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TeX
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TeX
\subsection{Brücke}
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\begin{frame}{Brücke}{Bridge}
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\begin{block}{Definition: Brücke}
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Eine Kante $e \in E$ eines Graphen $G(V,E)$ heißt Brücke \\
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$: \Leftrightarrow$ Durch das Entfernen von e zerfällt G in mehr zusammenhängende Teilgraphen,
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als G bereits hat. \\
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$: \Leftrightarrow$ Sie ist in keinem Zyklus enthalten
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\end{block}
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\begin{figure}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.8, auto,swap]
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% Draw a 7,11 network
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% First we draw the vertices
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\foreach \pos/\name in {{(0,0)/a}, {(0,2)/b}, {(1,2)/c},
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{(1,0)/d}, {(2,1)/e}, {(3,1)/f},
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{(4,2)/g}, {(5,2)/h}, {(4,0)/i},
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{(5,0)/j}}
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\node[vertex] (\name) at \pos {$\name$};
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% Connect vertices with edges
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\foreach \source/ \dest /\pos in {a/b/,b/c/,c/d/,d/a/,
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d/e/,e/c/,
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e/f/,
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f/g/, f/i/,
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g/h/, h/j/, j/i/, i/g/}
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\path (\source) edge [\pos] node {} (\dest);
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\begin{pgfonlayer}{background} \path<+->[selected edge] (e.center) -- (f.center); \end{pgfonlayer}
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Wozu?}
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\begin{itemize}
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\item Relevanz: Brücken und Artikulationspunkte (später) sind Teile des Graphen, die für die Kommunikation im Graphen unabdingbar sind. \\
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\end{itemize}
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Wir wollen Artikulationspunkte und Brücken auch algorithmisch finden. \\ $\Rightarrow$ Lösung: Tiefensuche \\
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\pause
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Komplexität: $\mathcal{O}(|V| + |E|)$
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Wie findet man Brücken?}
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\begin{itemize}
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\item Algorithmus von Tarjan in $\mathcal{O}(|V| + |E|)$
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\item Zweiter, tollerer Algorithmus:
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\begin{itemize}
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\item Gehe mit Tiefensuche durch Graph, nummeriere Knoten $v \in V$ mit $N(v)$
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\item Merke für jeden Knoten $v \in V$ folgendes $L(v)$:\\
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% Oh how passionately I hate latex.
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$ L(v) := \min\{ N(c) $ ~\\ $ \mid c \in V \wedge \text{c erreichbar von v durch max. eine Rückwärtskante} \} $
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\item Baumkante $(p,c) \in E$ mit $p,c \in V$ ist nun Brücke gdw. $L(c) > N(p)$
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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% <Tafelbeispiel>
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\end{frame}
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