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@ -0,0 +1,340 @@
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GNU GENERAL PUBLIC LICENSE
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Version 2, June 1991
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Copyright (C) 1989, 1991 Free Software Foundation, Inc.
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59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
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||||
Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
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of this license document, but changing it is not allowed.
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Preamble
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||||
The licenses for most software are designed to take away your
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freedom to share and change it. By contrast, the GNU General Public
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||||
License is intended to guarantee your freedom to share and change free
|
||||
software--to make sure the software is free for all its users. This
|
||||
General Public License applies to most of the Free Software
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||||
Foundation's software and to any other program whose authors commit to
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using it. (Some other Free Software Foundation software is covered by
|
||||
the GNU Library General Public License instead.) You can apply it to
|
||||
your programs, too.
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||||
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||||
When we speak of free software, we are referring to freedom, not
|
||||
price. Our General Public Licenses are designed to make sure that you
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have the freedom to distribute copies of free software (and charge for
|
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this service if you wish), that you receive source code or can get it
|
||||
if you want it, that you can change the software or use pieces of it
|
||||
in new free programs; and that you know you can do these things.
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||||
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||||
To protect your rights, we need to make restrictions that forbid
|
||||
anyone to deny you these rights or to ask you to surrender the rights.
|
||||
These restrictions translate to certain responsibilities for you if you
|
||||
distribute copies of the software, or if you modify it.
|
||||
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||||
For example, if you distribute copies of such a program, whether
|
||||
gratis or for a fee, you must give the recipients all the rights that
|
||||
you have. You must make sure that they, too, receive or can get the
|
||||
source code. And you must show them these terms so they know their
|
||||
rights.
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||||
We protect your rights with two steps: (1) copyright the software, and
|
||||
(2) offer you this license which gives you legal permission to copy,
|
||||
distribute and/or modify the software.
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||||
|
||||
Also, for each author's protection and ours, we want to make certain
|
||||
that everyone understands that there is no warranty for this free
|
||||
software. If the software is modified by someone else and passed on, we
|
||||
want its recipients to know that what they have is not the original, so
|
||||
that any problems introduced by others will not reflect on the original
|
||||
authors' reputations.
|
||||
|
||||
Finally, any free program is threatened constantly by software
|
||||
patents. We wish to avoid the danger that redistributors of a free
|
||||
program will individually obtain patent licenses, in effect making the
|
||||
program proprietary. To prevent this, we have made it clear that any
|
||||
patent must be licensed for everyone's free use or not licensed at all.
|
||||
|
||||
The precise terms and conditions for copying, distribution and
|
||||
modification follow.
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||||
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||||
GNU GENERAL PUBLIC LICENSE
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||||
TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION
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||||
0. This License applies to any program or other work which contains
|
||||
a notice placed by the copyright holder saying it may be distributed
|
||||
under the terms of this General Public License. The "Program", below,
|
||||
refers to any such program or work, and a "work based on the Program"
|
||||
means either the Program or any derivative work under copyright law:
|
||||
that is to say, a work containing the Program or a portion of it,
|
||||
either verbatim or with modifications and/or translated into another
|
||||
language. (Hereinafter, translation is included without limitation in
|
||||
the term "modification".) Each licensee is addressed as "you".
|
||||
|
||||
Activities other than copying, distribution and modification are not
|
||||
covered by this License; they are outside its scope. The act of
|
||||
running the Program is not restricted, and the output from the Program
|
||||
is covered only if its contents constitute a work based on the
|
||||
Program (independent of having been made by running the Program).
|
||||
Whether that is true depends on what the Program does.
|
||||
|
||||
1. You may copy and distribute verbatim copies of the Program's
|
||||
source code as you receive it, in any medium, provided that you
|
||||
conspicuously and appropriately publish on each copy an appropriate
|
||||
copyright notice and disclaimer of warranty; keep intact all the
|
||||
notices that refer to this License and to the absence of any warranty;
|
||||
and give any other recipients of the Program a copy of this License
|
||||
along with the Program.
|
||||
|
||||
You may charge a fee for the physical act of transferring a copy, and
|
||||
you may at your option offer warranty protection in exchange for a fee.
|
||||
|
||||
2. You may modify your copy or copies of the Program or any portion
|
||||
of it, thus forming a work based on the Program, and copy and
|
||||
distribute such modifications or work under the terms of Section 1
|
||||
above, provided that you also meet all of these conditions:
|
||||
|
||||
a) You must cause the modified files to carry prominent notices
|
||||
stating that you changed the files and the date of any change.
|
||||
|
||||
b) You must cause any work that you distribute or publish, that in
|
||||
whole or in part contains or is derived from the Program or any
|
||||
part thereof, to be licensed as a whole at no charge to all third
|
||||
parties under the terms of this License.
|
||||
|
||||
c) If the modified program normally reads commands interactively
|
||||
when run, you must cause it, when started running for such
|
||||
interactive use in the most ordinary way, to print or display an
|
||||
announcement including an appropriate copyright notice and a
|
||||
notice that there is no warranty (or else, saying that you provide
|
||||
a warranty) and that users may redistribute the program under
|
||||
these conditions, and telling the user how to view a copy of this
|
||||
License. (Exception: if the Program itself is interactive but
|
||||
does not normally print such an announcement, your work based on
|
||||
the Program is not required to print an announcement.)
|
||||
|
||||
These requirements apply to the modified work as a whole. If
|
||||
identifiable sections of that work are not derived from the Program,
|
||||
and can be reasonably considered independent and separate works in
|
||||
themselves, then this License, and its terms, do not apply to those
|
||||
sections when you distribute them as separate works. But when you
|
||||
distribute the same sections as part of a whole which is a work based
|
||||
on the Program, the distribution of the whole must be on the terms of
|
||||
this License, whose permissions for other licensees extend to the
|
||||
entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it.
|
||||
|
||||
Thus, it is not the intent of this section to claim rights or contest
|
||||
your rights to work written entirely by you; rather, the intent is to
|
||||
exercise the right to control the distribution of derivative or
|
||||
collective works based on the Program.
|
||||
|
||||
In addition, mere aggregation of another work not based on the Program
|
||||
with the Program (or with a work based on the Program) on a volume of
|
||||
a storage or distribution medium does not bring the other work under
|
||||
the scope of this License.
|
||||
|
||||
3. You may copy and distribute the Program (or a work based on it,
|
||||
under Section 2) in object code or executable form under the terms of
|
||||
Sections 1 and 2 above provided that you also do one of the following:
|
||||
|
||||
a) Accompany it with the complete corresponding machine-readable
|
||||
source code, which must be distributed under the terms of Sections
|
||||
1 and 2 above on a medium customarily used for software interchange; or,
|
||||
|
||||
b) Accompany it with a written offer, valid for at least three
|
||||
years, to give any third party, for a charge no more than your
|
||||
cost of physically performing source distribution, a complete
|
||||
machine-readable copy of the corresponding source code, to be
|
||||
distributed under the terms of Sections 1 and 2 above on a medium
|
||||
customarily used for software interchange; or,
|
||||
|
||||
c) Accompany it with the information you received as to the offer
|
||||
to distribute corresponding source code. (This alternative is
|
||||
allowed only for noncommercial distribution and only if you
|
||||
received the program in object code or executable form with such
|
||||
an offer, in accord with Subsection b above.)
|
||||
|
||||
The source code for a work means the preferred form of the work for
|
||||
making modifications to it. For an executable work, complete source
|
||||
code means all the source code for all modules it contains, plus any
|
||||
associated interface definition files, plus the scripts used to
|
||||
control compilation and installation of the executable. However, as a
|
||||
special exception, the source code distributed need not include
|
||||
anything that is normally distributed (in either source or binary
|
||||
form) with the major components (compiler, kernel, and so on) of the
|
||||
operating system on which the executable runs, unless that component
|
||||
itself accompanies the executable.
|
||||
|
||||
If distribution of executable or object code is made by offering
|
||||
access to copy from a designated place, then offering equivalent
|
||||
access to copy the source code from the same place counts as
|
||||
distribution of the source code, even though third parties are not
|
||||
compelled to copy the source along with the object code.
|
||||
|
||||
4. You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Program
|
||||
except as expressly provided under this License. Any attempt
|
||||
otherwise to copy, modify, sublicense or distribute the Program is
|
||||
void, and will automatically terminate your rights under this License.
|
||||
However, parties who have received copies, or rights, from you under
|
||||
this License will not have their licenses terminated so long as such
|
||||
parties remain in full compliance.
|
||||
|
||||
5. You are not required to accept this License, since you have not
|
||||
signed it. However, nothing else grants you permission to modify or
|
||||
distribute the Program or its derivative works. These actions are
|
||||
prohibited by law if you do not accept this License. Therefore, by
|
||||
modifying or distributing the Program (or any work based on the
|
||||
Program), you indicate your acceptance of this License to do so, and
|
||||
all its terms and conditions for copying, distributing or modifying
|
||||
the Program or works based on it.
|
||||
|
||||
6. Each time you redistribute the Program (or any work based on the
|
||||
Program), the recipient automatically receives a license from the
|
||||
original licensor to copy, distribute or modify the Program subject to
|
||||
these terms and conditions. You may not impose any further
|
||||
restrictions on the recipients' exercise of the rights granted herein.
|
||||
You are not responsible for enforcing compliance by third parties to
|
||||
this License.
|
||||
|
||||
7. If, as a consequence of a court judgment or allegation of patent
|
||||
infringement or for any other reason (not limited to patent issues),
|
||||
conditions are imposed on you (whether by court order, agreement or
|
||||
otherwise) that contradict the conditions of this License, they do not
|
||||
excuse you from the conditions of this License. If you cannot
|
||||
distribute so as to satisfy simultaneously your obligations under this
|
||||
License and any other pertinent obligations, then as a consequence you
|
||||
may not distribute the Program at all. For example, if a patent
|
||||
license would not permit royalty-free redistribution of the Program by
|
||||
all those who receive copies directly or indirectly through you, then
|
||||
the only way you could satisfy both it and this License would be to
|
||||
refrain entirely from distribution of the Program.
|
||||
|
||||
If any portion of this section is held invalid or unenforceable under
|
||||
any particular circumstance, the balance of the section is intended to
|
||||
apply and the section as a whole is intended to apply in other
|
||||
circumstances.
|
||||
|
||||
It is not the purpose of this section to induce you to infringe any
|
||||
patents or other property right claims or to contest validity of any
|
||||
such claims; this section has the sole purpose of protecting the
|
||||
integrity of the free software distribution system, which is
|
||||
implemented by public license practices. Many people have made
|
||||
generous contributions to the wide range of software distributed
|
||||
through that system in reliance on consistent application of that
|
||||
system; it is up to the author/donor to decide if he or she is willing
|
||||
to distribute software through any other system and a licensee cannot
|
||||
impose that choice.
|
||||
|
||||
This section is intended to make thoroughly clear what is believed to
|
||||
be a consequence of the rest of this License.
|
||||
|
||||
8. If the distribution and/or use of the Program is restricted in
|
||||
certain countries either by patents or by copyrighted interfaces, the
|
||||
original copyright holder who places the Program under this License
|
||||
may add an explicit geographical distribution limitation excluding
|
||||
those countries, so that distribution is permitted only in or among
|
||||
countries not thus excluded. In such case, this License incorporates
|
||||
the limitation as if written in the body of this License.
|
||||
|
||||
9. The Free Software Foundation may publish revised and/or new versions
|
||||
of the General Public License from time to time. Such new versions will
|
||||
be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to
|
||||
address new problems or concerns.
|
||||
|
||||
Each version is given a distinguishing version number. If the Program
|
||||
specifies a version number of this License which applies to it and "any
|
||||
later version", you have the option of following the terms and conditions
|
||||
either of that version or of any later version published by the Free
|
||||
Software Foundation. If the Program does not specify a version number of
|
||||
this License, you may choose any version ever published by the Free Software
|
||||
Foundation.
|
||||
|
||||
10. If you wish to incorporate parts of the Program into other free
|
||||
programs whose distribution conditions are different, write to the author
|
||||
to ask for permission. For software which is copyrighted by the Free
|
||||
Software Foundation, write to the Free Software Foundation; we sometimes
|
||||
make exceptions for this. Our decision will be guided by the two goals
|
||||
of preserving the free status of all derivatives of our free software and
|
||||
of promoting the sharing and reuse of software generally.
|
||||
|
||||
NO WARRANTY
|
||||
|
||||
11. BECAUSE THE PROGRAM IS LICENSED FREE OF CHARGE, THERE IS NO WARRANTY
|
||||
FOR THE PROGRAM, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLE LAW. EXCEPT WHEN
|
||||
OTHERWISE STATED IN WRITING THE COPYRIGHT HOLDERS AND/OR OTHER PARTIES
|
||||
PROVIDE THE PROGRAM "AS IS" WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EITHER EXPRESSED
|
||||
OR IMPLIED, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF
|
||||
MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. THE ENTIRE RISK AS
|
||||
TO THE QUALITY AND PERFORMANCE OF THE PROGRAM IS WITH YOU. SHOULD THE
|
||||
PROGRAM PROVE DEFECTIVE, YOU ASSUME THE COST OF ALL NECESSARY SERVICING,
|
||||
REPAIR OR CORRECTION.
|
||||
|
||||
12. IN NO EVENT UNLESS REQUIRED BY APPLICABLE LAW OR AGREED TO IN WRITING
|
||||
WILL ANY COPYRIGHT HOLDER, OR ANY OTHER PARTY WHO MAY MODIFY AND/OR
|
||||
REDISTRIBUTE THE PROGRAM AS PERMITTED ABOVE, BE LIABLE TO YOU FOR DAMAGES,
|
||||
INCLUDING ANY GENERAL, SPECIAL, INCIDENTAL OR CONSEQUENTIAL DAMAGES ARISING
|
||||
OUT OF THE USE OR INABILITY TO USE THE PROGRAM (INCLUDING BUT NOT LIMITED
|
||||
TO LOSS OF DATA OR DATA BEING RENDERED INACCURATE OR LOSSES SUSTAINED BY
|
||||
YOU OR THIRD PARTIES OR A FAILURE OF THE PROGRAM TO OPERATE WITH ANY OTHER
|
||||
PROGRAMS), EVEN IF SUCH HOLDER OR OTHER PARTY HAS BEEN ADVISED OF THE
|
||||
POSSIBILITY OF SUCH DAMAGES.
|
||||
|
||||
END OF TERMS AND CONDITIONS
|
||||
|
||||
How to Apply These Terms to Your New Programs
|
||||
|
||||
If you develop a new program, and you want it to be of the greatest
|
||||
possible use to the public, the best way to achieve this is to make it
|
||||
free software which everyone can redistribute and change under these terms.
|
||||
|
||||
To do so, attach the following notices to the program. It is safest
|
||||
to attach them to the start of each source file to most effectively
|
||||
convey the exclusion of warranty; and each file should have at least
|
||||
the "copyright" line and a pointer to where the full notice is found.
|
||||
|
||||
<one line to give the program's name and a brief idea of what it does.>
|
||||
Copyright (C) 19yy <name of author>
|
||||
|
||||
This program is free software; you can redistribute it and/or modify
|
||||
it under the terms of the GNU General Public License as published by
|
||||
the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
|
||||
(at your option) any later version.
|
||||
|
||||
This program is distributed in the hope that it will be useful,
|
||||
but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
|
||||
MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
|
||||
GNU General Public License for more details.
|
||||
|
||||
You should have received a copy of the GNU General Public License
|
||||
along with this program; if not, write to the Free Software
|
||||
Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
|
||||
|
||||
|
||||
Also add information on how to contact you by electronic and paper mail.
|
||||
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||||
If the program is interactive, make it output a short notice like this
|
||||
when it starts in an interactive mode:
|
||||
|
||||
Gnomovision version 69, Copyright (C) 19yy name of author
|
||||
Gnomovision comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type `show w'.
|
||||
This is free software, and you are welcome to redistribute it
|
||||
under certain conditions; type `show c' for details.
|
||||
|
||||
The hypothetical commands `show w' and `show c' should show the appropriate
|
||||
parts of the General Public License. Of course, the commands you use may
|
||||
be called something other than `show w' and `show c'; they could even be
|
||||
mouse-clicks or menu items--whatever suits your program.
|
||||
|
||||
You should also get your employer (if you work as a programmer) or your
|
||||
school, if any, to sign a "copyright disclaimer" for the program, if
|
||||
necessary. Here is a sample; alter the names:
|
||||
|
||||
Yoyodyne, Inc., hereby disclaims all copyright interest in the program
|
||||
`Gnomovision' (which makes passes at compilers) written by James Hacker.
|
||||
|
||||
<signature of Ty Coon>, 1 April 1989
|
||||
Ty Coon, President of Vice
|
||||
|
||||
This General Public License does not permit incorporating your program into
|
||||
proprietary programs. If your program is a subroutine library, you may
|
||||
consider it more useful to permit linking proprietary applications with the
|
||||
library. If this is what you want to do, use the GNU Library General
|
||||
Public License instead of this License.
|
||||
519
documents/Warteschlangen/klaus.tex
Normal file
519
documents/Warteschlangen/klaus.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,519 @@
|
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||||
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|
||||
\chapter{Absch"atzungen und N"aherungen}
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||||
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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||||
\section{Absch"atzungen}
|
||||
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|
||||
Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in
|
||||
Spezialf"allen m"oglich ist. Im allgemeinen Fall m"ussen wir uns darauf beschr"anken, Absch"atzungen und
|
||||
n"aherungsweise L"osungen zu finden.
|
||||
|
||||
Wir gehen wieder von unserer Rekursionsgleichung aus:
|
||||
\[w_{n+1} = (w_{n}+u_{n})_{+} \]
|
||||
Wir f"uhren eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
|
||||
\[y_{n} = (w_{n}+u_{n})_{-} ~ ~ ~ ~ ~ ((x)_{-} := (-x)_{+}) ~. \]
|
||||
Damit erhalten wir
|
||||
\[ w_{n+1}-y_{n} = w_{n}+u_{n} ~.\]
|
||||
Das gibt f"ur die Erwartungswerte:
|
||||
\[\E(w_{n+1})-\E(y_{n}) = \E(w_{n})+\E(u_{n}) ~.\]
|
||||
F"ur $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
|
||||
\[-\E(y) = \E(u) = \E(x) - \E(t) \qquad \mbox{oder} \qquad \E(y) = \E(t) - \E(x) ~.\]
|
||||
Leider haben wir keine Beziehung f"ur die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung f"ur die Verteilungen).
|
||||
|
||||
Als n"achstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
|
||||
\[ w_{n+1}^{2}+y_{n}^{2}-2w_{n+1}y_{n}=w_{n}^{2}+2w_{n}u_{n}+u_{n}^{2} ~.\]
|
||||
Wegen \( (x)_{+}(x)_{-} = 0 \) ist \( w_{n+1}y_{n} = 0 ~,\) also
|
||||
\[w_{n+1}^2 + y_{n}^2 = w_{n}^2+2w_{n}u_{n}+u_{n}^2 ~.\]
|
||||
Wenn wir wieder die Erwartungswerte berchnen und \(n \rightarrow \infty \) gehen lassen, so ergibt sich
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\E(w^{2})+\E(y^{2})&=&\E(w^{2})+2\E(wu)+\E(u^{2}) = \\
|
||||
&=&\E(w^{2})+2\E(w)\E(u)+\E(u^{2}) \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabh"angig).
|
||||
|
||||
Schlie"slich haben wir
|
||||
\[\E(w) = \frac{\E(u^{2})-\E(y^{2})}{-2\E(u)} \qquad [\E(u) \mbox{ ist ja negativ}] ~.\]
|
||||
Wir erhalten eine obere Absch"atzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten absch"atzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
|
||||
\[\E(y^{2}) \geq (\E(y))^{2} = (\E(u))^{2} \qquad \mbox{also }\]
|
||||
\[\E(w^{2}) \leq \frac{{\bf Var}(u)}{-2\E(u)} = \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{-2\E(u)} ~.\]
|
||||
F"ur eine obere Absch"atzung f"ur $\E(y^{2})$ beachten wir, da"s
|
||||
\[y=(w+u)_{-} \leq (u)_{-} \quad \mbox{da} \quad w \geq 0 ~.\]
|
||||
Wegen$ \quad u^{2} = ((u)_{+}-(u)_{-})^{2} = ((u)_{+})^{2}+((u)_{-})^{2} \quad $erhalten wir
|
||||
\[\E(w) \geq \frac{(\E((u)_{+}))^{2}}{-2\E(u)} ~.\]
|
||||
Ein weiterer Weg, eine untere Absch"atzung zu finden ist folgender:
|
||||
\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\]
|
||||
Wenn wir f"ur die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
|
||||
\[C(y)=\PP(u_{n} \leq y) \]
|
||||
setzen, erhalten wir
|
||||
\[\E((w_{n}+u_{n})_{+} \vert w_{n} = y) = \int_{-y}^{\infty}(u+z)dC(z) = \int_{-y}^{\infty}(1-C(z))dz =: g(y) ~.\]
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||||
Also
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\[\E(w_{n+1}) = \E(g(w_{n}))\]
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$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also k"onnen wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
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\[\E(g(w_{n})) \geq g(\E(w_{n}))~.\]
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F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
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\[\E(w) \geq g(\E(w)) ~.\]
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||||
Wir betrachten die Gleichung
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\[g(y) = y ~.\]
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Die Funktion $y-g(y)$ hat die Ableitung $G(-y) \geq 0$, ist also monoton.\\
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Weiters ist $g(0) = \E((u_{n})_{+}) > 0 \mbox{ falls } W(u_{n} > 0) > 0$ ist (andernfalls ist $w = 0$).\\
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||||
F"ur $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte L"osung $y_{0}$, f"ur die $g(y_{0}) = y_{o}$, und
|
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\[\E(w) \geq g(y_{o}) ~.\]
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%------------------------------------
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\section{N"aherungen}
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%------------------------------------
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\bigskip
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"Ahnlich wie die Absch"atzungen des vorigen Kapitels sollen uns die N"aherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungef"ahre Aussagen "uber das qualitative
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Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine M"oglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, f"ur die wir exakte Ergebnisse
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||||
kennen. Dazu k"onnen wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
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\begin{enumerate}
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\item {\bf Verteilungen mit rationaler Laplacetransformation}
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Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen ann"ahern. F"ur diese Verteilungen kann \\
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man die Spektralzerlegung f"ur $G/G/1$ 'leicht' durchf"uhren: \\
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man findet die Nullstellen von Z"ahler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
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der Funktion $\Psi^{+}$ oder $\Psi^{-}$zu.
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\item {\bf Diskrete Verteilungen}
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"Ahnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung ann"ahern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
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werden k"onnen:\\
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Es sei
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\begin{eqnarray*}
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\PP(t_{n}=1)=a, \quad \PP(t_{n}=2)=1-a \\
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\PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
[$b>a$].
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||||
F"ur $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
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\begin{eqnarray*}
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\PP(u_{n}=-1)&=&b(1-a) \\
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||||
\PP(u_{n}=1)&=&a(1-b) \\
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||||
\PP(u_{n}=0)&=&ab+(1-a)(1-b) ~.
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||||
\end{eqnarray*}
|
||||
F"ur die station"are Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
p_{k}&=&a(1-b)p_{k-1}+(ab+(1-a)(1-b))p_{k}+b(1-a)p_{k+1} \\
|
||||
p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Wir erhalten
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
p_{k}&=&p_{0}\left( \frac{a(1-b)}{b(1-a)}\right)^{k} \\
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||||
p_{0}&=&1-\frac{a(1-b)}{b(1-a)}=\frac{b-a}{b(1-a)} ~.\\
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Falls wir mehr als zwei m"ogliche Werte f"ur $x$ bzw. $t$ haben, m"ussen wir eine Rekursion h"oherer Ordnung l"osen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
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||||
charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die L"osung einer algebraischen
|
||||
Gleichung. Diese L"osung ist f"ur hohe Polynomgrade nur numerisch m"oglich. Dies und die Tatsache, da"s man nicht genau wei"s, wie eine 'gute' N"aherung zu
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||||
w"ahlen
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ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden N"aherungen.
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\item {\bf Approximation f"ur starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
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Wir betrachten den Fall $\rho \approx 1$. \\
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Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die Spektralzerlegung der $G/G/1$:
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\[\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}=\tilde A (-s)\tilde B (s)-1 ~.\]
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||||
F"ur $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
|
||||
&=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
|
||||
&=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)+ \\
|
||||
&+&(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}) + o(s^{2}) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
F"ur $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachl"assigen, also
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&\approx&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t))+o(s^{2}) \approx \\
|
||||
&\approx&s(s-s_{0}) \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
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||||
$\Psi^{+}(s)$ ist in der N"ahe von $0$ stetig, also haben wir
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\[\Psi^{+}(s) \approx Cs(s-s_{o})\]
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||||
mit
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||||
\[s_{0}=-\frac{2(1-\rho)\E(t)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)} \]
|
||||
und
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||||
\[C=\Psi^{-}(0)\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~. \]
|
||||
Wir erhalten daraus
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||||
\[\Phi(s) \approx -\frac{s_{0}}{s(s-s_{0})}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-s_{0}} ~.\]
|
||||
Also ergibt sich f"ur die Verteilungsfunktion der Wartezeit
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||||
\[ F(y) \approx 1 - e^{-y\frac{2\E(t)(1-\rho)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}} ~.\]
|
||||
Die Wartezeit ist also n"aherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
|
||||
\[\E(w)=\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2\E(t)(1-\rho)} ~.\]
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||||
Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz f\"{u}r Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' f"ur Warteschlangen betrachten.
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Das Mittel dieser Exponentialverteilung haben wir bereits als obere
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Absch"atzung f"ur die mittlere Wartezeit erhalten.
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\item{\bf Die Flussapproximation}
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Diese N"aherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
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Wir ersetzen die Ank"unfte und Bedienvorg"ange durch konstante Str"ome von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
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||||
pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser N"aherung nat"urlich, da"s die
|
||||
Schlange stets leer ist, was offensichtlich nicht sehr brauchbar ist.
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||||
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||||
F"ur zwei F"alle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
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\begin{enumerate}
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||||
\item Falls $\mu < \lambda$ ist, w"achst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit.
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||||
\item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden gro"s ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
|
||||
N"aherung berechnen.
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\end{enumerate}
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||||
\item{\bf Die Diffusionsn"aherung}
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Dies ist wie die vorige N"aherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Proze"s. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
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Es sei $N_{a}(u)$ die Anzahl der Kunden, die bis zur Zeit $t$ ankommen.\\
|
||||
Es gilt die Beziehung
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\[ N_{a}(u) \geq n \Leftrightarrow T_{n} \geq u \]
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||||
$T_{n}$ ist, wie "ublich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
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Aus dem Gesetz der gro"sen Zahlen folgt:
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\[ T_{n} \approx n\E(t) ~.\]
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||||
Das impliziert
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\[N_{a}(u) \approx \lambda u ~. \]
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||||
Der zentrale Grenzwertsatz gibt uns
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\[\PP(T_{n} \leq n\E(t)+z\sqrt{n{\bf Var}(t)}) = \Phi (z) ~. \]
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||||
Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\
|
||||
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq u) = \\
|
||||
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - y\E(t)\sqrt{u} ) = \\
|
||||
& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
|
||||
& & ~ ~ ~ ~ ~- y\sqrt{(\E(t))^{3}(\lambda u + y\sqrt{u})})=\\
|
||||
& &~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
|
||||
& & ~ ~ ~ ~ ~-\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}\sqrt{{\bf Var}(t)(\lambda u + y\sqrt{u})}) \\
|
||||
& &~ ~=1 - \Phi(\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$N_{a}(u)$ ist also n"aherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erh"alt man f"ur die Anzahl $N_{b}(u)$
|
||||
der
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||||
Kunden, die w"ahrend der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine n"aherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
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||||
$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, da"s diese Werte durch kontinuierliche Beitr"age zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ank"unfte (bzw.
|
||||
Bedienvorg"ange)
|
||||
in der kurzen Zeit $\Delta u$ soll normalverteilt mit Mittel $\lambda\Delta u$ (bzw. $\mu\Delta u$) und Varianz $\lambda^{3}\Delta u{\bf Var}(t)$ (bzw.
|
||||
$\mu^{3}\Delta
|
||||
u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ank"unfte bzw. Bedienvorg"ange "uber disjunkten Intervallen sollen nat"urlich unabh"angig sein. Die "Anderung der Anzahl der
|
||||
Kunden
|
||||
im System w"ahrend der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
|
||||
\lambda^{3}{\bf Var}(t) + \mu^{3}{\bf Var}(x)$.\\
|
||||
(Die letzte Beziehung gilt nat"urlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
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||||
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||||
Es sei nun
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||||
\[F(x,u) = \PP(N(u) \leq x) ~.\]
|
||||
Wir stellen eine Gleichung f"ur $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die "Anderung der Kunden w"ahrend $\Delta u$:
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
|
||||
&=&\PP(N(u)+X(\Delta u) \leq x) = \\
|
||||
&=&\PP(N(u) \leq x - X(\Delta u)) = \\
|
||||
&=&\E(F(x-X(\Delta u),u)) = \\
|
||||
&=&\E(F(x,u)-F_{x}(x,u)X(\Delta u) + \\
|
||||
& &+ \frac{1}{2}F_{xx}(x,u)X(\Delta u)^{2} + o(\Delta u)) = \\
|
||||
&=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\E(X(\Delta u)) + \\
|
||||
& &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)(\E(X(\Delta u)^{2})) + o(\Delta u) = \\
|
||||
&=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\Delta u(\lambda-\mu) + \\
|
||||
& &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)\sigma^{2}\Delta u + o(\Delta u) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen l"a"st, ergibt sich
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
F_{u}(x,u)&=&(\mu - \lambda)F_{x}(x,u) + \frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}(x,u) \qquad (x \geq 0) \\
|
||||
& & \\
|
||||
F(x,0)&=&1 \qquad (x \geq 0) \\
|
||||
F(x,0)&=&0 \qquad (x < 0) \\
|
||||
F(0,u)&=&0 \qquad (u > 0) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, da"s das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, da"s die Anzahl der Kunden nicht
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||||
negativ sein darf.
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||||
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||||
Man kann sehr leicht die L"osung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
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||||
\[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)dx ~.\]
|
||||
Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen:
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||||
\[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \]
|
||||
also
|
||||
\[ G(z,u) = G(z,0)e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}z^{2}+(\mu - \lambda)z} \]
|
||||
und, da $G(z,0)=\frac{1}{z}$
|
||||
\[G(z,u) = \frac{1}{z}e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}uz^{2}+(\mu - \lambda)zu} ~.\]
|
||||
Die Inversion der Laplace-Transformation liefert
|
||||
\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+(\mu - \lambda)u}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right) ~. \]
|
||||
Um die Gleichung mit der Randbedingung zu l"osen, suchen wir zuerst die station"are Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
|
||||
von $u$ abh"angt. Dann ist nat"urlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
|
||||
\[ F'_{0}(x)(\mu - \lambda)+\frac{1}{2}\sigma^{2}F''(x)=0 ~. \]
|
||||
Diese Gleichung hat die allgemeine L"osung
|
||||
\[F(x) = C_{1}+C_{2}e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
|
||||
Da $F(0) = 0$ und $F(\infty) = 1$ sein soll, erhalten wir
|
||||
\[F(x) = 1-e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
|
||||
Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung f"ur die Wartezeit. F"ur $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster N"aherung mit der aus
|
||||
Abschnitt $3.$ "uberein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende L"osung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
|
||||
\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+u(\mu - \lambda)}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right)-e^{\frac{2(\mu - \lambda)}{\sigma^{2}}x}\Phi\left(\frac{-x+u(\mu -
|
||||
\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\]
|
||||
\end {enumerate}
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%------------------------------------------------------------------------------------
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||||
\chapter{Time-Sharing}
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||||
Wir wollen jetzt unsere Kenntnisse auf eine Analyse von Fragen anwenden, die bei Time-sharing Anwendungen auftreten. \\
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||||
Wir betrachten den einfachsten Fall, da"s nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten mu"s.
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||||
Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgew"ahlt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
|
||||
aus dem
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||||
Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem n"achsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
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||||
diese Zeit (in
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||||
Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verl"a"st das Programm das System. Da wir keine a-priori Information "uber die Rechenzeit eines Programmes
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||||
voraussetzen, k"onnen wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des n"achsten Programms nach dieser verbrauchten
|
||||
Rechenzeit treffen. Dabei k"onnen wir verschiedene Ziele verfolgen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item kurze Programme sollen m"oglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
|
||||
reduziert; au"serdem ist es psychologisch ung"unstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten mu"s.
|
||||
\item eine m"oglichst 'gerechte' Verteilung w"are eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht
|
||||
m"oglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere k"urzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere k"urzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Wir machen folgende Annahmen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Ank"unfte erfolgen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabh"angig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
|
||||
$M/G/1$-Situation) mit Dichte $b$.
|
||||
\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, da"s wir die Zeit zum Austauschen vernachl"assigen k"onnen.
|
||||
\item Wir betrachten nur die station"aren Verteilungen.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu m"oge eine Dichte $n(u)$ existieren, soda"s
|
||||
\[N(u)=\int_{0}^{u}n(s)ds \]
|
||||
ist.
|
||||
|
||||
$T(u)$ sei die Zeit, die im Durchschnitt vergeht, bis ein Job $u$ Sekunden Rechenzeit bekommt. \\
|
||||
$W(u)$ sei die Wartezeit eines Jobs mit $u$ Sekunden Rechenzeit, also
|
||||
\[W(u) = T(u) - u ~. \]
|
||||
Wir betrachten die Jobs, die schon zwischen $u$ und $u+\Delta u$ Sekunden gerechnet haben, als eine eigene Warteschlange. Hier kommen alle Jobs durch, deren
|
||||
Rechenzeit $\geq u$ ist. Die Ankunftsrate in dieser Schlange ist also $\lambda(1-B(u))$.\\
|
||||
Die mittlere Aufenthaltsdauer ist $T(u+\Delta u) - T(u)$, und die mittlere Anzahl von Jobs in dieser Schlange ist $\approx n(u)\Delta u$. \\
|
||||
Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung
|
||||
\[n(u)=\lambda (1-B(u))\frac{dT(u)}{du} ~. \]
|
||||
Wir betrachten die folgende Strategien:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item {\bf FCFS} ('Batch')
|
||||
\item {\bf LCFS} (pr"a-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
|
||||
ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
|
||||
\item {\bf \index{Round Robin}Round Robin (RR)}: alle Jobs, die im System sind, werden der Reihe nach bearbeitet (abwechselnd).
|
||||
\item Es wird jeweils der Job bearbeitet, der am wenigsten Rechenzeit verbraucht hat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Es sollte Strategie 4 kurze Jobs am meisten bevorzugen, 1 am wenigsten, 2 und 3 sollten dazwischen liegen.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Kennen wir von fr"uher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
|
||||
\[W(u) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} \]
|
||||
und
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||||
\[T(u) = u + \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~. \]
|
||||
\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die w"ahrend $T(u)$
|
||||
ankommen.
|
||||
W"ahrend $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
|
||||
\[T(u) = u + \lambda T(u)\E(x)=u + \rho T(u) ~,\]
|
||||
also
|
||||
\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
|
||||
Wir haben also ein 'gerechtes' Verfahren gefunden.
|
||||
\item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\
|
||||
Daher ist $dT(u) = Ndu$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich:
|
||||
\[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \]
|
||||
also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ gro"s ist, werden die meisten Jobs, die w"ahrend
|
||||
$T(u)$ ankommen, auch noch w"ahrend $T(u)$ das System verlassen. F"ur gro"ses $u$ ist also das Verhalten "ahnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
|
||||
\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
|
||||
\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit ben"otigt, dann sehen wir, da"s f"ur $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
|
||||
nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes k"onnen wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
|
||||
Verteilungsfunktion $B$ durch:
|
||||
\[
|
||||
B_{u}(y) = \left\{
|
||||
\begin{array}{lc}
|
||||
B(y) & y<u \\
|
||||
1 & y \geq u
|
||||
\end{array} \right. ~.
|
||||
\]
|
||||
$W(u)$ setzt sich jetzt zusammen aus der restlichen Rechenzeit aller Programme, die vor unserem Programm angekommen sind, plus der Summe der Rechenzeiten von
|
||||
allen Programmen, die w"ahrend $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
|
||||
\[W_{u}=\frac{\lambda \E((x \land u)^{2})}{2(1-\rho _{u})} \]
|
||||
mit
|
||||
\[\rho _{u}=\lambda \E(x \wedge u) ~.\]
|
||||
F"ur den zweiten Teil ergibt sich
|
||||
\[\lambda T(u)\E(x \wedge u) = T(u)\rho _{u} ~.\]
|
||||
Wir bekommen die Gleichung
|
||||
\[T(u)=u+W_{u}+\rho _{u}T(u) ~, \]
|
||||
also
|
||||
\[T(u)=\frac{u+W_{u}}{1-\rho_{u}} ~. \]
|
||||
F"ur $u \rightarrow 0$ ergibt sich
|
||||
\[T(u) \approx u ~, \]
|
||||
f"ur $u \rightarrow \infty$
|
||||
\[T(u) \approx \frac{u}{1-\rho} ~. \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
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%-------------------------------------------------------------------------------------------
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||||
\chapter{Priorit"aten}
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%----------------------------------------------------------------------------------------------
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||||
Wir betrachten den Fall, da"s es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
|
||||
$p > 0$ Klassen
|
||||
von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda_{i}$ an und ben"otigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
|
||||
$B_{i}$ (wir betrachten also wieder eine $M/G/1$-Situation). Weiters sei
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\lambda &=& \sum_{i=1}^{p}\lambda _{i} \\
|
||||
B(y) &=& \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{p}\lambda _{i}B_{i}(y) \\
|
||||
\rho _{i} &=& \lambda _{i}\int ydB_{i}(y) \\
|
||||
\rho &=& \lambda \int ydB(y) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Es gibt jetzt eine ganze Reihe von M"oglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegeb"uber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
|
||||
{\bf \index{Priorit\"{a}ten}Priorit"aten}.
|
||||
|
||||
Die Disziplinen, die wir untersuchen, sollen folgende Eigenschaften haben:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item {\bf Nicht-pr"a-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende gef"uhrt.
|
||||
\item {\bf Arbeitserhaltend}: Niemand, der wartet, wird weggeschickt, ohne bedient zu worden zu sein.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
|
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%-------------------------------
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\section{Ein Erhaltungssatz}
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%------------------------------
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$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die ben"otigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
|
||||
von $U_{t}$ unabh"angig von der Disziplin: \\
|
||||
$U_{t}$ w"achst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und f"allt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die station"are Verteilung
|
||||
von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zuf"allig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
|
||||
Insbesondere ist
|
||||
\[\E(U) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~ \]
|
||||
wobei $x$ nach der Funktion $B$ verteilt ist.
|
||||
|
||||
Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorit"at $i$, und
|
||||
mit
|
||||
$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Priorit"atsgruppe in der Warteschlange.
|
||||
|
||||
$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beitr"agen zusammen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit f"ur den Kunden, der gerade bedient wird.
|
||||
\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten f"ur alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, da"s $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zuf"allig ankommender Kunde warten mu"s, bis der Kunde fertig ist, der gerade
|
||||
bedient wird. Mit Wahrscheinlichkeit $(1-\rho)$ findet der ankommende Kunde das System leer vor. Falls der Server besetzt ist, kann man die Verteilung der
|
||||
restlichen Bedienzeit folgenderma"sen bestimmen: \\
|
||||
Wir betrachten eine gro"se Anzahl $n$ von unabh"angigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der gro"sen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
|
||||
in dem Intervall der L"ange $n\E(x)$ einen Punkt zuf"allig w"ahlen, ist die Chance, da"s wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zuf"allig gew"ahlte Punkt
|
||||
f"allt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit L"ange $> u$, also
|
||||
\[ \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~. \]
|
||||
F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich f"ur die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
|
||||
\[f(u)=\frac{1-B(u)}{\E(x)} ~. \]
|
||||
Schlie"slich ist
|
||||
\[W_{0}=\rho \int_{0}^{\infty}uf(u)du = \frac{\rho \E(x^{2})}{2\E(x)}=\frac{\lambda \E(x^{2})}{2} ~. \]
|
||||
Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich nat"urlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
|
||||
Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. F"ur jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
|
||||
$B_{i}$ sein) ben"otigt. \\
|
||||
Damit gilt
|
||||
\[\E(U)=W_{0}+\sum_{i=1}^{p}\E(x_{i})N_{i}=\frac{W_{0}}{1-\rho} ~. \]
|
||||
Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schlie"slich
|
||||
\[ \sum_{i=1}^{p}\rho_{i}W_{i}=\frac{\rho W_{0}}{1-\rho}=\frac{\lambda \rho \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~.\]
|
||||
Dieses Ergebnis zeigt, da"s wir eine Gruppe nur bevorzugen k"onnen, indem eine andere Gruppe gr"o"sere Wartezeiten in Kauf nehmen mu"s.
|
||||
|
||||
%----------------------------------------------------
|
||||
\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit}
|
||||
%----------------------------------------------------
|
||||
|
||||
Wir betrachten einen Kunden aus der Gruppe $i$, der das System betritt: \\
|
||||
$N_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die unser Kunde im System antrifft, und die vor ihm bedient werden (ausgenommen der Kunde, der eventuell
|
||||
gerade bedient werden, wenn unser Kunde ankommt). \\
|
||||
$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die w"ahrend der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
|
||||
Damit gilt
|
||||
\[W_{i}=W_{0}+\sum_{j=1}^{p}(N_{ij}+M_{ij})\E(x_{j}) ~. \]
|
||||
Wir verwenden diesen Zugang f"ur die einfachste Disziplin: \\
|
||||
Jeder Kunde aus Gruppe $i$ wird vor allen Kunden aus Gruppe $i-1$ bedient, und innerhalb einer Gruppe wird nach $FCFS$ gearbeitet. \\
|
||||
Dann ist
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
N_{ij}&=&0 \qquad j<i \\
|
||||
M_{ij}&=&0 \qquad j \leq i ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
F"ur $j \geq i$ ist
|
||||
\[N_{ij}=N_{j}=\lambda _{j}W_{j} ~. \]
|
||||
F"ur $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel w"ahrend $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
|
||||
|
||||
Wir erhalten
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
W_{i}&=&W_{0}+\sum_{j=i}^{p}\rho _{j}W_{j}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{i} = \\
|
||||
&=&W_{0} + W_{i}\sum_{j=i}^{p}\rho_{j} + \sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
oder
|
||||
\[W_{i}(1-\sum_{j=i}^{p}\rho_{j})=W_{0}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j} ~. \]
|
||||
Wir schreiben
|
||||
\[\sigma_{j} = \sum_{j=i}^{p}\rho_{j} \]
|
||||
und erhalten
|
||||
\[W_{i-1}(1-\sigma_{i-1})=W_{i}(1-\sigma_{i})+\rho_{i}W_{i}=W_{i}(1-\sigma_{i+1}) ~, \]
|
||||
und schlie"slich
|
||||
\[W_{i}=\frac{W_{0}}{(1-\sigma_{i})(1-\sigma_{i+1})} ~. \]
|
||||
|
||||
%----------------------------------------------------------------------------
|
||||
\begin{appendix}
|
||||
\chapter{Transformationen}
|
||||
%----------------------------------------------------------------------------
|
||||
F"ur unsere Untersuchungen ben"otigen wir die folgenden Transformationen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die erzeugende Funktion oder \index{erzeugende Funktion}$z$ - Transformierte: Falls $p_{n}$, $n
|
||||
\geq 0$ eine diskrete Verteilung ist, nennen wir
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \sum_{}^{} p_{n} z^{n}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
die erzeugende Funktion von $(p_{n})$. Falls $X$ die Verteilung $(p_{n})$
|
||||
hat, so gilt
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \E (z^{X}) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls f"ur $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus
|
||||
$P^{*}$ eindeutig $(p_{n})$ bestimmen:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{n} = \frac{1}{n!} P^{*^{n}} (0) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\item Die Laplace - Transformierte: Falls $f(x)$, $x \geq 0$ eine
|
||||
Dichtefunktion ist, d.h.
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f \geq 0 \qquad \mbox{und} \qquad \int_{0}^{\infty} f(x)dx = 1 ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
hei\3t
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x)dx
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist f"ur $t \geq 0$
|
||||
endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$
|
||||
und $f$. Falls $X$ mit der Dichte $f$ verteilt ist, ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\hat F(t) = \E (e^{-Xt}) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Diese Beziehung kann man auch verwenden, um die Laplace - Transformierte
|
||||
f"ur nicht stetige Verteilungen zu definieren.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Es bestehen folgende Eigenschaften der Transformationen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $P^{*}(z)$ ist regul"ar f"ur $|z| \leq 1$.
|
||||
\item $ \hat F(z)$ ist regul"ar f"ur $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
|
||||
Verteilung $(p_{n})$ hat, ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\E(X) = (P^{*})^{'}(1) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Falls $X$ Dichte $f$ hat, ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\E(X) = -\hat F^{'}(0) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\item Falls $X$, $T$ unabh"angig sind, ist die Transformierte der Summe
|
||||
das Produkt der Transformierten.
|
||||
\item Weiters sei $N_{t}$ ein \index{Poissonproze\3}Poissonproze\3 (d.h. eine Folge von
|
||||
Ereignissen, wobei die Zeit zwischen zwei Ereignissen nach $M_{\lambda}$
|
||||
verteilt ist. $N_{t}$ ist die Anzahl dieser Ereignisse im Intervall
|
||||
$[0,t])$. F"ur eine zuf"allige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
|
||||
Ereignissen in $[0,T]$ bestimmen. Falls $T=t$ ist, ist diese Anzahl
|
||||
Poisson - verteilt mit Parameter $\lambda t$:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\PP (N_{T} = n | T = t) = \frac{(\lambda t)^{n}}{n!} e^{- \lambda t} ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\PP (N_{T} = n) = \E \left[ \frac{( \lambda
|
||||
T)^n}{n!} e^{- \lambda T} \right] ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die erzeugende Funktion ist
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\hat \PP(z) &=& \sum_{}^{} \PP(N_{T} = n) z^{n} = \\
|
||||
&=& \E \left[ \sum_{}^{} e^{-\lambda T} \frac{(\lambda z T)^{n}}{n!}
|
||||
\right] = \\
|
||||
&=& \E (e^{- \lambda (1-z)T}) = \\
|
||||
&=& \tilde F (\lambda(1-z)) ~,
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
falls $T$ mit Dichte $f$ verteilt ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||||
\end{appendix}
|
||||
565
documents/Warteschlangen/pantelis.tex
Normal file
565
documents/Warteschlangen/pantelis.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,565 @@
|
|||
%-----------------------------------------------------------------------------
|
||||
\chapter{Einleitung}
|
||||
%-----------------------------------------------------------------------------
|
||||
Wir betrachten folgendes grundlegendes Modell: Kunden kommen zu
|
||||
zuf"alligen Zeiten $T_{1} < T_{2} < \dots <T_{n} < \dots$ im System an,
|
||||
wobei $T_{n}$
|
||||
die \index{Ankunftszeit}Ankunftszeit des $n$-ten Kunden bezeichnet.
|
||||
|
||||
Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und f"ur jeden Kunden
|
||||
wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' ben"otigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
|
||||
des $n$-ten Kunden.
|
||||
Die Reihenfolge der Bedienung der Kunden wird durch
|
||||
die sogenannte \index{Disziplin}`Disziplin' der Warteschlange bestimmt.Wir nehmen meistens
|
||||
FCFS (First Come First Serve) an. Andere M"oglichkeiten w"aren LCFS (Last
|
||||
Come First Serve) oder `Priorit"aten'.
|
||||
|
||||
Folgende Annahmen werden getroffen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die $x_{n}$ sollen unabh"angig und identisch verteilt sein.
|
||||
\item $t_{n}$ ist die $n$-te \index{Zwischenankunftszeit}Zwischenankunftszeit also $t_{n}= T_{n} -
|
||||
T_{n-1}$, $T_{0}=0$ (Die Zeit zwischen der Ankunft des $n$-ten und des
|
||||
$(n-1)$-ten Kunden). Die $t_{n}$ sind auch unabh"angig und identisch
|
||||
verteilt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wir verwenden folgende \index{Warteschlangen!Kurznotation}Kurznotation f"ur
|
||||
Warteschlangen: $A/B/s$.
|
||||
|
||||
$A \dots$ Verteilung der Zwischenankuftszeiten $t_{n}$, wobei $a$ die Dichte
|
||||
von $t_{n}$ ist. \\
|
||||
$B \dots$ Verteilung der Bedienzeiten $x_{n}$ wobei $b$ die Dichte von
|
||||
$x_{n}$ ist. \\
|
||||
$s \dots$ Anzahl der Bediener \index{Server}(Server).
|
||||
|
||||
Kurznotationen f"ur Verteilungen sind: \\
|
||||
$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\
|
||||
Dichtefunktion:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
$E_{n}$ $\dots$ \index{Verteilung!Erlang-}Erlangverteilung: Die Summe von $n$ unabh"angigen
|
||||
Exponentialverteilungen.\\
|
||||
Dichtefunktion:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f(x)=\frac{\lambda^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
$H$ $\dots$ \index{Verteilung!Hyperexponentelle}Hyperexponentielle Verteilung: Die Mischung von unabh"angigen
|
||||
Exponentialverteilungen. Wir haben $p_{1} \dots p_{n}$, $p_{i} \geq 0$,
|
||||
und
|
||||
$\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1$, $\lambda_{1} \dots \lambda_{n} \geq 0$. \\
|
||||
Dichtefunktion:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f(x)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \lambda_{i} e^{-\lambda_{i}x}.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
$D$ $\dots$ \index{Verteilung!Deterministische}Deterministisch: Ein fixer Wert wird angenommen. \\
|
||||
$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erw"ahnt
|
||||
wurde).
|
||||
|
||||
Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begr"undet durch ihre
|
||||
Ged"achtnislosigkeit. Falls n"amlich etwa eine Wartezeit
|
||||
exponentialverteilt ist, und wir schon t Zeiteinheiten gewartet haben, so
|
||||
ist die Verteilung der restlichen Wartezeit gegeben durch
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\PP(\mbox{restliche Wartezeit} \geq x \mid \mbox{schon $t$
|
||||
gewartet}) = \\
|
||||
= \PP(T \geq t+x \mid T \geq t) = \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T\geq t)} ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Angenommen $T$ sei exponentialverteilt $\Rightarrow$ $\PP(T \geq t) =
|
||||
e^{-\lambda t}$ $\Rightarrow$
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T \geq t)} = \frac{e^{-\lambda
|
||||
(t+x)}}{e^{-\lambda
|
||||
t}}= e^{-\lambda x},
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also unabh"angig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
|
||||
|
||||
Es gibt abgeleitete Gr"o\3en, die das Verhalten der Warteschlange
|
||||
beschreiben wie:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $w_{n}$ $\dots$ \index{Wartezeit}Wartezeit des $n$-ten Kunden.
|
||||
\item $z_{n} = w_{n} + x_{n} \dots$ Zeit, die der $n$-te Kunde im System
|
||||
verbringt.
|
||||
\item $N_{t}$ $\dots$ Anzahl der Kunden, die zum Zeitpunkt $t$ im System
|
||||
sind ($=$ wartende + eventuell die, die gerade bedient werden).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Es gibt einige Fragen, die uns interessieren:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Verteilungen von $w_{n}$, $z_{n}$, $N_{t}$.
|
||||
\item Gibt es Grenzverteilungen f"ur $n \rightarrow \infty$ bzw. $t
|
||||
\rightarrow \infty$ (d.h. pendelt sich das Verhalten der Schlange auf
|
||||
einen station"aren Zustand ein?) und Bestimmung der Grenzverteilungen.
|
||||
\item Erwartungswerte der Grenzverteilungen in 2.
|
||||
\item Absch"atzungen f"ur 3.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Die Aufgaben sind hier in abnehmender Schwierigkeit geordnet. Leider sind
|
||||
die genauen Verteilungen 1. nicht leicht zu bestimmen, also beschr"anken
|
||||
wir uns meist auf 2. ; im ganz allgemeinen Fall wird es sogar notwendig
|
||||
sein, nur Absch"atzungen zu betrachten.
|
||||
%-----------------------------------------------------------------------------
|
||||
\chapter{Erste Resultate}
|
||||
\section{Eine Rekursion f"ur die Wartezeit}
|
||||
%----------------------------------------------------------------------------
|
||||
Wir wollen nun die Wartezeit des $(n+1)$-ten Kunden durch die des $n$-ten
|
||||
Kunden ausdrucken. Dazu ist
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $T_{n} \ldots $ die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
|
||||
\item $T_{n} + w_{n} \ldots$ die Zeit, wenn der $n$-te Kunde bedient wird.
|
||||
\item $T_{n} + w_{n} + x_{n} \ldots$ die Zeit wenn der $n$-te Kunde geht.
|
||||
Ab jetzt kann der $(n+1)$-te bedient werden.
|
||||
\item $T_{n+1} = T_{n} + t_{n+1} \ldots$ Ankuftszeit des $(n+1)$-ten
|
||||
Kunden.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Falls $T_{n+1} < T_{n} + w_{n} + x_{n}$,
|
||||
dann ist $w_{n+1} = T_{n+1} + w_{n} + x_{n} - T_{n+1} = w_{n} + x_{n} -
|
||||
t_{n+1}$. Falls $T_{n+1} \geq T_{n} + w_{n} + x_{n}$ ist $w_{n+1} = 0$.
|
||||
Also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
w_{n+1}= \max (w_{n}+x_{n}-t_{n+1}, 0) =: (w_{n} + x_{n} - t_{n+1})_{+} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Sei $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}.$ Die $u_{i}$ sind unabh"angig und
|
||||
identisch verteilt.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Rightarrow w_{n} &=& \max (w_{n-1}+ u_{n-1}, 0) = 0 \\
|
||||
\Rightarrow w_{n} &=& \max (0, u_{n-1} + \max (w_{n-2} + u_{n-2}, 0)) = \\
|
||||
&=& \max (0, u_{n-1}, u_{n-1} + u_{n-2} + w_{n-2}) = \dots\\
|
||||
&=& \max (0, u_{n-1}, u_{n-1} + u_{n-2}, \cdots , u_{n-1} + u_{n-2} +
|
||||
\cdots + u_{1}) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Also ist die Verteilung von $w_{n}$ dieselbe wie die von $\tilde w_{n}$ mit
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde w_{n} = \max (0, u_{1}, u_{1} + u_{2}, \cdots, u_{n-1}+ u_{n-2} +
|
||||
\cdots + u_{1}) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Offensichtlich ist $\tilde w_{n}$ eine monoton nichtfallende Folge, also
|
||||
existiert
|
||||
\[ \tilde w = \lim_{n \rightarrow \infty} w_{n}. \]
|
||||
Falls $\E u > 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots + u_{n-1}$ $\rightarrow
|
||||
\infty$, also auch $\tilde w$. Falls $\E u < 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots
|
||||
+ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist f"ur $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
|
||||
u_{n-1} <0 $, was bedeutet da\3 nur die ersten Glieder in der Definition
|
||||
von $\tilde w_{n}$ wichtig sind; also ist $\tilde w$ endlich. Falls $\E
|
||||
u = 0$, ist k"onnen wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
|
||||
Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten station"ar. Leider ist das der
|
||||
einzige Fall; sobald $A$ oder $B$ nicht degenerierte Verteilungen haben,
|
||||
kann $\tilde w_{n}$ nicht gegen eine endliche Zufallsvariable
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konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz f"ur $n$ gro\3
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||||
genug
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||||
\begin{displaymath}
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||||
\PP(\tilde w_{n} > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon > 0 ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Somit ist f"ur jedes $n$
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\PP(\tilde w > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\PP(\tilde w = \infty) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Es bleibt uns also f"ur station"ares Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
|
||||
$D/D/1$) die Bedingung
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\E (u) < 0 \Leftrightarrow \E (x) < \E (t) \Leftrightarrow \rho=
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||||
\frac{\E (x)}{\E (t)} < 1 ~.
|
||||
\end{displaymath}
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||||
Wir bezeichnen den Kehrwert von $\E (t)$ als die \index{Ankunftsrate}`Ankunftsrate' $\lambda =
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||||
\frac{1}{\E (t)}$ und $\mu = \frac{1}{\E (x)}$ als die \index{Bedienrate}`Bedienrate'. Es
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||||
sind dies die Anzahl von Kunden, die in einem langen Zeitraum
|
||||
durchschnittlich pro Zeiteinheit ankommen bzw. bedient werden, falls
|
||||
ununterbrochen
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||||
bedient wird. Mit diesen Bezeichnungen ist $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ \index{Auslastung}(Auslastung)
|
||||
und die Bedingung f"ur station"ares Verhalten wird zu $ \lambda < \mu$ bzw.\
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$\rho<1$.
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%--------------------------------------------------------------------------
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\section{Der Satz von Little}
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Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange station"ares Verhalten
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herrscht; wir wollen eine Beziehung zwischen der Ankuftsrate, der mittleren
|
||||
Anzahl der Kunden im System und der mittleren Aufenthaltsdauer finden.
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||||
Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden f"ur die Zeit, die er im System
|
||||
verbringt, bezahlen m"ussen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
|
||||
berechnet sich als $T \E (N)$, da zu jedem Zeitpunkt durchschnittlich $\E
|
||||
(N)$
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||||
Kunden anwesend sind. Andererseits bekommt jeder Kunde durchschnittlich
|
||||
$\E (z)$ bezahlt. In der Zeit $T$ kommen $\lambda T$ Kunden an, also ist
|
||||
die
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||||
zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$.
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||||
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||||
Beide Gleichungen sind nicht vollst"andig exakt, weil in beiden F"allen
|
||||
noch zuf"allige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
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||||
Gleichung auch nicht ber"ucksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
|
||||
$T$ bleiben. Diese Fehler sind aber von kleineren Ordnung als $T$. Wir
|
||||
haben also
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||||
\begin{displaymath}
|
||||
T \E (N) = \lambda T \E (z) + o(T) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Dividieren wir durch $T$ und $T \rightarrow \infty$ gibt
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\E (N) = \lambda \E (z) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
d.h. Mittlere Anzahl = Ankuftsrate $*$ Mittlere Aufenthaltsdauer. Wendet
|
||||
man dieses Ergebnis auf den Server allein an, ergibt sich, da\3 die
|
||||
Mittlere Anzahl der Kunden, die gerade bedient werden =
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\lambda \E (x) = \frac{\lambda}{\mu} = \rho ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Da aber h"ochstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
|
||||
Wahrscheinlichkeit, da\3 der Server besetzt ist, oder der Auslastung des
|
||||
Servers.
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\chapter{Warteschlangensysteme}
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\section{Die Schlange $M/M/1$}
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||||
Im Folgenden gehen wir von der `FCFS'-Disziplin aus.
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||||
Um die zuk"unftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu k"onnen,
|
||||
ben"otigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Anzahl $N_{t}$ der anwesenden Kunden.
|
||||
\item Die Zeit, die seit der letzten Ankunft vergangen ist.
|
||||
\item Die Zeit, die seit dem Beginn des letzten Bedienvorgangs vergangen
|
||||
ist (falls dieser noch andauert).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Die letzten beiden Angaben sind notwendig, damit wir die Verteilung der
|
||||
verbleibenden Zeit bis zur n"achsten Ankunft bzw. bis zum Ende des
|
||||
Bedienvorganges bestimmen k"onnen. F"ur den Fall $M/M/1$ sind diese
|
||||
Angaben nicht notwendig, weil diese Verteilungen wegen der
|
||||
Ged"achtnislosigkeit der Exponentialverteilung nicht von der schon
|
||||
verstrichenen Zeit abh"angen. Deshalb gen"ugt uns $N_{t}$ zur Beschreibung
|
||||
des Systems.
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||||
|
||||
Wir betrachten jetzt die Anzahl der Kunden zur Zeit $t+ \Delta t$, wenn
|
||||
die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
|
||||
"andern:
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Es kann gar nichts geschehen.
|
||||
\item Es kann genau ein Kunde aufkommen.
|
||||
\item Es kann genau ein Kunde fertig werden.
|
||||
\item Es kann mehr als ein Ereignis (Ankunft, gehen) auftreten.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Die Wahrscheinlichkeit, da\3 mindestens ein Kunde im Intervall $(t, t+ \Delta t)$
|
||||
ankommt, ist $1-e^{-\lambda \Delta t} = \lambda \Delta t + o (\Delta t)$.
|
||||
Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, da\3 ein Kunde fertig wird $\mu \Delta
|
||||
t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit f"ur 4. ist, wie man leicht
|
||||
einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt f"ur 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
|
||||
(\lambda + \mu) \Delta t + o(\Delta t)$. Falls die Schlange leer ist,
|
||||
fallen nat"urlich die Summanden mit $\mu$ weg (es kann ja niemand gehen).
|
||||
Somit gilt f"ur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
p_{n}(t) &=& \PP (N_{t} = n) \\
|
||||
p_{n}(t+ \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{n+1}(t) + (1 - (\lambda +
|
||||
\mu) \Delta t) p_{n}(t) + \\
|
||||
& &+ \lambda \Delta t p_{n-1}(t) + o(\Delta t)
|
||||
\qquad [n \geq 1] \\
|
||||
p_{0}(t + \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{1}(t) + (1 - \lambda \Delta t)
|
||||
p_{0}(t) + o(\Delta t) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Wenn man $p_{n}(t)$ auf die linke Seite bringt und durch $\Delta t$
|
||||
dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ l"a\3t, ergibt sich
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
p'_{n}(t) &=& \mu p_{n+1}(t)-(\lambda + \mu) p_{n}(t)+ \lambda p_{n-1}(t)
|
||||
\\
|
||||
p'_{0}(t) &=& \mu p_{1}(t)- \lambda p_{0}(t) ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen l"osen,
|
||||
aber das Ergebnis ist nicht besonders sch"on. Wir beschr"anken uns daher
|
||||
jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der station"aren L"osung. Diese
|
||||
ist nat"urlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
|
||||
$t$ abh"angt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\mu p_{n+1}-(\lambda +\mu) p_{n} + \lambda p_{n-1} &=& 0 \\
|
||||
\mu p_{1} - \lambda p_{0} &=& 0 ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Durch Induktion erhalten wir daraus
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\mu p_{n+1} - \lambda p_{n} = 0 ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
oder
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{n+1} = \frac{\lambda}{\mu} p_{n} = \rho p_{n} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Also ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{n} = \rho^{n}p_{0}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
und wegen $\sum_{n=0}^{\infty} p_{n} = 1$
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{0} = 1- \rho
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
und
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{n} = \rho^{n} (1- \rho) ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die Anzahl der Kunden im System ist also geometrisch verteilt. Aus dieser
|
||||
Verteilung k"onnen wir jetzt die Verteilungen von $w$ und $z$ bestimmen.
|
||||
Die Zeit im System $z$, falls bei der Ankunft $n$ Personen anwesend sind,
|
||||
ist die Summe von $(n+1)$ exponentialverteilten Zufallsvariablen (die
|
||||
Bedienzeiten der $n$ anwesenden + die der neu hinzugekommenen), hat also
|
||||
die Dichte
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f_{z}(u|N_{t}=n) = \frac{u^{n}}{n!} \mu^{n+1} e^{- \mu u} \qquad [u>0] ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die unbedingte Dichte ergibt sich also zu
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f_{z}(u) &=& \sum_{n}^{} \PP(N_{t}=n).f_{z}(u|N_{t}=n) = \\
|
||||
&=& \sum_{n}^{} (1- \rho) \rho^{n}. \frac{u^{n}}{n!} \mu^{n+1} e^{- \mu
|
||||
u} = \\
|
||||
&=& (1- \rho) e^{- \mu(1- \rho)u} \qquad [u>0] ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$z$ ist also exponentialverteilt mit Parameter
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\mu (1- \rho) = \mu - \lambda ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die Verteilung von $w$ ist gemischt: $\PP (w=0) = 1- \rho$, und die
|
||||
bedingte Verteilung von $w$ unter der Bedingung $[w>0]$ ist wieder eine
|
||||
Exponentialverteilung mit Parameter $\mu - \lambda$.
|
||||
%----------------------------------------------------------------------------
|
||||
\section{Das System $M/G/1$}
|
||||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||||
Jetzt ben"otigen wir zus"atzlich zu $N_{t}$ die Information "uber die
|
||||
schon verbrauchte Bedienzeit. Die einfachste Methode besteht darin, das
|
||||
System nur in solchen Zeitpunkten zu betrachten, an denen die verbrauchte
|
||||
Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), n"amlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
|
||||
denen der n-te Kunde das System verl"a\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
|
||||
Kunden, die dann im System verbleiben. Es gilt: Falls $N_{n}=0$, so mu\3
|
||||
zuerst gewartet werden, bis ein neuer Kunde ankommt; wenn dieser Kunde
|
||||
geht, sind noch genau die Kunden da, die w"ahrend seiner Bedienzeit
|
||||
angekommen sind; bezeichnet man $M_{n}$ als die Anzahl der Kunden, die
|
||||
w"ahrend der Bedienzeit des $n$-ten Kunden ankommen, so gilt
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
N_{n+1} = M_{n} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Falls $N_{n} \not= 0$ ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
N_{n+1} = N_{n} - 1 + M_{n} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Zusammengefa\3t ergibt sich:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
N_{n+1} = (N_{n} - 1)_{+} + M_{n} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Wir suchen eine station"are L"osung; es sei also $\PP (N_{n}=k)=p_{k}$
|
||||
unabh"angig von $n$. Die erzeugende Funktion von $N_{n}$ ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \sum_{}^{}p_{k}z^{k} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die erzeugende Funktion von $(N_{n}-1)_{+}=$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
= p_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} p_{k} z^{k-1} &=& p_{0}+ \frac{\hat P
|
||||
(z) - p_{0}}{z} = \\
|
||||
&=& \frac{\hat P(z) - p_{0}(1-z)}{z} ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Mithilfe der Transformationen (Anhang A) ergibt sich die erzeugende Funktion von $M_{n}$
|
||||
(die Ank"unfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde B (\lambda(1 - z)) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
wobei $B$ die Verteilung der Bedienzeit (mit Dichte $\beta$) ist. Wir
|
||||
erhalten also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \frac{(P^{*}(z) - p_{0}(1-z))}{z} \tilde B (\lambda(1-z)) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \frac{p_{0}(1-z) \tilde B ( \lambda (1-z))}{ \tilde B (
|
||||
\lambda(1-z)) - z} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Hier ist noch $p_{0}$ zu bestimmen, und zwar aus der Bedingung $P^{*}(1) =
|
||||
1$. Es ergibt sich $p_{0} = 1 - \rho$ und
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
P^{*}(z) = \frac{(1- \rho)(1-z) \tilde B ( \lambda (1-z))}{ \tilde B (
|
||||
\lambda(1-z)) - z} ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
eine sogenannte \index{Pollaczek - Khinchin Formel}Pollaczek - Khinchin Formel. Die Anzahl der Kunden, die der $n$-te
|
||||
Kunde zur"uckl"a\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
|
||||
w"ahrend er im System ist (d.h. w"ahrend $z_{n}$), d.h. f"ur die
|
||||
$L$-Transformierte $ \tilde Z (t)$ der Verteilung von $z$ gilt:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde Z (\lambda(1-z)) = P^{*}(z) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde Z (t) = \frac{(1- \rho)t \tilde B (t)}{t + \lambda \tilde B (t) -
|
||||
\lambda} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Auch das nennt man eine Pollaczek - Khinchin Formel. F"ur die Wartezeit
|
||||
gilt
|
||||
(wegen $z_{n} = w_{n} + x_{n}$)
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde Z (t) = \tilde W (t) \tilde B(t) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde W (t) = \frac{(1- \rho)t}{t + \lambda \tilde B (t) - \lambda} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
F"ur die Erwartungswerte ergibt sich:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\E (N) &=& \rho + \frac{\lambda^{2} \E x^{2}}{2(1- \rho)} \\
|
||||
\E (Z) &=& \frac{1}{\mu} + \frac{\lambda \E x^{2}}{2(1 - \rho)} \\
|
||||
\E (W) &=& \frac{\lambda \E x^{2}}{2(1 - \rho)} ~.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||||
\section{Das System $G/M/1$}
|
||||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||||
Jetzt betrachten wir analog zum vorigen Kapitel das System zu den Zeiten
|
||||
$T_{n}$, wo der $n$-te Kunde ankommt. $N_{n}$ sei die Anzahl der
|
||||
anwesenden Kunden, die der $n$-te Kunde vorfindet.
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
N_{n+1} = N_{n}+1-\mbox{Anzahl der Kunden, die w"ahrend $t_{n+1}$ gehen.}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
F"ur $n>0$ gilt, wenn wir $p_{k}= \PP (N_{n}=k)$ (station"ar!) setzen:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{k} = \sum_{j=k-1}^{\infty} p_{j} q_{j+1-k} \qquad [k \geq 1] ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
wobei
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
q_{s} = \PP (\mbox{ $s$ Kunden gehen w" ahrend
|
||||
$t_{n+1}$)} =
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
= \PP (\mbox{w"ahrend $t_{n+1}$ treten genau $s$ Ereignisse eines Poissons
|
||||
-} \\
|
||||
\mbox{Prozesses mit Rate $\mu$ auf)} ~. & &
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Die Gleichung f"ur $k=0$ ist "uberfl"ussig, da sie aus den Gleichungen
|
||||
f"ur $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
|
||||
Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige L"osung besitzt.
|
||||
Falls nun $(p_{k})$ eine L"osung ist, ist auch
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde p_{k} = \frac{p_{k+1}}{1-p_{0}}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
eine L"osung. Es mu\3 also
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\tilde p_{k} = p_{k} ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
somit
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{k+1} = p_{k}(1-p_{0})
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
und
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{k} = p_{0}(1-p_{0})^{k} =
|
||||
\sigma^{k}(1- \sigma) \qquad [ \sigma := 1 - p_{0}] ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Setzt man das in die Gleichung f"ur $k=1$ ein, ergibt sich
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\sigma = \sum_{j=0}^{\infty} \sigma^{j} q_{j} = \tilde A (\mu(1-\sigma))
|
||||
~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Falls $\rho < 1$, gibt es genau eine L"osung $\sigma \in (0,1)$. Dann ist
|
||||
$N$ geometrisch verteilt mit Parameter $\sigma$. Wie f"ur die Schlange
|
||||
$M/M/1$ ergibt sich die Verteilung der Zeit $z$ im System als
|
||||
Exponentialverteilt mit Parameter $\mu(1- \sigma)$; die Wartezeit $w$ hat
|
||||
$\PP (w=0)= 1 - \sigma$ und die bedingte Verteilung von $w$ unter $[w>0]$
|
||||
ist wieder dieselbe Exponentialverteilung wie die von $z$.
|
||||
%---------------------------------------------------------------------------
|
||||
\section{Das System $G/G/1$}
|
||||
%---------------------------------------------------------------------------
|
||||
Hier sind beide Verteilungen - die der Zwischenankunftszeiten und die der
|
||||
Bedienzeiten - allgemeine Verteilungen. Der Trick der vorigen beiden
|
||||
Kapitel funktioniert jetzt nicht mehr gut. Um beide Zeiten zu
|
||||
kontrollieren, m"u\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
|
||||
in denen ein Kunde das leere System betritt; diese Zeitpunkte sind aber zu
|
||||
selten, um vern"uftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
|
||||
Rekursion f"ur die Wartezeiten aus:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
w_{n+1} = (w_{n} + u_{n})_{+} ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Das bedeutet f"ur die Verteilungsfunktion $W(.)$ von $w$
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
W(x) = \PP (w_{n+1} \leq x) = \left\{
|
||||
\begin{array}{lc}
|
||||
\PP (w_{n} + u_{n} \leq x) & x \geq 0 \\
|
||||
0 & x < 0
|
||||
\end{array} \right. ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Die Wahrscheinlichkeit $\PP (w_{n}+ u_{n} \leq x)$ berechnet sich als
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\PP (w_{n} + u_{n} \leq x) = \int_{- \infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
wobei $c(u)$ die Dichte von $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}$ ist. Falls in der
|
||||
Gleichung f"ur $W(x)$ die Fallunterscheidung nicht auftreten w"urde, w"are
|
||||
sie leicht durch Transformationen zu l"osen. Wir erreichen dies durch
|
||||
einen Kunstgriff: Wir setzen
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Y(x) = \left\{
|
||||
\begin{array}{lc}
|
||||
\int_{- \infty}^{\infty} W(x-u)c(u) du & x< 0 \\
|
||||
0 & x \geq 0
|
||||
\end{array} \right. ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Dann ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
W(x) + Y(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Wir bezeichnen jetzt die Laplace - Transformierte von $W$ mit $\Phi (t)$,
|
||||
und die von $Y$ mit $\Phi^{-}(t)$. Durch partielle Integration zeigt man,
|
||||
da\3
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\Phi (t) = \frac{1}{t} \tilde W(t)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
gilt. F"ur die Transformationen ergeben sich die Formeln
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\Phi (t) + \Phi^{-}(t) = \Phi (t) \tilde C (t) = \Phi (t) \tilde A (-t)
|
||||
\tilde B (t) ~,
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
oder
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\frac{\Phi^{-}(t)}{\Phi (t)} = \tilde A (-t) \tilde B (t) -1 ~.
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ f"ur $t \geq -D$ existiert. (Das ist
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gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ f"allt).
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Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ f"ur $0 \leq t \leq D$;
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Ferner existiert $\Phi (t)$ f"ur $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
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\geq 0$ regul"ar und beschr"ankt; $\Phi^{-}(t)$ existiert f"ur $t \leq D$
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und in $\Re (t) < D$ ist $t\Phi^{-}(t)$ regul"ar und beschr"ankt. Wir
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versuchen 2 Funktionen $\Psi^{+}$ und $\Psi^{-}$ zu finden, die folgendes
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erf"ullen:
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\begin{enumerate}
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\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} = \tilde A(-t) \tilde B(t) -1$ ~ ~\index{Spektralzerlegung}(Spektralzerlegung).
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\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re(t)>0$ regul"ar und beschr"ankt
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und hat dort keine Nullstellen.
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\item $\frac{\Psi^{-}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und
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beschr"ankt und hat dort keine Nullstellen.
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\end{enumerate}
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Dann gilt
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\begin{displaymath}
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\frac{\Phi^{-}(t)}{\Phi (t)} = \frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} \qquad
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0< \Re (t) < D ~,
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\end{displaymath}
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oder
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\begin{displaymath}
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\Phi^{-}(t) \Psi^{-}(t) = \Psi^{+}(t) \Phi (t) \qquad 0< \Re (t) < D ~.
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\end{displaymath}
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Die linke Seite ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und beschr"ankt, die
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rechte Seite f"ur $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
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bestimmt, die in der ganzen Ebene regul"ar und beschr"ankt ist. Nach dem
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Satz von \index{Satz!LIOUVILLE}LIOUVILLE mu\3 eine solche Funktion konstant sein. Es gilt also
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\begin{displaymath}
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\Phi (t) = \frac{K}{\Psi^{+}(t)} ~,
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\end{displaymath}
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und
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\begin{displaymath}
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\tilde W (t) = \frac{Kt}{\Psi^{+}(t)} ~.
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\end{displaymath}
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Es bleibt die Konstante $K$ zu bestimmen. Sie folgt wieder aus
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\begin{displaymath}
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\tilde W (0) = 1 \qquad \mbox{zu} \qquad
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K = \frac{\Phi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} = (\Phi^{+})^{'}(0) ~.
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\end{displaymath}
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{\bf Beispiel: $M/M/1$}
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\begin{displaymath}
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A = M_{\lambda}: \quad \tilde A(t) = \frac{\lambda}{\lambda + t}, \quad
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B = M_{\mu}: \quad \tilde B(t) =\frac{\mu}{\mu +t}
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\end{displaymath}
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} &=& \tilde A(-t) \tilde B(t)-1 =
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\frac{\lambda \mu}{(\lambda - t)(\mu + t)} - 1 = \\
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&=& \frac{t(\mu - \lambda + t)}{(\lambda - t)(\mu + t)}. \\
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\Psi^{+}(t) &=& \frac{t(\mu -\lambda + t)}{(t + \mu} \\
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||||
\Psi^{-}(t) &=& (\lambda - t) \\
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||||
\Phi (z) &=& \frac{\Psi^{+'}(0)}{\Psi^{+}(z)} =
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\frac{(\mu - \lambda)(\mu +t)}{\mu t(\mu - \lambda + t)} =
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\frac{1}{t} - \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda + t)} \\
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||||
\Psi^{+'}(0) &=& \frac{\Psi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} =\frac{\mu -
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\lambda}{\mu} \\
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F(x) &=& 1 - \rho e^{-(\mu - \lambda)x} \quad \mbox{f"ur} \quad x \geq 0
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\end{eqnarray*}
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also die Verteilung der Wartezeit aus dem ersten Kapitel.
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documents/Warteschlangen/warteschlangen.tex
Normal file
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documents/Warteschlangen/warteschlangen.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,27 @@
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\documentstyle[12pt,german,makeidx]{book}
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\setlength{\parindent}{0mm}
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\setlength{\parskip}{0.25cm}
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\newcommand{\E}{{\rm I\kern-0.2em E}}
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\newcommand{\PP}{{\rm I\kern-0.2em P}}
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\date{Version 1.0\\October 11, 1999}
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\author{Klaus Berger \\
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Pantelis Christodoulides \\
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Karl Grill\thanks{ copyright\copyright 1999 by Karl Grill
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( grill@ci.tuwien.ac.at )
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\protect\\ \LaTeX\ source erh"altlich bei:
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\protect\\ http://www.ci.tuwien.ac.at/$\sim$grill
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\protect\\ Unterliegt der the GNU general public license
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\protect\\ Details siehe file ``copying''}}
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\makeindex
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\begin{document}
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\title{Warteschlangentheorie}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\input{pantelis.tex}
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\input{klaus.tex}
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\printindex
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\end{document}
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