%!TEX root = GeoTopo.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 30.01.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Krümmung} \begin{definition}\xindex{Kurve} Sei $f: [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine eine Funktion aus $C^\infty$. Dann heißt $f$ \textbf{Kurve}. \end{definition} \section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung} \begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion. \begin{defenum} \item Die Kurve $\gamma$ heißt \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge}, wenn gilt: \[\|\gamma'(t)\|_2 = 1 \;\;\; \forall t \in I\] Dabei ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$. \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt \textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}. \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven I]%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion. \begin{bemenum} \item Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $l(\gamma) = b-a$. \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $\gamma'(t)$ orthogonal zu $\gamma''(t)$ für alle $t \in I$. \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t = \int_a^b 1 \mathrm{d} t = b - a$. \item Im Folgenden wird die Aussage nur für $\gamma: [a, b] \rightarrow \mdr^2$ bewiesen. Allerdings funktioniert der Beweis im $\mdr^n$ analog. Es muss nur die Ableitung angepasst werden. \begin{align*} 1 &= \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\ \Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma_1'(t)\gamma_1'(t) + \gamma_2'(t)\gamma_2'(t))\\ &= 2 \cdot (\gamma_1''(t) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_2''(t) \cdot \gamma_2'(t))\\ &= 2 \cdot \langle \gamma''(t), \gamma'(t) \rangle \end{align*} \end{enumerate} \end{beweis} \begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2 Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge parametrisierte Kurve. \begin{defenum} \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor} an $\gamma$ in $t$ wenn gilt: \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0 \text{, } \|n(t)\|=1 \text{ und } \det((\gamma'(t), n(t))) = +1\] \item Seit $\kappa: I \rightarrow \mdr$ so, dass gilt: \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\] Dann heißt $\kappa(t)$ \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$. \end{defenum} \end{definition} Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear abhängig sind, existiert $\kappa(t)$. \begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 16.3 Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$. Es gilt: \[\gamma(t) = \left (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r} \right ) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\] ist parametrisiert durch Bogenlänge, da gilt: \begin{align*} \gamma'(t) &= \left ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r} \right )\\ &= \left (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r} \right ) \end{align*} Der Normalenvektor von $\gamma$ in $t$ ist \[n(t) = \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\] da gilt: \begin{align*} \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &= \left \langle \begin{pmatrix}- \cos \frac{t}{r}\\ - \sin \frac{t}{r}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}- \sin \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r}\end{pmatrix} \right \rangle\\ &= (- \cos \frac{t}{r}) \cdot (- \sin \frac{t}{r}) + (- \sin \frac{t}{r}) \cdot (\cos \frac{t}{r})\\ &= 0\\ \|n(t)\| &= \left \| (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r}) \right \|\\ &=(- \cos \frac{t}{r})^2 + (- \sin \frac{t}{r})^2\\ &= 1\\ \det(\gamma_1'(t), n(t)) &= \left \| \begin{pmatrix} - \sin \frac{t}{r} & - \cos \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r} & - \sin \frac{t}{r} \end{pmatrix} \right \|\\ &= (- \sin \frac{t}{r})^2 - (- \cos \frac{t}{r}) \cdot \cos \frac{t}{r}\\ &= 1 \end{align*} Die Krümmung ist für jedes $t$ konstant $\frac{1}{r}$, da gilt: \begin{align*} \gamma''(t) &= \left (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r} \right )\\ &= \frac{1}{r} \cdot \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\ \Rightarrow \kappa(t) &= \frac{1}{r} \end{align*} \end{beispiel} \begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.4 Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ eine durch Bogenlänge parametrisierte Kurve. \begin{defenum} \item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$. \item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$, so heißt $\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\|}$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor} an $\gamma$ in $t$. \item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$ zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt. Also gilt: \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\] $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor}, die Orthonormalbasis \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\] heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begreitendes}. \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven II]%In Vorlesung: Def.+Bem 16.4 Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ durch Bogenlänge parametrisierte Kurve. \begin{bemenum} \item $n(t)$ ist orthogonal zu $\gamma'(t)$. \item $b(t)$ aus \cref{def:16.4c} ist eindeutig. \end{bemenum} \end{bemerkung} \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(} Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}. Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form \[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\] für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$. \begin{definition}\label{def:Tangentialebene}%In Vorlesung: 17.1 Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $F: U \rightarrow V \cap S$ eine lokale Parametrisierung um $s \in V$: \[(u,v) \mapsto (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\] Für $p=F^{-1}(s) \in U$ sei \[ J_F(p) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\ \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\ \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p) \end{pmatrix}\] und $D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$ definierte lineare Abbildung. Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene} an $s \in S$. \end{definition} \begin{bemerkung}[Eigenschaften der Tangentialebene]% \begin{bemenum} \item $T_s S$ ist $2$-dimensionaler Untervektorraum von $\mdr^3$.%In Vorlesung: 17.2 \item $T_s S$ hängt nicht von der gewählten Parametrisierung ab.%In Vorlesung: 17.3 \item Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also %In Vorlesung: Bemerkung 17.4 $f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$ offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$. Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$. \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist. Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$. \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S \text{ für ein } \varepsilon > 0 \text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x \}$\\ Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO \item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$ eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$, sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle $t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\ $\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\ $\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\ $\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ \end{enumerate} \end{beweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 04.02.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5 \begin{defenum} \item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der regulären Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$ mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$. \item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare}, wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt. \end{defenum} \end{definition} Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem \textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden. Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5 \begin{bemenum} \item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es glatt ist (also $C^\infty$). \item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$ von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$ ein stetiges Normalenfeld existiert. \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$ gilt: \[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}}) > 0\] \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis} Wird hier nicht geführt.%TODO: Übung? Übungsblatt? \end{beweis} \begin{beispiel}[Normalenfelder] \begin{bspenum} \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld.\\ Auch $n_2 = - \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld. \item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip}) ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld, aber kein stetiges Normalenfeld. \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband} \centering \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} \caption{Möbiusband} \label{fig:moebius-strip} \end{figure} \index{Tangentialebene|)} \section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(} \begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1 Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$. Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale Untervektorraum von $\mdr^3$. Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass \[C := (s + E) \cap S \cap V\] das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ enthält mit $\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$. \end{bemerkung} \begin{beweis} \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B. \url{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}} \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2 In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$ der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die \textbf{Normalkrümmung} von $S$ in $s$ in Richtung $x = \gamma'(0)$. Man schreibt: $\kappanor(s, x) := \kappa_\gamma(0)$ \end{definition} \underline{Hinweis}: Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt. \begin{beispiel}[Gauß-Krümmung]%In Vorlesung: Beispiel 18.3 \begin{bspenum} \item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1, $n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\ $\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$) $C = E \cap S$ ist Kreislinie\\ $\kappanor(s, x) = \frac{1}{r} = 1$ \item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}). $s = (1,0,0)$\\ $x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\ $S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\ $\Rightarrow \kappanor(s, x_1) = \pm 1$\\ $x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\ $V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\ $\Rightarrow \kappanor(s, x_2) = 0$ \item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\ $x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\ $x_2 = (0, 1, 0)$\\ $\kappanor(s, x_1) = \hphantom{-}2$\\ $\kappanor(s, x_2) = -2$ \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{ \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}} \label{fig:regular-zylinder} }% \subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{ \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}} \label{fig:hyperbolic-paraboloid} }% \label{fig:regular-surfaces} \caption{Beispiele für reguläre Flächen} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 06.02.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\label{def:18.4}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Def. 18.4 Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$ und $n$ ein stetiges Normalenfeld auf $S$. $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ($\varepsilon > 0$) mit $\gamma(0) = s$ und $\gamma''(0) \neq 0$. Sei $n(0) := \frac{\gamma''(0)}{\|\gamma''(0)\|}$. Zerlege \[n(0) = n(0)^t + n(0)^\perp \text{ mit } n(0)^t \in T_s S \text{ und } n(0)^\perp \in (T_s S)^\perp\] Dann ist $n(0)^\perp = \langle n(0), n(s) \rangle \cdot n(s)$\\ $\kappanor(s, \gamma) := \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$ die \textbf{Normalkrümmung}. \end{definition} \begin{bemerkung} Sei $\overline{\gamma}(t) = \gamma(-t)$, $t \in [- \varepsilon, \varepsilon]$. Dann ist $\kappanor(s, \overline{\gamma}) = \kappanor(s, \gamma)$. \end{bemerkung} \begin{beweis} $\overline{\gamma}''(0) = \gamma''(0)$, da $\overline{\gamma}'(0) = - \gamma'(0)$. Es gilt: $\kappanor(s,\gamma)$ hängt nur von $|\gamma'(0)|$ ab und ist gleich $\kappanor(s, \gamma'(0))$. \end{beweis} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an $S$ in $s$. Sei $T_{s}^{1} S = \Set{x \in T_s S | \|x\| = 1} \cong S^1$. Dann ist \[ \kappanor^n(s): T^1_s S \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto \kappanor(s,x)\] eine glatte Funktion und $\Bild \kappanor^n(s)$ ist ein abgeschlossenes Intervall. \end{bemerkung} \begin{definition}\xindex{Hauptkrümmung}\xindex{Gauß-Krümmung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an $S$ in $s$. \begin{defenum} \item $\begin{aligned}[t] \kappa^n_1(s) :&= \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} \text{ und }\\ \kappa^n_2(s) :&= \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} \end{aligned}$ heißen \textbf{Hauptkrümmungen} von $S$ in $s$. \item $K(s) := \kappa_1^n(s) \cdot \kappa_2^n(s)$ heißt \textbf{Gauß-Krümmung} von $S$ in $s$. \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt: \begin{align*} \kappanor^{-n}(s, x) &= - \kappanor^n(x)\; \forall x \in T_s^1 S\\ \Rightarrow \kappa_1^{-n}(s) &= - \kappa_2^n(s)\\ \kappa_2^{-n}(s) &= - \kappa_1^n (s)\\ \text{ und } K^{-n}(s) &= K^n(s) =: K(s) \end{align*} \end{bemerkung} \begin{beispiel} \begin{bspenum} \item $S = S^2$. Dann ist $\kappa_1(s) = \kappa_2(s) = \pm 1\;\forall s \in S^2$\\ $\Rightarrow K(s) = 1$ \item Zylinder:\\ $\kappa_1(s) = 0, \kappa_2(s) = 1 \Rightarrow K(s) = 0$ \item Sattelpunkt auf hyperbolischem Paraboloid:\\ $\kappa_1(s) < 0, \kappa_2(s) = 0 \rightarrow K(s) < 0$ \item $S = \text{Torus}$. Siehe \cref{fig:torus-gauss-kruemmung}\\ \begin{figure}[htp]\xindex{Torus} \centering \includegraphics[width=0.95\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-gauss-kruemmung.pdf} \caption{$K(s_1) > 0$, $K(s_2) = 0$, $K(s_3) < 0$} \label{fig:torus-gauss-kruemmung} \end{figure} \end{bspenum} \end{beispiel} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem. 18.7 Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$ ein Punkt. \begin{bemenum} \item Ist $K(s) > 0$, so liegt $S$ in einer Umgebung von $s$ ganz auf einer Seite von $T_s S + s$. \item Ist $K(s) < 0$, so schneidet jede Umgebung von $s$ in $S$ beide Seiten von $T_s S + s$. \end{bemenum} \end{bemerkung} \index{Gauß-Krümmung|)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 11.02.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19 Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $T_s S$ die Tangentialebene an $S$ in $s$ und $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. \begin{definition}\xindex{Fundamentalform!erste}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1 Sei $I_S \in \mdr^{2 \times 2}$ definiert als \begin{align*} I_S :&= \begin{pmatrix} g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\ g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E(s) & F(s) \\ F(s) & G(s) \end{pmatrix}\\ \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\ &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2} \end{align*} Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$. \end{definition} \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1 \begin{bemenum} \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum. \item $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ ist eine Basis von $T_s S$. \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix $I_S$. \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$. \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{bemerkung} \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\] \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode Sei $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \;\;\; \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ y3 \end{pmatrix}$ Dann ist $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$ mit \begin{align*} z_1 &= x_2 y_3 - x_3 y_2\\ z_2 &= x_3 y_1 - x_1 y_3\\ z_3 &= x_1 y_2 - x_2 y_1\\ \Rightarrow \|\frac{\partial F}{\partial u_1} (p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2} (p)\| &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\\ \end{align*} \begin{align*} \det(I_S) &= g_{1,1} g_{2,2} - g_{1,2}^2\\ &= \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right \rangle \left \langle \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle - \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle^2\\ &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \end{align*} \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Flächenelement}%In Vorlesung: Def.+Bem. 19.3 / Erinnerung \begin{defenum} \item Das Differential $\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2$ heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$. \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt \[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\] der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts existiert. \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung} \begin{bemenum} \item $\int_V f \mathrm{d} A$ ist unabhänig von der gewählten Parametrisierung. \item Sei $f: S \rightarrow \mdr$ eine Funktion, die im Sinne von \cref{def:berechenbares-integral} lokal integrierbar ist. Dann ist $\int_S f \mathrm{d} A$ wohldefiniert, falls (z.~B.) $S$ kompakt ist. Etwa: \begin{align*} \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{\mathrlap{V_i}} f \mathrm{d} A \\ &- \sum_{i \neq j} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j}} f \mathrm{d} A \\ &+ \sum_{i,j,k} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j \cap V_k}} f \mathrm{d} A\\ &- \dots \end{align*} \end{bemenum} \end{bemerkung} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Mit Transformationsformel.%TODO \item Ist dem Leser überlassen.%TODO \end{enumerate} \end{beweis} \begin{proposition}\label{prop:5.1} Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt: \begin{propenum} \item \label{prop:5.1a} $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$ durch \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\] \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$. \item $d_s n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$. \item $d_s n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$. \end{propenum} \end{proposition} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken. \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\perp = T_s S$ \item Wegen \cref{prop:5.1a} ist $d_s n$ ein Homomorphismus.\\ TODO: Warum sollte das ein Endomorphismus sein? \item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$ Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft für die Basisvektoren zu zeigen. Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$ \underline{Beh.:} $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$ $\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$ \underline{Bew.:} $ \begin{aligned}[t] 0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\ \Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\ &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_p F (e_j)}_{x_j}\rangle \end{aligned}$ \end{enumerate} \end{beweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 13.02.2014 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\xindex{Fundamentalform!zweite}%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 a) Die durch $-d_s n$ definierte symmetrische Bilinearform auf $T_s S$ heißt \textbf{zweite Fundamentalform} von $S$ in $s$ bzgl. $F$. Man schreibt: $II_s(x,y) = \langle - d_s n(x), y \rangle = I_s (-d_s n(x), y)$ \end{definition} \begin{bemerkung}%%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 b) Bezüglich der Basis $\Set{x_1, x_2}$ von $T_s S$ hat $II_s$ die Darstellungsmatrix \[(h^{(s)}_{i,j})_{i,j=1,2} \text{ mit } h_{i,j}(s) = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), n(s) \rangle \] \end{bemerkung} \begin{proposition}\label{prop:19.6}%In Vorlesung: Proposition 19.6 Sei $\gamma:[- \varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit $\gamma(0) = s$. Dann gilt: \[\kappanor(s, \gamma) = II_s(\gamma'(0), \gamma'(0))\] \end{proposition} \begin{beweis} Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$. Nach Voraussetzung gilt \[n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0\] Die Ableitung nach $t$ ergibt \begin{align*} 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\ &= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\ &= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappanor(s,\gamma)\\ &= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappanor(s, \gamma) \end{align*} \end{beweis} \begin{folgerung}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Folgerung 19.7 Die beiden Definitionen von Normalkrümmung in \cref{sec:Kurvenkrümmung} stimmen überein: \[\kappanor(s, \gamma) = \kappanor(s, \gamma'(0))\] \end{folgerung} \begin{satz}%In Vorlesung: Satz 19.8 Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche und $s \in S$. \begin{satzenum} \item Die Hauptkrümmungen $\kappa_1(s), \kappa_2(s)$ sind die Eigenwerte von $II_s$. \item Für die Gaußkrümmung gilt: $K(s) = \det(II_s)$ \end{satzenum} \end{satz} \begin{beweis}\leavevmode \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $II_s$ ist symmetrisch, $I_s S$ hat also eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren $y_1, y_2$ von $II_s$. Ist $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$, so gibt es $\varphi \in [0,2\pi)$ mit $x = \cos \varphi \cdot y_1 + \sin \varphi \cdot y_2$. Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also $II_s(y_i, y_i) = \lambda_i$. Dann gilt: \begin{align*} II_s (x,x) &= \cos^2 \varphi \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\ &= (1- \sin^2 \varphi) \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\ &= \lambda_1 + \sin^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \geq \lambda_1\\ &= \cos^2 \varphi + (1 - \cos^2 \varphi) \lambda_2\\ &= \lambda_2 - \cos^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \leq \lambda_2\\ \xRightarrow{\crefabbr{prop:19.6}} \lambda_1 &= \min \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S}\\ \lambda_2 &= \max \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S} \end{align*} \end{enumerate} \end{beweis} \begin{satz}[Satz von Gauß-Bonnet]\xindex{Satz von!Gauß-Bonnet} Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine kompakte orientierbare reguläre Fläche. Dann gilt: \[\int_S K(s) \mathrm{d}A = 2 \pi \chi(S)\] Dabei ist $\chi(S)$ die Euler-Charakteristik von $S$. \end{satz} \begin{beweis} Der Beweis wird hier nicht geführt. Er kann in \enquote{Elementare Differentialgeometrie} von Christian Bär (2. Auflage), ISBN 978-3-11-022458-0, ab Seite 281 nachgelesen werden. \end{beweis}