\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl} \usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math \usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts \usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts \usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout \usepackage{hyperref} % links im text \usepackage{color} \usepackage{framed} \usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists \usepackage{braket} % needed for Set \clubpenalty = 10000 % Schusterjungen verhindern \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern \hypersetup{ pdfauthor = {Martin Thoma}, pdfkeywords = {EAZ}, pdftitle = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Custom definition style, by % % http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt % Frame with a label at top \newcommand\LabFrame[2]{% \fboxrule=\FrameRule \fboxsep=-\errorsize \textcolor{FrameColor}{% \fbox{% \vbox{\nobreak \advance\FrameSep\errorsize \begingroup \advance\baselineskip\FrameSep \hrule height \baselineskip \nobreak \vskip-\baselineskip \endgroup \vskip 0.5\FrameSep \hbox{\hskip\FrameSep \strut \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}% \nobreak \nointerlineskip \vskip 1.3\FrameSep \hbox{\hskip\FrameSep {\normalcolor#2}% \hskip\FrameSep}% \vskip\FrameSep }}% }} \definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} \newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}% \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} }{\endMakeFramed} \newcounter{definition} \newenvironment{definition}[1]{% \par \refstepcounter{definition}% \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1} \noindent\ignorespaces} {\end{contlabelframe}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % NPC-Box % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt % Frame with a label at top \newcommand\LabFrameNPC[2]{% \fboxrule=\FrameRule \fboxsep=-\errorsize \textcolor{FrameColorNPC}{% \fbox{% \vbox{\nobreak \advance\FrameSep\errorsize \begingroup \advance\baselineskip\FrameSep \hrule height \baselineskip \nobreak \vskip-\baselineskip \endgroup \vskip 0.5\FrameSep \hbox{\hskip\FrameSep \strut \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}% \nobreak \nointerlineskip \vskip 1.3\FrameSep \hbox{\hskip\FrameSep {\normalcolor#2}% \hskip\FrameSep}% \vskip\FrameSep }}% }} \definecolor{FrameColorNPC}{rgb}{0.25,0.25,0.25} \definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0} \newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% % Optional continuation label defaults to the first label plus \def\Frame@Lab{#2}% \def\FrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}% \def\FirstFrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}% \def\MidFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}% \def\LastFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}% \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} }{\endMakeFramed} \newcounter{npcproblem} \newenvironment{satz}[2]{% \par \refstepcounter{npcproblem}% \begin{contlabelframenpc}{Satz \thenpcproblem:\quad {#1}} \noindent\ignorespaces} {\end{contlabelframenpc}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Begin document % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \section*{Unendlich viele Primzahlen} \begin{satz}{Euklid}{} Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler, aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er wegen $p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen. Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$ \end{satz} \begin{satz}{Euler} \underline{Annahme:} Es gibt nur endlich viele Primzahlen $\Set{p_1, \dots, p_k}$ mit $p_1 < \dots < p_k$ Es gilt: \begin{align*} \prod_{i=1}^k \frac{1}{1-p_i^{-1}} &= \prod_{i=1}^k \left ( \sum_{i=1}^\infty p_i^{j_i} \right )\\ &= \sum_{j_1 = 0}^\infty \sum_{j_2=0}^\infty \dots \sum_{j_k = 0}^\infty p_1^{-j_1} \cdot p_2^{-j_2} \cdot \dots \cdot p_k^{-j_k}\\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{align*} \end{satz} \begin{satz}{Dirichlets Primzahlsatz}{} Es sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen $p \equiv 1 \mod n$. \end{satz} \section*{Sylowsätze} \begin{satz}{Erster Sylowsatz}{} Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Dann existiert in $G$ mindestens eine $p$-Sylowgruppe. \end{satz} \begin{satz}{Zweiter Sylowsatz}{} Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Weiter sei $\#G = p^e \cdot f$ die Zerlegung von $\#G$ in eine $p$-Potenz und eine Zahl $f$, die kein Vielfaches von $p$ ist. Dann gelten die folgenden Aussagen: \begin{enumerate} \item Jede $p$-Untergruppe $H$ von $G$ ist in einer $p$-Sylowgruppe von $G$ enthalten. \item Je zwei $p$-Sylowgruppen von $G$ sind zueinander konjugiert. \item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen ist ein Teiler von $f$. \item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen von $G$ lässt bei Division durch $p$ Rest $1$. \end{enumerate} \end{satz} \section*{Endliche Körper} \begin{definition}{Legendre-Symbol} Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei \[\left(\frac{a}{p}\right) := \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist} \end{cases} \] \end{definition} \subsection*{Rechenregeln und Beispiele für das Legendre-Symbol} \begin{itemize} \item[(I)] Eulers Kriterium: $\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \mod p$ \item[(II)] Strikt multiplikativ im Zähler: $\left(\frac{a \cdot b}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right)$ \item[(III)] $a \equiv b \mod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$ \item[(IV)] $\left(\frac{a}{3}\right) = a \mod 3$ \item[(V)] Quadratische Reziprozitätsgesetz: Es seinen $p \neq l$ zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt:\\ $\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{l-1}{2}} $ \item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{, falls } p \equiv 1 \mod 4\\ -1 & \text{, falls } p \equiv 3 \mod 4 \end{cases} $ \item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{, falls } p \equiv \pm 1 \mod 8\\ -1 & \text{, falls } p \equiv \pm 3 \mod 8 \end{cases} $ \item 2 ist quadratischer Rest modulo 7, da: $2 \equiv 3^2 \mod 7$ \end{itemize} \section*{Elementarteiler} Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt: \begin{itemize} \item $e_1$ ist ggT aller Matrixeinträge \item $\prod_{i=1}^r e_i = |\det(M)|$ \end{itemize} \section*{Weiteres} Finden von Zerlegungen von Elementen im Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] := \Set{a + b \sqrt{d} | a, b \in \mathbb{Z}}$: \begin{align*} N: \mathbb{Z}[\sqrt{d}] &\rightarrow \mathbb{N}_0\\ N(a+b \sqrt{d}) :&= |(a+b\sqrt{d})(a-b \sqrt{d})|\\ &= |a^2-b^2 d| \end{align*} $a$ ist irreduzibel $\Leftrightarrow N(a)$ ist prim \end{document}