\section*{Aufgabe 2}
\subsection*{Teilaufgabe a}
\textbf{Aufgabe}
Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode zum Lösen des Gleichungssystems
\[Ly = b,\]
wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.

Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.

\textbf{Lösung:} 

\[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=i}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]

\subsection*{Teilaufgabe b}
\[Ax = b ? PAx = Pb ? LRx = Pb \]

Pseudocode:

   \begin{algorithm}[H]
        \begin{algorithmic}
        \Require Matrix $A$, Vektor $b$
		\Procedure{CalculateLegendre}{$A$, $b$}
        	\State $P, L, R \gets \Call{LRZerlegung}{A}$
			\State $b^* \gets Pb$
			\State $c \gets \Call{VorwärtsSubstitution}{L, b^*}$
			\State $x \gets \Call{RückwärtsSubstitution}{R, c}$
			\State \Return $x$
		\EndProcedure
        \end{algorithmic}
    \caption{Calculate TODO}
    \label{alg:TODO}
    \end{algorithm}

\subsection*{Teilaufgabe c}
Der Gesamtaufwand ist:
\begin{itemize}
	\item LR-Zerlegung, $\frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3} n^2$
	\item Vektormultiplikation, $2n$
	\item Vorwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
	\item Rückwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
\end{itemize}