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Vorlesung vom 16.01.2014 geTeXt

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Martin Thoma 2014-01-16 19:25:06 +01:00
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@ -32,3 +32,5 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|14.01.2014 | 12:45 - 12:40 | TikZ'en der Bilder aus Vorlesung von 14.01.2014
|14.01.2014 | 13:00 - 16:30 | TikZ'en der Bilder aus Vorlesung von 14.01.2014
|16.01.2014 | 12:15 - 12:30 | Verbesserung an 2 Bildern
|16.01.2014 | 12:45 - 13:30 | TikZ'en eines Bildes
|16.01.2014 | 17:00 - 19:30 | Digitalisieren der Vorlesung von 14.01.2014

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@ -396,3 +396,169 @@ schneiden sich.
Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als alle nicht-anliegenden
Außenwinkel.
\end{bemerkung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 16.01.2014 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
Gelten \cref{axiom:1}~-~\cref{axiom:4}, so gibt es zu $g \in G$
und $P \in X \setminus g$ stets ein $h \in G$ mit $P \in h$ und
$h \cap g = \emptyset$.
\end{proposition}
\todo[inline]{Bild mit paralleler gerade ... das hatte ich doch schon mal}
\begin{beweis}
Sei $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P'$
mit $P' \in f, d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen
bzgl. $f$ erhält.
\end{beweis}
\begin{behauptung}[Herz]
$\varphi(g) \cap g = \emptyset$
\end{behauptung}
\begin{beweis}
Ist $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$, so ist $R$ der Schnittpunkt.
\end{beweis}
\todo[inline]{Skizze zu Behauptung Herz}
\begin{definition}%In Vorlesung: 14.8
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\alph*]
\item Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ \label{def:14.8a}
zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\
Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.}
\item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt,
die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
\item \label{def:14.8c}$\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
$\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
gibt, mit $\varphi(P) = P'$, $\varphi(PR'_1+) = P' R_1 +$
und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene
bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
bzgl. $PR_2$ wie $R_1$
\item \label{def:14.8d} \ref{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es {\color{green} Innenwinkel} und
{\color{red} Außenwinkel}.
\end{enumerate}
\end{definition}
\todo[inline]{$\angle R_1' P' R_2'$ ist kleiner als $\angle R_1 P R_2$, vgl. \cref{def:14.8c} (Bild 4)}
\todo[inline]{{\color{green} Innenwinkel} und {\color{red} Außenwinkel} in $\triangle PQR$, vgl. \cref{def:14.8d} (Bild 5)}
\begin{korollar}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht
anliegende Außenwinkel.
\end{korollar}
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/todo.tex}
\caption{Situation aus \cref{kor:14.9}}
\label{fig:bem.14.9}
\end{figure}
\begin{beweis}
Zeige $\angle PRQ < \angle RQP'$.
Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{QR}$. Sei
$A \in MP^-$ mit $d(P,M) = d(M,A)$.
Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie
$\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist
kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die
$\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und
$P$ auf $A$ ab.
$\Rightarrow \angle MQA = \angle MRP = \angle QRP = \angle PRQ$.
Noch zu zeigen: $\angle MQA < \angle RQP'$, denn $A$ liegt in der
selben Halbebene bzgl. $PQ$ wie $M$.
\end{beweis}
\begin{beweis}[von \cref{prop:14.7}]
Wäre $\varphi(g)$ nicht parallel zu $g$, so gäbe es einen
Schnittpunkt $R$. Dann ist $\angle QPR < \angle RQP^-$ nach
\cref{kor:14.9} und $\angle QPR = \angle RQP^-$, weil
$\varphi(\angle RQP') = \angle RPQ$
\end{beweis}
\begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10
Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als
$\pi$, d.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$
und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen
Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
\end{folgerung}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Situation aus \cref{folgerung:14.10} (Bild 8)]{
\input{figures/todo.tex}
\label{fig:bem.14.9.1}
}%
\subfloat[Situation aus \cref{folgerung:14.10} (Bild 9)]{
\input{figures/todo.tex}
\label{fig:bem.14.9.2}
}
\label{fig:14.10.0}
\caption{Situation aus \cref{folgerung:14.10}}
\end{figure}
\begin{beweis}
Die Summe eines Innenwinkels mit den anliegenden Außenwinkeln ist
$\pi$, d.~h. die beiden Halbgeraden bilden eine Gerade.
\end{beweis}
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/todo.tex}
\caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.}
\label{fig:bem.14.9}
\end{figure}
\begin{proposition}\label{prop:14.11}%In Vorlesung: Proposition 14.11
In einer Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}
ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$.
\end{proposition}
Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
\begin{beweis}
Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Summe der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ (Bild 11)]{
\input{figures/todo.tex}
\label{fig:prop14.11.1}
}%
\subfloat[Situation aus \cref{prop:14.11} (Bild 12)]{
\input{figures/todo.tex}
\label{fig:prop14.11.2}
}
\label{fig:prop14.11.0}
\caption{Situation aus \cref{prop:14.11}}
\end{figure}
Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$.
\begin{behauptung}
Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit \todo{Was steht hier?}
$\cos(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
$\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$.
Dann gibt es für jedes $n$ ein $\triangle_n$ mit $\IWS(\triangle_n) = \IWS(\triangle)$
und Innenwinkel $\leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$
ist dann die Summe der \todo{Was steht hier?} anderen Innenwinkel
um $\triangle_n$ größer als $\pi \Rightarrow$ Widerspruch zu
\cref{folgerung:14.10}.
\end{behauptung}
\begin{beweis}[der Behauptung]
Sei $M$ der Mittelpunkt $\overline{RC}$ und $A' \in MA^-$ mit
$d(A', M) = d(A, M) \Rightarrow \triangle(MA'C)$ und
$\triangle(MAB)$ sind kongruent.
$\Rightarrow \angle ABM = \angle A'CM$ und $\angle MA'C = \angle MAB$.
$\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma =\IWS(\triangle ABC) = \IWS(\triangle AA'C)$
und $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha$, also \obda $\alpha_1 \leq \frac{\alpha}{2}$
\end{beweis}
\end{beweis}

View file

@ -41,6 +41,7 @@
\newframedtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
\newframedtheorem{proposition}[satz]{Proposition}
\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
\newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung}
\newtheorem{plaindefinition}{Definition}
\newenvironment{definition}{\begin{plaindefinition}}{\end{plaindefinition}}
\newenvironment{definition*}{\begin{plaindefinition*}}{\end{plaindefinition*}}
@ -82,6 +83,7 @@
\DeclareMathOperator{\Homoo}{\textnormal{Homöo}}
\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}
@ -95,3 +97,6 @@
\crefname{proposition}{Proposition}{Propositionen}
\crefname{lemma}{Lemma}{Lemmata}
\crefname{korollar}{Korollar}{Korollare}
\crefname{folgerung}{Folgerung}{Folgerungen}
\let\OldAngle\angle
\let\angle\sphericalangle