Beweis zu 'Überlagerungen sind surjektiv' verbessert

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -490,21 +490,16 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     Überlagerungen sind surjektiv.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{beweis}durch Widerspruch\\
+\begin{beweis}
-    Sei $p$ eine Überlagerung.
+    Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $x \in X$ beliebig.
+    Dann existiert eine offene Umgebung $U(x) \subseteq X$ und offene
+    Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit 
+    $p^{-1}(U) = \Dcup V_j$ und
+    $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ist Homöomorphismus.
 
-    \underline{Annahme}: $p$ ist nicht surjektiv
+    D.~h. es existiert ein $y \in V_j$, so dass $p|_{V_j}(y) = x$.
-
+    Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit 
-    Dann $\exists x \in X$ mit $U=U(x): p^{-1}(U) = \emptyset$.
+    $p(y) = x$, ist $p$ surjektiv.    $\qed$
-    Da $p$ eine Überlagerung ist, existiert eine offene Umgebung $U$,
-    sodass $p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen
-    $V_j \subseteq Y$ ist und $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein
-    Homöomorphismus ist.
-
-    Da jedes $x$ eine solche Umgebung $U$ besitzt, ist $U \neq \emptyset$.
-    Da $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist, kann also
-    auch $V_j$ nicht leer sein. $\Rightarrow$ Widerspruch zur Annahme.
-    $\qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}

documents/GeoTopo/Readme.md

@@ -55,6 +55,15 @@ Was noch kommen soll
 3. A5-Version drucken
   * In `GeoTopo.tex`: `\AFivefalse` → `\AFivetrue`
   * Momentan sind es ca. 89 Seiten in A4. In A5 sind es ca. 142 Seiten.
+  * Druckereien
+    * An der Uni
+    * http://www.epubli.de/ (ca. 9 Euro SW, 26 Euro farbig)
+    * https://www.viaprinto.de/ (ca. 15 Euro SW, 35 Euro farbig)
+    * http://shop.kopie.de/article/show/diplomarbeit
+    * http://www.drucksofa.com/
+    * http://www.mein-druck.de/category.htm?c=15510
+    * http://www.epubli.de/
+    * http://www.1buch.de/preisuebersicht/
 4. Version für Sehgeschädigte:
   * min `12pt`, besser `14pt`
   * nicht `article`, `book`, `report` sondern `extarticle`

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -73,6 +73,7 @@
 \def\PSL{\ensuremath{\mathrm{PSL}}}
 \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
 \newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
+\newcommand\Dcup{\mathop{\dot{\bigcup}}}
 \newcommand{\id}{\textnormal{id}}
 \DeclareMathOperator{\Deck}{Deck}
 \DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}