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documents/Analysis III/Analysis-III.tex
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@ -502,7 +502,7 @@ Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}
\end{enumerate}
\end{beweis}
\chapter{Das Lebesguema\ss}
\chapter{Das Lebesguemaß}
\label{Kapitel 2}
\index{Lebesguemaß}
@ -529,7 +529,7 @@ Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\MdR^d\) und \(I:=(a,b
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\ldots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
\end{enumerate}
\end{definition}
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguema\ss)
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguemaß)
Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
\begin{lemma}
@ -729,7 +729,7 @@ Mit \(n\to\infty\) folgt die Behauptung.
\begin{satz}[Fortsetzungssatz von Carath\'eodory]
\label{Satz 2.5}
Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Präma\ss. Dann
Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Prämaß. Dann
existiert ein Maßraum \((X,\fa(\mu),\overline{\mu})\) mit
\begin{enumerate}
\item \(\sigma(\fr)\subseteq\fa(\mu)\)
@ -752,11 +752,11 @@ Weiter gelten:
Dann: \(\mu=\nu\) auf \(\sigma(\ce)\).
\end{satz}
\begin{satz}%[Lebesguema\ss]
\begin{satz}%[Lebesguemaß]
\label{Satz 2.7}
\index{Lebesguemaß}
Es gibt genau eine Fortsetzung von \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) auf
\(\fb_{d}\) zu einem Ma\ss. Diese Fortsetzung heißt \textbf{Lebesguemaß} \ (L-Ma\ss)
\(\fb_{d}\) zu einem Maß. Diese Fortsetzung heißt \textbf{Lebesguemaß} \ (L-Maß)
und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
\end{satz}
\begin{beweis}
@ -3390,7 +3390,7 @@ Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
@ -4202,7 +4202,7 @@ Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\)
\end{enumerate}
\end{wichtigebemerkung}
\begin{satz}[Approximationssatz von Weierstra\ss]
\begin{satz}[Approximationssatz von Weierstraß]
\label{Satz 18.4}
Es sei \(I=[a,b]\) wie in \ref{Bemerkung 18.3} und \(\mdk\in\{\mdr, \mdc\}\).
\begin{enumerate}