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Martin Thoma 2014-02-10 11:46:18 +01:00
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@ -372,13 +372,13 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
\end{bemerkung}
\begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}%
\begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}\xindex{Parametrisierung!reguläre}%
$S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$
$\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen:
$\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$:
$\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$.
$F$ heißt (lokale) reguläre Parametrisierung von $S$.
$F$ heißt (lokale) \textbf{reguläre Parametrisierung} von $S$.
\begin{align*}
F(u,v) &= \left (x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right )\\
@ -455,9 +455,11 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
\todo{Hier muss ich nochmals drüber lesen.}
\underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist Diffeomorphismus
\begin{beweis}\leavevmode
\todo[inline]{Was ist $F_i$, was $F_j$? Was ist $U_i$, was $U_j$?}
\underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist ein Diffeomorphismus.
\begin{figure}[htp]
\centering
@ -470,7 +472,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
\underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\widetilde{F_j^{-1}}$
in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\widetilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$.
\underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0), v_0 \in U_j$.
\underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$, $v_0 \in U_j$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0)$.
Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda
\[\det
@ -483,7 +485,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
und $F_j(u,v) = \left ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right)$.
Definiere $\widetilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch
\[\widetilde{F_j} (u, v, t) = \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\]
\[\widetilde{F_j} (u, v, t) := \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\]
Offensichtlich: $\widetilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$
@ -498,8 +500,11 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
$F_j$ von $\widetilde{F_j}(v_0, 0) = F_j(v_0) = s$, sodass $\widetilde{F_j}$
auf $W$ eine differenzierbar Inverse $F_j^{-1}$ hat.
Weiter ist $\widetilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} = F_j^{-1} |_{W \cap S}$
$\Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} = F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)}$
Weiter gilt:
\begin{align*}
\widetilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} &= F_j^{-1} |_{W \cap S}\\
\Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} &= F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)}
\end{align*}
ist differenzierbar.
\end{beweis}