\chapter{Topologische Grundbegriffe} \section{Topologische Räume} \begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}% Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit folgenden Eigenschaften \begin{defenumprops} \item $\emptyset, X \in \fT$ \item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$ \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$, so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$ \end{defenumprops} Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist. \end{definition} Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$. Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. \begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, existieren]% Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie} \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$. Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$ sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$ und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$ sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$ \end{bemerkung} \begin{beispiel}[Topologien] \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $X = \mdr^n$ mit der von der euklidischen Metrik erzeugten Topologie $\fT_{\ts{Euklid}}$: \xindex{Topologie!euklidische} \begin{align*} U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw\;&\text{für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\ &\text{sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$} \end{align*} Diese Topologie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt. Sie beinhaltet unter anderem alle offenen Kugeln, aber z.~B. auch Schnitte zweier Kugeln mit unterschiedlichem Mittelpunkt (vgl. \cref{def:topologie.ii}). \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum. \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT = \powerset{X}$ \enquote{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}. \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\ Beobachtungen: \begin{itemize} \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$ \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$. \end{itemize} \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$ \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \enquote{Sierpińskiraum}.\xindex{Sierpińskiraum}\\ $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$ sind dort alle abgeschlossenen Mengen. \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Umgebung}% Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$, wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$. Gilt eine Eigenschaft in einer Umgebung, so sagt man, dass die Eigenschaft \textbf{lokal}\xindex{lokal} gilt. \end{definition} \begin{definition}% Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. \begin{defenum} \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\overset{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener} \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\mathclap{\overset{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss} \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand} \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht} \end{defenum} \end{definition} \begin{beispiel} \begin{bspenum} \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und $M^\circ = \emptyset$ \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: $\overline{M} = [a,b]$ \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Basis}\xindex{Subbasis}% Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum. \begin{defenum} \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$, wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$ ist. \item $\calS \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis} der Topologie $\fT$, wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Elementen aus $\calS$ ist. \end{defenum} \end{definition} \begin{beispiel}[Basis und Subbasis] \begin{bspenum} \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\ $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a 0}, x \in \mdq^n}\] ist eine abzählbare Basis von $\fT$. \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\ Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von $\fT$, da gilt: \begin{itemize} \item $\calS \subseteq \fT$ \item $\emptyset,\Set{0,1} \text{ und } \Set{0,2} \in \calS$ \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$ \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$ \end{itemize} Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$ erzeugt werden kann. \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung} Sei $X$ eine Menge und $\calS \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\calS$ Subbasis ist. \end{bemerkung} \begin{definition}\xindex{Spurtopologie|see{Teilraumtopologie}}\xindex{Teilraum}\xindex{Teilraumtopologie}\xindex{Unterraumtopologie|see{Teilraumtopologie}}% Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\ $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$. $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$. \end{definition} Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \textit{Unterraumtopologie} genannt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 24.10.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\xindex{Produkttopologie}% Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\ $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$ Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$ gilt. $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$ ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}. $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$ ist eine Basis von $\fT$. \end{definition} \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/neighbourhood-topology} \caption{Zu $x=(x_1, x_2)$ gibt es Umgebungen $U_1, U_2$ mit $U_1 \times U_2 \subseteq U$} \end{figure} \begin{beispiel}[Produkttopologien] \begin{bspenum} \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.\\ $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$ stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein. \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie. $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$\\ (Siehe \cref{fig:zariski-topologie}) \end{bspenum} \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/zariski-topology} \caption{Zariski-Topologie auf $\mdr^2$} \label{fig:zariski-topologie} \end{figure} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Quotiententopologie}% Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen, $\pi: X \rightarrow \overline{X}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$. \[\fT_{\overline{X}} := \Set{U \subseteq \overline{X} | \pi^{-1}(U) \in \fT_X}\] $(\overline{X}, \fT_{\overline{X}})$ heißt \textbf{Quotiententopologie}. \end{definition} \begin{beispiel} $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$ \input{figures/number-ray-circle-topology} $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$ \end{beispiel} \begin{beispiel}\xindex{Torus}% Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus. \end{beispiel} \begin{beispiel}[Projektiver Raum]\xindex{Raum!projektiver}% \begin{align*} X= \mdr^{n+1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\ &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen}\\ &\hphantom{\gdw} \text{Ursprungsgerade} \end{align*} \[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\] Also für $n=1$:\nopagebreak\\ \input{figures/ursprungsgeraden} \end{beispiel} \section{Metrische Räume} \begin{definition}\xindex{Metrik}\xindex{Raum!metrischer}% Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$ heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt: \begin{defenumprops} \item Definitheit: \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y \;\;\; \forall x, y \in X$ \item Symmetrie: \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x) \;\;\; \forall x, y \in X$ \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \;\;\; \forall x, y, z \in X$ \end{defenumprops} Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}. \end{definition} \begin{bemerkung} Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\] $\fB = \Set{\fB_r(x) \subseteq \powerset{X} | x \in X, r \in \mdr^+}$ ist Basis einer Topologie auf $X$. \end{bemerkung} \begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}% Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$ eine Abbildung mit \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \] Dann heißt $\varphi$ eine \textbf{Isometrie} von $X$ nach $Y$. \end{definition} \begin{beispiel}[Skalarprodukt erzeugt Metrik] Sei $V$ ein euklidischer oder hermitescher Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum. \end{beispiel} \begin{beispiel}[diskrete Metrik]\xindex{Metrik!diskrete}\xindex{Topologie!diskrete}% Sei $X$ eine Menge. Dann heißt \[d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x=y\\ 1 & \text{falls } x \neq y \end{cases}\] die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die \textbf{diskrete Topologie}. \end{beispiel} \begin{beispiel} $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max(\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|)$ ist Metrik. \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die euklidische Topologie. \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[$\fB_r(0)$]{ \input{figures/open-square} \label{fig:open-square} }% \subfloat[Euklidische Topologie]{ \input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots} \label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots} }% \label{fig:metrik} \caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$} \end{figure} \end{beispiel} \begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF} $X = \mdr^2$ \input{figures/sncf-metrik} \end{beispiel} \footnotetext{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.} \begin{definition}\xindex{Raum!hausdorffscher}% Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$ und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$. \end{definition} \begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft} Metrische Räume sind hausdorffsch, da \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\] \end{bemerkung} \begin{beispiel}[Topologische Räume und Hausdorff-Räume] \begin{bspenum} \item $(\mdr, \fT_Z)$ ist ein topologischer Raum, der nicht hausdorffsch ist. \item $(\mdr, \fT)$ ist ein topologischer Raum, der hausdorffsch ist. \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Hausdorff-Räumen] Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume. \begin{bemenum} \item Jeder Teilraum von $X$ ist hausdorffsch. \item $X_1 \times X_2$ ist hausdorffsch. \end{bemenum} \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-metric-hausdorff} \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$} \end{figure} \end{bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 24.10.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\xindex{Grenzwert}\xindex{Limes}% Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x)_{n \in \mdn}$ eine Folge in $X$. $x \in X$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes} von $(x_n)$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $n_0$ gibt, sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$. \end{definition} \begin{bemerkung} Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen Grenzwert. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge. Da $X$ hausdorffsch ist, gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$ von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da $(x_n)$ gegen $x$ und $y$ konvergiert, existiert ein $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$ $\Rightarrow x = y \qed$ \end{beweis} \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(} \begin{definition} Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung. \begin{defenum} \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige} $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$. \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist und es eine stetige Abbildung $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$. \end{defenum} \end{definition} \begingroup \renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark} \begin{bemerkung} \footnotetext[\thefootnote]{Es wird die Äquivalenz von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen Räumen gezeigt.} Seien $X, Y$ metrische Räume und $f\colon X \rightarrow Y$ eine Abbildung. Dann gilt: $f$ ist stetig $\Leftrightarrow$ zu jedem $x \in X$ und jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$. \end{bemerkung} \endgroup \begin{beweis} \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\ Dann ist $U$ offen in $Y$.\\ $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\ $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\ $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\ $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh. \enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.\\ Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$\\ $\xRightarrow{\text{Vor.}}$ Es gibt $\delta > 0$, sodass $f(\fB_\delta(x)) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$\\ $\Rightarrow \fB_\delta(x) \subseteq f^{-1}(\fB_\varepsilon(f(x))) \subseteq f^{-1}(U)$ $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung} Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung. Dann gilt: $f \text{ ist stetig}$\\ $\gdw \text{für jede abgeschlossene Teilmenge } A \subseteq Y \text{ gilt}: f^{-1}(A) \subseteq X \text{ ist abgeschlossen.}$ \end{bemerkung} \begin{beispiel}[Stetige Abbildungen und Homöomorphismen] \begin{bspenum} \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$ ist Homöomorphismus. \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT = \fT_\text{triv}$, so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig. \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$ stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$. \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$ und $f(t) = e^{2 \pi i t}$. \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-continuous-mapping} \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.} \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung} \end{figure} Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$ nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}). \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig] Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen. Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig. \centerline{ \begin{xy} \xymatrix{ X \ar[rr]^f \ar[rd]_{g \circ f} & & Y \ar[dl]^g \\ & Z & } \end{xy} } \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$. $g^{-1}(U)$ ist offen in $Y$ weil $g$ stetig ist, $f^{-1}(g^{-1}(U))$ ist offen in $X$, weil $f$ stetig ist. $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung} \begin{bemenum} \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum ist \[\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}\] eine Gruppe. \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen Räumen ist ein Homöomorphismus. \item \xindex{Isometriegruppe}$\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden metrischen Raum $X$. \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{bemerkung}[Projektionen sind stetig] Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\] Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$ und $\pi_Y$ stetig. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $U \subseteq X$ offen $\Rightarrow \pi_x^{-1} (U) = U \times Y$ ist offen in $X \times Y$. $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\xindex{Quotiententopologie}% Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$. Dann ist $\pi$ stetig. \end{bemerkung} \begin{beweis} Nach Definition ist $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ offen. $\qed$ \end{beweis} \xindex{Topologie!feinste}\xindex{Quotiententopologie}\emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie, sodass $\pi$ stetig wird. \begin{beispiel}[Stereographische Projektion]\xindex{Projektion!stereographische}% $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für beliebiges $N \in S^n$. Es gilt: \begin{align*} S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\ &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1} \end{align*} \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet. \begin{align*} f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\ P &\mapsto \overbrace{L_P \cap H}^\text{genau ein Punkt} \end{align*} wobei $\mdr^n = H = \Set{\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix} \in \mdr^{n+1} | x_{n+1} = 0}$ und $L_P$ die Gerade in $\mdr^{n+1}$ durch $N$ und $P$ ist. \begin{figure}[htp] \centering \resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/stereographic-projection}} \caption{Visualisierung der stereographischen Projektion} \label{fig:stereographic-projection} \end{figure} Sei $P = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix}$, so ist $x_{n+1} < 1$, also ist $L_P$ nicht parallel zu $H$. Also schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$. Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig. \end{beispiel} \index{Stetigkeit|)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 31.10.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(} \begin{definition}\xindex{zusammenhaengend@zusammenhängend}% Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen, nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$. \end{definition} \begin{bemerkung} $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen, nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ und $A_1 \cup A_2 = X$. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$ als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. \end{bemerkung} %\begin{beispiel} % %\end{beispiel} \begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen] \begin{bspenum} \item $(\mdr^n, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist zusammenhängend, denn: \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren. Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$ und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$. Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der Teilraumtopologie. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$, aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen. \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$ \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend. \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$ \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, wobei $X$ ein topologischer Raum ist. \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski} \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}\label{zusammenhangAbschluss} Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend. Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend. \end{bemerkung} \begin{beweis} durch Widerspruch\\ \underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $A_i \neq \emptyset$, $\;A_1 \cap A_2 = \emptyset$ \begin{align*} &\Rightarrow A = \underbrace{\underbrace{(A \cap A_1)}_\text{abgeschlossen} \dcup \underbrace{(A \cap A_2)}_\text{abgeschlossen}}_\text{disjunkt}\\ \end{align*} Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$\\ $\Rightarrow A \subseteq \overline{A} = A_1 \dcup A_2$\\ $\Rightarrow A \subseteq A_2$ $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\ $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\ $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\ $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\ $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{bem:zusammenhangVereinigung} Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend. Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $A \cup B = U_1 \dcup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen \begin{align*} &\xRightarrow{\text{\obda}} A = (A \cap U_1) \dcup (A \cap U_2) \text{ offen}\\ &\xRightarrow{A \text{ zhgd.}} A \cap U_1 = \emptyset\\ &\xRightarrow{A \cap B \neq \emptyset} U_1 \subseteq B\\ &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung.} \end{align*} $\qed$ \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}% Sei $X$ ein topologischer Raum. Für $x \in X$ sei $Z(x) \subseteq X$ definiert durch \[Z(x) := \bigcup_{\mathclap{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ x \in A}}} A\] $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}. \end{definition} \begin{bemerkung} Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt: \begin{bemenum} \item $Z(x)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$, die $x$ enthält. \item $Z(x)$ ist abgeschlossen. \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten. \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Sei $Z(x) = A_1 \dcup A_2$ mit $A_i \neq \emptyset$ abgeschlossen. \Obda sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält. $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$ ist unerlaubte Zerlegung. \item Nach \cref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$ zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$ $\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x)}$ \item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\crefabbr{bem:zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$ ist zusammenhängend. \\ \begin{align*} \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\ &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y) \end{align*} \end{enumerate} $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung} Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend, so ist $f(A) \subseteq Y$ zusammenhängend. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt. $\Rightarrow f^{-1} (f(A)) = f^{-1}(U_1) \cup f^{-1}(U_2)$ $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_1))}_{\neq \emptyset} \cup \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_2))}_{\neq \emptyset} \qed$ \end{beweis}\index{Zusammenhang|)} \section{Kompaktheit} \begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}% Sei $X$ eine Menge und $\fU \subseteq \powerset{X}$. $\fU$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt: \[\forall x \in X: \exists M \in \fU: x \in M\] \end{definition} \begin{definition}\xindex{Raum!kompakter}% Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede offene Überdeckung von $X$ \[\fU = \Set{U_i}_{i \in I} \text{ mit } U_i \text{ offen in } X\] eine endliche Teilüberdeckung \[\bigcup_{\mathclap{i \in J \subseteq I}} U_i = X \text{ mit } |J| \in \mdn\] besitzt. \end{definition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 05.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt} Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$. Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes Teilintervall der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist. Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele Intervalle der Länge $\delta$ unterteilen und alle $U_i$ in die endliche Überdeckung aufnehmen, die Teilintervalle enthalten. Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes $n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$ sodass $I_n \subsetneq U_i$ für alle $i \in J$. Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in J$ mit $x \in U_i$. Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$. Dann gibt es $n_0$, sodass gilt: $\nicefrac{1}{n_0} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und für unendlich viele\footnote{Dies gilt nicht für alle $n \geq n_0$, da ein Häufungspunkt nur eine konvergente Teilfolge impliziert.} $n\geq n_0: |x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$ für mindestens ein $n \in \mdn$.\footnote{Sogar für unendlich viele.} $\Rightarrow$ Widerspruch Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$ der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten. $\Rightarrow U_{j_1}, \dots, U_{j_d}$ ist endliche Teilüberdeckung von $U$. $\qed$ \end{beweis} \begin{beispiel}[Kompakte Räume] \begin{bspenum} \item $\mdr$ ist nicht kompakt. \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\ $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$ \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski} \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist $A$ kompakt. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(V_{i})_{i \in I}$ offene Überdeckung von A.\\ Dann gibt es für jedes $i \in I$ eine offene Teilmenge $U_{i} \subseteq X$ mit $V_{i}=U_{i} \cap A$. \begin{align*} &\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\\ &\Rightarrow \mathfrak{U} = \Set{U_i | i \in I} \cup \Set{X \setminus A} \text{ ist offene Überdeckung von } X\\ &\xRightarrow{X \text{ kompakt}} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\ &\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\ &\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset} = A\\ &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ überdecken } A\text{.} \end{align*} $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt} Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$ mit der Produkttopologie kompakt. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$. Für jedes $(x,y) \in X \times Y$ gibt es offene Teilmengen $U_{x,y}$ von $X$ und $V_{x,y}$ von $Y$ sowie ein $i \in I$, sodass $U_{x,y} \times V_{x,y} \subseteq W_i$. \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/neighbourhood-topology-open} \caption{Die blaue Umgebung ist Schnitt vieler Umgebungen} \end{figure} Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$ und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$. Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$. Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\ $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\text{Ein grün-oranges Kästchen}} \supseteq X \times Y$\\ $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt. Dann ist $K$ abgeschlossen. \end{bemerkung} \begin{beweis} \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$ Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_y = \emptyset$. \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-1} \end{figure} Da $K$ kompakt ist, gibt es endlich viele $x_1, \dots, x_n \in K$, sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$. \begin{align*} &\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}\\ &\Rightarrow V \cap \left (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} \right) = \emptyset \\ &\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\ &\Rightarrow V \text{ ist Überdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\ &\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen} \end{align*} Damit ist $K$ abgeschlossen. $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6 Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig. Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt. \end{bemerkung} \begin{beweis} Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\ $\xRightarrow{f \text{ stetig}} (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\ $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von $K$ ist.\\ $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ überdecken $f(K)$. Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$ \end{beweis} \begin{satz}[Heine-Borel]\label{satz:heine-borel}%In Vorlesung: Proposition 5.7 Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. \end{satz} \begin{beweis}\leavevmode \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$) kompakt. Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach \cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen. Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt. \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$) beschränkt und abgeschlossen. Dann gibt es einen Würfel $W = \underbrace{[-N, N] \times \dots \times [-N, N]}_{n \text{ mal}}$ mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder} $Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}$ Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und \cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$ nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt. Genauso ist $Z$ kompakt, weil \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\] homöomorph zu \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\] ist. $\qed$ \end{beweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 07.11.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(} \begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}% Sei $X$ ein topologischer Raum. \begin{defenum} \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$. \item $\gamma$ heißt \textbf{geschlossen}, wenn $\gamma(1) = \gamma(0)$ gilt. \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ injektiv ist. \end{defenum} \end{definition} \begin{beispiel} Ist $X$ diskret, so ist jeder Weg konstant, d.~h. von der Form \[\forall x \in [0,1]: \gamma(x) = c, \;\;\; c \in X\] Denn $\gamma([0,1])$ ist zusammenhängend für jeden Weg $\gamma$. \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Wegzusammenhang}% Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{wegzusammenhängend}, wenn es zu je zwei Punkten $x,y \in X$ einen Weg $\gamma:[0,1] \rightarrow X$ gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$. \end{definition} \begin{bemerkung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang} Sei $X$ ein topologischer Raum. \begin{bemenum} \item $X$ ist wegzusammenhängend $\Rightarrow X$ ist zusammenhängend \item $X$ ist wegzusammenhängend $\not\Leftarrow X$ ist zusammenhängend \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $A_1, A_2$ nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von $X$ mit $A_1 \cup A_2 = X$. Sei $x \in A_1, y \in A_2, \gamma:[0,1] \rightarrow X$ ein Weg von $x$ nach $y$. Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil $\gamma$ stetig ist. \[C = \underbrace{(C \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(C \cap A_2)}_{\ni y}\] ist Zerlegung in nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen $\Rightarrow$ Widerspruch \item Sei $X = \Set{(x,y) \in \mdr^2| x^2 + y^2 = 1 \lor y = 1 +2\cdot e^{-\frac{1}{10} x}}$. \Cref{fig:topology-spiral} veranschaulicht diesen Raum. \begin{figure}[htp] \centering \subfloat[Spirale $S$ mit Kreis $C$]{ \resizebox{0.25\linewidth}{!}{\input{figures/topology-spiral}} \label{fig:topology-spiral} }% \subfloat[Sinus]{ \resizebox{0.65\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sinx.tex}} \label{fig:sinx} }% \caption{Beispiele für Räume, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind.} \label{fig:zusammenhang-beispiele} \end{figure} Sei $U_1 \cup U_2 = X, U_1 \neq U_2 = \emptyset, U_i$ offen. $X = C \cup S$. Dann ist $C \subseteq U_1$ oder $C \subseteq U_2$, weil $C$ und $S$ zusammenhängend sind. Also ist $C = U_1$ und $S = U_2$ (oder umgekehrt). Sei $y \in C = U_1, \varepsilon > 0$ und $\fB_\varepsilon (y) \subseteq U_1$ eine Umgebung von $y$, die in $U_1$ enthalten ist. Aber: $\fB_\varepsilon(y) \cap S \neq \emptyset \Rightarrow$ Widerspruch $\Rightarrow X \cup S$ ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. $\qed$ \end{enumerate} \end{beweis} \begin{beispiel}[Hilbert-Kurve]\xindex{Hilbert-Kurve}% Es gibt stetige, surjektive Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$. Ein Beispiel ist die in \cref{fig:hilbert-curve} dargestellte Hilbert-Kurve. \input{figures/hilbert-curve} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}% Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine (geschlossene) \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus $\gamma: [0,1] \rightarrow C \subseteq X$ bzw. $\gamma: S^1 \rightarrow C \subseteq X$. \end{definition} \begin{satz}[Jordanscher Kurvensatz] Ist $C=\gamma([0,1])$ eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^2$, so hat $\mdr^2 \setminus C$ genau zwei Zusammenhangskomponenten, von denen eine beschränkt ist und eine unbeschränkt. \end{satz} \begin{figure}[htp] \centering \input{figures/topology-jordan} \label{fig:jordan-kurvensatz} \caption{Die unbeschränkte Zusammenhangskomponente wird häufig inneres, die beschränkte äußeres genannt.} \end{figure} \begin{beweis} ist technisch mühsam und wird hier nicht geführt. Er kann in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden. Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug. \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Knoten}% Eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^3$ heißt \textbf{Knoten}. \end{definition} \begin{beispiel}[Knoten] \xindex{Kleeblattknoten}\xindex{Achterknoten}\xindex{Knoten!trivialer} \begin{figure}[htp] \centering \subfloat[Trivialer Knoten]{ \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png} \label{fig:knot-unknot} }% \subfloat[Kleeblattknoten]{ \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} \label{fig:knot-trefoil} }% \subfloat[Achterknoten]{ \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} \label{fig:knot-eight-knot} }% \subfloat[$6_2$-Knoten]{ \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} \label{fig:knot-6-2} } \caption{Beispiele für verschiedene Knoten} \label{fig:Knoten} \end{figure} \end{beispiel} \begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}\label{def:Isotopie}% Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\] gibt mit \begin{align*} H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\ H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1 \end{align*} und für jedes feste $t \in [0,1]$ ist \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^3, z \mapsto H(z,t)\] ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$. \end{definition} \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}% Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$. $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt: \[\left | \pi^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in \pi(\gamma)\] Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$}, wenn gilt: \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\] \end{definition} \begin{satz}[Satz von Reidemeister] Zwei endliche Knotendiagramme gehören genau dann zu äquivalenten Knoten, wenn sie durch endlich viele \enquote{Reidemeister-Züge} ineinander überführt werden können. \end{satz} \begin{figure}[htp] \centering \subfloat[$\Omega_1$]{ \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} \label{fig:reidemeister-1} }\qquad\qquad% \subfloat[$\Omega_2$]{ \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} \label{fig:reidemeister-2} } \subfloat[$\Omega_3$]{ \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} \label{fig:reidemeister-3} } \caption{Reidemeister-Züge} \label{fig:reidemeister-zuege} \end{figure} \begin{beweis} Durch sorgfältige Fallunterscheidung.\footnote{Siehe \enquote{Knot Theory and Its Applications} von Kunio Murasugi. ISBN 978-0817638177.} \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}% Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 Farben auftreten. \end{definition} \begin{figure}[htp] \centering \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten} \label{fig:treefoil-knot-three-colors} \end{figure} \index{Knoten|)} % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. \input{Kapitel1-UB}