\section*{Aufgabe 3}

(Die Lösung findet ihr bei Klausur 3 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)

Gegeben sei die Fixpunktiteration $x_{k+1} = F(x_k)$ mit
\[F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\]

Sei $A := [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$ ein Intervall.

\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.

\textbf{Beweis:}

z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$

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(Die Lösung findet ihr bei Klausur 3 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)