tex-projects/LaTeX-examples
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Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung

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This commit is contained in:
Martin Thoma 2014-02-10 11:06:05 +01:00
parent f960bffeec
commit fec6bbac49
11 changed files with 516 additions and 35 deletions
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1
documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex
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@ -9,6 +9,7 @@
\acro{d. h.}{das heißt}
\acro{etc.}{et cetera}
\acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
\acro{sog.}{sogenannte}
\acro{Vor.}{Voraussetzung}
\acro{vgl.}{vergleiche}
\acro{z. B.}{zum Beispiel}

1
documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md
View file

@ -71,3 +71,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | Verbesserungen
|07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes
|10.02.2014 | 10:30 - 11:05 | Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung

BIN
documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.pdf
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Binary file not shown.

80
documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex
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@ -77,7 +77,7 @@ $\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine
Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
$|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in D$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
$|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in {\color{red}D}$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
Ist ${\color{red}(\pi|C)}^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
@ -86,6 +86,24 @@ $\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
sein?
Was ist $D$? Ich vermute, das sollte $E$ sein.
Ich würde die Definition eher so schreiben:
\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und
$\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.
$\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
\[\left | \left (\pi|_{\gamma([0,1])} \right )^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in E\]
Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
wenn gilt:
\[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\]
\end{definition}
Ist meine Definition äquivalent zu der aus der Vorlesung?
\section*{5.) Isotopie/Knoten}
\begin{definition}
Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
@ -159,7 +177,7 @@ hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
\end{definition}
Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?
\section{12.) $\Delta^2$ explizit}
\section*{12.) $\Delta^2$ explizit}
Wie sieht der Standard-Simplex der dim. 2, also $\Delta^2$, explizit
notiert aus? Praktisch ist das ja die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren
$e_0, e_1, e_2$ (also $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$),
@ -168,4 +186,60 @@ also ein Polyeder mit vier Flächen im $\mdr^3$ (jedoch kein regelmäßiges Tetr
Das ist dann nur das Gitter dieses Polyeders, aber nicht die Flächen
oder sogar etwas innerhalb vom Polyeder, oder?
\end{document}
\section*{13.) Normalenvektor}
\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
parametrisierte Kurve.
\begin{defenum}
\item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
an $\gamma$ in $t$, d.~h.
\[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$
\item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
\[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
$\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
von $\gamma$ in $t$.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.4
Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ eine durch Bogenlänge parametrisierte
Kurve.
\begin{defenum}
\item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die
\textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$.
\item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$,
so heißt $\gamma''(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
an $\gamma$ in $t$.
\item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$
zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt.
Also gilt:
\[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\]
$b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor},
die Orthonormalbasis
\[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\]
heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begreitendes}.
\end{defenum}
\end{definition}
Die beiden Definitionen eins Normalenvektors / der Krümmung scheinen mir äquivalent zu sein.
Warum haben wir beide? Ich würde die zweite bevorzugen.
\section*{14.) Dimension von Simplizes}
Gibt es 0-Dimensionale Simplizes?
\section*{15.) Existenz der Parallelen}
\begin{definition}%
\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
Für jedes $g \in G$ und jedes
$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
\end{enumerate}
\end{definition}
Soll hier wirklich \enquote{mindestens} stehen? Wie beweist man, dass es genau eine gibt?
\end{document}

BIN
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
View file

Binary file not shown.

13
documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project Normal file
View file

@ -0,0 +1,13 @@
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368
documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-workspace Normal file
View file

@ -0,0 +1,368 @@
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53
documents/GeoTopo/Kapitel2.tex
View file

@ -1,3 +1,4 @@
%!TEX root = GeoTopo.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@ -106,7 +107,7 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä
\underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und
$0_2$.
\item \xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension
\item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension
$n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
Mannigfaltigkeit bilden.
\end{bspenum}
@ -251,8 +252,8 @@ $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
\begin{definition}\xindex{Rand}%
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt
\[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
Atlas $\atlas$. Dann heißt
\[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\]
\textbf{Rand} von $X$.
\end{definition}
@ -520,7 +521,9 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\begin{beispiel}[Lie-Gruppen]
\begin{bspenum}
\item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
\item $\GL_n(\mdr)$
\item $\GL_n(\mdr)$
% ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist.
% $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung.
\item $(\mdr^\times, \cdot)$
\item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
\item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
@ -549,7 +552,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Ist $G$ eine Lie-Gruppe, $g \in G$, so ist die Abbildung
Ist $G$ eine Lie-Gruppe und $g \in G$, so ist die Abbildung
\begin{align*}
l_g &: G \rightarrow G\\
h &\mapsto g \cdot h
@ -562,9 +565,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}%
Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.\xindex{Punkt}
\begin{defenum}
\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
\gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage}\\
\hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält\\
\hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
\item $\conv(v_0, \dots, v_k) := \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
\end{defenum}
\end{definition}
@ -581,11 +585,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
\item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
$I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
so ist $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
ein $r$-Simplex und heißt
\textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
von $\Delta$.
$s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
von $\Delta$.
\end{defenum}
\end{definition}
@ -623,17 +626,17 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
wenn gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
\item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
ist $S \in K$
\item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
ist $S \in K$.
\item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
$\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein
Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
$\Delta_2$ \label{def:simplizialkomplex.ii}
$\Delta_2$.
\end{enumerate}
\item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie)
heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
von $K$.
\item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
so heißt $d$ \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
\item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$,
so heißt $d$ die \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
$K$.
\end{enumerate}
\end{definition}
@ -957,5 +960,21 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\end{align*}
\end{beweis}
% \section{Retraktionen}
% \begin{definition}%
% Sei $X$ ein topologischer Raum, $A \subseteq X$, $r: X \rightarrow A$ eine stetige Abbildung
% und $\iota: A \hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung.
% \begin{defenum}
% \item $r$ heißt \textbf{Retraktion}\xindex{Retraktion}, wenn $r|_A = \id_A$ ist.
% \item $A$ heißt \textbf{Deformationsretrakt}\xindex{Deformationsretrakt}, wenn es eine Retraktion $r$
% auf $A$ mit $\iota \circ r \sim \id_X$ gibt.
% \end{defenum}
% \end{definition}
% \begin{bemerkung}
% Übungsblatt 7 + 8
% \end{bemerkung}
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel2-UB}

22
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
View file

@ -1,3 +1,4 @@
%!TEX root = GeoTopo.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 03.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@ -753,10 +754,10 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
Für geschlossene Wege $\gamma_0, \gamma_1$ um $x$ gilt:
\begin{align*}
\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\
\Leftrightarrow [\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] &\text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl.} p_*(\pi_1(Y, y_0))
&\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)\\
\Leftrightarrow &[\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] \in \pi_1(Y, y_0)\\
\Leftrightarrow &[\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] \in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\
\Leftrightarrow &[\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] \text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl. } p_*(\pi_1(Y, y_0))
\end{align*}
Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
@ -914,17 +915,18 @@ der folgende Satz:
Widerspruch.
\end{beweis}
\begin{definition}\xindex{Decktransformation}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
\begin{definition}\xindex{Decktransformation}\xindex{Decktransformation!reguläre}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
Es sei $p:Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $f:Y \rightarrow Y$
ein Homöomorphismus.
$f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
\begin{defenum}
\item $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
\item Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
so heißt $p$ \textbf{regulär}.
\end{defenum}
\end{definition}
\begin{bemerkung}%In Vorlesung:12.14
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der Decktransformation]%In Vorlesung:12.14
\begin{bemenum}
\item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}

12
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -144,12 +144,14 @@ aufgestellt.
\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
$g$.
\end{enumerate}
\item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$
\item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}:
Zu $P, Q, P', Q' \in X$
mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
Für jedes $g \in G$ und jedes
$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
$h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.}
$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
\end{enumerate}
\end{definition}
@ -252,7 +254,7 @@ schneiden sich.
\underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
$\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
$\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh3}} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
@ -529,7 +531,7 @@ Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$.
\end{proposition}
Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
\begin{beweis}
Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$

1
documents/GeoTopo/Vorwort.tex
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@ -1,3 +1,4 @@
%!TEX root = GeoTopo.tex
\chapter*{Vorwort}
Dieses Skript wird/wurde im Wintersemester 2013/2014
von Martin Thoma geschrieben. Es beinhaltet die Mitschriften aus