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Nachtrag vom 19.10.2012
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@ -346,7 +346,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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Beispiel für ein Intervall $(a_1, b_1) \times [a_2, b_2]$:\\
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Beispiel für ein Intervall $(a_1, b_1) \times [a_2, b_2]$ und
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die beiden Halbräume:\\
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\begin{tikzpicture}
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% Draw axes
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\draw [<->,thick] (0,2.5) node (yaxis) [above] {$x_2$}
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@ -368,14 +369,54 @@ Beispiel für ein Intervall $(a_1, b_1) \times [a_2, b_2]$:\\
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\draw[dotted] (yaxis |- c) node[left] {$b_2$}
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-| (xaxis -| c) node[below] {$b_1$};
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||||
\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}
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\pgfdeclarepatternformonly{north east lines wide}%
|
||||
{\pgfqpoint{-1pt}{-1pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{10pt}{10pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{9pt}{9pt}}%
|
||||
{
|
||||
\pgfsetlinewidth{0.7pt}
|
||||
\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{0pt}}
|
||||
\pgfpathlineto{\pgfqpoint{9.1pt}{9.1pt}}
|
||||
\pgfusepath{stroke}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\pgfdeclarepatternformonly{north west lines wide}
|
||||
{\pgfqpoint{-1pt}{-1pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{7pt}{7pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{6pt}{6pt}}%
|
||||
{
|
||||
\pgfsetlinewidth{0.7pt}
|
||||
\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{6pt}}
|
||||
\pgfpathlineto{\pgfqpoint{6.1pt}{-0.1pt}}
|
||||
\pgfusepath{stroke}
|
||||
}
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||||
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||||
% Draw two intersecting lines
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\draw[thick, red] (-1,-1) coordinate (a) -- (2,-1) coordinate (b);
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\draw[thick, green] ( 1,-1) coordinate (c) -- (1, 2) coordinate (d);
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||||
\fill[pattern=north east lines wide, pattern color=red!50] (a) -- (b) -- (2,2) -- (-1,2) -- (a);
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||||
\fill[pattern=north west lines wide, pattern color=green!50] (a) -- (1,-1) -- (1,2) -- (-1,2) -- (a);
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||||
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||||
\draw[thick, green] (c) -- (d);
|
||||
\draw[thick, red] (a) -- (b);
|
||||
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||||
|
||||
% Draw axes
|
||||
\draw [<->,thick] (0,2.5) node (yaxis) [above] {$x_2$}
|
||||
|- (2.5,0) node (xaxis) [right] {$x_1$};
|
||||
\node[red] at (1.5,2.8) {$H_2^+(-1)$};
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||||
\node[green] at (1.5,2.3) {$H_1^-(1)$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$]
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\label{Satz 1.4}
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Es seien $\ce_1,\ce_2,\ce_3$ wie folgt definiert:
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\begin{align*}
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||||
\ce_1&:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b\}\\
|
||||
\ce_2&:=\{(a,b]:a,b\in\mdq^d, a\le b\}\\
|
||||
\ce_3&:=\{H^-_k(\alpha):\alpha\in\mdq, k=1,\dots,d\}
|
||||
\ce_1&:=\Set{(a,b) | a,b\in\mdq^d,a\le b}\\
|
||||
\ce_2&:=\Set{(a,b] | a,b\in\mdq^d, a\le b}\\
|
||||
\ce_3&:=\Set{H^-_k(\alpha) | \alpha\in\mdq, k \in \Set{1,\dots,d}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\fb_d=\sigma(\ce_1)=\sigma(\ce_2)=\sigma(\ce_3)\]
|
||||
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@ -383,96 +424,129 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
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|||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\[\fb_d
|
||||
\stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1)
|
||||
\stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2)
|
||||
\stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3)
|
||||
\stackrel{(4)}{\subseteq} \fb_d
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$.
|
||||
Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. Also
|
||||
gilt:
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||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\
|
||||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\Set{(a,b) | a,b \in \mdq^d, \; a\le b, \; (a,b)\subseteq G}$.\\
|
||||
Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$.\\
|
||||
Also gilt:
|
||||
\[\co(\mdr^d) \subseteq \sigma(\ce_1)\]
|
||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\stackrel{1.3}{\subseteq}\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $a=(a_1, \dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$ und $a \leq b$ sowie $(a, b)\in\ce_1$.\\
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||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\dots,a_d), b=(b_1\dots,b_d)$.\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset$.\\
|
||||
Dann gilt für alle $j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j$. Also gilt auch:
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||||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit $\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
|
||||
\item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$ mit $a \leq b$. Nachrechnen:
|
||||
\[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
|
||||
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch $\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
||||
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist $H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$, also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist $\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
||||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit
|
||||
$\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
|
||||
\item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$
|
||||
mit $a \leq b$.
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||||
Nachrechnen:
|
||||
\[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
|
||||
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch
|
||||
$\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
||||
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist
|
||||
$H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$,
|
||||
also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist
|
||||
$\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Spur}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und $\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
||||
\index{Spur}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
$X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$.
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||||
Dann: $(\co(\mdr^d))_Y = \sigma(Y)$
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||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
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||||
\label{Satz 1.5}
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||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
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||||
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{Satz 1.5}
|
||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so
|
||||
ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \begin{enumerate}
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||||
\item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$. Also ist $Y\setminus B=(X\setminus A)\cap Y\in\fa_Y$, da $X\setminus A\in\fa$ ist.
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$ mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
|
||||
\[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Der Beweis erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item["`$\implies$"'] Es gilt $Y\in\fa_Y\subseteq\fa$.
|
||||
\item["`$\impliedby$"'] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y\in\fa$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Es gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\ce\subseteq\sigma(\ce)&\implies\ce_Y\subseteq\sigma(\ce)_Y\\
|
||||
&\implies\sigma(\ce_Y)\subseteq\sigma(\ce)_Y
|
||||
\end{align*}
|
||||
Sei nun:
|
||||
\[\cd:=\{A\subseteq X:A\cap Y\in\sigma(\ce_Y)\}\]
|
||||
Übung: $\cd$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.\\
|
||||
Sei $E\in\ce$ dann ist $E\cap Y\in\ce_Y\subseteq\sigma(\ce_Y)$ also $E\in\cd$ und damit $\ce\subseteq\cd$. Daraus folgt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\sigma(\ce)_Y&\subseteq\sigma(\cd)_Y=\cd_Y=\{A\cap Y:A\in\cd\}\\
|
||||
&\subseteq\sigma(\ce_Y)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
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||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein
|
||||
$A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$.\\
|
||||
Also ist
|
||||
$Y\setminus B=\overbrace{(X\setminus A)}^{\in\fa} \cap Y\in\fa_Y$.
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann
|
||||
existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$
|
||||
mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
|
||||
\[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Der Beweis erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item["`$\implies$"'] Es gilt $Y\in\fa_Y\subseteq\fa$.
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||||
\item["`$\impliedby$"'] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y\in\fa$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\item Es gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\ce\subseteq\sigma(\ce)&\implies\ce_Y\subseteq\sigma(\ce)_Y\\
|
||||
&\implies\sigma(\ce_Y)\subseteq\sigma(\ce)_Y
|
||||
\end{align*}
|
||||
Sei nun:
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||||
\[\cd:=\{A\subseteq X:A\cap Y\in\sigma(\ce_Y)\}\]
|
||||
Übung: $\cd$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.\\
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||||
Sei $E\in\ce$ dann ist $E\cap Y\in\ce_Y\subseteq\sigma(\ce_Y)$ also $E\in\cd$ und damit $\ce\subseteq\cd$. Daraus folgt:
|
||||
\begin{align*}
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||||
\sigma(\ce)_Y&\subseteq\sigma(\cd)_Y=\cd_Y=\{A\cap Y:A\in\cd\}\\
|
||||
&\subseteq\sigma(\ce_Y)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{folgerungen}
|
||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$. Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\fb(X)=(\fb_d)_X$
|
||||
\item Ist $X\in\fb_d$, so ist $\fb(X)=\{A\in\fb_d:A\subseteq X\}\subseteq\fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$. Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fb(X)=(\fb_d)_X$
|
||||
\item \importantbox{\text{Ist } X\in\fb_d \text{, so ist } \fb(X)=\Set{A\in\fb_d:A\subseteq X}\subseteq\fb_d}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Wir fügen $\mdr$ das Symbol $+\infty$ hinzu. Es soll gelten:
|
||||
Wir fügen $\mdr$ ein zusätzliches Symbol $+\infty$ hinzu. Es soll gelten:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\forall a\in\mdr:a<+\infty$
|
||||
\item $\pm a+(+\infty):=+\infty=:(+\infty)\pm a$
|
||||
\item $(+\infty)+(+\infty):=+\infty$
|
||||
\item $(+\infty)+(+\infty):=+\infty$
|
||||
\item $\forall a\in\mdr:a<+\infty$
|
||||
\item $\pm a+(+\infty):=+\infty=:(+\infty)\pm a$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Sei etwa $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
|
||||
Außerdem sei $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $(x_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt:
|
||||
\[x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty:\iff \forall c>0\exists n_c\in\mdn:\forall n\ge n_c: x_n> c\]
|
||||
\item Sei $(a_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt
|
||||
\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n = +\infty\]
|
||||
genau dann wenn $a_j=+\infty$ für ein $j\in\mdn$ oder, falls alle $a_j<+\infty$, wenn $\sum a_n$ divergiert.
|
||||
\item Sei $(x_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt:
|
||||
\[x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty:\iff \forall c>0\;\exists n_c\in\mdn:\forall n\ge n_c: x_n> c\]
|
||||
\item Sei $(a_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt
|
||||
\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n = +\infty :\Leftrightarrow
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\exists n \in \mdn \text{ mit } a_n = +\infty \text{ oder }\\
|
||||
\sum a_n \text{ divergiert}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
||||
Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet
|
||||
werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
|
|
@ -481,13 +555,18 @@ Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne
|
|||
\index{Maßraum}
|
||||
\index{Maß!endliches}
|
||||
\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann wenn gilt:
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$
|
||||
eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann
|
||||
wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist $\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt \textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist
|
||||
$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt
|
||||
\textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Ist $\mu$ ein Maß auf $\fa$, so heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
||||
Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich}, genau dann wenn $\mu(X)<\infty$. Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß}, genau dann wenn $\mu(X)=1$ ist.
|
||||
In diesem Fall heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
||||
Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich} $:\Leftrightarrow \mu(X)<\infty$.\\
|
||||
Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(X)=1$ ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
|
|
@ -495,37 +574,51 @@ Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich}, genau dann wenn $\mu(X)<\infty$. Ein Ma
|
|||
\index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-}
|
||||
\index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $\fa=\cp(X)$ und $x_0\in X$. $\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
|
||||
\[\delta_{x_0}(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
1,\ x_0\in A\\
|
||||
0,\ x_0\not\in A
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\emptyset)=0$ ist.\\
|
||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$.
|
||||
\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)=
|
||||
\left.\begin{cases}
|
||||
1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
|
||||
0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
|
||||
\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
|
||||
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\cp(X)$ und heißt \textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
|
||||
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0&,A=\emptyset\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j&,A\ne\emptyset
|
||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}. Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der Elemente von $A$.
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||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$ und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$). Dann ist $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch $\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$.
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||||
\item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$.
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||||
$\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
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||||
\[\delta_{x_0}(A):=
|
||||
\begin{cases}
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||||
1,\ x_0\in A\\
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||||
0,\ x_0\not\in A
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||||
\end{cases}\]
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||||
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\emptyset)=0$ ist.\\
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||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$.
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||||
\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)=
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||||
\left.\begin{cases}
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||||
1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
|
||||
0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
|
||||
\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
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||||
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt
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||||
\textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
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||||
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in
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||||
$[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
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||||
\begin{align*}
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||||
\text{Für } A \in \fa: \quad
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||||
\mu(A):=
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||||
\begin{cases}
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||||
0 &\text{, falls } A=\emptyset\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j &\text{, falls } A\ne\emptyset
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}.
|
||||
Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der
|
||||
Elemente von $A$.
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$
|
||||
und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$).\\
|
||||
Dann ist
|
||||
$(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$
|
||||
und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$ ist ein Maß auf $\fa_Y$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{satz}
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\label{Satz 1.7}
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\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und \((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
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||||
\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und
|
||||
\((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\)
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||||
\item Ist \(\mu(A)<\infty\) und \(A\subseteq B,\implies\,\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\)
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@ -23,6 +23,8 @@
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\usepackage{braket} % needed for \Set
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\usepackage{ulem} %needed for uwave
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{patterns}
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%Seitenlayout
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\setlength{\parindent}{0pt}
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@ -75,7 +77,7 @@
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\def\cf{\mathcal{F}}
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\def\ci{\mathcal{I}}
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\def\co{\mathcal{O}}
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\def\cp{\mathcal{P}}
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\def\cp{\mathcal{P}} % Potenzmenge
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\def\T{\mathscr{T}}
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\def\H{\mathscr{H}}
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\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
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