP (ii) hat eine Lösung $y:I_{x_0}\to\MdR$.
|
|
\item Die Lösung aus (1) erhält man durch Auflösen der folgenden Gleichung nach $y(x)$.
|
|
\begin{align*}
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|
\importantbox{\int_{y_0}^{y(x)}\frac 1{g(t)}\text{ d}t=\int_{x_0}^x f(t)\text{ d}t\tag{$*$}}
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei $U\subseteq I$ ein Intervall und $u:U\to\MdR$ eine Lösung des AwPs (ii),
|
|
so ist $U\subseteq I_{x_0}$ und $u=y$ auf $U$ (wobei $y$ die Lösung aus (1) ist).\\
|
|
Insbesondere ist das AwP (ii) eindeutig lösbar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{beweis}
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|
Definiere $G\in C^1(J)$ und $F\in C^1(I)$ durch:
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|
\begin{align*}
|
|
&G(y):=\int_{y_0}^y \frac 1{g(t)}\text{ d}t &&F(x):=\int_{x_0}^x f(t)\text{ d}t
|
|
\end{align*}
|
|
Dann ist $G'=\frac 1g, F'=f$ und $F(x_0)=0=G(y_0)$.\\
|
|
Da für alle $y\in J$ gilt:
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\[G'(y)=\frac 1{g(y)}\ne 0\]
|
|
ist entweder $G'>0$ auf $J$ oder $G'<0$ auf $J$.\\
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|
Also existiert die Umkehrabbildung $G^{-1}:G(J)\to J$, $K:=G(J)$ ist ein Intervall und es gilt:
|
|
\begin{align*}
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|
y_0\in J^0&\implies 0=G(y_0)\in K^0\\
|
|
&\implies \exists \ep>0:(-\ep,\ep)\subseteq K
|
|
\end{align*}
|
|
Da $F$ stetig in $x_0$ ist, existiert ein $\delta>0$ mit:
|
|
\[|F(x)|=|F(x)-F(x_0)|<\ep \quad \forall x\in U_\delta(x_0)\cap I=:M_0\]
|
|
$M_0$ ist ein Intervall, $x_0\in M_0\subseteq I$ und $F(M_0)\subseteq K$. Sei
|
|
\[\mathfrak{M}:=\Set{M\subseteq I | M \text{ ist Intervall},x_0\in M,F(M)\subseteq K}\]
|
|
Da $M_0\in\mathfrak{M}$ ist, ist $\mathfrak{M}\ne\emptyset$. Sei
|
|
\[I_{x_0}:=\bigcup_{M\in\mathfrak{M}} M\]
|
|
dann ist $I_{x_0}\in\mathfrak{M}$. Definiere nun $y:I_{x_0}\to\MdR$ durch:
|
|
\[y(x):=G^{-1}(F(x))\]
|
|
so ist $y$ auf $I_{x_0}$ differenzierbar und es gilt:
|
|
\[y(x_0)=G^{-1}(F(x_0))=G^{-1}(0)=y_0\]
|
|
Weiter gilt:
|
|
\begin{align*}\forall x\in I: G(y(x))=F(x)\tag{+}\end{align*}
|
|
also gilt $(*)$.
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|
Differenzierung von (+) liefert:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\forall x\in I_{x_0}: G'(y(x)y'(x)=F'(x)\\
|
|
\implies &\forall x\in I_{x_0}: \frac 1{g(y(x))}y'(x)=f(x)\\
|
|
\implies &\forall x\in I_{x_0}: y'(x)=f(x)g(y(x))
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[(3)] Es ist $u'(t)=f(t)g(u(t))$ für alle $t\in U$ \textbf{und} $u(U)\subseteq J$.
|
|
Daraus folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
&f(t)=\frac{u'(t)}{g(u(t))}\\
|
|
\implies &F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\text{ d}t=\int_{x_0}^x \frac{u'(t)}{g(u(t))}\text{ d}t\\
|
|
&\stackrel{Subst.}{=}
|
|
\begin{cases}
|
|
s=u(t)\\
|
|
\text{ d}s= u'(t)\text{ d}t\\
|
|
t=x_0\implies s=u(x_0)=y_0
|
|
\end{cases}=\int_{y_0}^{u(x)}\frac 1{g(s)}\text{ d}s=G(u(x))
|
|
\end{align*}
|
|
Also: $\forall x\in U:F(x)=G(u(x))$. Somit gilt:
|
|
\[F(U)=G(u(U))\subseteq G(J)=K\]
|
|
D.h. $U\in\mathfrak{M}$ und daher ist: $U\subseteq I_{x_0}$.\\
|
|
Weiter gilt:
|
|
\[\forall x\in U: u(x)=G^{-1}(F(x))=y(x)\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\textbf{Für die Praxis: Trennung der Veränderlichen (TDV):}\\
|
|
\begin{align*}
|
|
&y'=f(x)g(y)\\
|
|
\to\ &\frac{\text{ d}y}{\text{ d}x}=f(x)g(y)\\
|
|
\to\ &\frac{\text{ d}y}{g(y)}=f(x)\text{ d}x\\
|
|
\to\ &\int{\frac{\text{ d}y}{g(y)}}=\int f(x)\text{ d}x+c\tag{iii}
|
|
\end{align*}
|
|
Die allgemeine Lösung von (i) erhält man durch Auflösen der Gleichung (iii) nach $y$.\\
|
|
Zur Lösung von (ii) passt man die Konstante $c$ der Anfangsbedingung $y(x_0)=y_0$ an.
|
|
|
|
\begin{beispiele}
|
|
\item Sei $y'=2xe^{-y}$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\frac{\text{ d}y}{\text{ d}x}=2xe^{-y}\\
|
|
\to\ &e^y\text{ d}y = 2x\text{ d}x\\
|
|
\to\ &\int e^y\text{ d}y=\int 2x\text{ d}x+c\\
|
|
\to\ & e^y=x^2+c\\
|
|
\to\ &y=\log(x^2+c)
|
|
\end{align*}
|
|
Ist z.B. $c=0$, so ist $y(x):=\log(x^2)$ eine Lösung auf $(0,\infty)$, oder
|
|
$y(x)=\log(x^2)$ ist eine auf $(-\infty,0)$.\\
|
|
$c=2: y(x)=\log(x^2+2)$ ist eine Lösung auf $\MdR$.\\
|
|
$c=-1: y(x)=\log(x^2-1)$ ist eine Lösung auf $(1,\infty)$.\\
|
|
Löse das
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|
\begin{align*}
|
|
\text{AwP}
|
|
\begin{cases}
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|
y'=2xe^{-y}\\
|
|
y(1)=1
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Allg. Lösung der Dgl:
|
|
\begin{align*}
|
|
&y(x)=\log(x^2+c)\\
|
|
\implies &1=y(1)=\log(1+c)\\
|
|
\implies &e=1+c \iff c=e-1
|
|
\end{align*}
|
|
$y(x)=\log(x^2+e-1)$ ist Lösung des AwPs auf $\MdR$.
|
|
\item $y'=\frac{x^2}{1-x}\cdot\frac{1+y}{y^2}$. Trennung der Veränderlichen:
|
|
\begin{align*}
|
|
&\frac{\text{ d}y}{\text{ d}x}=\frac{x^2}{1-x}\cdot\frac{1+y}{y^2}\\
|
|
\to\ &\frac{y^2}{y+1}\text{ d}y=\frac{x^2}{x-1}\text{ d}x\\
|
|
\to\ &\frac{y^2}2-y+\log(1+y)=\frac{x^2}2+x+\log(x-1)+c
|
|
\end{align*}
|
|
(Lösungen in impliziter Form)
|
|
\end{beispiele}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung}
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|
In diesem Paragraphen sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ und $f = (f_1, \ldots, f_n): D \to \MdR^n$. Für Punkte im $\MdR^{n+1}$ schreiben wir $(x,y)$, wobei $x \in \MdR$ und $y = (y_1,...,y_n) \in \MdR^n$.
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\begin{definition}
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\index{System von Differentialgleichungen}\index{Differentialgleichung!System von}
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\index{Anfangswertproblem}
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Ein \textbf{System von Differentialgleichungen 1. Ordnung} hat die Form:
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\begin{align*}
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\begin{cases}
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y_1'=f_1(x, y_1, \ldots, y_n)\\
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y_2'=f_2(x, y_1, \ldots, y_n)\\
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\quad\ \vdots\\
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y_n'=f_n(x, y_1, \ldots, y_n)
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\end{cases}
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\tag{i}
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\quad\text{oder kurz: } y'=f(x,y)
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\end{align*}
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Wir betrachten auch noch das
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\begin{align*}
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\text{AwP}
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\begin{cases}
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y'=f(x,y)\\
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y(x_0) = y_0\\
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\end{cases}
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\tag{ii}
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\quad\text{(wobei } (x_0, y_0) \in D)
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\end{align*}
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\end{definition}
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\begin{satz}[Integralgleichung zur Lösbarkeit eines Anfangswertproblems]
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Sei $I \subseteq \MdR$ ein Intervall, $D := I \times \MdR^n, x_o\in I, y_0\in \MdR^n$ und $f:D\to\MdR^n$ sei stetig. Für $y\in C(I,\MdR^n)$ gilt:
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\[\text{$y$ ist eine Lösung des AwP (ii)} \iff \forall x\in I:y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t)) \text{d}t \]
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In diesem Fall ist $y \in C^1(I, \MdR^n)$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item["`$\implies$"'] Es gilt: $y'(x) = f(x, y(x)) \forall x\in I$; da $y$ und $f$ stetig sind, folgt: $y' \in C(I,\MdR )$. Weiter:
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\[\int_{x_0}^x f(t,y(t)) \text{d}t = \int_{x_0}^x y'(t)\text{d}t = y(x) - y(x_0) = y(x) - y_0 \quad \forall x\in I.\]
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Bringt man $y_0$ auf die linke Seite, ergibt sich die Behauptung.
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\item["`$\impliedby$"'] Es gelte für alle $x\in I$:
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\[y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t\]
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Aus dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt: $y$ ist auf $I$ differenzierbar und
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\[ y'(x) = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t = f(x, y(x)) \quad \forall x \in I. \]
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Also erfüllt $y$ die Differentialgleichung.
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Klar: $y(x_0) = y_0$. Also löst $y$ das AwP.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{definition}
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\index{Lipschitz-Bedingung}
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\index{Lipschitz-Bedingung!lokale}\index{lokal!Lipschitz-Bedingung}
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Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion.
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\begin{enumerate}
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\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)}
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\[
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:\iff
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\exists L \ge 0:
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\forall (x,y), (x,\bar y ) \in D:
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|
\|f(x,y)-f(x,\bar y)\| \le L \|y-\bar y \|
|
|
\]
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|
\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{lokalen Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)}
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|
\[
|
|
:\iff
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|
\forall a \in D \exists \text{Umgebung } U_a:
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|
f_{|_{D \cap U}} \text{ genügt einer Lipschitz-Bedingung bzgl. } y
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|
\]
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\end{enumerate}
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|
\end{definition}
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\begin{satz}[Satz über die $\alpha$-Norm]
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Sei $I = [a,b] \subseteq \MdR, x_o \in I$ und für $y\in C(I, \MdR^n)$ sei $\|y\|_\infty := \max \{\|y(x)\| : x\in I \}$ wie in §17 (also ist $(C(I, \MdR^n), \|\cdot \|_\infty )$ ein Banachraum).
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Sei $\alpha > 0$ mit $\varphi_\alpha (x) := e^{-\alpha |x-x_0|}\ (x \in I)$.
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|
Für $y \in C(I, \MdR^n)$ sei $\|y\|_\alpha := \max \{\varphi_\alpha(x)\cdot \|y(x)\| : x\in I \}$.
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Dann:
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\begin{enumerate}
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\item $\|\cdot\|_\alpha$ ist eine Norm auf $C(I,\MdR^n)$.
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\item Seien $c_1 := \min \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \},\text{ } c_2 := \max \{ \varphi_\alpha(x) : x \in I \}$. Es gilt:
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\[c_1\|y\|_\infty \leq \|y\|_\alpha \leq c_2 \|y\|_\infty \quad \forall y \in C(I, \MdR^n)\]
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\item Sei $(g_k)$ eine Folge in $C(I,\MdR^n)$ und $g \in C(I, \MdR^n)$.
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\begin{enumerate}
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\item Es gilt:
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\begin{align*}
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\|g_k -g\|_\alpha \stackrel{k \to \infty}\to 0 &\iff \|g_k - g\|_\infty \stackrel{k \to \infty}\to 0\\
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&\iff (g_k)\text{ konvergiert auf $I$ gleichmäßig gegen $g$}
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\end{align*}
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\item $(g_k)$ ist eine Cauchy-Folge in $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\alpha)$, genau dann
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|
wenn $(g_k)$ eine Cauchy-Folge in $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\infty)$ ist.
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|
\item $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\alpha)$ ist ein Banachraum.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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(1), (2) \text{ Nachrechnen.}
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(3) \text{ (i) und (ii) folgen aus (2); (iii) folgt aus (i) und (ii).}
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\end{beweis}
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\textbf{Bezeichnung:} EuE = Existenz und Eindeutigkeit.
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\index{Existenz und Eindeutigkeit}
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\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version I)]
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Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$
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und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.\\
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\\
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Dann ist das
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\begin{align*}\text{AwP}
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\begin{cases}
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y'=f(x,y)\\
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y(x_0) = y_0\\
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\end{cases}
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\tag{ii}
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\end{align*}
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auf $I$ eindeutig lösbar.
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Ist $g_0 \in C(I, \MdR^n)$ und $(g_k)$ definiert durch
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\[ g_{k+1}(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t, g_k(t)) \text{d}t \quad (x \in I, k \geq 0), \]
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dann konvergiert $(g_k)$ auf $I$ gleichmäßig gegen die Lösung des AwPs (ii).\\
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|
$(g_n)$ heißt Folge der sukzessiven Approximationen.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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Da $f$ auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, gilt:
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\[\exists L > 0: \|f(x,y) - f(x, \bar y )\| \leq L \|y- \bar y \| \quad \forall(x,y), (x, \bar y ) \in D.\]
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|
Es sei $\alpha := 2L$; $\varphi_\alpha$ und $\|\cdot\|_\alpha$ seien wie in 21.2, $X := C(I, \MdR^n)$. Definiere $F: X \to X$ durch
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\[(F(y))(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t\]
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Für $y \in X$ gilt dann:
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\begin{align*}
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y \text{ ist Lösung des AwP} &\iff F(y) = y\\
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F(y) = y &\iff y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\text{d}t \quad \forall x \in I \\
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&\stackrel{21.1}\iff y \text{ löst das AwP (ii)}
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\end{align*}
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Wir zeigen: $\|F(y)-F(z)\|_\alpha \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \quad \forall y,z \in X$. \textbf{Alle} Behauptungen folgen dann aus 17.2.
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Seien $y,z \in X, x \in I$. Dann ist
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\begin{align*}
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\|(F(y))(x) - (F(z))(x)\|&= \left\|\int_{x_0}^x (f(t, y(t)) - f(t, z(t)))\text{ d}t \right\|\\
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|
&\stackrel{12.4}\le \left| \int_{x_0}^x \|f(t, y(t)) - f(t,z(t))\| \text{ d}t \right|\\
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&\le \left| \int_{x_0}^x L \|y(t)-z(t)\| \text{ d}t \right|\\
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|
&= L \left| \int_{x_0}^x \|y(t)-z(t)\| \text{ d}t \right| \displaybreak[0]\\
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|
&= L \left| \int_{x_0}^x \|y(t)-z(t)\| \varphi_\alpha (t) \cdot \frac1{\varphi_\alpha(t)}\text{ d}t \right| \displaybreak[0]\\
|
|
&\le L \left| \int_{x_0}^x \|y-z\|_\alpha \cdot \frac1{\varphi_\alpha(t)}\text{ d}t \right| \displaybreak[0]\\
|
|
&\le L \|y-z\|_\alpha \left| \int_{x_0}^x \frac1{\varphi_\alpha(t) }\text{ d}t\right|\\
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|
&= \frac{L}{\alpha} \|y-z\|_\alpha \left(\frac1{\varphi_\alpha(x)} -1 \right)\\
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&\le \frac12 \|y-z\|_\alpha \frac{1}{\varphi_\alpha(x)}
|
|
\end{align*}
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|
Also gilt:
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\begin{align*}
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&\|(F(y))(x) - (F(z))(x)\| \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \frac{1}{\varphi_\alpha(x)} \quad \forall x \in I\\
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\implies &\varphi_\alpha(x) \|(F(y))(x) - (F(z))(x)\| \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha \quad \forall x \in I
|
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\end{align*}
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Fazit: $\|F(y)-F(z)\|_\alpha \leq \frac12 \|y-z\|_\alpha$.
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\end{beweis}
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\textbf{Frage: } Warum haben wir in obigem Beweis nicht die $\|\cdot \|_\infty$-Norm benutzt?
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\begin{align*}
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\|(F(y))(x) -(F(z))(x)\| &\stackrel{\text{wie oben}}\leq L \left| \int_{x_0}^x \|y(t)-z(t)\| dt \right| \\
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&\leq L \left| \int_{x_0}^x \|y-z\|_\infty dt \right| \\
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&\leq L \|y-z\|_\infty \left| \int_{x_0}^x 1 \text{d}t \right|\\
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&= L \|y-z\|_\infty |x-x_0|\\
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&\leq L(b-a) \|y-z\|_\infty \quad \forall x \in I
|
|
\end{align*}
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|
Dann: $\|F(y)-F(z)\|_\infty \leq L(b-a)\|y-z\|_\infty$
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I.A. wird $L(b-a)$ \textbf{nicht} kleiner 1 sein!
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\begin{beispiel}[zu 21.3]
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Zeige, dass das
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\begin{align*}
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\text{AwP}
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\begin{cases}
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y' = 2x(1+y)\\
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y(0) = 0
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\end{cases} \end{align*}
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\textbf{auf $\mathbb{R}$} genau eine Lösung hat.\\
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Sei $a > 0$ und $I := [-a, a]; f(x,y) = 2x(1+y).$ Dann gilt $\forall x \in I, \forall y, \bar y \in \mathbb{R}:$
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\begin{align*}
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|f(x,y)-f(x, \bar y )|&= |2xy-2x\bar y | \\
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&= 2|x||y-\bar y | \\
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&\leq 2a|y-\bar y |.
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|
\end{align*}
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Aus 21.3 folgt dann: das Anfangswertproblem hat auf $I$ genau eine Lösung $y: [-a, a] \to \mathbb{R}$.
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Setze nun $g_0(x) :=0$ und $(g_k)$ sei definiert wie in 21.3.
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|
Induktiv sieht man (Übung!):
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\[g_k(x) = x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots + \frac{x^{2k}}{k!} \]
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|
Aus 21.3 folgt: $(g_k)$ konvergiert auf $I$ gleichmäßig gegen $y$.\\
|
|
Aus Analysis I folgt: $(g_k)$ konvergiert auf $I$ gleichmäßig gegen $e^{x^2} - 1$.\\
|
|
Also: Lösung des AwPs auf $[-a,a]$: $y(x) = e^{x^2} -1$.\\
|
|
Es war $a > 0$ beliebig, also ist $y(x) = e^{x^2} -1$ \textbf{die} Lösung des AwPs \textbf{auf $\mathbb{R}$}.
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\end{beispiel}
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\textbf{Ohne} Beweis:
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\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version II)]
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|
Sei $I=[a,b] \subseteq \MdR, x_0 \in I, y_0 \in \MdR^n, s > 0$, es sei
|
|
\[D := \Set{(x,y)\in\MdR^{n+1} | x \in I, \|y-y_0\| \leq s}\]
|
|
und $f \in C(D,\MdR^n)$. Weiter sei
|
|
\[M := \max\{\|f(x,y)\| : (x,y) \in D \} > 0\]
|
|
und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.
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|
Außerdem sei
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\[J := I \cap \left [x_0 - \frac{s}{M}, x_0 + \frac{s}{M} \right ]\]
|
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Dann hat das
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\begin{align*}
|
|
\text{AwP}
|
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\begin{cases}
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y' = f(x,y)\\
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|
y(x_0) = y_0
|
|
\end{cases}
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\label{(ii)}
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\end{align*}
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auf \(J\) genau eine Lösung.
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|
\end{satz}
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\textbf{Ohne} Beweis:
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\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version III)]
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Es sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ \textbf{offen}, $(x_0, y_0) \in D, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer \textbf{lokalen} Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.
|
|
|
|
Dann hat das
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{AwP}
|
|
\begin{cases}
|
|
y' = f(x,y)\\
|
|
y(x_0) = y_0
|
|
\end{cases}
|
|
\label{(ii)}
|
|
\end{align*}
|
|
genau eine Lösung.
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\\
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|
\\
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|
(Nochmals, das heißt: Das AwP (ii) hat eine Lösung $y: J \to \MdR^n\quad(J \subseteq \MdR$
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|
Intervall) und für je zwei Lösungen $\hat y : \hat J \to \MdR, \tilde y : \tilde J \to \MdR$
|
|
von (ii) gilt: $\hat y = \tilde y$ auf $\hat J \cap \tilde J \quad (\hat J, \tilde J \text{ Intervalle in } \MdR$))
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Fortsetzbarkeit}
|
|
Sei $y: J \to \MdR^n$ ($J \subseteq \MdR$ ein Intervall) eine Lösung des AwPs (ii).\\
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|
\(y\) heißt \textbf{nicht fortsetzbar}, genau dann wenn aus $\hat y : \hat J \to \MdR^n
|
|
(\hat J$ ein Intervall in $\MdR$) ist Lösung von (ii) stets folgt, dass $\hat J \subseteq J$
|
|
und auf $\hat J$ $\hat y = y$ ist.
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|
\end{definition}
|
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|
\begin{satz}[Eindeutigkeit einer nicht fortsetzbaren Lösung]
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|
Es seien $D, (x_0, y_0)$ und $f$ wie in 21.5. Dann besitzt das AwP (ii) eine eindeutig bestimmte, nicht fortsetzbare Lösung.
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|
\end{satz}
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|
\begin{beweis}
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|
Es sei
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\[\mathfrak{M} := \{ (y,I_y) : I_y \subseteq \MdR \text{ Intervall, }
|
|
x_0 \in I_y, y: I_y \to \MdR^n \text{ ist Lösung von (ii)} \}\]
|
|
Aus 21.5 folgt, dass $\mathfrak{M} \ne \emptyset$ ist und für
|
|
$(y_1, I_{y_1}), (y_2, I_{y_2}) \in \mathfrak{M}$ gilt: $y_1 = y_2$ auf
|
|
$I_{y_1} \cap I_{y_2}$.
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|
\begin{align*}
|
|
I := \bigcup_{(y, I_y) \in \mathfrak{M}} I_y
|
|
\end{align*}
|
|
ist ein Intervall. Definiere $y: I \to \MdR^n$ wie folgt: zu $x \in I$ existiert
|
|
ein $(y_1, I_{y_1}) \in \mathfrak{M}$, sodass für $x \in I_{y_1}$ gilt: $y(x) := y_1(x)$.
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|
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|
\textbf{Übung:} $y: I \to \MdR^n$ leistet das Gewünschte.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\chapter{Lineare Systeme}
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|
In diesem Paragraphen sei $I\subseteq\mdr$ ein Intervall, $x_0\in I, y_0\in\mdr^n,
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|
D:=I\times\mdr^n,b:I\to\mdr^n$ stetig und $A:I\to\mdr^{n\times n}$ ebenfalls stetig
|
|
(d.h. für $A(x)=(a_{jk}(x))$ sind alle $a_{jk}:I\to\mdr$ stetig).\\
|
|
Hier ist für alle $x\in I$ und $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\mdr^n$:
|
|
\[f(x,y):=A(x)y+b(x)\]
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{linear!System von Differentialgleichungen}
|
|
\index{System von Differentialgleichungen!lineares}
|
|
\index{homogen!System von Differentialgleichungen}
|
|
\index{System von Differentialgleichungen!homogenes}
|
|
\index{inhomogen!System von Differentialgleichungen}
|
|
\index{System von Differentialgleichungen!inhomogenes}
|
|
\index{Anfangswertproblem}
|
|
Das System von Differentialgleichungen:
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|
\begin{align*}
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y'=A(x)y+b(x)\tag{S}
|
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\end{align*}
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heißt ein \textbf{lineares System}. (Fall $n=1$ siehe §19.)\\
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|
Ist $b\equiv 0$, so heißt (S) \textbf{homogen}, anderenfalls \textbf{inhomogen}.\\
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|
Neben (S) betrachten wir auch noch das zu (S) gehörige \textbf{homogene System}
|
|
\begin{align*}
|
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y'=A(x)y\tag{H}
|
|
\end{align*}
|
|
und das
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\begin{align*}
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\text{AwP}
|
|
\tag{A}
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\begin{cases}
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y'=A(x)y+b(x)\\
|
|
y(x_0)=y_0
|
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\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{satz}[Lösungen]
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|
\begin{enumerate}
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\item (A) hat auf $I$ genau eine Lösung.
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|
\item Das System (S) hat Lösungen auf $I$.
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\item Ist $J\subseteq I$ ein Intervall und $\hat y:J\to\mdr^n$ eine Lösung von (S),
|
|
so gibt es eine Lösung $y:I\to\mdr^n$ von (S) mit $\hat y=y$ auf $J$.
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|
\item Sei $y_s:I\to\mdr^n$ eine spezielle Lösung von (S), dann ist $y:I\to\mdr^n$ genau dann eine
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|
Lösung von (S) auf $I$, wenn eine Lösung $y_h:I\to\mdr^n$ von (H) existiert mit:
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\[y=y_h+y_s\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
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\begin{wichtigebemerkung}
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|
Wegen 22.1(3) gehen wir immer davon aus, dass Lösungen von (S) auf ganz $I$ definiert sind.
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|
\end{wichtigebemerkung}
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|
\begin{beweise}
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\item \textbf{Fall 1:} $I=[a,b]$\\
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Es ist $f(x,y)=A(x)y+b(x)$. Sei $L:=\max\{\|A(x)\|:x\in I\}$. Für alle $(x,y),(x,\overline y)\in D$ gilt:
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\begin{align*}
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\|f(x,y)-f(x,\overline y) \| &=\|A(x)(y-\overline y)\|\\
|
|
&\stackrel{\text{§1}}{\le} \|A(x)\|\cdot\|y-\overline y\|\\
|
|
&\le L\|y-\overline y\|
|
|
\end{align*}
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|
Die Behauptung folgt aus 21.3.
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|
|
\textbf{Fall 2:} $I$ beliebig.\\
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|
Sei $\mathfrak{M}:=\Set{K\subseteq I | K\text{ ist kompaktes Intervall, } x_0\in K}$.
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|
Dann ist $I=\bigcup_{K\in\mathfrak{M}} K$.\\
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|
Ist $x\in I$, so existiert ein $K\in\mathfrak{M}$ mit $x\in K$. Nach Fall 1. hat das
|
|
AwP auf $K$ genau eine Lösung $y_K:K\to\mdr^n$. Definiere nun $y:I\to\mdr^n$ wie folgt:
|
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\begin{align}
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y(x):=y_K(x)\tag{$*$}
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\end{align}
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Sei $\tilde K\in\mathfrak{M}$ mit $x\in\tilde K$ und sei $y_{\tilde K}$ die eindeutig
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bestimmte Lösung von (A) auf $\tilde K$. Dann ist $y_K=y_{\tilde K}$ auf $K\cap\tilde K$, also:
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\[y_K(x)=y_{\tilde K}(x)\]
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D.h. $y$ ist durch ($*$) wohldefiniert.\\
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\textbf{Leichte Übung}: $y$ ist auf $I$ db und löst das AwP auf $I$.\\
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Sei $\tilde y:I\to\mdr^n$ eine weitere Lösung von (A) auf $I$ und sei $x\in I$.
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Dann existiert ein $K\in\mathfrak{M}$ mit $x\in K$ und nach Definition gilt $y(x)=y_K(x)$.
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Da $\tilde y_K$ eine Lösung des AwPs (A) auf $K$ ist, gilt nach Fall 1.: $\tilde y\mid_K=y_K$
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Dann gilt also:
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\[\tilde y(x)=\tilde y\mid_K(x)=y_K(x)=y(x)\]
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\item Folgt aus (1).
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\item Sei $\xi \in J,\eta:=\hat y(\xi)$. Dann ist $\hat y$ eine Lösung auf $J$ des AwPs
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\begin{align*}
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\tag{+}
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\begin{cases}
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y'=A(x)+b(x)\\
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y(\xi)=\eta
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\end{cases}
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\end{align*}
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Aus (1) folgt, dass das AwP auf $I$ eine eindeutig bestimmte Lösung $y:I\to\mdr^n$ hat. Sei $x\in J$.\\
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\textbf{Fall $x=\xi$}:\\
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In diesem Fall gilt:
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\[\hat y(x)=\hat y(\xi)=\eta=y(\xi)=y(x)\]
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\textbf{Fall $x>\xi$}:\\
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Sei $K:=[\xi,x]$. Da $\hat y$ und $y$ Lösungen des AwPs (+) auf $[\xi,x]$ sind folgt aus
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(1), dass $y=\hat y$ auf $K$, also:
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\[\hat y(x)=y(x)\]
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\textbf{Fall $x<\xi$}:\\
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Sei $K:=[x,\xi]$. Da $\hat y$ und $y$ Lösungen des AwPs (+) auf $[x,\xi]$ sind folgt aus
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|
(1), dass $y=\hat y$ auf $K$, also:
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\[\hat y(x)=y(x)\]
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\item Leichte Übung!
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\end{beweise}
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\begin{definition}
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Setze $\mathbb{L} := \{ y: I\to \MdR^n : y $ ist eine Lösung von (H) auf $I$ $\}$\\
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($y \equiv 0$ liegt in $\mathbb{L}$)
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\end{definition}
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\begin{satz}[Lösungsmenge als Vektorraum]
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\begin{enumerate}
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\item Sind $y^{(1)}, y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha \in \MdR$, so
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sind $y^{(1)} + y^{(2)} \in \mathbb{L}$ und $\alpha y^{(1)} \in \mathbb
|
|
{L}$. $\mathbb{L}$ ist also ein reeller Vektorraum.
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\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(k)} \in \mathbb{L}$. Dann sind
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äquivalent:
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\begin{enumerate}
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\item $y^{(1)}, ... , y^{(k)}$ sind in $\mathbb{L}$ linear unabhängig.
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\item $\forall x \in I$ sind $y^{(1)}(x), ..., y^{(k)}(x)$ linear
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unabhängig im $\MdR^n$.
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\item $\exists \xi \in I: y^{(1)}(\xi ), ..., y^{(k)}(\xi )
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|
$ sind linear unabhängig im $\MdR^n$.
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\end{enumerate}
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\item $\dim \mathbb{L} = n$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Nachrechnen
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\item Der Beweis erfolgt durch Ringschluss:
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\begin{enumerate}
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\item[(i)$\implies$ (ii)] Sei $x_1 \in I$. Seien $\alpha_1, ...,
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\alpha_k \in \MdR$ und
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\begin{align*}
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0 &= \alpha_1 y^{(1)}(x_1) + \cdots + \alpha_k y^ {(k)}(x_1)\\
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|
\tilde y :&= \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)}
|
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\end{align*}
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Aus (1) folgt: $\tilde y \in \mathbb{L}$. Weiter ist $\tilde y$ eine
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Lösung des AwPs
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\begin{align*} \begin{cases}
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y' = A(x) y\\
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y(x_1) = 0
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\end{cases} \end{align*}
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Da $y \equiv 0$ dieses AwP ebenfalls löst und aus 22.1 folgt, dass das AwP
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eindeutig lösbar ist, muss gelten:
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\[0 = \tilde y = \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)}\]
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Aus der Voraussetzung folgt dann:
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\[\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0\]
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Also sind $y^{(1)}(x_1), ..., y^{(k)} (x_1)$ sind linear unabhängig im $\MdR^n$.
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\item[(ii) $\implies$ (iii)] Klar \checkmark
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\item[(iii) $\implies$ (i)]Seien $\alpha_1, ..., \alpha_k \in \MdR$
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und $0 = \alpha_1 y^{(1)} + \cdots + \alpha_k y^{(k)}$, dann folgt:
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\[0 = \alpha_1 y^{(1)}(\xi ) + \cdots + \alpha_k y^{(k)}(\xi )\]
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|
Aus der Voraussetzung folgt dann: $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$
|
|
Also sind $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$.
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\end{enumerate}
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\item Aus (2) folgt, dass $\dim \mathbb{L} \le n$ ist.
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Für $j = 1,..., n$ sei $y^{(j)}$ die eindeutig bestimmte Lösung des
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AwPs
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\begin{align*}
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\begin{cases}
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y' = A(x) y\\
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y(x_0) = e_j
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\end{cases}
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(e_j = \text{ j-ter Einheitsvektor im }\MdR^n).
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\end{align*}
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Dann sind $y^{(1)}(x_0), ..., y^{(n)}(x_0)$ linear unabhängig im $
|
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\MdR^n$. Aus (2) folgt, dass $y^{(1)}, ..., y^{(k)}$ linear unabhängig
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|
in $\mathbb{L}$ sind, also ist $\dim \mathbb{L} \ge n$.
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|
\end{beweise}
|
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\begin{definition}
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|
\index{Differenzierbarkeit!einer $n \times n$-Matrix}
|
|
Sei $B : I \to \MdR^{n \times n}, B(x) = \left( b_{jk}(x) \right)$ für alle $x\in I$.\\
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$B$ heißt \textbf{differenzierbar} auf $I$, genau dann wenn $b_{jk} : I \to \MdR$
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auf $I$ differenzierbar sind ($j,k = 1,\ldots, n$).\\
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|
In diesem Fall ist
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\[B'(x) := (b'_{jk}(x)) \quad (x\in I)\]
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{Lösungs-!System}\index{Lösungs-!Matrix}\index{Wronskideterminante}
|
|
\index{Fundamental-!Matrix}\index{Fundamental-!System}
|
|
\begin{enumerate}
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\item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(n)} \in \mathbb{L}$. $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$
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heißt ein \textbf{Lösungssystem} (LS) von (H).
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\[Y(x) := (y^{(1)}(x), ..., y^{(n)}(x))\]
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|
(j-te Spalte von $Y$ = $y^{(j)}$) heißt \textbf{Lösungsmatrix} (LM) von (H).
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\[W(x) := \det Y(x)\]
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heißt \textbf{Wronskideterminante}.
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\item Sei $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein Lösungssystem von (H). Sind
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$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, so heißt
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$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) und
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$Y = (y^{(1)}, ..., y^{(n)})$ eine \textbf{Fundamentalmatrix} (FM).
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\item Ist $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein FS von (H), so lautet die allgemeine Lösung von (H):
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\[y(x) = c_1 y^{(1)}(x) + \cdots + c_n y^{(n)} (x) \quad (c_1, ..., c_n \in \MdR)\]
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|
\end{enumerate}
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|
\end{definition}
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\begin{satz}[Zusammenhang FS, FM und Wronskideterminante]
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$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ sei ein LS von (H). $Y$ und $W$ seien definiert wie oben. Dann:\begin{enumerate}
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\item $Y'(x) = A(x)Y(x) \quad \forall x \in I$.
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|
\item $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ist ein Fundamentalsystem von (H)\\ $\iff Y(x) \text{ invertierbar } \forall x \in I$ \\ $\iff \exists \xi \in I: Y(\xi )$ ist invertierbar \\ $\iff \forall x \in I: W(x) \neq 0$ \\ $\iff \exists \xi \in I: W(\xi ) \neq 0$.
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|
\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{beweise}
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\item Nachrechnen
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\item folgt aus 22.3.
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\end{beweise}
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|
\textbf{Spezialfall:} $n=2$. $A(x) = \begin{pmatrix} a_1(x) & -a_2(x) \\ a_2(x) & a_1(x) \end{pmatrix}$; $a_1, a_2 : I \to \MdR$ stetig. Sei $y^{(1)} = (y_1, y_2)$ eine Lösung von
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|
\begin{align*}
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|
\tag{$*$} y' = A(x) y
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|
\end{align*}
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auf $I$ und $y^{(1)} \not\equiv 0$. Das heißt:
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\begin{align*}
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\begin{cases}
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|
y_1' = a_1(x) y_1 - a_2(x) y_2 \\
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|
y_2' = a_2(x) y_1 + a_1(x) y_2
|
|
\end{cases}.
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|
\end{align*}
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|
Setze $y^{(2)} := (-y_2, y_1)$. Dann ist:
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\begin{align*}
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|
A(x) y^{(2)} = \begin{pmatrix} -a_1(x) y_2 - a_2(x) y_1 \\ -a_2(x) y_2 + a_1(x) y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y_2' \\ y_1' \end{pmatrix} = \left( y^{(2)} \right)'
|
|
\end{align*}
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|
Das heißt: $y^{(2)}$ löst ebenfalls ($*$) auf $I$, oder: $y^{(1)}, y^{(2)}$ ist ein Lösungssystem von ($*$).
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\begin{align*}
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|
Y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) & -y_2(x) \\ y_2(x) & y_1(x) \end{pmatrix}, W(x) = \det Y(x) = y_1(x)^2 + y_2(x)^2 \neq 0
|
|
\end{align*}
|
|
Mit 22.4 folgt: $y^{(1)}, y^{(2)}$ ist ein Fundamentalsystem von ($*$).
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|
\begin{beispiel} ($n=2$), $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$;
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\begin{align*}
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\tag{$*$} y' = Ay
|
|
\end{align*}
|
|
und $y = (y_1, y_2)$. Also: $\begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y_2 \\ y_1 \end{pmatrix}$.
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|
$y^{(1)}(x) := \begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix}$ ist eine Lösung von ($*$) auf $\MdR$.
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|
$y^{(2)}(x) := \begin{pmatrix} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix}$ ist eine weitere Lösung von ($*$) auf $\MdR$.
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|
$y^{(1)}, y^{(2)}$ ist ein Fundamentalsystem von ($*$).
|
|
Allgemeine Lösung von ($*$): $y(x) = \begin{pmatrix} c_1 \cos(x) - c_2 \sin(x) \\ c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) \end{pmatrix}\quad (c_1, c_2 \in \MdR)$.
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|
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\end{beispiel}
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\textbf{Ohne} Beweis:
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\begin{satz}[Spezielle Lösung]
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Sei $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein Fundamentalsystem von (H), $Y(x)$ sei definiert wie oben. Setze
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\begin{align*}
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\importantbox{y_s(x) := Y(x) \int Y(x)^{-1} b(x) \text{d}x \quad (x \in I).}
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\end{align*}
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|
Dann ist $y_s$ eine spezielle Lösung von (S) auf $I$.
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\begin{align*}
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|
W_k(x) := \det \left( y^{(1)}(x), ..., y^{(k-1)}(x), b(x), y^{(k+1)}(x), ..., y^{(n)}(x) \right)\quad (k=1,...,n)
|
|
\end{align*}
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|
Dann gilt: $y_s(x) = \sum_{k=1}^n \left( \int \frac{W_k(x)}{W(x)} \text{d}x\right) y^{(k)}(x)$.
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\end{satz}
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\begin{beispiel}
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Bestimme die allgemeine Lösung von
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\begin{align*}
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\tag{+}
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y' = Ay + \begin{pmatrix} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix},
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|
\end{align*}
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wobei
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\begin{align*}
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A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
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\end{align*}
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Bekannt: Fundamentalsystem der homogenen Gleichung $y' = Ay$:
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\begin{align*}
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|
y^{(1)}(x) = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix}, y^{(2)}(x) = \begin{pmatrix} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix}.
|
|
\end{align*}
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|
\begin{align*}
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|
&W(x) = \left| \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right| = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1. \\
|
|
&W_1(x) = \left| \begin{array}{cc} -\sin(x) & -\sin(x) \\ \cos(x) & \cos(x) \end{array} \right| = 0. \\
|
|
&W_2(x) = \left| \begin{array}{cc} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{array} \right| = 1. \\
|
|
&y_s(x) := \left( \int 1 \text{d}x \right) y^{(2)}(x) = xy^{(2)}(x) = \begin{pmatrix} -x \sin(x) \\ x \cos(x) \end{pmatrix} \text{ ist eine spezielle Lösung von (+).}
|
|
\end{align*}
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|
Allgemeine Lösung von (+):
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\begin{align*}
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y(x) &= \underbrace{c_1 \begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix}}_{\text{allg. Lsg. der hom. Glg.}} + \underbrace{\begin{pmatrix} -x \sin(x) \\ x \cos(x) \end{pmatrix}}_{\text{spez. Lsg.}} \\
|
|
&= \begin{pmatrix} c_1 \cos(x) - c_2 \sin(x) - x \sin(x) \\ c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) + x \cos(x) \end{pmatrix}\quad(c_1, c_2 \in \MdR)
|
|
\end{align*}
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|
Löse das
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$\text{AwP}
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\begin{cases}
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y' = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}y + \begin{pmatrix} -\sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix} \\
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|
y(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
|
|
\end{cases}$. \\
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Es gilt:
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\begin{align*}
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\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} = y(0) = \begin{pmatrix} c_1 \cos(0) - c_2 \sin(0) - 0\cdot\sin(0) \\ c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) + 0\cdot\cos(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1 \\ c_2\end{pmatrix}.
|
|
\end{align*}
|
|
Also: $c_1 = c_2 = 0$, d.h.: \textbf{die} Lösung des AwP ist: $y(x) = \begin{pmatrix} -x \sin(x) \\ x \cos(x) \end{pmatrix}$.
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|
\end{beispiel}
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|
\chapter{Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten}
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In diesem Paragraphen sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine
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konstante Matrix. \\
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Wir betrachten das homogene System
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\begin{align*}
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\tag H y'=Ay
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\end{align*}
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\textbf{Ohne} Beweise geben wir ein "`Kochrezept"' an, wie man zu einem Fundamentalsystem von (H) kommt.
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\textbf{Vorbereitungen}:
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\index{charakteristisches Polynom}\index{Polynom!charakteristisches}
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\begin{enumerate}
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\item Es sei stets $p(\lambda) := \det(A - \lambda I)$ das \textbf{charakteristische Polynom}
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von $A$ ($I$ = Einheitsmatrix). \\
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|
Sei $\lambda_0 \in \MdC$ ein Eigenwert (EW) von $A$, dann
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ist $p(\lambda_0) = 0$. Die Koeffizienten von $p$ sind reell, also ist $p(\overline{\lambda_0}) = 0$
|
|
und damit $\overline{\lambda_0}$ ein Eigenwert von $A$.
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|
\item Für $\lambda_0 \in \mdc$ gilt:
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\[\kernn(A-\lambda_0 I) \subseteq \kernn((A-\lambda_0 I)^2) \subseteq \kernn((A-\lambda_0 I)^3) \subseteq \ldots\]
|
|
\end{enumerate}
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|
\textbf{Kochrezept}:
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r (r \le n)$
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von $A$ und deren algebraische Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also:
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\[p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{k_1} (\lambda - \lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{k_r}\]
|
|
Ordne diese Eigenwerte wie folgt an: $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mdr, \lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r \in \mdc \setminus \mdr$.\\
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|
Aus der Liste $\lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r$ entferne jedes $\lambda_j$ mit
|
|
$\Im(\lambda_j) < 0$. Es bleibt:
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\[M := \{\lambda_1, \ldots, \lambda_m\} \cup \{\lambda_j : m + 1 \le j \le r, \Im(\lambda_j) > 0 \}\]
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|
\item Zu $\lambda_j \in M$ bestimme eine Basis von $V_j := $ Kern$((A-\lambda_j I)^{k_j})$
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wie folgt: Bestimme eine Basis von Kern$(A-\lambda_j I)$, ergänze diese Basis zu
|
|
einer Basis von Kern$((A-\lambda_j I)^2)$, usw.
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|
\item Sei $\lambda_j \in M$ und $v$ ein Basisvektor von $V_j$. \\
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\[y(x) := e^{\lambda_j x} (v+\frac{x}{1!} (A-\lambda_j I)v + \frac{x^2}{2!} (A-\lambda_j I)^2 v + \cdots + \frac{x^{k_j - 1}}{ (k_j - 1)! } (A - \lambda_j I)^{k_j - 1} v )\]
|
|
Oder kürzer:
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\[\importantbox{y(x) := e^{\lambda_j x} \cdot \left ( \sum_{i=0}^{k_j-1} \frac{x^i}{i!} (A - \lambda_j I)^i \cdot v \right )}\]
|
|
\textbf{Fall 1}: $\lambda_j \in \mdr$.\\
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|
Dann ist $y(x) \in \mdr^n \; \forall x \in \mdr$ und y ist eine Lösung von (H). \\
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|
\textbf{Fall 2}: $\lambda_j \in \mdc \setminus \mdr$.\\
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|
Zerlege $y$ komponentenweise in Real- und Imaginärteil:
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\[y(x) := y^{(1)}(x) + i y^{(2)}(x)\]
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|
mit $y^{(1)}(x),y^{(2)}(x)\in\mdr^n$. Dann sind $y^{(1)}, y^{(2)}$ linear unabhängige Lösungen von (H).
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|
\item Führt man (3) für \textbf{jedes} $\lambda_j \in M$ und \textbf{jeden} Basisvektor von $V_j$ durch, so erhält man ein Fundamentalsystem von (H).
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|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\index{linear!Hülle}\index{Hülle!lineare}
|
|
$ [\ldots] $ bezeichne die \textbf{lineare Hülle}.
|
|
\end{definition}
|
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|
|
\textbf{Beispiele}:
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\begin{enumerate}
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|
\item Bestimme ein Fundamentalsystem der Gleichung:
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\begin{align*}
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\tag{$\ast $} y' = Ay
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\end{align*}
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|
mit
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\[A:=\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]
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Es gilt:
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\[p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = (\lambda - (1 + 2i))(\lambda-(1-2i))\]
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\begin{align*}
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\lambda_1 &= 1 + 2i &\lambda_2 &= 1-2i\\
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|
k_1 &= 1 &k_2&=1\\
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|
\end{align*}
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|
Also ist $M := \{\lambda_1\}$. Aus $\kernn(A-\lambda_1 I) = \left[ \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} \right]$
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|
folgt:
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\begin{align*}
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y(x) &= e^{(1+2i)x} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} \\
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&= e^x (\cos(2x) + i \sin(2x)) \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix}\\
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|
&= e^x \begin{pmatrix} -2\sin(2x) \\ \cos(2x) \end{pmatrix}
|
|
+ ie^x \begin{pmatrix} 2\cos(2x) \\ \sin(2x) \end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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|
Sei also:
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\begin{align*}
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y^{(1)}(x)&:=e^x \begin{pmatrix} -2\sin(2x) \\ \cos(2x) \end{pmatrix}&
|
|
y^{(2)}(x)&:=e^x \begin{pmatrix} 2\cos(2x) \\ \sin(2x) \end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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Dann ist $y^{(1)}, y^{(2)}$ ein Fundamentalsystem von ($\ast$).
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\item Bestimme ein Fundamentalsystem der Gleichung:
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\begin{align*}
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\tag{$\ast $} y' = Ay
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\end{align*}
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mit
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\[A:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
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Es gilt:
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\[p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = -(\lambda - 2)(\lambda - 1)^2\]
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\begin{align*}
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\lambda_1 &= 2 &\lambda_2&=1\\
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k_1&=1 &k_2&=2
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\end{align*}
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Also ist $M := \{\lambda_1, \lambda_2\}$.\\
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\boldmath $\lambda_1 = 2$\unboldmath: Aus $\kernn(A-2I) =
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\left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \right]$ folgt:
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\[y^{(1)}(x) := e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\]
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\boldmath $\lambda_2 = 1$\unboldmath: Aus $\kernn(A-I) =
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|
\left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \right]
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\subseteq \left[ \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix},
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\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \right] = $ Kern$((A -I)^2)$ folgt:
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\begin{align*}
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y^{(2)}(x) := e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} &&
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y^{(3)}(x) := e^x\left( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} + x(A-I) \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \right) = e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix}
|
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\end{align*}
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$y^{(1)}, y^{(2)}, y^{(3)}$ ist ein Fundamentalsystem von ($\ast$).
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\item Sei $A$ wie in Beispiel (2). Löse das \[
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\text{AwP}
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\begin{cases}
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y'=Ay\\
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y(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
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\end{cases}\]
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Die allgemeine Lösung von $y' = Ay$ lautet:
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\[ y(x) = c_1 e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix}
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+ c_2 e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
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+ c_3 e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix}\quad c_1, c_2, c_3 \in \mdr \]
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Es gilt:
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\begin{align*}
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\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \stackrel!= y(0)
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= c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix}
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+ c_2 \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
|
|
+ c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
|
|
= \begin{pmatrix} c_2 \\ c_1+c_2\\c_1+c_3 \end{pmatrix}\\
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|
\end{align*}
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\begin{align*}
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\implies c_1=-1 &&c_2 = 1 && c_3 = 2
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\end{align*}
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Lösung des AWPs:
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\[y(x) = -e^{2x}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix}
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+ e^x \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
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+ 2e^x \begin{pmatrix} -x \\ -x \\ 1 \end{pmatrix}\]
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\item Bestimme die allgemeine Lösung von
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\begin{align*}
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\tag{$\ast $} y' = Ay + \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix}
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\end{align*}
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Mit
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\[A:=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
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Bestimme dazu zunächst die allgemeine Lösung von $y' = Ay$. Es gilt:
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\[p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(1+\lambda)\]
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\begin{align*}
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\lambda_1 &= 1 &\lambda_2 &= -1\\
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|
k_1&=1&k_2&=1
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|
\end{align*}
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Da $\kernn(A-I) = \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right]$ und
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$\kernn(A+I) = \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right]$ ist, ist
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\begin{align*}
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|
y^{(1)}(x) &= e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
|
|
&y^{(2)}(x) &= e^{-x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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|
ein Fundamentalsystem von $y' = Ay$.\\
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Sei nun $Y(x) := \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^{-x} \end{pmatrix}$ \\
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Dann ist
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\begin{align*}
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y_s(x) &= Y(x) \int Y(x)^{-1} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\
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&= Y(x) \int \begin{pmatrix} e^{-x} & 0 \\ 0 & e^x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^x \\ e^x \end{pmatrix} \text{ d}x\\
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|
&= Y(x) \int \begin{pmatrix} 1 \\ e^{2x} \end{pmatrix}\text{ d}x\\
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|
&= \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^{-x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \frac12e^{2x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xe^x \\ \frac12e^x \end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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eine spezielle Lösung von ($\ast$).
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Die allgemeine Lösung von ($\ast$) lautet also:
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\[y(x) = c_1 e^x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
|
|
+ c_2 e^{-x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
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|
+ \begin{pmatrix} xe^x \\ \frac12e^x \end{pmatrix}\quad c_1, c_2 \in \mdr\]
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\end{enumerate}
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\chapter{Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung}
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\index{linear!Differentialgleichung n-ter Ordnung}\index{Differentialgleichung!lineare (n-ter Ordnung)}
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\index{homogen!Differentialgleichung n-ter Ordnung}\index{Differentialgleichung!homogene (n-ter Ordnung)}
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\index{inhomogen!Differentialgleichung n-ter Ordnung}\index{Differentialgleichung!inhomogene (n-ter Ordnung)}
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\index{Anfangswertproblem}
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In diesem Paragraphen sei $n\in\mdn, I\subseteq\mdr$ ein Intervall und $a_0,\ldots,a_{n-1},b:I\to\mdr$
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stetig. Für $y\in C^n(I,\mdr)$ setze $Ly:=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y$.
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Die Differenzialgleichung
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\begin{align*}
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\tag D Ly=b
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\end{align*}
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heißt eine \textbf{lineare Dgl $n$-ter Ordnung}. Sie heißt \textbf{homogen}, falls $b\equiv 0$,
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|
anderenfalls \textbf{inhomogen}.\\
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Setze $b_0(x):=(0,\ldots,0,b(x))^T (\in\mdr^n)$ und
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\begin{align*}
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A(x):=
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\begin{pmatrix}
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0&1&0&\cdots&0\\
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|
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
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|
\vdots&&\ddots&\ddots&0\\
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|
0&\ldots&\ldots&0&1\\
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|
-a_0(x)&\ldots&\ldots&\ldots&-a_{n-1}(x)
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|
\end{pmatrix}
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\end{align*}
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Damit erhalten wir das System:
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\begin{align*}
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\tag S z'=A(x)z+b_0(x)
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\end{align*}
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\begin{satz}[Lösungen]
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\begin{enumerate}
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\item Ist $y:I\to\mdr$ eine Lösung von (D) auf $I$, so ist $z:=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})$
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|
eine Lösung von (S) auf $I$.
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|
\item Ist $z:=(z_1,\ldots,z_n)$ eine Lösung von (S) auf $I$, so ist $y:=z_1$ eine Lösung von (D) auf $I$.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{satz}
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\begin{beweis}
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Nachrechnen!
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\end{beweis}
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Wir betrachten auch noch die zu (D) gehörende \textbf{homogene} Gleichung
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\begin{align*}
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\tag H Ly=0
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\end{align*}
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|
Sind $y_0,\ldots,y_{n-1}\in\mdr$ und $x_0\in I$, so heißt
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\begin{align*}
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\tag A \begin{cases}
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|
Ly=b\\
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|
y(x_0)=y_0,\ldots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}
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|
\end{cases}
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\end{align*}
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|
ein \textbf{Anfangswertproblem} (AwP).
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Die folgenden Sätze 24.2 und 24.3 folgen aus 24.1 und den Sätzen aus §21.
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\begin{satz}[Lösungsmenge als Vektorraum]
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\begin{enumerate}
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\item Das AwP (A) hat auf $I$ genau eine Lösung.
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\item (D) hat Lösungen auf $I$.
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\item Sei $y_s$ eine spezielle Lösung von (D) auf $I$. Für $y:I\to\mdr$ gilt:\\
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$y$ ist eine Lsg von (D) auf $I$, genau dann wenn eine Lösung $y_h$ von (H) existiert:
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|
\[y=y_h+y_s\]
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|
\item Ist $J\subseteq I$ ein Intervall, $\hat y:J\to\mdr$ eine Lsg von (D) auf $J$,
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|
so existiert eine Lsg $y:I\to\mdr$ mit $\hat y=y|_J$.
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|
\item Sei $\mathbb{L}$ die Menge aller Lösungen von (H) auf $I$. Dann ist $\mathbb{L}$
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ein reeller Vektorraum und $\dim\mathbb{L}=n$.\\
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|
Für $y_1,\ldots,y_k\in\mathbb{L}$ sind äquivalent:
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item $y_1,\ldots,y_k$ sind linear unabhängig in $\mathbb{L}$.
|
|
\item Für alle $x\in I$ sind die Vektoren $(y_j(x),y_j'(x),\ldots,y_j^{(n-1)}(x)) (j=1,\ldots,k)$
|
|
linear unabhängig im $\mdr^n$.
|
|
\item Es existiert ein $\xi\in I$ sodass die Vektoren $(y_j(\xi),\ldots,y_j^{(n-1)}(\xi)) (j=1,\ldots,k)$
|
|
linear unabhängig sind im $\mdr^n$.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
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\begin{definition}
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\index{Wronskideterminante}
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\index{Fundamental-!System}
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Seien $y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{L}$.
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\begin{align*}
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W(x):= \det\begin{pmatrix}
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|
y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\
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|
\vdots& &\vdots\\
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|
y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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|
heißt \textbf{Wronskideterminante}. Sind $y_1,\ldots,y_n$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$,
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so heißt $y_1,\ldots,y_n$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) von (H). I.d. Fall
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|
lautet die allgemeine Lösung von (H):
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\[y=c_1y_1+\cdots+c_ny_n \quad (c_1,\ldots,c_n\in\mdr)\]
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|
Aus 24.2 folgt für $y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{L}$:\\
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|
$y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{L}$ ist genau dann ein FS von (H), wenn gilt:
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\begin{align*}
|
|
\forall x\in I: W(x)\ne 0 \iff \exists\xi\in I:W(\xi)\ne 0
|
|
\end{align*}
|
|
\end{definition}
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\begin{satz}[Spezielle Lösung]
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Sei $y_1,\ldots,y_n$ ein FS von (H) und $W$ wie oben. Für $k=1,\ldots,n$ sei
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$W_k(x)$ die Determinante die entsteht, wenn man die $k$-te Spalte von $W(x)$
|
|
ersetzt durch $(0,\ldots,0,b(x))^T$. Setze
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\[y_s(x):=\sum_{k=1}^n\left(y_k(x)\cdot \int \frac{W_k(x)}{W(x)}\text{ d}x\right)\]
|
|
Dann ist $y_s$ eine spezielle Lösung von (D).
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|
\end{satz}
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\begin{beispiel}[Spezialfall $n=2$]
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Die homogene Gleichung hat die Form
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\begin{align*}
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\tag H y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0
|
|
\end{align*}
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|
Sei $y_1$ eine Lsg von (H) mit $y_1\ne 0\forall x\in I$. Sei $z\not\equiv$ eine Lsg von
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\[z'=-\left(a_1(x)+\frac{2y_1'(x)}{y_1(x)}\right)z, \text{ \quad so ist}\]
|
|
\[y_2(x):=y_1(x)\cdot\int z(x)\text{ d}x\]
|
|
eine weitere Lsg von (H) und $y_1,y_2$ ist ein FS von (H).
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|
\end{beispiel}
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\begin{beweis}
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Nachrechnen: $y_2$ ist Lsg von (H).\\
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Aus $y_2'=y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x+y_1z(x)$ folgt:
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\begin{align*}
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W(x)&=\det\begin{pmatrix}
|
|
y_1(x)&y_1(x)\cdot\int z(x)\text{ d}x\\
|
|
y_1'(x)&y_1'(x)\int z(x)\text{ d}x+y_1z(x)
|
|
\end{pmatrix}\\
|
|
&= y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x+y_1^2z(x)-y_1y_1'\cdot\int z(x)\text{ d}x\\
|
|
&= y_1^2z(x)
|
|
\end{align*}
|
|
Da $z\not\equiv 0$ ist, existiert ein $\xi\in I$ mit $z(\xi)\ne 0$, also $W(\xi)\ne 0$.
|
|
D.h. $y_1,y_2$ sind linear unabhängig in $\mathbb{L}$.
|
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\end{beweis}
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\begin{beispiele}
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\item Bestimme die allg. Lösung der Gleichung (mit $I=(1,\infty)$)
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\begin{align*}
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\tag{$*$} y''+\frac{2x}{1-x^2}y'-\frac{2}{1-x^2}y=0
|
|
\end{align*}
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|
Offensichtlich ist $y_1(x)=x$ eine Lsg von ($*$) auf $I$. Die Gleichung erster Ornung lautet:
|
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\begin{align*}
|
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\tag{$**$} z'=-\left(\frac{2x}{1-x^2}+\frac 2x\right)z=\frac 2{x(x^2-1)} z
|
|
\end{align*}
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|
Es ist $\int\frac2{x(x^2-1)}\text{ d}x=\log(1-\frac1{x^2})$, daraus ergibt sich die allgemeine
|
|
Lösung von ($**$):
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\[z(x)=ce^{\log(1-\frac1{x^2})}=c(1-\frac1{x^2})\quad (c\in\mdr)\]
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Sei also:
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\[y_2(x):=y_1(x)\cdot\int 1-\frac1{x^2}\text{ d}x=1+x^2\]
|
|
Damit ist $y_1,y_2$ ein Fundamentalsystem von ($*$) und die allgemeine Lösung lautet:
|
|
\[y(x)=c_1x+c_2(1+x^2)\quad (c_1,c_2\in\mdr)\]
|
|
\item Bestimme die allg. Lösung der Gleichung
|
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\begin{align*}
|
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\tag{+} y''+\frac{2x}{1-x^2}y'-\frac{2}{1-x^2}y=x^2-1
|
|
\end{align*}
|
|
Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet
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\[y(x)=c_1x+c_2(1+x^2)\]
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|
Es ist also $y_1(x)=x$ und $y_2(x)=1+x^2$. Damit gilt:
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|
\begin{align*}
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W(x)&=\det\begin{pmatrix}
|
|
x&1+x^2\\
|
|
1&2x
|
|
\end{pmatrix}=2x^2-(1+x^2)=x^2-1\\
|
|
W_1(x)&=\det\begin{pmatrix}
|
|
0&1+x^2\\
|
|
x^2-1&2x
|
|
\end{pmatrix}=-(1+x^2)(x^2-1)\\
|
|
W_2(x)&=\det\begin{pmatrix}
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|
x&0\\
|
|
1&x^2-1
|
|
\end{pmatrix}=x^3-x
|
|
\end{align*}
|
|
Es folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\frac{W_1(x)}{W(x)}=-1-x^2 &&\frac{W_2(x)}{W(x)}=x
|
|
\end{align*}
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|
Daraus ergibt sich nun eine spezielle Lösung von (+):
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|
\[y_s(x)=y_1(x)\cdot\int(-1-x^2)\text{ d}x+y_2(x)\cdot\int x\text{ d}x=\frac16 x^4-\frac12 x^2\]
|
|
Die allgemeine Lösung von (+) lautet:
|
|
\[y(x)=c_1x+c_2(1+x^2)+\frac16 x^4-\frac12 x^2\quad (c_1,c_2\in\mdr)\]
|
|
\item Löse das
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{AwP}
|
|
\begin{cases}
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|
y''+\frac{2x}{1-x^2}y'-\frac{2}{1-x^2}y=x^2-1\\
|
|
y(0)=0, y'(0)=1
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
Die allgemeine Lösung der Dgl lautet:
|
|
\[y(x)=c_1x+c_2(1+x^2)+\frac16 x^4-\frac12 x^2\quad (c_1,c_2\in\mdr)\]
|
|
Also ist:
|
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\[y'(x)=c_1+2c_2x+\frac23x^3-x\]
|
|
Außerdem gilt:
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\begin{align*}
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0\stackrel!= y(0)=c_2&&1\stackrel!=y'(0)=c_1
|
|
\end{align*}
|
|
Daraus folgt für die Lösung des AwPs:
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\[y(x)=x+\frac16x^4-\frac12x^2\]
|
|
\end{beispiele}
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|
\chapter{Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten}
|
|
In diesem Paragraphen sei $n\in\mdn, a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mdr, I\subseteq\mdr$ ein Intervall
|
|
und $b:I\to\mdr$ stetig.
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|
\index{homogen!Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!homogene}
|
|
\index{charakteristisch!Polynom}\index{Polynom!charakteristisches}
|
|
Wir betrachten zunächst die \textbf{homogene Gleichung}
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\begin{align*}
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\tag H y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0
|
|
\end{align*}
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|
und geben \textbf{ohne} Beweis ein "`Kochrezept"' an, wie man zu einem FS von (H) kommt.
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|
\[p(\lambda):=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\]
|
|
heißt das \textbf{charakteristische Polynom} von (H).
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|
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\textbf{Übung:}\\
|
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Ist
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\[A:=\begin{pmatrix}
|
|
0&1&0&\cdots&0\\
|
|
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
|
|
\vdots&&\ddots&\ddots&0\\
|
|
0&\cdots&\cdots&0&1\\
|
|
-a_0&\cdots&\cdots&\cdots&-a_{n-1}
|
|
\end{pmatrix}\]
|
|
so ist $\det(\lambda I-A)=p(\lambda)$.
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|
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|
\textbf{Kochrezept:}
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|
\begin{enumerate}
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\item Bestimme die verschiedenen Nullstellen $\lambda_1,\ldots,\lambda_r (r\le n)$ von $p$
|
|
und deren Vielfachheiten $k_1,\ldots,k_r$, also:
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\[p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{k_r}\]
|
|
Es seien $\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mdr$ und $\lambda_{m+1},\ldots,\lambda_r\in\mdc\setminus\mdr$.
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\[M:=\Set{\lambda_1,\ldots,\lambda_m}\cup\Set{\lambda_j | m+1\le j\le r,\Im(\lambda_j)>0}\]
|
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\item Sei $\lambda_j\in M$.\\
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\textbf{Fall 1:} $\lambda_j\in\mdr$\\
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Dann sind
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\[e^{\lambda_jx},xe^{\lambda_jx},\ldots,x^{k_j-1}e^{\lambda_jx}\]
|
|
$k_j$ linear unabhängige Lösungen von (H).\\
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|
\textbf{Fall 2:} $\lambda_j\in\mdc\setminus\mdr$, etwa $\lambda_j=\alpha+i\beta$ $(\alpha,\beta\in\mdr,\beta>0)$\\
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|
Dann sind
|
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\begin{align*}
|
|
e^{\alpha x}\cos(\beta x), xe^{\alpha x}\cos(\beta x),\ldots,x^{k_j-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x)\\
|
|
e^{\alpha x}\sin(\beta x), xe^{\alpha x}\sin(\beta x),\ldots,x^{k_j-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x)
|
|
\end{align*}
|
|
$2k_j$ linear unabhängige Lösungen von (H).
|
|
\item Führt man (2) für jedes $\lambda_j\in M$ durch, so erhält man ein FS von (H).
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{beispiele}
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\item Bestimme die allg. Lösung der Gleichung
|
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\begin{align*}
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\tag{$*$} y^{(6)}-6y^{(5)}+9y^{(4)}=0
|
|
\end{align*}
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Es gilt:
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\[p(\lambda)=\lambda^6-6\lambda^5+9\lambda^4=\lambda^4(\lambda^2-6\lambda+9)=\lambda^4(\lambda-3)^2\]
|
|
Sei also:
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|
\begin{align*}
|
|
\lambda_1&:=0&\lambda_2&:=3\\
|
|
k_1&:=4&k_2&:=2
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\end{align*}
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Ein FS von ($*$) lautet: $1,x,x^2,x^3,e^{3x},xe^{3x}$. Das bedeutet für die allgemeine Lösung von ($*$):
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\[y(x)=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4x^3+c_5e^{3x}+c_6xe^{3x}\quad(c_1,\ldots,c_6\in\mdr)\]
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\item Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung:
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\begin{align*}
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\tag{$*$} y'''-2y''+y'-2y=0
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\end{align*}
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Es gilt:
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\[p(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-2=(\lambda^2+1)(\lambda-2)=(\lambda-2)(\lambda+i)(\lambda-i)\]
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Sei also:
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\begin{align*}
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\lambda_1&:=2&\lambda_2&:=i&\lambda_3&:=-i\\
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k_1&:=1&k_2&:=1&k_3&:=1
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\end{align*}
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Dann ist $M:=\{2,i\}$ und ein FS von ($*$) lautet: $e^{2x},\cos(x),\sin(x)$. Das bedeutet für
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die allgemeine Lösung von ($*$):
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\[y(x)=c_1e^{2x}+c_2\cos(x)+c_3\sin(x)\quad (c_1,c_2,c_3\in\mdr)\]
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\item Löse das
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\begin{align*}
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\text{AwP}
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\begin{cases}
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y'''-2y''+y'-2y=0\\
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y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0
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\end{cases}
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\end{align*}
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Die allgemeine Lösung der Dgl lautet:
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\[y(x)=c_1e^{2x}+c_2\cos(x)+c_3\sin(x)\]
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Es ist:
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\begin{align*}
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y'(x)&=2c_1e^{2x}-c_2\sin(x)+c_3\cos(x)\\
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y''(x)&=4c_1e^{2x}-c_2\cos(x)-c_3\sin(x)
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\end{align*}
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Außerdem gilt:
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\begin{align*}
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0&\stackrel!=y(0)=c_1+c_2&1&\stackrel!=y'(0)=2c_1+c_3&0&\stackrel!=4c_1-c_2
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\end{align*}
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Daraus folgt:
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\begin{align*}
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c_1&=0&c_2&=0&c_3&=1
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\end{align*}
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Also lautet die Lösung des AwPs:
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\[y(x)=\sin(x)\]
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\end{beispiele}
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\index{inhomogen!Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!inhomogene}
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Wir betrachten auch noch die \textbf{inhomogene Gleichung}
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\begin{align*}
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\tag{IH} y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=b(x)
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\end{align*}
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\begin{definition}
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\index{nullfache Nullstelle}\index{Nullstelle!nullfache}
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$\mu\in\mdc$ heißt eine \textbf{nullfache Nullstelle} von $p$, genau dann wenn
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$p(\mu)\ne 0$ ist.
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\end{definition}
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\textbf{Regel} (ohne Beweis):\\
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Seien $\alpha,\beta\in\mdr,m,q\in\mdn_0$ und $b$ von der Form:
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\begin{align*}
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&b(x)=(b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m)e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{, oder}\\
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&b(x)=(b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m)e^{\alpha x}\sin(\beta x)
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\end{align*}
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Ist $\alpha+\beta i$ eine $q$-fache Nullstelle von $p$, so gibt es eine spezielle Lösung
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$y_s$ von (IH) der Form:
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\[y_s(x)=x^qe^{\alpha x}\left[(A_0+A_1x+\cdots+A_mx^m)\cos(\beta x)+(B_0+B_1x+\cdots+B_mx^m)\sin(\beta x)\right]\]
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\begin{beispiel}
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Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung
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\begin{align*}
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y'''-y'=x+1\tag{$*$}
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\end{align*}
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\begin{enumerate}
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\item Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
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\begin{align*}
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y'''-y'=0\tag{$**$}
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\end{align*}
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Es gilt:
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\[p(\lambda)=\lambda^3-\lambda=\lambda(\lambda^2-1)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-1)\]
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Also ist ein FS von ($**$): $1,e^x,e^{-x}$. Damit lautet die allgemeine Lösung der homogenen
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Gleichung:
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\[y_h(x)=c_1+c_2e^x+c_3e^{-x}\quad(c_1,c_2,c_3\in\mdr)\]
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\item Bestimme eine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ($*$).\\
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Es ist $m=1,\alpha=\beta=0,q=1$. Ansatz:
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\begin{align*}
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&y_s(x)=x(A_0+A_1x)=A_0x+A_1x^2\\
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&y_s'(x)=A_0+2A_1x\\
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&y_s''(x)=2A_1\\
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&y_s'''(x)=0
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\end{align*}
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Mit Einsetzen in ($*$) folgt:
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\[0-(A_1+2A_1x)=x+1\]
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Also ist:
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\begin{align*}
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A_0=-1&&A_1=-\frac12
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\end{align*}
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D.h. eine spezielle Lösung von (IH) lautet:
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\[y_s(x)=-x-\frac12 x^2\]
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\end{enumerate}
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Damit lautet die allgemeine Lösung von (IH):
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\[y(x)=c_1+c_2e^x+c_3e^{-x}-x-\frac12 x^2\quad(c_1,c_2,c_3\in\mdr)\]
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\end{beispiel}
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\appendix
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\chapter{Satz um Satz (hüpft der Has)}
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\listtheorems{satz,wichtigedefinition}
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\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}
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\printindex
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\chapter{Credits für Analysis II}
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Abgetippt haben die folgenden Paragraphen:\\
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\textbf{§ 1: Der Raum $\MdR^n$}: Wenzel Jakob, Joachim Breitner\\
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\textbf{§ 2: Konvergenz im $\MdR^n$}: Joachim Breitner und Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 3: Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit}: Wenzel Jakob, Pascal Maillard\\
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\textbf{§ 4: Partielle Ableitungen}: Joachim Breitner und Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 5: Differentiation}: Wenzel Jakob, Pascal Maillard, Jonathan Picht\\
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\textbf{§ 6: Differenzierbarkeitseigenschaften reellwertiger Funktionen}: Jonathan Picht, Pascal Maillard, Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 7: Quadratische Formen}: Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 8: Extremwerte}: Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 9: Der Umkehrsatz}: Wenzel Jakob und Joachim Breitner\\
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\textbf{§ 10: Implizit definierte Funktionen}: Wenzel Jakob\\
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\textbf{§ 11: Extremwerte unter Nebenbedingungen}: Pascal Maillard\\
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\textbf{§ 12: Wege im $\MdR^n$}: Joachim Breitner, Wenzel Jakob und Pascal Maillard\\
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\textbf{§ 13: Wegintegrale}: Pascal Maillard und Joachim Breitner\\
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\textbf{§ 14: Stammfunktionen}: Joachim Breitner und Ines Türk\\
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\textbf{§ 15: Vorgriff auf Analysis III}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 16: Folgen, Reihen und Potenzreihen in $\MdC$}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 17: Normierte Räume, Banachräume, Fixpunktsatz}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 18: Differentialgleichungen: Grundbegriffe}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 19: Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 20: Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 21: Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung}: Peter Pan\\
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\textbf{§ 22: Lineare Systeme}: Rebecca Schwerdt, Peter Pan\\
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\textbf{§ 23: Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten}\\
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\textbf{§ 24: Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung}: Rebecca Schwerdt\\
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\textbf{§ 25: Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten}: Rebecca Schwerdt\\
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\end{document}
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