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find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
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find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+
were used to do so.
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3 KiB
TeX
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TeX
\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amssymb,amsmath}
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\geometry{a4paper,left=18mm,right=18mm, top=1cm, bottom=2cm}
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\setcounter{secnumdepth}{2}
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\setcounter{tocdepth}{2}
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\begin{document}
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\title{Blutabnahme}
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\author{Martin Thoma}
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\setcounter{section}{1}
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\section*{Aufgabenstellung}
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Ein Mensch hat ca. 5 Liter Blut. Bei einer Blutspende wird in der Regel etwa
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ein halber Liter Blut entnommen. Bis zur nächsten Blutspende ist wird dieses
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Blut wieder neu gebildet. Wie häufig muss Blut gespendet werden, bis 95\%
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des ursprünglichen Blutes gespendet wurde?\\
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\noindent Die natürliche Neubildung von Blut auch ohne Blutspende wird vernachlässigt.
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\subsection{Die ersten Werte}
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$f(x)$ sei die Menge des ursprünglichen Blutes, das nach $x$ Spenden gespendet
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wurde:\\
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$f(0) = 0$\\
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Beim ersten mal Blutspenden wird ein halber Liter des ursprünglichen Blutes
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gespendet:\\
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$f(1) = f(0) + 0{,}5$\\
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Beim zweiten mal Blutspenden werden 0,45 Liter des ursprünglichen Blutes
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gespendet:\\
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$f(2) = f(1) + f(0) + \frac{5-0{,}5}{5} \cdot 0{,}5 Liter = 0{,}95 Liter $\\
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Beim dritten mal Blutspenden werden 0,405 Liter des ursprünglichen Blutes
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gespendet:\\
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$f(3) = f(2) + f(1) + f(0) + \frac{5-0{,}95}{5} \cdot 0{,}5 Liter = 1{,}355 Liter$
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\subsection{Eine rekursive Formel}
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\begin{align}
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f(1) &= 0{,}5 \\
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f(x) &= \frac{5-f(x-1)}{5} \cdot 0{,}5 + f(x-1)
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\end{align}
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\subsection{Auflösen der Rekursion}
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\begin{align}
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f(3) &= 0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot (0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot (0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot 0{,}5))\\
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&= 0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot 0{,}5 + (\frac{9}{10})^2 \cdot (0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot 0{,}5)\\
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&= 0{,}5 + \frac{9}{10} \cdot 0{,}5 + (\frac{9}{10})^2 \cdot 0{,}5 + (\frac{9}{10})^3 \cdot 0{,}5\\
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&= 0{,}5 \cdot (1 + \frac{9}{10} + (\frac{9}{10})^2 + (\frac{9}{10})^3 \cdot )\\
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f(x)&= \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=0}^{x} (\frac{9}{10})^i
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\end{align}
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\subsection{Auflösen des Summensymbols}
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\begin{align}
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f(x) &= \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=0}^{x} (\frac{9}{10})^i\\
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&= \frac{1}{2}\cdot (\frac{0{,}9^{x+1} - 1}{0{,}9 - 1})\\
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&= \frac{1}{2}\cdot (-10 \cdot 0{,}9^{x+1} + 10)\\
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&= -5 \cdot 0{,}9^{x+1} + 5\\
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&= 5 \cdot (1 - 0{,}9^{x+1})
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\end{align}
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\subsection{Lösung}
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\begin{align}
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0{,}95 \cdot 5 &= 5 \cdot (1- 0{,}9^{x+1})\\
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0{,}95 &= 1 - 0{,}9^{x+1}\\
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0{,}9^{x+1} &= 0{,}05\\
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\ln(0{,}9) \cdot {x+1} &= \ln(0{,}05) \\
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x &= \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)} - 1\\
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x &= 27{,}43
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\end{align}
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\subsection{Antwort}
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Nach dem 28. mal Blutspenden wurden 95\% des ursprünglichen Blutes
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gespendet.
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\end{document}
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