Definitionen vereinfacht

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -65,3 +65,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |06.02.2014 | 08:15 - 08:30 | Verbesserungen
 |06.02.2014 | 15:45 - 16:00 | Karteikarten
 |06.02.2014 | 16:00 - 16:55 | Digitalisieren der Vorlesung von 06.02.2014
+|06.02.2014 | 19:00 - 19:30 | TikZ'en eines Bildes

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -125,7 +125,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
 
     $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
-    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
+    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$.
 \end{definition}
 
 Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder 
@@ -335,11 +335,12 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(}
 \begin{definition}
-    Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.
+    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und 
+    $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.
 
     \begin{defenum}
-        \item $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}, wenn für jedes offene 
-              $U \subseteq Y$ auch $f^{-1} (U) \subseteq X$ offen ist. \label{def:stetigkeit}
+        \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}
+              $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$.
         \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
               und es eine 
               stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -511,10 +511,10 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}%
-    Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
+    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
     Abbildung.
 
-    $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
+    $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall U \in \fT_X: f(U) \in \fT_Y$.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}\label{bem:12.2} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -352,7 +352,7 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
         \item $S = \text{Torus}$. Siehe \cref{fig:torus-gauss-kruemmung}\\
             \begin{figure}[htp]\xindex{Torus}
                 \centering
-                \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/torus-gauss-kruemmung.jpg} 
+                \input{figures/torus-gauss-kruemmung.tex} 
                 \caption{$K(s_1) > 0$, $K(s_2) = 0$, $K(s_3) < 0$}
                 \label{fig:torus-gauss-kruemmung}
             \end{figure}

documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{tikzpicture}
+\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt]
+\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+
+\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2);
+\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0);
+
+\draw[dashed] (0,-1.5) ellipse (0.5cm and 1cm);
+\draw (0,-0.5) arc (-270:-90:0.5 and 1);
+
+\node (s1)[point,orange,label={[label distance=0mm]90:\color{orange}$s_1$}] at (0,-0.5) {};
+\node (s2)[point,red,label={[label distance=0mm]120:\color{red}$s_2$}] at (-0.5,-1.4) {};
+\node (s3)[point,green,label={[label distance=0mm]90:\color{green}$s_3$}] at (0,-2.5) {};
+\draw[red] (0,0.07) ellipse (3cm and 1.5cm);
+\end{tikzpicture}