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\section*{Aufgabe 3}
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\textbf{Gegeben:}
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\begin{table}[h!]
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\begin{tabular}{l||l|l|l|l}
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$f_i$ & 7 & 1 & -1 & 7 \\\hline
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$x_i$ & -1 & 0 & 1 & 2 \\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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Allgemein lauten Lagrange-Polynome:
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\[L_i = \frac{\overbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x-x_j)}^\text{Produkt der Nullstellen}}{\underbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)}_\text{Normalisierungsfaktor}}\]
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Im speziellen:
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\begin{align}
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L_0(x) &= \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} &&=-\frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
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L_1(x) &= \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} &&= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
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L_2(x) &= \frac{(x+1)x(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} &&=-\frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
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L_3(x) &= \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} &&= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
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\end{align}
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Durch die Interpolationsformel von Lagrange
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\[p(x) = \sum_{i=0}^n f_i L_i(x)\]
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ergibt sich
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\begin{align}
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p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
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\end{align}
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Anmerkung: Es ist nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen.
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In diesem Fall hat es jedoch das Endergebnis stark vereinfacht.
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\subsection*{Teilaufgabe b)}
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Für die Berechnung der dividierten Differenzen gilt allgemein:
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\begin{align}
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f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_i, \dots x_{(i+k)-1}] - f[x_{i+1}, \dots x_{i+k}]}{x_i - x_{i+k}}
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\end{align}
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In diesem Fall bedeutet das konkret:
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\begin{align}
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f[x_0] &= 7, &f[x_1] &= 1, & f[x_2] &= -1, & f[x_3] = 7\\
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f[x_0, x_1] &= -6, &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
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f[x_0, x_1, x_2] &= 2, &f[x_1, x_2, x_3] &= 5\\
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f[x_0, x_1, x_2, x_3] &= 1
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\end{align}
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Insgesamt ergibt sich also
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\begin{align}
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p(x) &= 7 + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (-6) + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (x-\underbrace{(0)}_{x_1}) \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)\\
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&= 7 -6 (x+1) + 2x(x+1) + x(x+1)(x-1)
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\end{align}
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(Siehe erste Spalte mit $x_0$)
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