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TeX
\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
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\usepackage{hyperref} % links im text
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\usepackage{color}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
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\usepackage{braket} % needed for nice printing of sets
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{lastpage}
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\usepackage{parskip}
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\usepackage{csquotes}
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\clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern
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\widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {Diskrete Mathematik},
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pdftitle = {Graphentheorie I: Handout}
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}
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\usepackage{fancyhdr}
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\pagestyle{fancy}
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\lhead{Diskrete Mathematik}
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\chead{Graphentheorie I (Martin Thoma)}
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\rhead{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Custom definition style, by %
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% http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\makeatletter
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\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
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% Frame with a label at top
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\newcommand\LabFrame[2]{%
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\fboxrule=\FrameRule
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\fboxsep=-\errorsize
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\textcolor{FrameColor}{%
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\fbox{%
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\vbox{\nobreak
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\advance\FrameSep\errorsize
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\begingroup
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\advance\baselineskip\FrameSep
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\hrule height \baselineskip
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\nobreak
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\vskip-\baselineskip
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\endgroup
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\vskip 0.5\FrameSep
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|
\hbox{\hskip\FrameSep \strut
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\textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
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\nobreak \nointerlineskip
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\vskip 1.3\FrameSep
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\hbox{\hskip\FrameSep
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{\normalcolor#2}%
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\hskip\FrameSep}%
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\vskip\FrameSep
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}}%
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}}
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\definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0}
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\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}
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\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{%
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% Optional continuation label defaults to the first label plus
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\def\Frame@Lab{#2}%
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\def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}%
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\def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}%
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\def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
|
|
\def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
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\MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore}
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|
}{\endMakeFramed}
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\newcounter{definition}
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\newenvironment{definition}[1]{%
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|
\par
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\refstepcounter{definition}%
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|
\begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1}
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|
\noindent\ignorespaces}
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{\end{contlabelframe}}
|
|
\makeatother
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Theorem %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% needed for theorems
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{thmtools}
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\usepackage{changepage}
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\newlength\Thmindent
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\setlength\Thmindent{20pt}
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\newenvironment{precondition}
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{\par\medskip\adjustwidth{\Thmindent}{}\normalfont\textbf{Voraussetzungen:}\par\nobreak}
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{\endadjustwidth}
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|
\newenvironment{claim}
|
|
{\par\medskip\adjustwidth{\Thmindent}{}\normalfont\textbf{Behauptung:}}
|
|
{\endadjustwidth}
|
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\declaretheoremstyle[
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spaceabove=0pt,spacebelow=0pt,
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preheadhook=\adjustwidth{\Thmindent}{},
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prefoothook=\endadjustwidth,
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headpunct=:,
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numbered=no,
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qed=\qedsymbol
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]{proof}
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\declaretheorem[style=proof,name=Beweis]{Proof}
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\theoremstyle{plain}
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\newtheorem{theorem}{Satz}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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|
% Add some shortcuts %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% a checkmark
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\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% a cross
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\usepackage{amsmath}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\begin{definition}{Graph}
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Ein Graph ist ein Tupel $(E, K)$, wobei $E \neq \emptyset$ die Eckenmenge und
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|
$K \subseteq E \times E$ die
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Kantenmenge bezeichnet.
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\end{definition}
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\begin{definition}{Grad einer Ecke}
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Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
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ausgehen.
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\end{definition}
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\begin{definition}{Isolierte Ecke}
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Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man sie \textbf{isoliert}.
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\end{definition}
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\begin{definition}{Schlinge}
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|
Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante.
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$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$
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\end{definition}
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\begin{definition}{Inzidenz}
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|
Sei $e \in E$ und $k = \Set{e_1, e_2} \in K$.
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$e$ heißt \textbf{inzident} zu $k :\Leftrightarrow e = e_1$ oder $e = e_2$
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\end{definition}
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\begin{definition}{Vollständiger Graph}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
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|
$G$ heißt \textbf{vollständig} $:\Leftrightarrow K = E \times E \setminus \Set{\Set{e, e} | e \in E}$
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\end{definition}
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|
Ein vollständiger Graph mit $n$ Ecken wird als $K_n$ bezeichnet.
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\begin{definition}{Bipartiter Graph}
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Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A, B \subset E$ zwei disjunkte Eckenmengen mit
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$E \setminus A = B$.
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|
$G$ heißt \textbf{bipartit} $:\Leftrightarrow \forall_{k = \Set{e_1, e_2} \in K}: (e_1 \in A \text{ und } e_2 \in B) \text{ oder } (e_1 \in B \text{ und } e_2 \in A) $
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|
\end{definition}
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\begin{definition}{Vollständig bipartiter Graph}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein bipartiter Graph und $\Set{A, B}$ bezeichne die Bipartition.
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|
$G$ heißt \textbf{vollständig bipartit} $:\Leftrightarrow A \times B = K$
|
|
\end{definition}
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\begin{definition}{Kantenzug, Länge eines Kantenzuges und Verbindung von Ecken}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
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|
Dann heißt eine Folge $k_1, k_2, \dots, k_s$ von Kanten, zu denen es Ecken
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|
$e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass
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|
\begin{itemize}
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|
\item $k_1 = \Set{e_0, e_1}$
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|
\item $k_2 = \Set{e_1, e_2}$
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|
\item \dots
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|
\item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$
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|
\end{itemize}
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|
gilt ein \textbf{Kantenzug}, der $e_0$ und $e_s$ \textbf{verbindet} und $s$
|
|
seine \textbf{Länge}.
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\end{definition}
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Ein Kantenzug wird durch den Tupel $(e_0, \dots, e_s) \in E^{s+1}$
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charakterisiert.
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\begin{definition}{Geschlossener Kantenzug}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2, \dots, k_s)$ ein Kantenzug
|
|
mit $k_1 = \Set{e_0, e_1}$ und $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$.
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|
A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_0 = e_s$ .
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|
\end{definition}
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\begin{definition}{Weg}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
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|
|
|
A heißt \textbf{Weg} $:\Leftrightarrow \forall_{i, j \in 1, \dots, s}: i \neq j \Rightarrow k_i \neq k_j$ .
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|
\end{definition}
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\begin{definition}{Kreis}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
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|
|
|
A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg.
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|
\end{definition}
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\vspace{0.5cm}
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\begin{theorem}{Aufgabe 5}
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~~~
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\begin{precondition}
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Sei $G = (E, K)$ ein Graph, in dem jede Ecke min. Grad 2 hat.
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|
\end{precondition}
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\begin{claim}
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Es ex. ein Kreis $C$ in $G$ mit $|C| > 0$
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\end{claim}
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\begin{Proof} In den Folien.
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\end{Proof}
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\end{theorem}
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\vspace{0.5cm}
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\begin{definition}{Zusammenhängender Graph}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
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|
|
|
$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $
|
|
Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
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|
\end{definition}
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\begin{definition}{Eulerscher Kreis}
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|
Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Kreis in $G$.
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|
$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in A$.
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|
\end{definition}
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|
\begin{definition}{Eulerscher Graph}
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|
Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
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\end{definition}
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\vspace{0.5cm}
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\begin{theorem}{Euler 1736}
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~~~
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\begin{precondition}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
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\end{precondition}
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\begin{claim}
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Wenn ein Graph $G$ eulersch ist, dann hat jede Ecke von $G$ geraden Grad.
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\end{claim}
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\begin{Proof} Direkt\\
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Sei $C = (e_0, \dots, e_n, e_0) \in E^{n+2}$ ein Eulerkreis in $G$
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$\Rightarrow $ Es gilt: $\forall e \in E\;\exists i \in \Set{0, \dots, n}: e = e_i$ und alle Kanten aus $G$ sind genau ein einziges Mal in $C$.\\
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|
Außerdem gilt:
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\[\text{Grad}(e_i) = \begin{cases}
|
|
2 \cdot \text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C & \text{falls } i\neq 0\\
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|
2 \cdot (\text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C -1) & \text{falls } i = 0\\
|
|
\end{cases}
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|
\]
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|
$\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade
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|
\end{Proof}
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\end{theorem}
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\vspace{0.5cm}
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|
\begin{theorem}{Umkehrung des Satzes von Euler}
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~~~
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\begin{precondition}
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|
Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
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|
\end{precondition}
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\begin{claim}
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Wenn jede Ecke von $G$ geraden Grad hat, dann ist $G$ eulersch.
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|
\end{claim}
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\begin{Proof} über Induktion über Anzahl $m$ der Kanten\\
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\underline{I.A.:} $m=0$: $G$ ist eulersch. \cmark\\
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|
$m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
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|
$m=2$: Nur ein Graph ist zusammenhängend, hat zwei Kanten und nur Ecken geraden Grades. Dieser ist eulersch. \cmark
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|
\goodbreak
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\underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und
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es gelte:
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Für alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch.
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\underline{I.S.:} Sei $G=(E,K)$ mit $2 \leq m = |K|$ ein zusammenhängender Graph, der nur Ecken geraden Grades hat.\\
|
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$\Rightarrow$ Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2.
|
|
$\stackrel{A5}{\Rightarrow}$ Es gibt einen Kreis $C$ in $G$.\\
|
|
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Sei nun
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\[G_C = (E_C, K_C) \text{ mit } E_C \subseteq E \text{ und } K_C \subseteq K \]
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der Graph, der durch $C$ induziert wird.
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|
Sei
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\[ G^* = (E, K \setminus K_C) \]
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Es gilt:
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\begin{itemize}
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\item Jede Ecke in $G^*$ hat geraden Grad.
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|
\item Jede Zusammenhangskomponente hat weniger als $m$ Knoten.
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|
\item[$\Rightarrow$] I.V. ist auf jede Zusammenhangskomponente anwendbar.
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|
\item[$\Rightarrow$] Jede Zusammenhangskomponente hat einen Eulerkreis.
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|
\item[$\Rightarrow$] Der Kreis $C$ kann durch die Eulerkreise erweitern werden. So erhält man insgesamt einen Eulerkreis.
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\end{itemize}
|
|
$\Rightarrow$ $G$ ist eulersch.
|
|
\end{Proof}
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\end{theorem}
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\vspace{0.5cm}
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\begin{definition}{Offene eulersche Linie}
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Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
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$A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante
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in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
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\end{definition}
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|
\vspace{0.5cm}
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\begin{theorem}{}
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|
~~~
|
|
\begin{precondition}
|
|
Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
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|
\end{precondition}
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\begin{claim}
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|
$G$ hat eine offene eulersche Linie $:\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Ecken ungeraden Grades
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\end{claim}
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\begin{Proof} Direkt von \enquote{$\Rightarrow$}; Rückrichtung \enquote{$\Leftarrow$} analog\\
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Sei $L=(e_0, \dots, e_s)$ in $G$ eine offene eulersche Linie in $G$.\\
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$\Leftrightarrow G^* = (E, K \cup \Set{e_s, e_0})$ hat einen Eulerkreis.\\
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|
$\Leftrightarrow G^*$ hat nur Knoten geraden Grades.\\
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|
$\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Knoten ($e_0, e_s$) ungeraden Grades.
|
|
\end{Proof}
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|
\end{theorem}
|
|
|
|
\vfill
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|
Alle \LaTeX-Quellen und die neueste Version der PDF sind unter
|
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\href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}
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zu finden
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\end{document}
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