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\section*{Aufgabe 5}
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\subsection*{Teilaufgabe a}
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Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
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$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
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liefert.
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\subsection*{Teilaufgabe b}
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\[\sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q} \text{ für } q = 1, \dots, p\]
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\subsection*{Teilaufgabe c}
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\paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
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maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
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\paragraph{Lösung}
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Die möglichen Quadraturformeln lauten:
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\begin{align}
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Q(f) &= (b-a)\sum_{i=1}^2 b_i f (a+ c_i (b-a))\\
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&= (b-a) \cdot \left ( b_1 f(a) + b_2 f \left (a + \frac{2}{3}(b-a) \right ) \right )
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\end{align}
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$\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
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Die Trapetzregel hat Ordnung 2 und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$.
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Nun gilt:
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\[Q(f) = (b-a) \cdot \left (\frac{1}{2} f(a) + \frac{1}{2} f (a + \frac{2}{3} (b-a)) \right ) \]
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Aber für $f(x) = x$ ist $\int_0^3 x \mathrm d x = \left [x^2 \right ]_0^3 = 9 \neq 6 = 3 \cdot 2 = Q(f)$.
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$\Rightarrow$ Es gibt keine Quadraturformel mit diesen Knoten und Ordnung 2.
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Für Ordnung 1 müssen wir nur Konstanten korrekt interpolieren, also
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\begin{align}
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\int_a^b c \mathrm d x &= \left [ cx \right ]_a^b\\
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&= (b-a) \cdot c\\
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&= (b-a) \cdot f(x) \text{ mit } x \text{ beliebig}
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\end{align}
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Daher wählt man $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Dies ist eine Quadraturformel erster Ordnung.
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Da es keine Quadraturformel mit diesen Knoten von Ordnung 2 gibt, ist das die höchst mögliche Ordnung.
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