\chapter{Topologische Grundbegriffe}
\section{Vorgeplänkel}
    Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
    und umformen zur Würfeloberfläche oder
    der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
    oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
    unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfigure[$S^2$]{
            \input{figures/s2.tex}
            \label{fig:s2}
        }%
        \subfigure[Würfel]{
            \input{figures/cube.tex}
            \label{fig:cube}
        }%
        \subfigure[Pyramide]{
            \input{figures/pyramid.tex}
            \label{fig:pyramide}
        }

        \subfigure[$\mdr^2$]{
            \input{figures/plane-r2.tex}
            \label{fig:pyramide}
        }%
        \subfigure[Torus]{
            \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
            \label{fig:torus}
        }
        \label{Formen}
        \caption{Beispiele für verschiedene Formen}
    \end{figure}

\section{Topologische Räume}
\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
    folgenden Eigenschaften
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\emptyset, X \in \fT$
        \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
    \end{enumerate}
    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 

    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.

\end{definition}

Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\ \xindex{Topologie!euklidische}
              $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
              gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$\\
              Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$
        \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
        \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Topologie} \xindex{Topologie!triviale}
        \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \xindex{Topologie!diskrete}
        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
              Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
        \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
              abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Umgebung}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.

    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie\\
              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Basis} \xindex{Subbasis}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$
              ist.
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
              von Elementen aus $\fB$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
    \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
    ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine Menge und $\fB \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\fB$ Subbasis ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.

    $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
\end{definition}

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition} \xindex{Produkttopologie}
    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
    gilt.

    $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
    $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
    ist eine Basis von $\fT$.
\end{definition}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/neighbourhood-topology}
    \caption{Zu $x=(x_1, x_2)$ gibt es Umgebungen $U_1, U_2$ mit $U_1 \times U_2 \subseteq U$}
\end{figure}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.\\
              $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
              stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
              $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$\\
              (Siehe Abb. \ref{fig:zariski-topologie})
    \end{enumerate}

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/zariski-topology}
        \caption{Zariski-Topologie auf $\mdr^2$}
        \label{fig:zariski-topologie}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
    Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
    $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
    $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
    $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
    offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
    Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr, a \sim b \Leftrightarrow a-b \in \mdz$
    
    \input{figures/number-ray-circle-topology}

    $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    \begin{align*}
        X = \mdr^2, (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
                                                   &y_1 - y_2 \in \mdz
    \end{align*}
    $X /_\sim$ ist ein Torus.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    \begin{align*}
        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
            &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
    \end{align*}
    \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
    Also für $n=1$:\nopagebreak\\
    \input{figures/ursprungsgeraden}
\end{beispiel}

\section{Metrische Räume}
\begin{definition} \xindex{Metrik} \xindex{Raum!metrischer}
    Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
    heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
        \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
        \item $d(x,y) = d(y,x)$
        \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
    \end{enumerate}

    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und
    \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\]
    $\fB$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
    Sei $V$ ein euklidischer oder hermiteischer Vektorraum mit Skalarprodukt
    $\langle \cdot , \cdot \rangle$.
    Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[diskrete Metrik] \xindex{Metrik!diskrete} \xindex{Topologie!diskrete}
    Sei $X$ eine Menge. Dann heißt
    \[d(x,y) = \begin{cases}
    0 & \text{falls } x=y\\
    1 & \text{falls } x \neq y
    \end{cases}\]
    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die 
    \textbf{diskrete Topologie}.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max(\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|)$
    ist Metrik.

    \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die eukldische Topologie.

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfigure[$\fB_r(0)$]{
            \input{figures/open-square}
            \label{fig:open-square}
        }%
        \subfigure[Euklidische Topologie]{
            \input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots}
            \label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots}
        }%
        \label{Formen}
        \caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$}
    \end{figure}

\end{beispiel}

\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnote{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}] \xindex{Metrik!SNCF}
    $X = \mdr^2$ 

    \input{figures/sncf-metrik}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Raum!hausdorffscher}
    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{Hausdorffsch}, wenn es
    für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$
    und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Metrische Räume sind hausdorffsch, da 
    \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
    Ein Beispiel für einen topologischen Raum, der nicht hausdorfsch ist,
    ist $(\mdr, \fT_Z)$.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
    Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Jeder Teilraum um $X$ ist Hausdorffsch.
        \item $X_1 \times X_2$ ist Hausdorffsch.
    \end{enumerate}
    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/topology-metric-hausdorff}
        \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$}
    \end{figure}
\end{bemerkung}