Stets in diesem Kapitel: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\) \begin{definition} Sei \(p\in[1,+\infty]\). \[ p':=\begin{cases} \infty&,\,p=1\\ 1&,\,p=\infty\\ \frac{p}{p-1}&,\,10:\,f(t):=\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}-t^{\frac{1}{p}}\) Übung: \(\min\{f(t)\mid t>0\}=f(1)=0\) D.h.: \(t^{\frac{1}{p}}\leq\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}\quad\forall t>0\) Seien \(u,v>0,\,t:=\frac{u}{v}\). Dann: \(\frac{u^{\frac{1}{p}}}{v^{\frac{1}{p}}}\leq\frac{u}{vp}+\frac{1}{p'}\). Daraus folgt \(u^{\frac{1}{p}}v^{1-\frac{1}{p}}\leq\frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\implies u^{\frac{1}{p}}v^{\frac{1}{p'}}\leq \frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\) Seien \(x,y>0:\,u:=x^{p},\,v:=y^{p'}\). Dann: \(xy\leq\frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{p'}}{p'}\). Im Falle \(x=0\) oder \(y=\infty\) ist die Ungleichung trivialerweise richtig. \end{beweis} \begin{erinnerung} Sei \(f:\,X\to\mdr\) messbar und \(p>0\), so ist \(\lvert f\rvert^{p}\) messbar (vgl. Kapitel 3). Es gilt: \(\lvert f\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\Leftrightarrow \int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}<\infty\) \end{erinnerung} \begin{definition} \begin{enumerate} \item Sei \(p\in[1,\infty)\). \(\fl^{p}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f \text{ ist messbar und }\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x<\infty}\}\). Für \(f\in\fl^{p}(X)\): \(\lVert f\rVert_{p}=\left(\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p}}\) \item \(\fl^{\infty}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und }f\text{ ist f.ü. beschränkt}\}\) Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert=\inf\{c>0\mid \exists\text{Nullmenge }N_{c}\subseteq X: \lvert f(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\}\) \end{enumerate} \end{definition} \begin{bemerkung} Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). \end{bemerkung} \begin{beweis} Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\)) \end{beweis} \begin{beispiel} Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\) \begin{enumerate} \item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\] konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\) \item \[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\] konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$ \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{satz} \label{Satz 16.1} Sei \(p\in[1,\infty]\) und \(p'\) wie zu Anfang dieses Kapitels, also \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\). \begin{enumerate} \item Sei \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(g\in\fl^{p'}(X)\). \index{Ungleichung!Hölder} Dann ist \(fg\in\fl^{1}(X)\) und es gilt die \textbf{Höldersche Ungleichung}: \[ \lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'} \] \index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so heißt obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}. \item \(\fl^{p}(X)\) ist ein reeller Vektorraum und für \(f,g\in\fl^{p}(X)\) gilt die \textbf{Minkowskische Ungleichung}: \index{Ungleichung!Minkowski} \[ \lVert f+g\rVert_{p}\leq\lVert f\rVert_{p}+\lVert g\rVert_{p} \] \end{enumerate} \end{satz} \begin{beweis} \begin{enumerate} \item Unterscheide die folgenden Fälle: \begin{itemize} \item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\). Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). \(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\) Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall, bzw. \(\lvert fg\rvert=\lvert f\tilde{g}\rvert\) fast überall. Dann: \[ \int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty \] Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\) liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\) \item[Fall 2:] Sei \(10\) und \(\lVert g\rVert_{p'}>0\). Aus obigem Hilfssatz: \[ \frac{\lvert f(x)\rvert}{\lVert f\rVert_{p}}\cdot\frac{\lvert g(x)\rvert}{\lVert g\rVert_{p'}}\leq\frac{1}{p}\frac{\lvert f(x)\rvert^{p}}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}+\frac{1}{p'}\frac{\lvert g(x)\rvert^{p'}}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\quad\forall x\in X \] Integration liefert: \begin{align*} \frac{1}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'}}\int_{X}{\lvert f(x)g(x)\rvert\mathrm{d}x} &\leq\frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}+ \frac{1}{p'}\cdot\frac{1}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\int_{X}{\lvert g\rvert^{p'}\mathrm{d}x}\\ &=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\\ &=1<\infty \end{align*} Daraus folgt: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \[ \frac{\lVert fg\rVert_{1}}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p}}\leq 1\Leftrightarrow \lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p} \] \end{itemize} \item Klar: Ist \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(\alpha\in\mdr\), so ist \(\alpha f\in\fl^{p}(X)\) \begin{itemize} \item[Fall 1:] \(p=1\): Mit \ref{Satz 4.11} folgt: \(\fl^{1}(X)\) ist ein reeller Vektorraum. Seien \(f,g\in\fl^{1}(X)\). Dann: \(\lvert f+g\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert\) auf \(X\). Damit: \[ \int_{X}{\lvert f+g\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}+\int_{X}{\lvert g\rvert\mathrm{d}x} \] \item[Fall 2:] \(p=\infty\): Seien \(f,\,g\in\fl^{\infty}(X)\). Seien \(c_{1},\,c_{2}>0\) und \(N_{1},\,N_{2}\subseteq X\) Nullmengen und \(\lvert f(x)\rvert\leq c_{1}\forall x\in X\setminus N_{1},\,\lvert g(x)\rvert\leq c_{2}\forall x\in X\setminus N_{2}\). \(N=N_{1}\cup N_{2}\) ist eine Nullmenge. Dann: \(\lvert f(x)+g(x)\rvert\leq\lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert\leq c_{1}+c_{2} \forall x\in X\setminus N\). Es folgt: \(f+g\in\fl^{\infty}(X)\) und \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq c_{1}+c_{2}\). Übergang zum Infimum über alle solche \(c_{1}\), bzw. \(c_{2}\), liefert: \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq\lVert f\rVert_{\infty}+\lVert g\rVert_{\infty}\). \item[Fall 3:] Sei \(11$, dann ist $\frac 1{r'}=1-\frac pq$. Aus $|f|^{pr}=|f|^q\in\fl^1(X)$ folgt $|f|^p\in\fl^r(X)$. Definiere $g:=\mathds{1}_X$, dann ist $g\in\fl^{r'}(X)$, da $\lambda_d(X)<\infty$. Wegen \ref{Satz 16.1} gilt dann: \[g\cdot|f|^p\in\fl^1(X)\implies |f|^p\in\fl^1(X)\implies f\in\fl^p(X)\] Aus der Hölderschen Ungleichung folgt: \begin{align*} \|f\|^p_p&=\|g\cdot |f|^p\|_1\\ &\le \|g\|_{r'}\cdot\||f|^p\|_r\\ &= (\int_X g^{r'}\text{ d}x)^{\frac 1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{pr}\text{ d}x)^{\frac 1r}\\ &= \lambda_d(X)^{\frac1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{q}\text{ d}x)^{\frac pq}\\ &= \lambda_d(X)^{1-\frac pq}\cdot\|f\|^p_q \end{align*} Also gilt: \[\|f\|_p\le\lambda_d(X)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q\] \end{beweis} \begin {beispiel} \begin{enumerate} \item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p0)$. Dann gilt nach \ref{Satz 4.14} und Analysis I: \begin{align*} f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\ &\iff\alpha p<1\\ &\iff \alpha<\frac 1p \end{align*} Sei $\frac 1q<\alpha<\frac 1p$, dann ist $f\in\fl^p(X)$ und $f\not\in\fl^q(X)$. D.h. $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$ und aus \ref{Satz 16.2} folgt $\fl^q(X)\subseteq\fl^p(X)$. \item Sei $X:=[1,\infty)$, $p=1$, $q\in(1,\infty)$ und $f(x):=\frac 1x$. Dann gilt nach \ref{Satz 4.14} und Analysis I: $f\not\in\fl^p(X)$ und $f\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^q(X)\not\subseteq\fl^p(X)$.\\ Definiere $g(x):=\mathds{1}_{[1,2)}\cdot (2-x)^{-\frac 1q}$. Übung: $g\in\fl^p(X)$ und $g\not\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$. \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{satz}[Satz von Lebesgue ($\fl^p$-Version)] \label{Satz 16.3} Sei $1\le p<\infty$, $f:X\to\mdr$ sei messbar, $g:X\to[0,\infty]$ integrierbar und $(f_n)$ eine Folge in $\fl^p(X)$ mit den Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $f_n\to f$ f.ü. auf $X$ \item $\forall n\in\mdn: |f_n|^p\le g$ f.ü. auf $X$. \end{enumerate} Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt \[\|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\] \end{satz} \begin{beweis} Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü. Im Kapitel 5 haben wir gesehen, dass dann gilt: \[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \] (denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar). Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$. Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.ü. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt: \[ f_n - f \in \fl^p(X) \] Also $g_n \in \fl^1(X)$. Es ist \[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.ü.} \] Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich: \[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \] \end{beweis} Aus \ref{Satz 16.1} folgt: $\fl^p(X)$ ist ein reeller Vektorraum (VR), wobei für $f,g\in\fl^p(X)$ gilt: \[\|\alpha f\|_p=|\alpha|\cdot \|f\|_p\quad (\alpha\in\mdr)\] \[\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p\] Aber $\|\cdot\|_p$ ist \textbf{keine} Norm auf $\fl^p(X)$! Denn aus $\|f\|_p=0$ folgt nur $f=0$ f.ü. \begin{definition} Es sei $\cn:=\{f:X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und } f=0 \text{ f.ü.}\}$, dann ist $\cn$ ein Untervektorraum von $\fl^p(X)$. Definiere \[L^p(X):=\fl^p(X)\diagup\cn=\{\hat f=f+\cn\mid f\in\fl^p(X)\}\] Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass $L^p(X)$ durch die Skalarmultiplikation \[\alpha\cdot\hat f := \widehat{\alpha f}\] und die Addition \[\hat f+\hat g:=\widehat{f+g}\] zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird. \end{definition} Setze für $\hat f \in L^1(X)$: \[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\] dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.ü. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$. Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere \[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\] wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$. Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze \[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\] (auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ ) \textbf{Dann gilt:} \index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} \begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR). \item Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt: \[ | ( \hat f | \hat g ) | = | \int_X f(x)g(x) \text{ d}x | \leq \int_X |fg| \text{ d}x = \| fg \|_1 \overset{\ref{Satz 16.1}}{\leq} \| f \|_2 \| g \|_2 = \| \hat f \|_2 \| \hat g \|_2 \] \textbf{(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)} \end{enumerate} \textbf{Nachrechnen:} $( \hat f | \hat g )$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X)$. Es gilt: \[ ( \hat f | \hat f) = \int_X f(x)^2 \text{ d}x = \| \hat f \|_2^2 \] \textbf{Also:} $\| \hat f \|_2 = \sqrt{( \hat f | \hat f )}$ \begin{definition} \index{Prähilbertraum} \index{Hilbertraum} Sei $(B, \| \cdot \|)$ ein normierter Raum. Gilt mit einem Skalarprodukt $( \cdot | \cdot )$ auf $B$: \begin{align*} \tag{$*$} \| v \| = \sqrt{(v | v)} \quad \forall v \in B \end{align*} so heißt $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so heißt $B$ ein \textbf{Hilbertraum}. \end{definition} \textbf{Vereinbarung:} ab jetzt sei stets in diesem Kapitel $1 \leq p < \infty$. \begin{bemerkung} \index{Chauchyfolge} Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\) \begin{enumerate} \item \(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\) mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist. \item \((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit: \begin{align*} \tag{$*$} \| \hat f_n-\hat f_m\|_p =\| f_n-f_m\|_p<\ep\quad\forall n,m\geq n_0 \end{align*} \item Wie in Analysis II zeigt man: gilt \(\| f_n-f\|_p= \| \hat f_n-\hat f\|_p\to 0\), so ist \((\hat f_n)\) eine Cauchyfolge in \(L^p(X)\). \end{enumerate} \end{bemerkung} \begin{satz}[Satz von Riesz-Fischer] \label{Satz 16.4} \((\hat f_n)\) sei eine Cauchyfolge in \(L^p(X)\), das heißt es gilt \((\ast)\) aus obiger Bemerkung (2). Dann existiert ein \(f\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) mit: \begin{enumerate} \item \(f_{n_j}\to f\) fast überall auf \(X\). \item \(\| f_n-f\|_p\to 0 \ \ (n\to\infty)\). \end{enumerate} Das heißt \(L^p(X)\) ist ein Banachraum (\(L^2(X)\) ist ein Hilbertraum). \end{satz} \begin{bemerkung} Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in \ref{Satz 16.4}. Im Allgmeinen wird \textbf{nicht} gelten, dass fast überall \(f_n\to f\) ist. \end{bemerkung} \begin{beispiel} Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen: \[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right], I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \dots\] Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\). Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\). Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge \(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\) und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\). \end{beispiel} \begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}] Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\). Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\) für alle \(l\geq n_1\). Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und \(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\). Etc.\\ Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit \[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\] Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\). Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\] Dann: \begin{align*} S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p \leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p \overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j =\sum^N_{j=1}\frac1{2^j} \leq 1 \end{align*} Setze \[g(x):=\sum^\infty_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert \text{ für } x\in X\] Es ist \(g\geq0\) und messbar. Weiter gilt: \begin{align*} 0\leq \int_X g^p\,dx =\int_X\lim_{N\to\infty}\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right)^p\,dx \overset{\ref{Satz 6.2}}\leq \liminf_{N\to\infty}S_N^p \leq 1 \end{align*} Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\) existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch \(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\). Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem \(x\in X\setminus N_1\) konvergiert. Für \(m\in\mdn\): \[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \] Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\). \begin{align*} f(x):= \begin{cases} \lim_{m\to\infty}f_{n_m}(x) &, x\in X\setminus N_1 \\ 0 &, x\in N_1 \end{cases} \end{align*} Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und \(f(X)\subseteq\mdr\). Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit \[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert + \lvert g\rvert\] Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir \[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \] \(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\) und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\] Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und \(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\). Für \(l\geq n_m\) gilt: \[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p \leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p \overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\] Das heißt \[\| f_l-f\|_p\to0 \ (l\to\infty)\] \end{beweis} \begin{satz} \label{Satz 16.5} Sei auch noch \(1\leq q<\infty\). \((f_n)\) sei eine Folge in \(\fl^p(X)\cap\fl^q(X)\). Es sei \begin{align*} f\in\fl^p(X) & \text{ und } g\in\fl^q(X) \intertext{Weiter gelte: } \| f_n-f\|_p\to 0 & \text{ und } \| f_n-g\|_q\to 0 \ (n\to\infty) \end{align*} Dann ist fast überall \(f=g\). \end{satz} \begin{beweis} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in \(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und \(\| f_n-\varphi\|_p\to0\) \begin{align*} \| f-\varphi\|_p = \| f-f_n+f_n-\varphi\|_p \leq \| f-f_n\|_p + \| f_n-\varphi\|_p \to 0\ \ (n\to\infty) \end{align*} Somit ist \(\| f-\varphi\|_p=0\) und deshalb fast überall \(f=\varphi\). Also gilt fast überall \(f_{n_j}\to f\). Das heißt, dass es eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\) gibt, für die gilt: \[f_{n_j}(x)\to f(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_1\] \item[\textbf{2.}] Setze \(g_j:=f_{n_j}\), dann gilt \(\| g_j-g\|_q\to0\ \ (j\to\infty)\). Wie im ersten Schritt zeigt man, dass eine Nullmenge \(N_2\subseteq X\) und eine Teilmenge \((g_{j_k})\) existiert mit, für die gilt: \[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\] \end{enumerate} Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus \[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \] Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\). \end{beweis} \begin{bemerkung} Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit \(f_{n_j}\to f\) fast überall. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} Konvergenz im Sinne der Norm \(\|\cdot\|_p\) und punktweise Konvergenz fast überall haben im Allgemeinen \textbf{nichts} miteinander zu tun! \end{bemerkung} \begin{beispiel} Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), aber \(f_n\nrightarrow 0\) fast überall. \end{beispiel} \begin{beispiel} %Bild einfügen Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar. \[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\] Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\). \[f_n(x)\to \begin{cases} 0, x\in(0,1]\\ 1, x=0 \end{cases}\] Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber \(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\) \end{beispiel} \begin{definition} \index{Reihe ! unendliche} \index{stetig} Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume. \begin{enumerate} \item Sei \((x_n)\) eine Folge in $E$ und \(s_n:=x_1+x_2+\dots+x_n\) (\natn). Dann heißt \((s_n)\) eine \textbf{unendliche Reihe} und wird mit \[\sum^\infty_{n=1}x_n\] bezeichnet. \(\sum^\infty_{n=1}x_n\) heißt \textbf{konvergent} genau dann, wenn \((s_n)\) konvergiert. In diesem Fall ist \[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\] \item \(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\) genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\) gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\] \(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig. \item Für $(x,y)\in E\times E$ setze \[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\] Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt \[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\] \end{enumerate} \end{definition} \begin{bemerkung} Ist $(x_n)$ eine konvergente Folge in $E$, so ist $(x_n)$ beschränkt (d.h. $\exists c>0: \|x_n\|_1\le c \forall n\in\mdn$). (Beweis wie in Ana I) \end{bemerkung} \begin{vereinbarung} Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und identifizieren $\fl^p(X)$ mit $L^p(X)$. Ebenso schreiben wir $\int_X f\text{ d}x$ statt $\int_X \hat f\text{ d}x$ und $(f|g)$ statt $(\hat f|\hat g)$. \end{vereinbarung} \begin{wichtigesbeispiel} \label{Beispiel 16.6} \begin{enumerate} \item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch \[\Phi(f):=\|f\|_p\] ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also \[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\] \begin{beweis} Aus Analysis II §17 folgt: \[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\] \end{beweis} \item Die Abbildung $\Phi:L^1(X)\to\mdr$ definiert durch \[\Phi(f):=\int_X f\text{ d}x\] ist stetig auf $L^1(X)$. D.h. aus $f_n,f\in L^1(X)$ und $f_n\stackrel{\|\cdot\|_1}\to f$ folgt \[\int_X f_n\text{ d}x\to\int_X f \text{ d}x\] \begin{beweis} Es gilt: \begin{align*} |\int_X f_n \text{ d}x-\int_X f \text{ d}x| &=|\int_X f_n-f \text{ d}x|\\ &\le \int_X |f_n-f| \text{ d}x\\ &= \|f_n-f\|_1\stackrel{n\to\infty}\to 0 \end{align*} \end{beweis} \item Die Abbildung $\Phi:L^2(X)\times L^2(X)\to\mdr$ definiert durch \[\Phi(f,g):=(f|g)\] ist stetig auf $L^2(X)\times L^2(X)$. D.h. für $f_n,g_n,f,g\in L^2(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to f$ und $g_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to g$ gilt \[(f_n|g_n)\stackrel{n\to\infty}\to(f|g)\] \begin{beweis} Es gilt: \begin{align*} |(f_n|g_n)-(f|g)|&=|(f_n|g_n)-(f_n|g)+(f_n|g)-(f|g)|\\ &=|(f_n|g_n-g)+(f_n-f|g)|\\ &\le |(f_n|g_n-g)|+|(f_n-f|g)|\\ &\le \|f_n\|_2\cdot \|g_n-g\|_2 + \|f_n-f\|_2\cdot\|g\|_2\stackrel{n\to\infty}\to 0 \end{align*} \end{beweis} \end{enumerate} \end{wichtigesbeispiel} \begin{satz} \label{Satz 16.7} Sei $f=f_+-f_-\in L^p(X)$ und $(g_n)$ und $(h_n)$ seien zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$ (d.h. $g_n,h_n$ einfach, $0\le g_n\le g_{n+1}, g_n\to f_+$, $0\le h_n\le h_{n+1}, h_n\to f_-$). Setze $f_n:=g_n-h_n$.\\ Dann sind $f_n,g_n,h_n\in L^p(X)$ und es gilt: \begin{align*} &\|g_n-f_+\|_p\to 0&&\|h_n-f_-\|_p\to 0&&\|f_n-f\|_p\to 0 \end{align*} \end{satz} \begin{beweis} Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei also $(f_n)$ zulässig für $f$. Definiere $\varphi:=|f_n-f|^p$. Es ist klar, dass punktweise gilt $\varphi_n\to 0$. Außerdem gilt: \begin{align*} 0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\ &=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\ &=2^pf^p=:g \end{align*} Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\ Aus \ref{Satz 4.9} folgt: \begin{align*} \varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\ &\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X) \end{align*} Aus \ref{Satz 6.2} folgt: \[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\] \end{beweis} \begin{definition} \index{Träger} \begin{enumerate} \item Sei $f:X\to\mdr$. Dann heißt \[\supp (f):=\overline{\{x\in X\mid f(x)\ne 0\}}\] der \textbf{Träger} von $f$ \item $C_c(X,\mdr):=\{f\in C(X,\mdr)\mid \supp(f)\subseteq X\text{ und } \supp(f) \text{ kompakt}\}$ \end{enumerate} \end{definition} \begin{satz} \index{dicht} \label{Satz 16.8} \begin{enumerate} \item $C_c(X,\mdr)\subseteq L^p(X)$ \item Ist $X$ offen, so liegt $C_c(X,\mdr)$ \textbf{dicht} in $L^p(X)$, d.h. ist $f\in L^p(X)$ und $\ep>0$, so existiert $g\in C_c(X,\mdr)$ mit $\|f-g\|_p<\ep$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{beweis} \begin{enumerate} \item Sei $f\in C_c(C,\mdr)$ und $K:=\supp(f)$, dann ist $K\subseteq X$ kompakt, also $K\in\fb_d$. Es gilt für alle $x\in X\setminus K$ $f(x)=0$ und damit folgt aus \ref{Satz 4.12} $\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty$. Dann gilt: \[\int_X |f|^p\text{ d}x=\int_{X\setminus K} |f|^p\text{ d}x+\int_K |f|^p\text{ d}x=\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty\] Also ist $f\in L^p(X)$. \item Siehe Übungsblatt 13. \end{enumerate} \end{beweis}