\chapter{Topologische Grundbegriffe}
\section{Vorgeplänkel}
    \begin{tabular}{lllll}
    Die Kugeloberfläche $S^2$: &  lässt sich zu:          & oder:& verformen: \\
    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
    \end{tabular}

    aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Torus:

    \input{figures/torus.tex}
    %\begin{figure}[h]
    %    \centering
    %    \includegraphics*[width=5cm, keepaspectratio]{figures/Torus.png}
    %    %\caption[Torus]{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus.png}{Wikipedia Commons}: LucasVB; \emph{\enquote{Torus}}; 01.10.2006} 
    %\end{figure}

\section{Topologische Räume}
\begin{definition} \xindex{Topologischer Raum} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
    folgenden Eigenschaften
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\emptyset, X \in \fT$
        \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
    \end{enumerate}
    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 

    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.

\end{definition}

Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\ \xindex{Topologie!euklidische}
              $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
              gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$\\
              Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$
        \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
        \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Topologie} \xindex{Topologie!triviale}
        \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \xindex{Topologie!diskrete}
        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
              Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
        \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
              abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Umgebung}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.

    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie\\
              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Basis} \xindex{Subbasis}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $B$
              ist.
        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
              von Elementen aus $B$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie und
    \[B = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
    ist eine Basis.
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine Menge und $B \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $B$ Subbasis ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.

    $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
\end{definition}