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Martin Thoma 2015-09-27 16:16:17 +02:00
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3
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@ -0,0 +1,3 @@
Das hier angebotene Skript wurde von Karl Grill erstellt.
Das original ist [hier](http://www.ci.tuwien.ac.at/~grill/) zu finden. Die hier
angebotene Version wurde (in Kleinigkeiten) von Martin Thoma überarbeitet.

317
documents/Warteschlangen/klaus.tex
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@ -1,26 +1,26 @@
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\chapter{Absch"atzungen und N"aherungen}
\chapter{Abschätzungen und Näherungen}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Absch"atzungen}
\section{Abschätzungen}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in
Spezialf"allen m"oglich ist. Im allgemeinen Fall m"ussen wir uns darauf beschr"anken, Absch"atzungen und
n"aherungsweise L"osungen zu finden.
Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in
Spezialfällen möglich ist. Im allgemeinen Fall müssen wir uns darauf beschränken, Abschätzungen und
näherungsweise Lösungen zu finden.
Wir gehen wieder von unserer Rekursionsgleichung aus:
\[w_{n+1} = (w_{n}+u_{n})_{+} \]
Wir f"uhren eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
Wir führen eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
\[y_{n} = (w_{n}+u_{n})_{-} ~ ~ ~ ~ ~ ((x)_{-} := (-x)_{+}) ~. \]
Damit erhalten wir
\[ w_{n+1}-y_{n} = w_{n}+u_{n} ~.\]
Das gibt f"ur die Erwartungswerte:
Das gibt für die Erwartungswerte:
\[\E(w_{n+1})-\E(y_{n}) = \E(w_{n})+\E(u_{n}) ~.\]
F"ur $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
Für $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
\[-\E(y) = \E(u) = \E(x) - \E(t) \qquad \mbox{oder} \qquad \E(y) = \E(t) - \E(x) ~.\]
Leider haben wir keine Beziehung f"ur die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung f"ur die Verteilungen).
Leider haben wir keine Beziehung für die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung für die Verteilungen).
Als n"achstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
Als nächstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
\[ w_{n+1}^{2}+y_{n}^{2}-2w_{n+1}y_{n}=w_{n}^{2}+2w_{n}u_{n}+u_{n}^{2} ~.\]
Wegen \( (x)_{+}(x)_{-} = 0 \) ist \( w_{n+1}y_{n} = 0 ~,\) also
\[w_{n+1}^2 + y_{n}^2 = w_{n}^2+2w_{n}u_{n}+u_{n}^2 ~.\]
@ -29,104 +29,104 @@ Wenn wir wieder die Erwartungswerte berchnen und \(n \rightarrow \infty \) gehen
\E(w^{2})+\E(y^{2})&=&\E(w^{2})+2\E(wu)+\E(u^{2}) = \\
&=&\E(w^{2})+2\E(w)\E(u)+\E(u^{2}) \\
\end{eqnarray*}
($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabh"angig).
($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabhängig).
Schlie"slich haben wir
Schließlich haben wir
\[\E(w) = \frac{\E(u^{2})-\E(y^{2})}{-2\E(u)} \qquad [\E(u) \mbox{ ist ja negativ}] ~.\]
Wir erhalten eine obere Absch"atzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten absch"atzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
Wir erhalten eine obere Abschätzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten abschätzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
\[\E(y^{2}) \geq (\E(y))^{2} = (\E(u))^{2} \qquad \mbox{also }\]
\[\E(w^{2}) \leq \frac{{\bf Var}(u)}{-2\E(u)} = \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{-2\E(u)} ~.\]
F"ur eine obere Absch"atzung f"ur $\E(y^{2})$ beachten wir, da"s
Für eine obere Abschätzung für $\E(y^{2})$ beachten wir, daß
\[y=(w+u)_{-} \leq (u)_{-} \quad \mbox{da} \quad w \geq 0 ~.\]
Wegen$ \quad u^{2} = ((u)_{+}-(u)_{-})^{2} = ((u)_{+})^{2}+((u)_{-})^{2} \quad $erhalten wir
\[\E(w) \geq \frac{(\E((u)_{+}))^{2}}{-2\E(u)} ~.\]
Ein weiterer Weg, eine untere Absch"atzung zu finden ist folgender:
\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\]
Wenn wir f"ur die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
Ein weiterer Weg, eine untere Abschätzung zu finden ist folgender:
\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\]
Wenn wir für die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
\[C(y)=\PP(u_{n} \leq y) \]
setzen, erhalten wir
\[\E((w_{n}+u_{n})_{+} \vert w_{n} = y) = \int_{-y}^{\infty}(u+z)dC(z) = \int_{-y}^{\infty}(1-C(z))dz =: g(y) ~.\]
Also
\[\E(w_{n+1}) = \E(g(w_{n}))\]
$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also k"onnen wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also können wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
\[\E(g(w_{n})) \geq g(\E(w_{n}))~.\]
F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
Für $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
\[\E(w) \geq g(\E(w)) ~.\]
Wir betrachten die Gleichung
Wir betrachten die Gleichung
\[g(y) = y ~.\]
Die Funktion $y-g(y)$ hat die Ableitung $G(-y) \geq 0$, ist also monoton.\\
Weiters ist $g(0) = \E((u_{n})_{+}) > 0 \mbox{ falls } W(u_{n} > 0) > 0$ ist (andernfalls ist $w = 0$).\\
F"ur $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte L"osung $y_{0}$, f"ur die $g(y_{0}) = y_{o}$, und
Für $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte Lösung $y_{0}$, für die $g(y_{0}) = y_{o}$, und
\[\E(w) \geq g(y_{o}) ~.\]
%------------------------------------
\section{N"aherungen}
\section{Näherungen}
%------------------------------------
\bigskip
"Ahnlich wie die Absch"atzungen des vorigen Kapitels sollen uns die N"aherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungef"ahre Aussagen "uber das qualitative
Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine M"oglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, f"ur die wir exakte Ergebnisse
kennen. Dazu k"onnen wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
Ähnlich wie die Abschätzungen des vorigen Kapitels sollen uns die Näherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungefähre Aussagen über das qualitative
Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine Möglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, für die wir exakte Ergebnisse
kennen. Dazu können wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
\begin{enumerate}
\item {\bf Verteilungen mit rationaler Laplacetransformation}
Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen ann"ahern. F"ur diese Verteilungen kann \\
man die Spektralzerlegung f"ur $G/G/1$ 'leicht' durchf"uhren: \\
man findet die Nullstellen von Z"ahler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen annähern. Für diese Verteilungen kann \\
man die Spektralzerlegung für $G/G/1$ 'leicht' durchführen: \\
man findet die Nullstellen von Zähler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
der Funktion $\Psi^{+}$ oder $\Psi^{-}$zu.
\item {\bf Diskrete Verteilungen}
"Ahnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung ann"ahern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
werden k"onnen:\\
Es sei
Ähnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung annähern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
werden können:\\
Es sei
\begin{eqnarray*}
\PP(t_{n}=1)=a, \quad \PP(t_{n}=2)=1-a \\
\PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b
\PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b
\end{eqnarray*}
[$b>a$].
F"ur $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
Für $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
\PP(u_{n}=-1)&=&b(1-a) \\
\PP(u_{n}=1)&=&a(1-b) \\
\PP(u_{n}=0)&=&ab+(1-a)(1-b) ~.
\end{eqnarray*}
F"ur die station"are Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
Für die stationäre Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
\begin{eqnarray*}
p_{k}&=&a(1-b)p_{k-1}+(ab+(1-a)(1-b))p_{k}+b(1-a)p_{k+1} \\
p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~.
\end{eqnarray*}
p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~.
\end{eqnarray*}
Wir erhalten
\begin{eqnarray*}
p_{k}&=&p_{0}\left( \frac{a(1-b)}{b(1-a)}\right)^{k} \\
p_{0}&=&1-\frac{a(1-b)}{b(1-a)}=\frac{b-a}{b(1-a)} ~.\\
\end{eqnarray*}
Falls wir mehr als zwei m"ogliche Werte f"ur $x$ bzw. $t$ haben, m"ussen wir eine Rekursion h"oherer Ordnung l"osen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die L"osung einer algebraischen
Gleichung. Diese L"osung ist f"ur hohe Polynomgrade nur numerisch m"oglich. Dies und die Tatsache, da"s man nicht genau wei"s, wie eine 'gute' N"aherung zu
w"ahlen
ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden N"aherungen.
Falls wir mehr als zwei mögliche Werte für $x$ bzw. $t$ haben, müssen wir eine Rekursion höherer Ordnung lösen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die Lösung einer algebraischen
Gleichung. Diese Lösung ist für hohe Polynomgrade nur numerisch möglich. Dies und die Tatsache, daß man nicht genau weiß, wie eine 'gute' Näherung zu
wählen
ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden Näherungen.
\item {\bf Approximation f"ur starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
\item {\bf Approximation für starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
Wir betrachten den Fall $\rho \approx 1$. \\
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die Spektralzerlegung der $G/G/1$:
\[\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}=\tilde A (-s)\tilde B (s)-1 ~.\]
F"ur $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
Für $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
\begin{eqnarray*}
\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
&=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
&=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)+ \\
&+&(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}) + o(s^{2}) ~.
\end{eqnarray*}
F"ur $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachl"assigen, also
Für $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachlässigen, also
\begin{eqnarray*}
\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&\approx&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t))+o(s^{2}) \approx \\
&\approx&s(s-s_{0}) \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~.
\end{eqnarray*}
$\Psi^{+}(s)$ ist in der N"ahe von $0$ stetig, also haben wir
$\Psi^{+}(s)$ ist in der Nähe von $0$ stetig, also haben wir
\[\Psi^{+}(s) \approx Cs(s-s_{o})\]
mit
\[s_{0}=-\frac{2(1-\rho)\E(t)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)} \]
@ -134,47 +134,47 @@ und
\[C=\Psi^{-}(0)\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~. \]
Wir erhalten daraus
\[\Phi(s) \approx -\frac{s_{0}}{s(s-s_{0})}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-s_{0}} ~.\]
Also ergibt sich f"ur die Verteilungsfunktion der Wartezeit
Also ergibt sich für die Verteilungsfunktion der Wartezeit
\[ F(y) \approx 1 - e^{-y\frac{2\E(t)(1-\rho)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}} ~.\]
Die Wartezeit ist also n"aherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
Die Wartezeit ist also näherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
\[\E(w)=\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2\E(t)(1-\rho)} ~.\]
Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz f\"{u}r Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' f"ur Warteschlangen betrachten.
Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz für Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' für Warteschlangen betrachten.
Das Mittel dieser Exponentialverteilung haben wir bereits als obere
Absch"atzung f"ur die mittlere Wartezeit erhalten.
Abschätzung für die mittlere Wartezeit erhalten.
\item{\bf Die Flussapproximation}
Diese N"aherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
Wir ersetzen die Ank"unfte und Bedienvorg"ange durch konstante Str"ome von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser N"aherung nat"urlich, da"s die
Diese Näherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
Wir ersetzen die Ankünfte und Bedienvorgänge durch konstante Ströme von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser Näherung natürlich, daß die
Schlange stets leer ist, was offensichtlich nicht sehr brauchbar ist.
F"ur zwei F"alle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
Für zwei Fälle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
\begin{enumerate}
\item Falls $\mu < \lambda$ ist, w"achst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit.
\item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden gro"s ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
N"aherung berechnen.
\item Falls $\mu < \lambda$ ist, wächst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit.
\item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden groß ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
Näherung berechnen.
\end{enumerate}
\item{\bf Die Diffusionsn"aherung}
\item{\bf Die Diffusionsnäherung}
Dies ist wie die vorige N"aherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Proze"s. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
Dies ist wie die vorige Näherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Prozeß. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
Es sei $N_{a}(u)$ die Anzahl der Kunden, die bis zur Zeit $t$ ankommen.\\
Es gilt die Beziehung
\[ N_{a}(u) \geq n \Leftrightarrow T_{n} \geq u \]
$T_{n}$ ist, wie "ublich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
$T_{n}$ ist, wie üblich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
Aus dem Gesetz der gro"sen Zahlen folgt:
Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt:
\[ T_{n} \approx n\E(t) ~.\]
Das impliziert
\[N_{a}(u) \approx \lambda u ~. \]
Der zentrale Grenzwertsatz gibt uns
\[\PP(T_{n} \leq n\E(t)+z\sqrt{n{\bf Var}(t)}) = \Phi (z) ~. \]
Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
Daraus ergibt sich für großes n
\begin{eqnarray*}
& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\
& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq u) = \\
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - y\E(t)\sqrt{u} ) = \\
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
@ -183,22 +183,22 @@ Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
& & ~ ~ ~ ~ ~-\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}\sqrt{{\bf Var}(t)(\lambda u + y\sqrt{u})}) \\
& &~ ~=1 - \Phi(\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}) ~.
\end{eqnarray*}
$N_{a}(u)$ ist also n"aherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erh"alt man f"ur die Anzahl $N_{b}(u)$
$N_{a}(u)$ ist also näherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erhält man für die Anzahl $N_{b}(u)$
der
Kunden, die w"ahrend der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine n"aherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, da"s diese Werte durch kontinuierliche Beitr"age zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ank"unfte (bzw.
Bedienvorg"ange)
Kunden, die während der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine näherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, daß diese Werte durch kontinuierliche Beiträge zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ankünfte (bzw.
Bedienvorgänge)
in der kurzen Zeit $\Delta u$ soll normalverteilt mit Mittel $\lambda\Delta u$ (bzw. $\mu\Delta u$) und Varianz $\lambda^{3}\Delta u{\bf Var}(t)$ (bzw.
$\mu^{3}\Delta
u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ank"unfte bzw. Bedienvorg"ange "uber disjunkten Intervallen sollen nat"urlich unabh"angig sein. Die "Anderung der Anzahl der
u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ankünfte bzw. Bedienvorgänge über disjunkten Intervallen sollen natürlich unabhängig sein. Die Änderung der Anzahl der
Kunden
im System w"ahrend der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
im System während der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
\lambda^{3}{\bf Var}(t) + \mu^{3}{\bf Var}(x)$.\\
(Die letzte Beziehung gilt nat"urlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
(Die letzte Beziehung gilt natürlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
Es sei nun
Es sei nun
\[F(x,u) = \PP(N(u) \leq x) ~.\]
Wir stellen eine Gleichung f"ur $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die "Anderung der Kunden w"ahrend $\Delta u$:
Wir stellen eine Gleichung für $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die Änderung der Kunden während $\Delta u$:
\begin{eqnarray*}
F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
&=&\PP(N(u)+X(\Delta u) \leq x) = \\
@ -211,7 +211,7 @@ F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
&=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\Delta u(\lambda-\mu) + \\
& &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)\sigma^{2}\Delta u + o(\Delta u) ~.
\end{eqnarray*}
Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen l"a"st, ergibt sich
Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen läßt, ergibt sich
\begin{eqnarray*}
F_{u}(x,u)&=&(\mu - \lambda)F_{x}(x,u) + \frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}(x,u) \qquad (x \geq 0) \\
& & \\
@ -219,10 +219,10 @@ F(x,0)&=&1 \qquad (x \geq 0) \\
F(x,0)&=&0 \qquad (x < 0) \\
F(0,u)&=&0 \qquad (u > 0) ~.
\end{eqnarray*}
Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, da"s das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, da"s die Anzahl der Kunden nicht
Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, daß das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, daß die Anzahl der Kunden nicht
negativ sein darf.
Man kann sehr leicht die L"osung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
Man kann sehr leicht die Lösung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
\[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)dx ~.\]
Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen:
\[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \]
@ -232,49 +232,48 @@ und, da $G(z,0)=\frac{1}{z}$
\[G(z,u) = \frac{1}{z}e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}uz^{2}+(\mu - \lambda)zu} ~.\]
Die Inversion der Laplace-Transformation liefert
\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+(\mu - \lambda)u}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right) ~. \]
Um die Gleichung mit der Randbedingung zu l"osen, suchen wir zuerst die station"are Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
von $u$ abh"angt. Dann ist nat"urlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
Um die Gleichung mit der Randbedingung zu lösen, suchen wir zuerst die stationäre Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
von $u$ abhängt. Dann ist natürlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
\[ F'_{0}(x)(\mu - \lambda)+\frac{1}{2}\sigma^{2}F''(x)=0 ~. \]
Diese Gleichung hat die allgemeine L"osung
Diese Gleichung hat die allgemeine Lösung
\[F(x) = C_{1}+C_{2}e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
Da $F(0) = 0$ und $F(\infty) = 1$ sein soll, erhalten wir
\[F(x) = 1-e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung f"ur die Wartezeit. F"ur $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster N"aherung mit der aus
Abschnitt $3.$ "uberein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende L"osung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung für die Wartezeit. Für $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster Näherung mit der aus
Abschnitt $3.$ überein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende Lösung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+u(\mu - \lambda)}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right)-e^{\frac{2(\mu - \lambda)}{\sigma^{2}}x}\Phi\left(\frac{-x+u(\mu -
\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\]
\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\]
\end {enumerate}
%------------------------------------------------------------------------------------
\chapter{Time-Sharing}
%------------------------------------------------------------------------------------
Wir wollen jetzt unsere Kenntnisse auf eine Analyse von Fragen anwenden, die bei Time-sharing Anwendungen auftreten. \\
Wir betrachten den einfachsten Fall, da"s nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten mu"s.
Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgew"ahlt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
Wir betrachten den einfachsten Fall, daß nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten muß.
Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgewählt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
aus dem
Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem n"achsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem nächsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
diese Zeit (in
Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verl"a"st das Programm das System. Da wir keine a-priori Information "uber die Rechenzeit eines Programmes
voraussetzen, k"onnen wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des n"achsten Programms nach dieser verbrauchten
Rechenzeit treffen. Dabei k"onnen wir verschiedene Ziele verfolgen:
Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verläßt das Programm das System. Da wir keine a-priori Information über die Rechenzeit eines Programmes
voraussetzen, können wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des nächsten Programms nach dieser verbrauchten
Rechenzeit treffen. Dabei können wir verschiedene Ziele verfolgen:
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
\item kurze Programme sollen m"oglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
reduziert; au"serdem ist es psychologisch ung"unstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten mu"s.
\item eine m"oglichst 'gerechte' Verteilung w"are eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht
m"oglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere k"urzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere k"urzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
\end{enumerate}
\item kurze Programme sollen möglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
reduziert; außerdem ist es psychologisch ungünstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten muß.
\item eine möglichst 'gerechte' Verteilung wäre eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht
möglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere kürzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere kürzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
\end{enumerate}
Wir machen folgende Annahmen:
\begin{enumerate}
\item Die Ank"unfte erfolgen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabh"angig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
\item Die Ankünfte erfolgen nach einem Poissonprozeß mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabhängig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
$M/G/1$-Situation) mit Dichte $b$.
\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, da"s wir die Zeit zum Austauschen vernachl"assigen k"onnen.
\item Wir betrachten nur die station"aren Verteilungen.
\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, daß wir die Zeit zum Austauschen vernachlässigen können.
\item Wir betrachten nur die stationären Verteilungen.
\end{enumerate}
$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu m"oge eine Dichte $n(u)$ existieren, soda"s
$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu möge eine Dichte $n(u)$ existieren, sodaß
\[N(u)=\int_{0}^{u}n(s)ds \]
ist.
ist.
$T(u)$ sei die Zeit, die im Durchschnitt vergeht, bis ein Job $u$ Sekunden Rechenzeit bekommt. \\
$W(u)$ sei die Wartezeit eines Jobs mit $u$ Sekunden Rechenzeit, also
@ -287,7 +286,7 @@ Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung
Wir betrachten die folgende Strategien:
\begin{enumerate}
\item {\bf FCFS} ('Batch')
\item {\bf LCFS} (pr"a-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
\item {\bf LCFS} (prä-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
\item {\bf \index{Round Robin}Round Robin (RR)}: alle Jobs, die im System sind, werden der Reihe nach bearbeitet (abwechselnd).
\item Es wird jeweils der Job bearbeitet, der am wenigsten Rechenzeit verbraucht hat.
@ -295,13 +294,13 @@ ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
Es sollte Strategie 4 kurze Jobs am meisten bevorzugen, 1 am wenigsten, 2 und 3 sollten dazwischen liegen.
\begin{enumerate}
\item Kennen wir von fr"uher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
\item Kennen wir von früher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
\[W(u) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} \]
und
\[T(u) = u + \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~. \]
\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die w"ahrend $T(u)$
\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die während $T(u)$
ankommen.
W"ahrend $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
Während $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
\[T(u) = u + \lambda T(u)\E(x)=u + \rho T(u) ~,\]
also
\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
@ -309,11 +308,11 @@ Wir haben also ein 'gerechtes' Verfahren gefunden.
\item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\
Daher ist $dT(u) = Ndu$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich:
\[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \]
also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ gro"s ist, werden die meisten Jobs, die w"ahrend
$T(u)$ ankommen, auch noch w"ahrend $T(u)$ das System verlassen. F"ur gro"ses $u$ ist also das Verhalten "ahnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ groß ist, werden die meisten Jobs, die während
$T(u)$ ankommen, auch noch während $T(u)$ das System verlassen. Für großes $u$ ist also das Verhalten ähnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit ben"otigt, dann sehen wir, da"s f"ur $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes k"onnen wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit benötigt, dann sehen wir, daß für $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes können wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
Verteilungsfunktion $B$ durch:
\[
B_{u}(y) = \left\{
@ -321,30 +320,30 @@ B_{u}(y) = \left\{
B(y) & y<u \\
1 & y \geq u
\end{array} \right. ~.
\]
\]
$W(u)$ setzt sich jetzt zusammen aus der restlichen Rechenzeit aller Programme, die vor unserem Programm angekommen sind, plus der Summe der Rechenzeiten von
allen Programmen, die w"ahrend $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
allen Programmen, die während $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
\[W_{u}=\frac{\lambda \E((x \land u)^{2})}{2(1-\rho _{u})} \]
mit
\[\rho _{u}=\lambda \E(x \wedge u) ~.\]
F"ur den zweiten Teil ergibt sich
Für den zweiten Teil ergibt sich
\[\lambda T(u)\E(x \wedge u) = T(u)\rho _{u} ~.\]
Wir bekommen die Gleichung
\[T(u)=u+W_{u}+\rho _{u}T(u) ~, \]
also
\[T(u)=\frac{u+W_{u}}{1-\rho_{u}} ~. \]
F"ur $u \rightarrow 0$ ergibt sich
Für $u \rightarrow 0$ ergibt sich
\[T(u) \approx u ~, \]
f"ur $u \rightarrow \infty$
für $u \rightarrow \infty$
\[T(u) \approx \frac{u}{1-\rho} ~. \]
\end{enumerate}
%-------------------------------------------------------------------------------------------
\chapter{Priorit"aten}
\chapter{Prioritäten}
%----------------------------------------------------------------------------------------------
Wir betrachten den Fall, da"s es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
Wir betrachten den Fall, daß es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
$p > 0$ Klassen
von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda_{i}$ an und ben"otigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonprozeß mit Rate $\lambda_{i}$ an und benötigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
$B_{i}$ (wir betrachten also wieder eine $M/G/1$-Situation). Weiters sei
\begin{eqnarray*}
\lambda &=& \sum_{i=1}^{p}\lambda _{i} \\
@ -352,12 +351,12 @@ B(y) &=& \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{p}\lambda _{i}B_{i}(y) \\
\rho _{i} &=& \lambda _{i}\int ydB_{i}(y) \\
\rho &=& \lambda \int ydB(y) ~.
\end{eqnarray*}
Es gibt jetzt eine ganze Reihe von M"oglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegeb"uber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
{\bf \index{Priorit\"{a}ten}Priorit"aten}.
Es gibt jetzt eine ganze Reihe von Möglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegebüber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
{\bf \index{Prioritäten}Prioritäten}.
Die Disziplinen, die wir untersuchen, sollen folgende Eigenschaften haben:
\begin{enumerate}
\item {\bf Nicht-pr"a-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende gef"uhrt.
\item {\bf Nicht-prä-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende geführt.
\item {\bf Arbeitserhaltend}: Niemand, der wartet, wird weggeschickt, ohne bedient zu worden zu sein.
\end{enumerate}
Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
@ -366,83 +365,83 @@ Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
\section{Ein Erhaltungssatz}
%------------------------------
$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die ben"otigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
von $U_{t}$ unabh"angig von der Disziplin: \\
$U_{t}$ w"achst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und f"allt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die station"are Verteilung
von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zuf"allig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die benötigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
von $U_{t}$ unabhängig von der Disziplin: \\
$U_{t}$ wächst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und fällt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die stationäre Verteilung
von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zufällig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
Insbesondere ist
\[\E(U) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~ \]
wobei $x$ nach der Funktion $B$ verteilt ist.
Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorit"at $i$, und
Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorität $i$, und
mit
$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Priorit"atsgruppe in der Warteschlange.
$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Prioritätsgruppe in der Warteschlange.
$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beitr"agen zusammen:
$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beiträgen zusammen:
\begin{enumerate}
\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit f"ur den Kunden, der gerade bedient wird.
\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten f"ur alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit für den Kunden, der gerade bedient wird.
\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten für alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
\end{enumerate}
Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, da"s $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zuf"allig ankommender Kunde warten mu"s, bis der Kunde fertig ist, der gerade
Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, daß $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zufällig ankommender Kunde warten muß, bis der Kunde fertig ist, der gerade
bedient wird. Mit Wahrscheinlichkeit $(1-\rho)$ findet der ankommende Kunde das System leer vor. Falls der Server besetzt ist, kann man die Verteilung der
restlichen Bedienzeit folgenderma"sen bestimmen: \\
Wir betrachten eine gro"se Anzahl $n$ von unabh"angigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der gro"sen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
in dem Intervall der L"ange $n\E(x)$ einen Punkt zuf"allig w"ahlen, ist die Chance, da"s wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zuf"allig gew"ahlte Punkt
f"allt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit L"ange $> u$, also
\[ \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~. \]
F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich f"ur die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
restlichen Bedienzeit folgendermaßen bestimmen: \\
Wir betrachten eine große Anzahl $n$ von unabhängigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der großen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
in dem Intervall der Länge $n\E(x)$ einen Punkt zufällig wählen, ist die Chance, daß wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zufällig gewählte Punkt
fällt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit Länge $> u$, also
\[ \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~. \]
Für $n \rightarrow \infty$ ergibt sich für die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
\[f(u)=\frac{1-B(u)}{\E(x)} ~. \]
Schlie"slich ist
Schließlich ist
\[W_{0}=\rho \int_{0}^{\infty}uf(u)du = \frac{\rho \E(x^{2})}{2\E(x)}=\frac{\lambda \E(x^{2})}{2} ~. \]
Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich nat"urlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. F"ur jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
$B_{i}$ sein) ben"otigt. \\
Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich natürlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. Für jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
$B_{i}$ sein) benötigt. \\
Damit gilt
\[\E(U)=W_{0}+\sum_{i=1}^{p}\E(x_{i})N_{i}=\frac{W_{0}}{1-\rho} ~. \]
Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schlie"slich
Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schließlich
\[ \sum_{i=1}^{p}\rho_{i}W_{i}=\frac{\rho W_{0}}{1-\rho}=\frac{\lambda \rho \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~.\]
Dieses Ergebnis zeigt, da"s wir eine Gruppe nur bevorzugen k"onnen, indem eine andere Gruppe gr"o"sere Wartezeiten in Kauf nehmen mu"s.
Dieses Ergebnis zeigt, daß wir eine Gruppe nur bevorzugen können, indem eine andere Gruppe größere Wartezeiten in Kauf nehmen muß.
%----------------------------------------------------
\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit}
\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit}
%----------------------------------------------------
Wir betrachten einen Kunden aus der Gruppe $i$, der das System betritt: \\
$N_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die unser Kunde im System antrifft, und die vor ihm bedient werden (ausgenommen der Kunde, der eventuell
gerade bedient werden, wenn unser Kunde ankommt). \\
$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die w"ahrend der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die während der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
Damit gilt
\[W_{i}=W_{0}+\sum_{j=1}^{p}(N_{ij}+M_{ij})\E(x_{j}) ~. \]
Wir verwenden diesen Zugang f"ur die einfachste Disziplin: \\
Wir verwenden diesen Zugang für die einfachste Disziplin: \\
Jeder Kunde aus Gruppe $i$ wird vor allen Kunden aus Gruppe $i-1$ bedient, und innerhalb einer Gruppe wird nach $FCFS$ gearbeitet. \\
Dann ist
\begin{eqnarray*}
N_{ij}&=&0 \qquad j<i \\
M_{ij}&=&0 \qquad j \leq i ~.
\end{eqnarray*}
F"ur $j \geq i$ ist
Für $j \geq i$ ist
\[N_{ij}=N_{j}=\lambda _{j}W_{j} ~. \]
F"ur $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel w"ahrend $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
Für $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel während $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
Wir erhalten
\begin{eqnarray*}
W_{i}&=&W_{0}+\sum_{j=i}^{p}\rho _{j}W_{j}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{i} = \\
&=&W_{0} + W_{i}\sum_{j=i}^{p}\rho_{j} + \sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j}
\end{eqnarray*}
oder
oder
\[W_{i}(1-\sum_{j=i}^{p}\rho_{j})=W_{0}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j} ~. \]
Wir schreiben
\[\sigma_{j} = \sum_{j=i}^{p}\rho_{j} \]
und erhalten
\[W_{i-1}(1-\sigma_{i-1})=W_{i}(1-\sigma_{i})+\rho_{i}W_{i}=W_{i}(1-\sigma_{i+1}) ~, \]
und schlie"slich
und schließlich
\[W_{i}=\frac{W_{0}}{(1-\sigma_{i})(1-\sigma_{i+1})} ~. \]
%----------------------------------------------------------------------------
\begin{appendix}
\chapter{Transformationen}
%----------------------------------------------------------------------------
F"ur unsere Untersuchungen ben"otigen wir die folgenden Transformationen:
Für unsere Untersuchungen benötigen wir die folgenden Transformationen:
\begin{enumerate}
\item Die erzeugende Funktion oder \index{erzeugende Funktion}$z$ - Transformierte: Falls $p_{n}$, $n
\geq 0$ eine diskrete Verteilung ist, nennen wir
@ -453,8 +452,8 @@ die erzeugende Funktion von $(p_{n})$. Falls $X$ die Verteilung $(p_{n})$
hat, so gilt
\begin{displaymath}
P^{*}(z) = \E (z^{X}) ~.
\end{displaymath}
$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls f"ur $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus
\end{displaymath}
$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls für $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus
$P^{*}$ eindeutig $(p_{n})$ bestimmen:
\begin{displaymath}
p_{n} = \frac{1}{n!} P^{*^{n}} (0) ~.
@ -468,33 +467,33 @@ hei\3t
\begin{displaymath}
\hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x)dx
\end{displaymath}
die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist f"ur $t \geq 0$
die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist für $t \geq 0$
endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$
und $f$. Falls $X$ mit der Dichte $f$ verteilt ist, ist
\begin{displaymath}
\hat F(t) = \E (e^{-Xt}) ~.
\end{displaymath}
Diese Beziehung kann man auch verwenden, um die Laplace - Transformierte
f"ur nicht stetige Verteilungen zu definieren.
\end{enumerate}
für nicht stetige Verteilungen zu definieren.
\end{enumerate}
Es bestehen folgende Eigenschaften der Transformationen:
\begin{enumerate}
\item $P^{*}(z)$ ist regul"ar f"ur $|z| \leq 1$.
\item $ \hat F(z)$ ist regul"ar f"ur $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
\item $P^{*}(z)$ ist regulär für $|z| \leq 1$.
\item $ \hat F(z)$ ist regulär für $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
Verteilung $(p_{n})$ hat, ist
\begin{displaymath}
\E(X) = (P^{*})^{'}(1) ~.
\end{displaymath}
\end{displaymath}
Falls $X$ Dichte $f$ hat, ist
\begin{displaymath}
\E(X) = -\hat F^{'}(0) ~.
\end{displaymath}
\item Falls $X$, $T$ unabh"angig sind, ist die Transformierte der Summe
\end{displaymath}
\item Falls $X$, $T$ unabhängig sind, ist die Transformierte der Summe
das Produkt der Transformierten.
\item Weiters sei $N_{t}$ ein \index{Poissonproze\3}Poissonproze\3 (d.h. eine Folge von
Ereignissen, wobei die Zeit zwischen zwei Ereignissen nach $M_{\lambda}$
verteilt ist. $N_{t}$ ist die Anzahl dieser Ereignisse im Intervall
$[0,t])$. F"ur eine zuf"allige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
$[0,t])$. Für eine zufällige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
Ereignissen in $[0,T]$ bestimmen. Falls $T=t$ ist, ist diese Anzahl
Poisson - verteilt mit Parameter $\lambda t$:
\begin{displaymath}

278
documents/Warteschlangen/pantelis.tex
View file

@ -2,27 +2,27 @@
\chapter{Einleitung}
%-----------------------------------------------------------------------------
Wir betrachten folgendes grundlegendes Modell: Kunden kommen zu
zuf"alligen Zeiten $T_{1} < T_{2} < \dots <T_{n} < \dots$ im System an,
zufälligen Zeiten $T_{1} < T_{2} < \dots <T_{n} < \dots$ im System an,
wobei $T_{n}$
die \index{Ankunftszeit}Ankunftszeit des $n$-ten Kunden bezeichnet.
Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und f"ur jeden Kunden
wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' ben"otigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
des $n$-ten Kunden.
Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und für jeden Kunden
wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' benötigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
des $n$-ten Kunden.
Die Reihenfolge der Bedienung der Kunden wird durch
die sogenannte \index{Disziplin}`Disziplin' der Warteschlange bestimmt.Wir nehmen meistens
FCFS (First Come First Serve) an. Andere M"oglichkeiten w"aren LCFS (Last
Come First Serve) oder `Priorit"aten'.
FCFS (First Come First Serve) an. Andere Möglichkeiten wären LCFS (Last
Come First Serve) oder `Prioritäten'.
Folgende Annahmen werden getroffen:
\begin{enumerate}
\item Die $x_{n}$ sollen unabh"angig und identisch verteilt sein.
\item $t_{n}$ ist die $n$-te \index{Zwischenankunftszeit}Zwischenankunftszeit also $t_{n}= T_{n} -
\item Die $x_{n}$ sollen unabhängig und identisch verteilt sein.
\item $t_{n}$ ist die $n$-te \index{Zwischenankunftszeit}Zwischenankunftszeit also $t_{n}= T_{n} -
T_{n-1}$, $T_{0}=0$ (Die Zeit zwischen der Ankunft des $n$-ten und des
$(n-1)$-ten Kunden). Die $t_{n}$ sind auch unabh"angig und identisch
verteilt.
$(n-1)$-ten Kunden). Die $t_{n}$ sind auch unabhängig und identisch
verteilt.
\end{enumerate}
Wir verwenden folgende \index{Warteschlangen!Kurznotation}Kurznotation f"ur
Wir verwenden folgende \index{Warteschlangen!Kurznotation}Kurznotation für
Warteschlangen: $A/B/s$.
$A \dots$ Verteilung der Zwischenankuftszeiten $t_{n}$, wobei $a$ die Dichte
@ -31,19 +31,19 @@ $B \dots$ Verteilung der Bedienzeiten $x_{n}$ wobei $b$ die Dichte von
$x_{n}$ ist. \\
$s \dots$ Anzahl der Bediener \index{Server}(Server).
Kurznotationen f"ur Verteilungen sind: \\
$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\
Kurznotationen für Verteilungen sind: \\
$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\
Dichtefunktion:
\begin{displaymath}
f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
\end{displaymath}
$E_{n}$ $\dots$ \index{Verteilung!Erlang-}Erlangverteilung: Die Summe von $n$ unabh"angigen
$E_{n}$ $\dots$ \index{Verteilung!Erlang-}Erlangverteilung: Die Summe von $n$ unabhängigen
Exponentialverteilungen.\\
Dichtefunktion:
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{\lambda^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
\end{displaymath}
$H$ $\dots$ \index{Verteilung!Hyperexponentelle}Hyperexponentielle Verteilung: Die Mischung von unabh"angigen
\end{displaymath}
$H$ $\dots$ \index{Verteilung!Hyperexponentelle}Hyperexponentielle Verteilung: Die Mischung von unabhängigen
Exponentialverteilungen. Wir haben $p_{1} \dots p_{n}$, $p_{i} \geq 0$,
und
$\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1$, $\lambda_{1} \dots \lambda_{n} \geq 0$. \\
@ -52,55 +52,55 @@ Dichtefunktion:
f(x)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \lambda_{i} e^{-\lambda_{i}x}.
\end{displaymath}
$D$ $\dots$ \index{Verteilung!Deterministische}Deterministisch: Ein fixer Wert wird angenommen. \\
$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erw"ahnt
wurde).
$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erwähnt
wurde).
Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begr"undet durch ihre
Ged"achtnislosigkeit. Falls n"amlich etwa eine Wartezeit
Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begründet durch ihre
Gedächtnislosigkeit. Falls nämlich etwa eine Wartezeit
exponentialverteilt ist, und wir schon t Zeiteinheiten gewartet haben, so
ist die Verteilung der restlichen Wartezeit gegeben durch
\begin{eqnarray*}
\PP(\mbox{restliche Wartezeit} \geq x \mid \mbox{schon $t$
gewartet}) = \\
= \PP(T \geq t+x \mid T \geq t) = \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T\geq t)} ~.
\end{eqnarray*}
= \PP(T \geq t+x \mid T \geq t) = \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T\geq t)} ~.
\end{eqnarray*}
Angenommen $T$ sei exponentialverteilt $\Rightarrow$ $\PP(T \geq t) =
e^{-\lambda t}$ $\Rightarrow$
\begin{displaymath}
\frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T \geq t)} = \frac{e^{-\lambda
(t+x)}}{e^{-\lambda
t}}= e^{-\lambda x},
\end{displaymath}
also unabh"angig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
\end{displaymath}
also unabhängig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
Es gibt abgeleitete Gr"o\3en, die das Verhalten der Warteschlange
Es gibt abgeleitete Grö\3en, die das Verhalten der Warteschlange
beschreiben wie:
\begin{enumerate}
\item $w_{n}$ $\dots$ \index{Wartezeit}Wartezeit des $n$-ten Kunden.
\item $z_{n} = w_{n} + x_{n} \dots$ Zeit, die der $n$-te Kunde im System
verbringt.
verbringt.
\item $N_{t}$ $\dots$ Anzahl der Kunden, die zum Zeitpunkt $t$ im System
sind ($=$ wartende + eventuell die, die gerade bedient werden).
\end{enumerate}
Es gibt einige Fragen, die uns interessieren:
\begin{enumerate}
\item Die Verteilungen von $w_{n}$, $z_{n}$, $N_{t}$.
\item Gibt es Grenzverteilungen f"ur $n \rightarrow \infty$ bzw. $t
\item Gibt es Grenzverteilungen für $n \rightarrow \infty$ bzw. $t
\rightarrow \infty$ (d.h. pendelt sich das Verhalten der Schlange auf
einen station"aren Zustand ein?) und Bestimmung der Grenzverteilungen.
einen stationären Zustand ein?) und Bestimmung der Grenzverteilungen.
\item Erwartungswerte der Grenzverteilungen in 2.
\item Absch"atzungen f"ur 3.
\item Abschätzungen für 3.
\end{enumerate}
Die Aufgaben sind hier in abnehmender Schwierigkeit geordnet. Leider sind
die genauen Verteilungen 1. nicht leicht zu bestimmen, also beschr"anken
die genauen Verteilungen 1. nicht leicht zu bestimmen, also beschränken
wir uns meist auf 2. ; im ganz allgemeinen Fall wird es sogar notwendig
sein, nur Absch"atzungen zu betrachten.
sein, nur Abschätzungen zu betrachten.
%-----------------------------------------------------------------------------
\chapter{Erste Resultate}
\section{Eine Rekursion f"ur die Wartezeit}
\section{Eine Rekursion für die Wartezeit}
%----------------------------------------------------------------------------
Wir wollen nun die Wartezeit des $(n+1)$-ten Kunden durch die des $n$-ten
Kunden ausdrucken. Dazu ist
Kunden ausdrucken. Dazu ist
\begin{enumerate}
\item $T_{n} \ldots $ die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
\item $T_{n} + w_{n} \ldots$ die Zeit, wenn der $n$-te Kunde bedient wird.
@ -112,13 +112,13 @@ Kunden.
Falls $T_{n+1} < T_{n} + w_{n} + x_{n}$,
dann ist $w_{n+1} = T_{n+1} + w_{n} + x_{n} - T_{n+1} = w_{n} + x_{n} -
t_{n+1}$. Falls $T_{n+1} \geq T_{n} + w_{n} + x_{n}$ ist $w_{n+1} = 0$.
Also
Also
\begin{displaymath}
w_{n+1}= \max (w_{n}+x_{n}-t_{n+1}, 0) =: (w_{n} + x_{n} - t_{n+1})_{+} ~.
w_{n+1}= \max (w_{n}+x_{n}-t_{n+1}, 0) =: (w_{n} + x_{n} - t_{n+1})_{+} ~.
\end{displaymath}
Sei $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}.$ Die $u_{i}$ sind unabh"angig und
Sei $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}.$ Die $u_{i}$ sind unabhängig und
identisch verteilt.
\begin{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow w_{n} &=& \max (w_{n-1}+ u_{n-1}, 0) = 0 \\
\Rightarrow w_{n} &=& \max (0, u_{n-1} + \max (w_{n-2} + u_{n-2}, 0)) = \\
&=& \max (0, u_{n-1}, u_{n-1} + u_{n-2} + w_{n-2}) = \dots\\
@ -132,22 +132,22 @@ Also ist die Verteilung von $w_{n}$ dieselbe wie die von $\tilde w_{n}$ mit
\end{displaymath}
Offensichtlich ist $\tilde w_{n}$ eine monoton nichtfallende Folge, also
existiert
\[ \tilde w = \lim_{n \rightarrow \infty} w_{n}. \]
\[ \tilde w = \lim_{n \rightarrow \infty} w_{n}. \]
Falls $\E u > 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots + u_{n-1}$ $\rightarrow
\infty$, also auch $\tilde w$. Falls $\E u < 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots
+ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist f"ur $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
+ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist für $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
u_{n-1} <0 $, was bedeutet da\3 nur die ersten Glieder in der Definition
von $\tilde w_{n}$ wichtig sind; also ist $\tilde w$ endlich. Falls $\E
u = 0$, ist k"onnen wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten station"ar. Leider ist das der
u = 0$, ist können wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten stationär. Leider ist das der
einzige Fall; sobald $A$ oder $B$ nicht degenerierte Verteilungen haben,
kann $\tilde w_{n}$ nicht gegen eine endliche Zufallsvariable
konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz f"ur $n$ gro\3
konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz für $n$ gro\3
genug
\begin{displaymath}
\PP(\tilde w_{n} > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon > 0 ~.
\end{displaymath}
Somit ist f"ur jedes $n$
\end{displaymath}
Somit ist für jedes $n$
\begin{displaymath}
\PP(\tilde w > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~,
\end{displaymath}
@ -155,7 +155,7 @@ also
\begin{displaymath}
\PP(\tilde w = \infty) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~.
\end{displaymath}
Es bleibt uns also f"ur station"ares Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
Es bleibt uns also für stationäres Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
$D/D/1$) die Bedingung
\begin{displaymath}
\E (u) < 0 \Leftrightarrow \E (x) < \E (t) \Leftrightarrow \rho=
@ -167,26 +167,26 @@ sind dies die Anzahl von Kunden, die in einem langen Zeitraum
durchschnittlich pro Zeiteinheit ankommen bzw. bedient werden, falls
ununterbrochen
bedient wird. Mit diesen Bezeichnungen ist $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ \index{Auslastung}(Auslastung)
und die Bedingung f"ur station"ares Verhalten wird zu $ \lambda < \mu$ bzw.\
und die Bedingung für stationäres Verhalten wird zu $ \lambda < \mu$ bzw.\
$\rho<1$.
%--------------------------------------------------------------------------
\section{Der Satz von Little}
%---------------------------------------------------------------------------
Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange station"ares Verhalten
Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange stationäres Verhalten
herrscht; wir wollen eine Beziehung zwischen der Ankuftsrate, der mittleren
Anzahl der Kunden im System und der mittleren Aufenthaltsdauer finden.
Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden f"ur die Zeit, die er im System
verbringt, bezahlen m"ussen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden für die Zeit, die er im System
verbringt, bezahlen müssen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
berechnet sich als $T \E (N)$, da zu jedem Zeitpunkt durchschnittlich $\E
(N)$
Kunden anwesend sind. Andererseits bekommt jeder Kunde durchschnittlich
$\E (z)$ bezahlt. In der Zeit $T$ kommen $\lambda T$ Kunden an, also ist
die
zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$.
zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$.
Beide Gleichungen sind nicht vollst"andig exakt, weil in beiden F"allen
noch zuf"allige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
Gleichung auch nicht ber"ucksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
Beide Gleichungen sind nicht vollständig exakt, weil in beiden Fällen
noch zufällige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
Gleichung auch nicht berücksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
$T$ bleiben. Diese Fehler sind aber von kleineren Ordnung als $T$. Wir
haben also
\begin{displaymath}
@ -202,7 +202,7 @@ Mittlere Anzahl der Kunden, die gerade bedient werden =
\begin{displaymath}
\lambda \E (x) = \frac{\lambda}{\mu} = \rho ~.
\end{displaymath}
Da aber h"ochstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
Da aber höchstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
Wahrscheinlichkeit, da\3 der Server besetzt ist, oder der Auslastung des
Servers.
%---------------------------------------------------------------------------
@ -210,8 +210,8 @@ Servers.
\section{Die Schlange $M/M/1$}
%---------------------------------------------------------------------------
Im Folgenden gehen wir von der `FCFS'-Disziplin aus.
Um die zuk"unftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu k"onnen,
ben"otigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
Um die zukünftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu können,
benötigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
\begin{enumerate}
\item Die Anzahl $N_{t}$ der anwesenden Kunden.
\item Die Zeit, die seit der letzten Ankunft vergangen ist.
@ -219,16 +219,16 @@ ben"otigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
ist (falls dieser noch andauert).
\end{enumerate}
Die letzten beiden Angaben sind notwendig, damit wir die Verteilung der
verbleibenden Zeit bis zur n"achsten Ankunft bzw. bis zum Ende des
Bedienvorganges bestimmen k"onnen. F"ur den Fall $M/M/1$ sind diese
verbleibenden Zeit bis zur nächsten Ankunft bzw. bis zum Ende des
Bedienvorganges bestimmen können. Für den Fall $M/M/1$ sind diese
Angaben nicht notwendig, weil diese Verteilungen wegen der
Ged"achtnislosigkeit der Exponentialverteilung nicht von der schon
verstrichenen Zeit abh"angen. Deshalb gen"ugt uns $N_{t}$ zur Beschreibung
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung nicht von der schon
verstrichenen Zeit abhängen. Deshalb genügt uns $N_{t}$ zur Beschreibung
des Systems.
Wir betrachten jetzt die Anzahl der Kunden zur Zeit $t+ \Delta t$, wenn
die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
"andern:
ändern:
\begin{enumerate}
\item Es kann gar nichts geschehen.
\item Es kann genau ein Kunde aufkommen.
@ -238,58 +238,58 @@ die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
Die Wahrscheinlichkeit, da\3 mindestens ein Kunde im Intervall $(t, t+ \Delta t)$
ankommt, ist $1-e^{-\lambda \Delta t} = \lambda \Delta t + o (\Delta t)$.
Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, da\3 ein Kunde fertig wird $\mu \Delta
t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit f"ur 4. ist, wie man leicht
einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt f"ur 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit für 4. ist, wie man leicht
einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt für 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
(\lambda + \mu) \Delta t + o(\Delta t)$. Falls die Schlange leer ist,
fallen nat"urlich die Summanden mit $\mu$ weg (es kann ja niemand gehen).
Somit gilt f"ur
fallen natürlich die Summanden mit $\mu$ weg (es kann ja niemand gehen).
Somit gilt für
\begin{eqnarray*}
p_{n}(t) &=& \PP (N_{t} = n) \\
p_{n}(t+ \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{n+1}(t) + (1 - (\lambda +
\mu) \Delta t) p_{n}(t) + \\
& &+ \lambda \Delta t p_{n-1}(t) + o(\Delta t)
\qquad [n \geq 1] \\
\qquad [n \geq 1] \\
p_{0}(t + \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{1}(t) + (1 - \lambda \Delta t)
p_{0}(t) + o(\Delta t) ~.
\end{eqnarray*}
Wenn man $p_{n}(t)$ auf die linke Seite bringt und durch $\Delta t$
dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ l"a\3t, ergibt sich
dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ lä\3t, ergibt sich
\begin{eqnarray*}
p'_{n}(t) &=& \mu p_{n+1}(t)-(\lambda + \mu) p_{n}(t)+ \lambda p_{n-1}(t)
\\
p'_{0}(t) &=& \mu p_{1}(t)- \lambda p_{0}(t) ~.
\end{eqnarray*}
Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen l"osen,
aber das Ergebnis ist nicht besonders sch"on. Wir beschr"anken uns daher
jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der station"aren L"osung. Diese
ist nat"urlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
$t$ abh"angt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen lösen,
aber das Ergebnis ist nicht besonders schön. Wir beschränken uns daher
jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der stationären Lösung. Diese
ist natürlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
$t$ abhängt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
\begin{eqnarray*}
\mu p_{n+1}-(\lambda +\mu) p_{n} + \lambda p_{n-1} &=& 0 \\
\mu p_{1} - \lambda p_{0} &=& 0 ~.
\end{eqnarray*}
\end{eqnarray*}
Durch Induktion erhalten wir daraus
\begin{displaymath}
\mu p_{n+1} - \lambda p_{n} = 0 ~,
\mu p_{n+1} - \lambda p_{n} = 0 ~,
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
p_{n+1} = \frac{\lambda}{\mu} p_{n} = \rho p_{n} ~.
p_{n+1} = \frac{\lambda}{\mu} p_{n} = \rho p_{n} ~.
\end{displaymath}
Also ist
\begin{displaymath}
p_{n} = \rho^{n}p_{0}
p_{n} = \rho^{n}p_{0}
\end{displaymath}
und wegen $\sum_{n=0}^{\infty} p_{n} = 1$
\begin{displaymath}
p_{0} = 1- \rho
\begin{displaymath}
p_{0} = 1- \rho
\end{displaymath}
und
\begin{displaymath}
p_{n} = \rho^{n} (1- \rho) ~.
\end{displaymath}
Die Anzahl der Kunden im System ist also geometrisch verteilt. Aus dieser
Verteilung k"onnen wir jetzt die Verteilungen von $w$ und $z$ bestimmen.
Verteilung können wir jetzt die Verteilungen von $w$ und $z$ bestimmen.
Die Zeit im System $z$, falls bei der Ankunft $n$ Personen anwesend sind,
ist die Summe von $(n+1)$ exponentialverteilten Zufallsvariablen (die
Bedienzeiten der $n$ anwesenden + die der neu hinzugekommenen), hat also
@ -314,16 +314,16 @@ Exponentialverteilung mit Parameter $\mu - \lambda$.
%----------------------------------------------------------------------------
\section{Das System $M/G/1$}
%------------------------------------------------------------------------------
Jetzt ben"otigen wir zus"atzlich zu $N_{t}$ die Information "uber die
Jetzt benötigen wir zusätzlich zu $N_{t}$ die Information über die
schon verbrauchte Bedienzeit. Die einfachste Methode besteht darin, das
System nur in solchen Zeitpunkten zu betrachten, an denen die verbrauchte
Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), n"amlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
denen der n-te Kunde das System verl"a\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), nämlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
denen der n-te Kunde das System verlä\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
Kunden, die dann im System verbleiben. Es gilt: Falls $N_{n}=0$, so mu\3
zuerst gewartet werden, bis ein neuer Kunde ankommt; wenn dieser Kunde
geht, sind noch genau die Kunden da, die w"ahrend seiner Bedienzeit
geht, sind noch genau die Kunden da, die während seiner Bedienzeit
angekommen sind; bezeichnet man $M_{n}$ als die Anzahl der Kunden, die
w"ahrend der Bedienzeit des $n$-ten Kunden ankommen, so gilt
während der Bedienzeit des $n$-ten Kunden ankommen, so gilt
\begin{displaymath}
N_{n+1} = M_{n} ~.
\end{displaymath}
@ -335,8 +335,8 @@ Zusammengefa\3t ergibt sich:
\begin{displaymath}
N_{n+1} = (N_{n} - 1)_{+} + M_{n} ~.
\end{displaymath}
Wir suchen eine station"are L"osung; es sei also $\PP (N_{n}=k)=p_{k}$
unabh"angig von $n$. Die erzeugende Funktion von $N_{n}$ ist
Wir suchen eine stationäre Lösung; es sei also $\PP (N_{n}=k)=p_{k}$
unabhängig von $n$. Die erzeugende Funktion von $N_{n}$ ist
\begin{displaymath}
P^{*}(z) = \sum_{}^{}p_{k}z^{k} ~.
\end{displaymath}
@ -345,9 +345,9 @@ Die erzeugende Funktion von $(N_{n}-1)_{+}=$
= p_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} p_{k} z^{k-1} &=& p_{0}+ \frac{\hat P
(z) - p_{0}}{z} = \\
&=& \frac{\hat P(z) - p_{0}(1-z)}{z} ~.
\end{eqnarray*}
\end{eqnarray*}
Mithilfe der Transformationen (Anhang A) ergibt sich die erzeugende Funktion von $M_{n}$
(die Ank"unfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als
(die Ankünfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als
\begin{displaymath}
\tilde B (\lambda(1 - z)) ~,
\end{displaymath}
@ -368,8 +368,8 @@ P^{*}(z) = \frac{(1- \rho)(1-z) \tilde B ( \lambda (1-z))}{ \tilde B (
\lambda(1-z)) - z} ~,
\end{displaymath}
eine sogenannte \index{Pollaczek - Khinchin Formel}Pollaczek - Khinchin Formel. Die Anzahl der Kunden, die der $n$-te
Kunde zur"uckl"a\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
w"ahrend er im System ist (d.h. w"ahrend $z_{n}$), d.h. f"ur die
Kunde zurücklä\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
während er im System ist (d.h. während $z_{n}$), d.h. für die
$L$-Transformierte $ \tilde Z (t)$ der Verteilung von $z$ gilt:
\begin{displaymath}
\tilde Z (\lambda(1-z)) = P^{*}(z) ~,
@ -378,18 +378,18 @@ also
\begin{displaymath}
\tilde Z (t) = \frac{(1- \rho)t \tilde B (t)}{t + \lambda \tilde B (t) -
\lambda} ~.
\end{displaymath}
Auch das nennt man eine Pollaczek - Khinchin Formel. F"ur die Wartezeit
\end{displaymath}
Auch das nennt man eine Pollaczek - Khinchin Formel. Für die Wartezeit
gilt
(wegen $z_{n} = w_{n} + x_{n}$)
\begin{displaymath}
\tilde Z (t) = \tilde W (t) \tilde B(t) ~,
\end{displaymath}
\tilde Z (t) = \tilde W (t) \tilde B(t) ~,
\end{displaymath}
also
\begin{displaymath}
\tilde W (t) = \frac{(1- \rho)t}{t + \lambda \tilde B (t) - \lambda} ~.
\end{displaymath}
F"ur die Erwartungswerte ergibt sich:
Für die Erwartungswerte ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
\E (N) &=& \rho + \frac{\lambda^{2} \E x^{2}}{2(1- \rho)} \\
\E (Z) &=& \frac{1}{\mu} + \frac{\lambda \E x^{2}}{2(1 - \rho)} \\
@ -402,49 +402,49 @@ Jetzt betrachten wir analog zum vorigen Kapitel das System zu den Zeiten
$T_{n}$, wo der $n$-te Kunde ankommt. $N_{n}$ sei die Anzahl der
anwesenden Kunden, die der $n$-te Kunde vorfindet.
\begin{displaymath}
N_{n+1} = N_{n}+1-\mbox{Anzahl der Kunden, die w"ahrend $t_{n+1}$ gehen.}
N_{n+1} = N_{n}+1-\mbox{Anzahl der Kunden, die während $t_{n+1}$ gehen.}
\end{displaymath}
F"ur $n>0$ gilt, wenn wir $p_{k}= \PP (N_{n}=k)$ (station"ar!) setzen:
Für $n>0$ gilt, wenn wir $p_{k}= \PP (N_{n}=k)$ (stationär!) setzen:
\begin{displaymath}
p_{k} = \sum_{j=k-1}^{\infty} p_{j} q_{j+1-k} \qquad [k \geq 1] ~,
\end{displaymath}
wobei
\begin{displaymath}
q_{s} = \PP (\mbox{ $s$ Kunden gehen w" ahrend
$t_{n+1}$)} =
q_{s} = \PP (\mbox{ $s$ Kunden gehen während
$t_{n+1}$)} =
\end{displaymath}
\begin{eqnarray*}
= \PP (\mbox{w"ahrend $t_{n+1}$ treten genau $s$ Ereignisse eines Poissons
= \PP (\mbox{während $t_{n+1}$ treten genau $s$ Ereignisse eines Poissons
-} \\
\mbox{Prozesses mit Rate $\mu$ auf)} ~. & &
\end{eqnarray*}
Die Gleichung f"ur $k=0$ ist "uberfl"ussig, da sie aus den Gleichungen
f"ur $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige L"osung besitzt.
Falls nun $(p_{k})$ eine L"osung ist, ist auch
\mbox{Prozesses mit Rate $\mu$ auf)} ~. & &
\end{eqnarray*}
Die Gleichung für $k=0$ ist überflüssig, da sie aus den Gleichungen
für $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.
Falls nun $(p_{k})$ eine Lösung ist, ist auch
\begin{displaymath}
\tilde p_{k} = \frac{p_{k+1}}{1-p_{0}}
\end{displaymath}
eine L"osung. Es mu\3 also
eine Lösung. Es mu\3 also
\begin{displaymath}
\tilde p_{k} = p_{k} ~,
\end{displaymath}
somit
\begin{displaymath}
p_{k+1} = p_{k}(1-p_{0})
p_{k+1} = p_{k}(1-p_{0})
\end{displaymath}
und
\begin{displaymath}
p_{k} = p_{0}(1-p_{0})^{k} =
p_{k} = p_{0}(1-p_{0})^{k} =
\sigma^{k}(1- \sigma) \qquad [ \sigma := 1 - p_{0}] ~.
\end{displaymath}
Setzt man das in die Gleichung f"ur $k=1$ ein, ergibt sich
\end{displaymath}
Setzt man das in die Gleichung für $k=1$ ein, ergibt sich
\begin{displaymath}
\sigma = \sum_{j=0}^{\infty} \sigma^{j} q_{j} = \tilde A (\mu(1-\sigma))
~.
\end{displaymath}
Falls $\rho < 1$, gibt es genau eine L"osung $\sigma \in (0,1)$. Dann ist
$N$ geometrisch verteilt mit Parameter $\sigma$. Wie f"ur die Schlange
Falls $\rho < 1$, gibt es genau eine Lösung $\sigma \in (0,1)$. Dann ist
$N$ geometrisch verteilt mit Parameter $\sigma$. Wie für die Schlange
$M/M/1$ ergibt sich die Verteilung der Zeit $z$ im System als
Exponentialverteilt mit Parameter $\mu(1- \sigma)$; die Wartezeit $w$ hat
$\PP (w=0)= 1 - \sigma$ und die bedingte Verteilung von $w$ unter $[w>0]$
@ -455,19 +455,19 @@ ist wieder dieselbe Exponentialverteilung wie die von $z$.
Hier sind beide Verteilungen - die der Zwischenankunftszeiten und die der
Bedienzeiten - allgemeine Verteilungen. Der Trick der vorigen beiden
Kapitel funktioniert jetzt nicht mehr gut. Um beide Zeiten zu
kontrollieren, m"u\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
kontrollieren, mü\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
in denen ein Kunde das leere System betritt; diese Zeitpunkte sind aber zu
selten, um vern"uftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
Rekursion f"ur die Wartezeiten aus:
selten, um vernüftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
Rekursion für die Wartezeiten aus:
\begin{displaymath}
w_{n+1} = (w_{n} + u_{n})_{+} ~.
\end{displaymath}
Das bedeutet f"ur die Verteilungsfunktion $W(.)$ von $w$
Das bedeutet für die Verteilungsfunktion $W(.)$ von $w$
\begin{displaymath}
W(x) = \PP (w_{n+1} \leq x) = \left\{
\begin{array}{lc}
\PP (w_{n} + u_{n} \leq x) & x \geq 0 \\
0 & x < 0
0 & x < 0
\end{array} \right. ~.
\end{displaymath}
Die Wahrscheinlichkeit $\PP (w_{n}+ u_{n} \leq x)$ berechnet sich als
@ -475,8 +475,8 @@ Die Wahrscheinlichkeit $\PP (w_{n}+ u_{n} \leq x)$ berechnet sich als
\PP (w_{n} + u_{n} \leq x) = \int_{- \infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~,
\end{displaymath}
wobei $c(u)$ die Dichte von $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}$ ist. Falls in der
Gleichung f"ur $W(x)$ die Fallunterscheidung nicht auftreten w"urde, w"are
sie leicht durch Transformationen zu l"osen. Wir erreichen dies durch
Gleichung für $W(x)$ die Fallunterscheidung nicht auftreten würde, wäre
sie leicht durch Transformationen zu lösen. Wir erreichen dies durch
einen Kunstgriff: Wir setzen
\begin{displaymath}
Y(x) = \left\{
@ -485,7 +485,7 @@ Y(x) = \left\{
0 & x \geq 0
\end{array} \right. ~.
\end{displaymath}
Dann ist
Dann ist
\begin{displaymath}
W(x) + Y(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~.
\end{displaymath}
@ -495,29 +495,29 @@ da\3
\begin{displaymath}
\Phi (t) = \frac{1}{t} \tilde W(t)
\end{displaymath}
gilt. F"ur die Transformationen ergeben sich die Formeln
gilt. Für die Transformationen ergeben sich die Formeln
\begin{displaymath}
\Phi (t) + \Phi^{-}(t) = \Phi (t) \tilde C (t) = \Phi (t) \tilde A (-t)
\tilde B (t) ~,
\tilde B (t) ~,
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\frac{\Phi^{-}(t)}{\Phi (t)} = \tilde A (-t) \tilde B (t) -1 ~.
\end{displaymath}
Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ f"ur $t \geq -D$ existiert. (Das ist
gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ f"allt).
Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ f"ur $0 \leq t \leq D$;
Ferner existiert $\Phi (t)$ f"ur $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
\geq 0$ regul"ar und beschr"ankt; $\Phi^{-}(t)$ existiert f"ur $t \leq D$
und in $\Re (t) < D$ ist $t\Phi^{-}(t)$ regul"ar und beschr"ankt. Wir
Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ für $t \geq -D$ existiert. (Das ist
gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ fällt).
Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ für $0 \leq t \leq D$;
Ferner existiert $\Phi (t)$ für $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
\geq 0$ regulär und beschränkt; $\Phi^{-}(t)$ existiert für $t \leq D$
und in $\Re (t) < D$ ist $t\Phi^{-}(t)$ regulär und beschränkt. Wir
versuchen 2 Funktionen $\Psi^{+}$ und $\Psi^{-}$ zu finden, die folgendes
erf"ullen:
erfüllen:
\begin{enumerate}
\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} = \tilde A(-t) \tilde B(t) -1$ ~ ~\index{Spektralzerlegung}(Spektralzerlegung).
\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re(t)>0$ regul"ar und beschr"ankt
\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{t}$ ist für $\Re(t)>0$ regulär und beschränkt
und hat dort keine Nullstellen.
\item $\frac{\Psi^{-}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und
beschr"ankt und hat dort keine Nullstellen.
\item $\frac{\Psi^{-}(t)}{t}$ ist für $\Re (t) < D$ regulär und
beschränkt und hat dort keine Nullstellen.
\end{enumerate}
Dann gilt
\begin{displaymath}
@ -528,9 +528,9 @@ oder
\begin{displaymath}
\Phi^{-}(t) \Psi^{-}(t) = \Psi^{+}(t) \Phi (t) \qquad 0< \Re (t) < D ~.
\end{displaymath}
Die linke Seite ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und beschr"ankt, die
rechte Seite f"ur $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
bestimmt, die in der ganzen Ebene regul"ar und beschr"ankt ist. Nach dem
Die linke Seite ist für $\Re (t) < D$ regulär und beschränkt, die
rechte Seite für $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
bestimmt, die in der ganzen Ebene regulär und beschränkt ist. Nach dem
Satz von \index{Satz!LIOUVILLE}LIOUVILLE mu\3 eine solche Funktion konstant sein. Es gilt also
\begin{displaymath}
\Phi (t) = \frac{K}{\Psi^{+}(t)} ~,
@ -544,13 +544,13 @@ Es bleibt die Konstante $K$ zu bestimmen. Sie folgt wieder aus
\tilde W (0) = 1 \qquad \mbox{zu} \qquad
K = \frac{\Phi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} = (\Phi^{+})^{'}(0) ~.
\end{displaymath}
{\bf Beispiel: $M/M/1$}
{\bf Beispiel: $M/M/1$}
\begin{displaymath}
A = M_{\lambda}: \quad \tilde A(t) = \frac{\lambda}{\lambda + t}, \quad
B = M_{\mu}: \quad \tilde B(t) =\frac{\mu}{\mu +t}
\end{displaymath}
\begin{eqnarray*}
\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} &=& \tilde A(-t) \tilde B(t)-1 =
\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} &=& \tilde A(-t) \tilde B(t)-1 =
\frac{\lambda \mu}{(\lambda - t)(\mu + t)} - 1 = \\
&=& \frac{t(\mu - \lambda + t)}{(\lambda - t)(\mu + t)}. \\
\Psi^{+}(t) &=& \frac{t(\mu -\lambda + t)}{(t + \mu} \\
@ -560,6 +560,6 @@ B = M_{\mu}: \quad \tilde B(t) =\frac{\mu}{\mu +t}
\frac{1}{t} - \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda + t)} \\
\Psi^{+'}(0) &=& \frac{\Psi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} =\frac{\mu -
\lambda}{\mu} \\
F(x) &=& 1 - \rho e^{-(\mu - \lambda)x} \quad \mbox{f"ur} \quad x \geq 0
F(x) &=& 1 - \rho e^{-(\mu - \lambda)x} \quad \mbox{für} \quad x \geq 0
\end{eqnarray*}
also die Verteilung der Wartezeit aus dem ersten Kapitel.