%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe} \section{Topologische Mannigfaltigkeiten} \begin{definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$. \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$ offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$. \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} auf $X$ ist eine Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$, sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$. \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit}, wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt. \end{enumerate} \end{definition} \begin{bemerkung} \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$ \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph. Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer): Ist $U \subseteq \mdr^n$ offen und $f: U \rightarrow \mdr^n$ stetig und injektiv, so ist $f(U)$ offen. Ist $n < m$ und $\mdr^m$ homöomorph zu $\mdr^n$, so wäre \[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\] eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$ offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch \end{enumerate} \end{bemerkung} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus einer Karte. \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus einer Karte: \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\] \item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $2n$. $\mdp^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$ \begin{align*} U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\ (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_i}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\ (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n) \end{align*} ist bijektiv. Die $U_i,\; i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atals. \begin{align*} x &= (1:0:0) &y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2\\ \in U_0 &\rightarrow \mdr^2 &y &\mapsto (0,1)\\ x &\mapsto (0,0) &&\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2 \end{align*} Umgebung $\fB_1(0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = v_1$ $V_1 \cap V_2 = \emptyset$? $(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\ $\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\ $\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\ $\Rightarrow$ Widerspruch \item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Karten: $O_i := \Set{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\ $(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_i, \dots, x_{n+1})$\\ $(x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}, x_i, \cdots, x_n)\mapsfrom (x_1, \dots, x_n)$\\ $S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (C_i \cup D_i)$ \item $[0,1]$ ist keine Mannigfaltigkeit, denn:\\ Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph zu einem offenem Intervall ist. \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist keine Mannigfaltigkeit. \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine Mannigfaltigkeit. \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (O_1, O_2)$ \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw \begin{cases} U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } O_1 \notin U, O_2 \in U\\ \exists \varepsilon > 0 \text{ mit } (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } O_1 \in U, O_2 \in U \end{cases}\] Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{O_1}$ und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{O_2}$ offen und homöomorph zu $\mdr$. \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch! Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $O_1$ und $O_2$. \item $\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine Mannigfaltigkeit bilden. \end{enumerate} \end{beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 14.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\xindex{Verklebung} Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$ und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u) \forall{u \in U}$ erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten Quotiententopologie. $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$. $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten. Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. \end{definition} \begin{korollar} Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$. \end{korollar} \begin{beweis} Produkte von Karten sind Karten. $\qed$ \end{beweis} \begin{beispiel} Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1: \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph \item $S^1$ \end{enumerate} Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2: \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $\mdr^2$ \item $S^2$ (0 Henkel) \item $T^2$ (1 Henkel) \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in Abb. \ref{fig:double-torus} \end{enumerate} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png} \caption{Zweifachtorus} \label{fig:double-torus} \end{figure} \end{beispiel} \begin{korollar} Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}. Dann gilt: \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$ \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \forall{x \in X}$, so ist $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium} \end{enumerate} \end{korollar} \begin{beweis} \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist, gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$ mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$ ist offen. \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$, $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$. Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun: Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$ eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von $x$ in $X$ ist. \end{enumerate} $\qed$ \end{beweis} \begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel} \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$, $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$ \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$ \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{ \input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex} \label{fig:semicubical-parabola-2d} }% \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{ \input{figures/2d-semicubical-parabola.tex} \label{fig:semicubical-parabola-3d} }% \label{Neilsche-Parabel} \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.} \end{figure} Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$. Daher ist Korollar \label{Mannigfaltigkeitskriterium} nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand} Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie. $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$ offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge von \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\] ist. $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}. \end{definition} \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[Halbraum]{ \input{figures/topology-halfspace.tex} \label{fig:half-space} }% \subfloat[Pair of pants]{ \input{figures/topology-pair-of-pants.tex} \label{fig:pair-of-pants} }% \subfloat[Sphäre mit einem Loch]{ \input{figures/topology-sphere-with-hole.tex} \label{fig:sphere-with-hole} }% \label{Mannigfaltigkeiten mit Rand} \caption{Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Rand} \end{figure} \begin{definition}\xindex{Rand} Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\] \textbf{Rand} von $X$. \end{definition} $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\xindex{bergangsfunktion} Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt \begin{align*} \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\ \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j) \end{align*} \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}. \end{enumerate} \end{definition} \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-kartenwechsel.tex} \caption{Kartenwechsel} \label{fig:kartenwechsel} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 19.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten} \begin{definition} Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$. \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare}, wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$ $k$-mal stetig differenzierbar ist. \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte}, wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^\infty$ ist. \end{enumerate} \end{definition} \begin{definition} Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$. \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Eine Karte $(U, \varphi)$ auf $X$ heißt \textbf{verträglich}\xindex{verträglich} mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$ und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$) differenzierbar von Klasse $C^k$ sind. \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf $X$ bildet einen maximalen Atlas von Klasse $C^k$. Er heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{$C^k$-Struktur} auf $X$. Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare} auf $X$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{bemerkung} Für $n \geq 4$ gibt es auf $S^n$ mehrere verschiedene differenzierbare Strukturen, die sog. \enquote{exotische Sphären}\xindex{Sphäre!exotische}. \end{bemerkung} \begin{definition} Seien $X, Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, $x \in X$. \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] \item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar} \textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare} in $X$ (von Klasse $C^k$), wenn es Karten $(U, \varphi)$ von $X$ mit $x \in U$ und $(V, \psi)$ von $Y$ mit $f(U) \subseteq V$ gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist. \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}\todo{stimmt das so?} (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ differenzierbar ist. \item $f$ heißt \textbf{Diffieomorphismus}\xindex{Diffieomorphismus}, wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$ von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \text{id}_X$ und $f \circ g = \text{id}_Y$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{korollar} Die Bedingung in Definition \ref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht von den gewählten Karten ab. \end{korollar} \begin{beweis} Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$ um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$. \begin{align*} \Rightarrow &\psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}\\ = &\psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1} \end{align*} ist genau dann differenzierbar, wenn $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ differenzierbar ist. \end{beweis} \begin{beispiel} $f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein Diffieomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$ gilt: $f \circ g = \text{id}_\mdr, \;\;\; g \circ f = \text{id}_\text{\mdr}$ \end{beispiel} \begin{bemerkung} Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist \[\text{Diffeo}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\] eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$. \end{bemerkung} \begin{definition} Eine Teilmenge $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche}\xindex{Fläche!reguläre}, wenn es für jedes $s \in S$ eine Umgebung $V$ von $\sin{\mdr^3}$ eine offene Teilmenge $F: U \rightarrow V \cap S$ gibt, sodass die Jacobi-Matrix $J_F(u)$ für alle $u \in U$ Rang 2 hat. $F$ heißt (lokale) reguläre Parametrisierung von $S$. \begin{align*} F(u,v) &= \left (x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right )\\ J_F(u,v) &= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\ \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\ \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p) \end{pmatrix} \end{align*} \end{definition} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Rotationsflächen: Sei $r:\mdr \rightarrow \mdr_{> 0}$ eine differenzierbare Funktion. $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3 \;\;\; (u,v) \mapsto (r(u) \cos (u), r(v) \sin(u), v)$ \begin{figure} \centering \subfloat[Kugelkooridnaten]{ \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf} \label{fig:spherical-coordinates} }% \subfloat[Rotationskörper]{ \input{figures/solid-of-revolution.tex} \label{fig:solid-of-revolution} }% \subfloat[Sinus und Cosinus]{ \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf} \label{fig:sin-cos} }% \label{Formen} %\caption{} \end{figure} \[J_F(u,v) = \begin{pmatrix} -r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\ r(v) \cos u & r'(v) \sin u\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$. \item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3, \;\;\; (u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$ $F(u,v) \in S_R^2$, denn \begin{align*} & R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\ =& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\ =& R^2 \left (\cos^2(v) (\cos^2(u) + \sin^2(u)) + \sin^2(v) \right)\\ =& R^2 \left (\cos^2(v) + \sin^2(v) \right)\\ =&R^2 \end{align*} Die Jacobi-Matrix \[J_F(u,v) = \begin{pmatrix} -R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\ R \cos v \cos u & -R \sin v \sin u\\ 0 & R \cos v \end{pmatrix}\] hat Rang 2 für $\cos v \neq 0$. In $N$ und $S$ ist $\cos v = 0$. \end{enumerate} \end{beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 21.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition} $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche}\xindex{Fläche!reguläre} $:\gdw$ zu $s \in S$ ex. eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ und offene Teilmengen $U \subseteq \mdr^2$ und differenzierbare Abbildung $F: U \rightarrow V \cap S$ mit $\text{Rg}(J_f(u)) = 2$ für alle $u \in U$. \end{definition} \begin{korollar} Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit. \end{korollar} \begin{beweis} \todo{Hier muss ich nochmals drüberlesen.} \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist Diffeomorphismus \todo[inline]{Bild $F_j^{-1} \circ F_i$} \underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\tilde{F_j^{-1}}$ in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\tilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$. \underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0), v_0 \in U_j$. Da $\rang{J_{F_j}(v_0)} = 2$ ist, ist \obda \[\det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} (v_0) \neq 0 \] und $F_j(u,v) = \left ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right)$. Definiere $\tilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch \[\tilde{F_j} (u, v, t) = \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\] Offensichtlich: $\tilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$ \[J_{\tilde{F_j}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det J_{\tilde{F_j}} (v_0, 0) \neq 0\] $\xRightarrow{\text{Analysis II}}$ Es gibt Umgebungen $W$ von $F_j$ von $\tilde{F_j}(v_0, 0) = F_j(v_0) = s$, sodass $\tilde{F_j}$ auf $W$ eine differenzierbar Inverse $F_j^{-1}$ hat. Weiter ist $\tilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} = F_j^{-1} |_{W \cap S}$ $\Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} = F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)}$ ist differenzierbar. \end{beweis} \begin{definition} Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit, $\circ: G \times G \rightarrow G$ eine Abbildung, $(g,h) \mapsto g \cdot h$, sodass $(G, \circ)$ eine Gruppe ist. \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische}, wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$ und $\iota: G \rightarrow G$. \[(g, h) \mapsto g \cdot h\;\;\; g \mapsto g^{-1}\] stetig sind. \item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt $G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn $(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind. \end{enumerate} \end{definition} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen. \item $\text{GL}_n(\mdr)$ \item $(\mdr^\times, \cdot)$ \item $(\mdr_{>0}, \cdot)$ \item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist nach allen Variablen differenzierbar $(A^{-1}) (i,j) = \frac{\det(A_{ij})}{\det A}$ \[A_{ij} = \begin{pmatrix} a_{i1} & \dots & a_{in}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\] ist diffbar. $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da: \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\] \item $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \text{GL}_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren} $\text{grad}(\det-1)(A) = 0$? $\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$ Es gibt $i \in \Set{1, \dots, n}$ mit $\frac{\partial}{\partial a_{1i}} (\det -1) A \neq 0$ \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{bemerkung} Ist $G$ eine Lie-Gruppe, $g \in G$, so ist die Abbildung \begin{align*} l_g &: G \rightarrow G\\ h &\mapsto g \cdot h \end{align*} ein Diffieomorphismus. \end{bemerkung} \section{Simplizialkomplex} \begin{definition} $v_0, \dots, v_k$ \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] \item in allgemeiner Lage $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig. \item $\text{conv}(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $ \end{enumerate} \end{definition} \begin{definition} \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] \item Sei $\Delta^n = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$ \todo{stimmen die indizes?} die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$. $\Delta^k$ heißt Standard-Simplex. \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$ ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$. \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$, so heißt $s_{i_0} \dots i_r := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$ \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite} von $\Delta$. $s_{i_0} \dots i_r$ ist $r$-Simplex. \end{enumerate} \end{definition} \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[0-Simplex $\Delta^0$]{ \parbox{5cm}{\centering\input{figures/topology-simplex-0.tex}} \label{fig:simplex-0} } \subfloat[1-Simplex $\Delta^1$]{ \input{figures/topology-simplex-1.tex} \label{fig:simplex-1} }% \subfloat[2-Simplex $\Delta^2$]{ \input{figures/topology-simplex-2.tex} \label{fig:simplex-2} }% \subfloat[3-Simplex $\Delta^3$]{ \input{figures/topology-simplex-3.tex} \label{fig:simplex-3} }% \label{fig:k-simplexe} \caption{Beispiele für $k$-Simplexe} \end{figure} % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. \input{Kapitel2-UB}