\chapter{Topologische Grundbegriffe}
\section{Vorgeplänkel}
    \begin{tabular}{lllll}
    Die Kugeloberfläche $S^2$: &  lässt sich zu:          & oder:& verformen: \\
    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
    \end{tabular}

    aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Torus:

    \input{figures/torus.tex}
    %\begin{figure}[h]
    %    \centering
    %    \includegraphics*[width=5cm, keepaspectratio]{figures/Torus.png}
    %    %\caption[Torus]{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus.png}{Wikipedia Commons}: LucasVB; \emph{\enquote{Torus}}; 01.10.2006} 
    %\end{figure}

\section{Topologische Räume}
\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
    folgenden Eigenschaften
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\emptyset, X \in \fT$
        \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
    \end{enumerate}
    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 

    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.

\end{definition}

Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\ \xindex{Topologie!euklidische}
              $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
              gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$\\
              Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$
        \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
        \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Topologie} \xindex{Topologie!triviale}
        \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \xindex{Topologie!diskrete}
        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
              Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
        \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
              abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Umgebung}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.

    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie\\
              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Basis} \xindex{Subbasis}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$
              ist.
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
              von Elementen aus $\fB$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
    \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
    ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine Menge und $\fB \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\fB$ Subbasis ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.

    $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
\end{definition}

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition} \index{Produkttopologie}
    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
    gilt.
    \[\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}\]
    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
    \[\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}\]
    ist eine Basis von $\fT$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
              $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$
              $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
              stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.\\
              \todo{Bild einfügen}
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \index{Quotiententopologie}
    Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
    $\overline{X} = X /  \sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
    $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
    $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
    offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
    Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr, a \sim b \Leftrightarrow a-b \in \mdz$
    
    \input{figures/number-ray-circle-topology}

    $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
    \begin{align*}
        (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
                                                   &y_1 - y_2 \in \mdz
    \end{align*}
    $X / \sim$ ist ein Torus.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    \begin{align*}
        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
            &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
    \end{align*}
    \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
    Also für $n=1$:

    \input{figures/ursprungsgeraden}
\end{beispiel}

\todo[inline]{TODO: Es fehlt noch ca. eine Seite}

\section{Metrische Räume}
\begin{definition} \index{Metrik}
    Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
    heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
        \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
        \item $d(x,y) = d(y,x)$
        \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
    \end{enumerate}

    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum} \index{Raum!metrischer}
\end{definition}

\todo[inline]{TODO: Es fehlten noch ca. 2 Seiten}
