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\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
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\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
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\usepackage{hyperref} % links im text
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\usepackage{color}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
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\usepackage{braket} % needed for Set
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\clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern
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\widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Martin Thoma},
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pdfkeywords = {EAZ},
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pdftitle = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie}
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}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Custom definition style, by %
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% http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\makeatletter
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\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
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% Frame with a label at top
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\newcommand\LabFrame[2]{%
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\fboxrule=\FrameRule
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\fboxsep=-\errorsize
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\textcolor{FrameColor}{%
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\fbox{%
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\vbox{\nobreak
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\advance\FrameSep\errorsize
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\begingroup
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\advance\baselineskip\FrameSep
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\hrule height \baselineskip
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\nobreak
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\vskip-\baselineskip
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\endgroup
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\vskip 0.5\FrameSep
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\hbox{\hskip\FrameSep \strut
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\textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
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\nobreak \nointerlineskip
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\vskip 1.3\FrameSep
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\hbox{\hskip\FrameSep
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{\normalcolor#2}%
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\hskip\FrameSep}%
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\vskip\FrameSep
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}}%
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}}
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\definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0}
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\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}
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\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{%
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% Optional continuation label defaults to the first label plus
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\def\Frame@Lab{#2}%
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\def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}%
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\def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}%
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\def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
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\def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
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\MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore}
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}{\endMakeFramed}
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\newcounter{definition}
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\newenvironment{definition}[1]{%
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\par
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\refstepcounter{definition}%
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\begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1}
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\noindent\ignorespaces}
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{\end{contlabelframe}}
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\makeatother
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% NPC-Box %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\makeatletter
|
|
\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
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|
% Frame with a label at top
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\newcommand\LabFrameNPC[2]{%
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\fboxrule=\FrameRule
|
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\fboxsep=-\errorsize
|
|
\textcolor{FrameColorNPC}{%
|
|
\fbox{%
|
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\vbox{\nobreak
|
|
\advance\FrameSep\errorsize
|
|
\begingroup
|
|
\advance\baselineskip\FrameSep
|
|
\hrule height \baselineskip
|
|
\nobreak
|
|
\vskip-\baselineskip
|
|
\endgroup
|
|
\vskip 0.5\FrameSep
|
|
\hbox{\hskip\FrameSep \strut
|
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\textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
|
|
\nobreak \nointerlineskip
|
|
\vskip 1.3\FrameSep
|
|
\hbox{\hskip\FrameSep
|
|
{\normalcolor#2}%
|
|
\hskip\FrameSep}%
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\vskip\FrameSep
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}}%
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|
}}
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\definecolor{FrameColorNPC}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
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\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}
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\newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{%
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|
% Optional continuation label defaults to the first label plus
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\def\Frame@Lab{#2}%
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\def\FrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
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\def\FirstFrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
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|
\def\MidFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
|
|
\def\LastFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
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|
\MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore}
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}{\endMakeFramed}
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\newcounter{npcproblem}
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\newenvironment{satz}[2]{%
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|
\par
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|
\refstepcounter{npcproblem}%
|
|
\begin{contlabelframenpc}{Satz \thenpcproblem:\quad {#1}}
|
|
\noindent\ignorespaces}
|
|
{\end{contlabelframenpc}}
|
|
\makeatother
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\usepackage{microtype}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Begin document %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\section*{Unendlich viele Primzahlen}
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\begin{satz}{Euklid}{}
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Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler,
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aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er wegen
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$p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen.
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Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$
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\end{satz}
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\begin{satz}{Euler}
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\underline{Annahme:} Es gibt nur endlich viele Primzahlen $\Set{p_1, \dots, p_k}$
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mit $p_1 < \dots < p_k$
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Es gilt:
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\begin{align*}
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\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-p_i^{-1}} &= \prod_{i=1}^k \left ( \sum_{i=1}^\infty p_i^{j_i} \right )\\
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&= \sum_{j_1 = 0}^\infty \sum_{j_2=0}^\infty \dots \sum_{j_k = 0}^\infty p_1^{-j_1} \cdot p_2^{-j_2} \cdot \dots \cdot p_k^{-j_k}\\
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&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
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\end{align*}
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\end{satz}
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\begin{satz}{Dirichlets Primzahlsatz}{}
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Es sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Dann gibt es unendlich viele
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Primzahlen $p \equiv 1 \mod n$.
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\end{satz}
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\section*{Sylowsätze}
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\begin{satz}{Erster Sylowsatz}{}
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Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Dann existiert in $G$
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mindestens eine $p$-Sylowgruppe.
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\end{satz}
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\begin{satz}{Zweiter Sylowsatz}{}
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Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Weiter sei $\#G = p^e \cdot f$
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die Zerlegung von $\#G$ in eine $p$-Potenz und eine Zahl $f$, die kein Vielfaches
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von $p$ ist.
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Dann gelten die folgenden Aussagen:
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\begin{enumerate}
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\item Jede $p$-Untergruppe $H$ von $G$ ist in einer $p$-Sylowgruppe von $G$ enthalten.
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\item Je zwei $p$-Sylowgruppen von $G$ sind zueinander konjugiert.
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|
\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen ist ein Teiler von $f$.
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|
\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen von $G$ lässt bei Division durch $p$ Rest $1$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\section*{Endliche Körper}
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\begin{definition}{Legendre-Symbol}
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Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei
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\[\left(\frac{a}{p}\right) := \begin{cases}
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1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\
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-1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\
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0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist}
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|
\end{cases} \]
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\end{definition}
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\subsection*{Rechenregeln und Beispiele für das Legendre-Symbol}
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\begin{itemize}
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\item[(I)] Eulers Kriterium: $\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \mod p$
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|
\item[(II)] Strikt multiplikativ im Zähler: $\left(\frac{a \cdot b}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right)$
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|
\item[(III)] $a \equiv b \mod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
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|
\item[(IV)] $\left(\frac{a}{3}\right) = a \mod 3$
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|
\item[(V)] Quadratische Reziprozitätsgesetz: Es seinen $p \neq l$ zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt:\\
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$\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) =
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|
(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{l-1}{2}}
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|
$
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|
\item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) =
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\begin{cases}
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1 & \text{, falls } p \equiv 1 \mod 4\\
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|
-1 & \text{, falls } p \equiv 3 \mod 4
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|
\end{cases}
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|
$
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|
\item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) =
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\begin{cases}
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|
1 & \text{, falls } p \equiv \pm 1 \mod 8\\
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|
-1 & \text{, falls } p \equiv \pm 3 \mod 8
|
|
\end{cases}
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|
$
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\item 2 ist quadratischer Rest modulo 7, da: $2 \equiv 3^2 \mod 7$
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\end{itemize}
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\section*{Elementarteiler}
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Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt:
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\begin{itemize}
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\item $e_1$ ist ggT aller Matrixeinträge
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\item $\prod_{i=1}^r e_i = |\det(M)|$
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\end{itemize}
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\section*{Weiteres}
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Finden von Zerlegungen von Elementen im Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] := \Set{a + b \sqrt{d} | a, b \in \mathbb{Z}}$:
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\begin{align*}
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N: \mathbb{Z}[\sqrt{d}] &\rightarrow \mathbb{N}_0\\
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N(a+b \sqrt{d}) :&= |(a+b\sqrt{d})(a-b \sqrt{d})|\\
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&= |a^2-b^2 d|
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\end{align*}
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$a$ ist irreduzibel $\Leftrightarrow N(a)$ ist prim
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\end{document}
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