\subsection{Überblick}
DYCOS (\underline{DY}namic \underline{C}lassification 
algorithm with c\underline{O}ntent and \underline{S}tructure) ist ein 
Knotenklassifizierungsalgorithmus, der Ursprünglich in \cite{aggarwal2011} vorgestellt 
wurde.

Ein zentrales Element des DYCOS-Algorithmus ist der sog.
{\it Random Walk}:

\begin{definition}[Random Walk, Sprung]
    Sei $G = (V, E)$ mit $E \subseteq V \times V$ ein Graph und 
    $v_0 \in V$ ein Knoten des Graphen.

    %Sei außerdem $f: V \rightarrow \mathcal{P}(V)$ eine Abbildung
    %mit der Eigenschaft:
    %\[ \forall v \in V \forall v' \in f(v): \exists \text{Weg von } v \text{ nach } v'\]

    Ein Random Walk der Länge $l$ auf $G$, startend bei $v_0$ ist
    nun der zeitdiskrete stochastische Prozess, der $v_i$
    auf einen zufällig gewählten Nachbarn $v_{i+1}$ abbildet 
    (für $i \in 0, \dots, l-1$).
    Die Abbildung $v_i \mapsto v_{i+1}$ heißt ein Sprung.
\end{definition}

Der DYCOS-Algorithmus klassifiziert einzelne Knoten, indem $r$ Random Walks der Länge $l$,
startend bei dem zu klassifizierenden Knoten $v$ gemacht werden. Dabei
werden die Labels der besuchten Knoten gezählt. Das Label, das am häufigsten
vorgekommen ist, wird als Label für $v$ gewählt.
DYCOS nutzt also die sog. Homophilie, d.~h. die Eigenschaft, dass
Knoten, die nur wenige Hops von einander entfernt sind, häufig auch
ähnlich sind \cite{bhagat}. Der DYCOS-Algorithmus arbeitet jedoch nicht 
direkt auf dem Graphen, sondern erweitert ihn mit 
Hilfe der zur Verfügung stehenden Texte. Wie diese Erweiterung 
erstellt wird, wird im Folgenden erklärt.\\
Für diese Erweiterung wird zuerst wird Vokabular $W_t$ bestimmt, das 
charakteristisch für eine Knotengruppe ist. Wie das gemacht werden kann
und warum nicht einfach jedes Wort in das Vokabular aufgenommen wird,
wird in \cref{sec:vokabularbestimmung} erläutert.\\
Nach der Bestimmung des Vokabulars wird für 
jedes Wort im Vokabular ein Wortknoten zum Graphen hinzugefügt. Alle
Knoten, die der Graph zuvor hatte, werden nun \enquote{Strukturknoten}
genannt.
Ein Strukturknoten $v$ wird genau dann mit einem Wortknoten $w \in W_t$
verbunden, wenn $w$ in einem Text von $v$ vorkommt.
Der DYCOS-Algorithmus betrachtet also die Texte, die einem Knoten 
zugeordnet sind, als eine Multimenge von Wörtern. Das heißt, zum einen 
wird nicht auf die Reihenfolge der Wörter geachtet, zum anderen wird 
bei Texten eines Knotens nicht zwischen verschiedenen 
Texten unterschieden. Jedoch wird die Anzahl der Vorkommen 
jedes Wortes berücksichtigt.

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/graph-content-and-structure.tex}
    \caption{Erweiterter Graph}
    \label{fig:erweiterter-graph}
\end{figure}

Entsprechend werden zwei unterschiedliche Sprungtypen unterschieden,
die strukturellen Sprünge und inhaltliche Mehrfachsprünge:

\begin{definition}[struktureller Sprung]
    Sei $G_{E,t} = (V_t, E_{S,t} \cup E_{W,t}, V_{L,t}, W_{t})$ der
    um die Wortknoten $W_{t}$ erweiterte Graph.

    Dann heißt das zufällige wechseln des aktuell betrachteten
    Knoten $v \in V_t$ zu einem benachbartem Knoten $w \in V_t$
    ein struktureller Sprung.
\end{definition}
\goodbreak
Im Gegensatz dazu benutzten inhaltliche Mehrfachsprünge
tatsächlich die Grapherweiterung:
\begin{definition}[inhaltlicher Mehrfachsprung]
    Sei $G_t = (V_t, E_{S,t} \cup E_{W,t}, V_{L,t}, W_{t})$ der
    um die Wortknoten $W_{t}$ erweiterte Graph.

    Dann heißt das zufällige wechseln des aktuell betrachteten
    Knoten $v \in V_t$ zu einem benachbartem Knoten $w \in W_t$
    und weiter zu einem zufälligem Nachbar $v' \in V_t$ von $w$
    ein inhaltlicher Mehrfachsprung.
\end{definition}

Jeder inhaltliche Mehrfachsprung beginnt und endet also in einem Strukturknoten,
springt über einen Wortknoten und ist ein Pfad der Länge~2.

Ob in einem Sprung der Random Walks ein struktureller Sprung oder
ein inhaltlicher Mehrfachsprung gemacht wird, wird jedes mal zufällig
neu entschieden. Dafür wird der Parameter $0 \leq p_S \leq 1$ für den Algorithmus 
gewählt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_S$ wird ein struktureller
Sprung durchgeführt und mit einer Wahrscheinlichkeit
von $(1-p_S)$ ein modifizierter inhaltlicher Mehrfachsprung, wie er in
\cref{sec:sprungtypen} erklärt wird, gemacht. Der 
Parameter $p_S$ gibt an, wie wichtig die Struktur des Graphen im Verhältnis
zu den textuellen Inhalten ist. Bei $p_S = 0$ werden ausschließlich
die Texte betrachtet, bei $p_S = 1$ ausschließlich die Struktur des
Graphen.

Die Vokabularbestimmung kann zu jedem Zeitpunkt $t$ durchgeführt 
werden, muss es aber nicht.

In \cref{alg:DYCOS} wird der DYCOS-Algorithmus als 
Pseudocode vorgestellt.

\begin{algorithm}
    \begin{algorithmic}[1]
        \Require \\$G_{E,t} = (V_t, E_{S,t} \cup E_{W,t}, V_{L,t}, W_t)$ (Erweiterter Graph),\\
                 $r$ (Anzahl der Random Walks),\\
                 $l$ (Länge eines Random Walks),\\
                 $p_s$ (Wahrscheinlichkeit eines strukturellen Sprungs),\\
                 $q$ (Anzahl der betrachteten Knoten in der Clusteranalyse)
        \Ensure  Klassifikation von $V_t \setminus V_{L,t}$\\
        \\

        \ForAll{Knoten $v \in V_t \setminus V_{L,t}$}
            \State $d \gets $ defaultdict
            \For{$i = 1, \dots,r$}
                \State $w \gets v$
                \For{$j= 1, \dots, l$}
                    \State $sprungTyp \gets \Call{random}{0, 1}$
                    \If{$sprungTyp \leq p_S$}
                        \State $w \gets$ \Call{SturkturellerSprung}{$w$}
                    \Else
                        \State $w \gets$ \Call{InhaltlicherMehrfachsprung}{$w$}
                    \EndIf
                    \State $w \gets v.\Call{GetLabel}{ }$ \Comment{Zähle das Label}
                    \State $d[w] \gets d[w] + 1$
                \EndFor
            \EndFor

            \If{$d$ ist leer} \Comment{Es wurde kein gelabelter Knoten gesehen}
                \State $M_H \gets \Call{HäufigsteLabelImGraph}{ }$
            \Else
                \State $M_H \gets \Call{max}{d}$
            \EndIf
            \\
            \State \textit{//Wähle aus der Menge der häufigsten Label $M_H$ zufällig eines aus}
            \State $label \gets \Call{Random}{M_H}$ 
            \State $v.\Call{AddLabel}{label}$ \Comment{und weise dieses $v$ zu}
        \EndFor
        \State \Return Labels für $V_t \setminus V_{L,t}$
    \end{algorithmic}
\caption{DYCOS-Algorithmus}
\label{alg:DYCOS}
\end{algorithm}

\subsection{Datenstrukturen}
Zusätzlich zu dem gerichteten Graphen $G_t = (V_t, E_t, V_{L,t})$ 
verwaltet der DYCOS-Algorithmus zwei weitere Datenstrukturen:
\begin{itemize}
    \item Für jeden Knoten $v \in V_t$ werden die vorkommenden Wörter,
          die auch im Vokabular $W_t$ sind,
          und deren Anzahl gespeichert. Das könnte z.~B. über ein 
          assoziatives Array geschehen. Wörter, die nicht in 
          Texten von $v$ vorkommen, sind nicht im Array. Für
          alle vorkommenden Wörter ist der gespeicherte Wert zum 
          Schlüssel $w \in W_t$ die Anzahl der Vorkommen von 
          $w$ in den Texten von $v$.
    \item Für jedes Wort des Vokabulars $W_t$ wird eine Liste von 
          Knoten verwaltet, in deren Texten das Wort vorkommt.
          Diese Liste wird bei den inhaltlichen Mehrfachsprung,
          der in \cref{sec:sprungtypen} erklärt wird,
          verwendet.
    \item An einigen Stellen macht ein assoziatives Array, auch 
          \enquote{dictionary} oder \enquote{map} genannt, Sinn.
          Zustätzlich ist es nützlich, wenn diese Datenstruktur für 
          unbekannte Schlüssel keinen Fehler ausgibt, sondern für diese
          Schlüssel den Wert 0 annimmt. Eine solche Datenstruktur
          wird in Python \texttt{defaultdict} genannt und ich werde
          im Folgenden diese Benennung beibehalten.
\end{itemize}

\input{Sprungtypen}
\input{Vokabularbestimmung}