added some formatting tweaks to Analysis-Scripts; added axis to sin(1:x) plot; minor changes

documents/Analysis I/Analysis-I.tex

@@ -2088,7 +2088,7 @@ Sei $f \in C(D), x_0 \in D$ und $\ep>0$. 17.1 $\folgt \exists \delta=\delta(\ep,
 \end{erinnerung}
 
 \begin{definition}
-$f$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig stetig} $:\equizu\ \forall \ep>0\ \exists \delta=\delta(\ep)>0: (**)\ |f(x)-f(z)| < \ep\ \forall x,z \in D$ mit $|x-z|<\delta.$
+$f$ heißt auf $D$ \begriff{gleichmäßig stetig} \\$:\equizu\ \forall \ep>0\ \exists \delta=\delta(\ep)>0\colon \underbrace{|f(x)-f(z)| < \ep\ \forall x,z \in D \text{ mit } |x-z|<\delta}_{**}$.
 \end{definition}
 
 \textbf{Beachte:} Ist $f$ gleichmäßig stetig auf $D \folgt f \in C(D)$; Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch.
@@ -2098,12 +2098,12 @@ $D=[0, \infty), f(x):=x^2$. Klar: $f \in C(D)$. Annahme: $f$ ist auf $D$ gleichm
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}
-$f$ heißt auf $D$ \begriff{Lipschitz stetig} $:\equizu \exists L\ge 0: \underbrace{|f(x)-f(z)|\le L|x-z|}_{(***)}\ \forall x,z \in D$
+$f$ heißt auf $D$ \begriff{Lipschitz-stetig} $:\equizu \exists L\ge 0: \underbrace{|f(x)-f(z)|\le L|x-z|}_{(***)}\ \forall x,z \in D$
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Stetigkeitsstätze]
 \begin{liste}
-\item Ist $f$ auf $D$ Lipschitz stetig $\folgt f$ ist auf $D$ gleichmäßig stetig
+\item Ist $f$ auf $D$ Lipschitz-stetig $\folgt f$ ist auf $D$ gleichmäßig stetig
 \item Ist $D$ beschränkt und abgeschlossen und $f\in C(D) \folgt f$ ist auf D gleichmäßig stetig (\textbf{Satz von Heine}\indexlabel{Heine, Satz von}).
 \end{liste}
 \end{satz}
@@ -2745,7 +2745,7 @@ $$(g\circ f)(x) = \begin{cases}1, &x\in Q\cap[0,1] \\ 0, & x \in [0,1]\backslash
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}[Integration von verketteten Funktionen]
-Es sei $f\in R[a,b]$, $D := f([a,b])$ und $h: D \to R$ sei Lipschitzstetig auf $D$. Dann: $h\circ f \in R[a,b]$
+Es sei $f\in R[a,b]$, $D := f([a,b])$ und $h: D \to R$ sei Lipschitz-stetig auf $D$. Dann: $h\circ f \in R[a,b]$
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
@@ -2900,7 +2900,10 @@ Sei $f \in R[a,b]$ und $F:[a,b]\to\MdR$ sei definiert durch $F(x):=\int_a^xf(t)\
 
 \begin{beweise}
 \item $L:=\sup\{|f(x)| : x \in [a,b]\}$. Sei $x,y \in [a,b]$, etwa $x\le y$. $F(y)=\int_a^yf(t)\dt\gleichnach{23.9}\int_a^xf(t)\dt + \int_x^yf(t)\dt=F(x)+\int_x^yf(t)\dt\folgt F(y)-F(x)=\int_x^yf(t)\dt\folgt |F(y)-F(x)|=|\int_x^yf(t)\dt|\overset{23.8}{\le}\int_x^y\underbrace{|f(t)|}_{\le L}\dt\le\int_x^yL\dt=L(y-x)=L|y-x|$
-\item Sei $x_0 \in [a,b)$. Wir zeigen: $(*) \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$ (analog zeigt man für $x_0 \in (a,b]\ :\ \displaystyle\lim_{h\to0-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$) Sei also $x_0 \in [a,b)$, $h>0$ und $x_0+h<b$. $g(h):=|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)|$. Zu zeigen: $g(h)\to 0\ (h\to0+)$. Es ist $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\gleichnach{s.o.}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\dt$, $\ \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\dt=\frac{1}{h}f(x_0)h=f(x_0)\folgt g(h)=\frac{1}{h}|\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t)-f(x_0))\dt|\overset{23.8}{\le}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|\dt;\ s(h):=\sup\{|f(t)-f(x_0)|\ :\ t \in [x_0,x_0+h]\}\folgt g(h)\le\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}s(h)\dt=\frac{1}{h}s(h)h=s(h)$. Also: $0\le g(h)\le s(h)$. $f$ stetig in $x_0 \folgt f(t)\to f(x_0)\ (t \to x_0) \folgt s(h)\to 0\ (h\to 0+) \folgt g(h)\to 0\ (h\to 0+)\folgt (*)$
+\item Sei $x_0 \in [a,b)$. Wir zeigen: $(*) \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$ (analog zeigt man für $x_0 \in (a,b]\ \colon \displaystyle\lim_{h\to0-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$).\\
+Sei also $x_0 \in [a,b)$, $h>0$ und $x_0+h<b$. $g(h):=|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)|$.\\
+Zu zeigen: $g(h)\to 0\ (h\to0+)$.\\
+Es ist $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\gleichnach{s.o.}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\dt$, $\ \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\dt=\frac{1}{h}f(x_0)h=f(x_0)\folgt g(h)=\frac{1}{h}|\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t)-f(x_0))\dt|\overset{23.8}{\le}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|\dt;\ s(h):=\sup\{|f(t)-f(x_0)|\ :\ t \in [x_0,x_0+h]\}\folgt g(h)\le\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}s(h)\dt=\frac{1}{h}s(h)h=s(h)$. Also: $0\le g(h)\le s(h)$. $f$ stetig in $x_0 \folgt f(t)\to f(x_0)\ (t \to x_0) \folgt s(h)\to 0\ (h\to 0+) \folgt g(h)\to 0\ (h\to 0+)\folgt (*)$
 \item folgt aus (2)
 \end{beweise}
 
@@ -3062,7 +3065,7 @@ $\folgt \sigma_f(Z_n,\xi^{(n)}) \to S\ (n \to \infty)$.
 
 \zurueck Sei $\ep > 0$ und $(Z_n)$ eine Folge in $\Z$ mit $|Z_n| \to 0.$ Wie im Beweis von 23.12: $\forall n \in \MdN\ \exists \xi^{(n)},\eta^{(n)}$ passend zu $Z_n$ mit: $$S_f(Z_n) - \ep < \sigma_f(Z_n,\xi^{(n)});\ \sigma(Z_n,\eta^{(n)}) < s_f(Z_n) + \ep$$
 
-Aus 23.18(3) folgt für $n \to \infty:\ \ointab{f} - \ep \le S \le \uintab{f} + \ep\ \forall \ep > 0 \folgtwegen{\ep \to 0+} \ointab{f} \le S \le \uintab{f} \folgt f \in R[a,b]$ und $\intab{f} = S$.
+Aus 23.18(3) folgt für $n \to \infty \colon \ointab{f} - \ep \le S \le \uintab{f} + \ep\ \forall \ep > 0 \folgtwegen{\ep \to 0+} \ointab{f} \le S \le \uintab{f} \folgt f \in R[a,b]$ und $\intab{f} = S$.
 \end{description}
 \end{beweis}
 
@@ -3205,7 +3208,7 @@ $f \in C[0,1]$. Sei $n\in\MdN.\ Z_n:=\{0,\frac{1}{n},\frac{1}{n-1},\frac{1}{n-2}
 \end{beispiel}
 
 \begin{hilfssatz}
-Sei $f:[a,b]\to\MdR$ differenzierbar auf $[a,b]$ und $f'$ sei auf $[a,b]$ beschränkt. Dann ist $f$ auf $[a,b]$ Lipschitzstetig.
+Sei $f:[a,b]\to\MdR$ differenzierbar auf $[a,b]$ und $f'$ sei auf $[a,b]$ beschränkt. Dann ist $f$ auf $[a,b]$ Lipschitz-stetig.
 \end{hilfssatz}
 
 \begin{beweis}
@@ -3215,7 +3218,7 @@ $L:=\sup\{|f'(x)|:x\in[a,b]\}$. Sei $x,y\in[a,b]$, etwa $x\le y$. $|f(x)-f(y)|=|
 \begin{satz}[Varianzeigenschaften]
 \begin{liste}
 \item Ist $f \in\BV[a,b]\folgt f$ ist beschränkt auf $[a,b]$.
-\item Ist $f$ auf $[a,b]$ Lipschitzstetig $\folgt f\in\BV[a,b]$.
+\item Ist $f$ auf $[a,b]$ Lipschitz-stetig $\folgt f\in\BV[a,b]$.
 \item Ist $f$ differenzierbar auf $[a,b]$ und $f'$ beschränkt auf $[a,b]\folgt f\in\BV[a,b]$
 \item $C^1[a,b]\subseteq \BV[a,b]$
 \item Ist $f$ monoton auf $[a,b]\folgt f\in\BV[a,b]$ und $V_f[a,b]=|f(b)-f(a)|$

documents/Analysis II/Analysis-II.tex

@@ -60,7 +60,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
 \chapter{Der Raum $\MdR^n$}
 
 Sei $n\in\MdN$. $\MdR^n=\{(x_1, \ldots, x_n) : x_1,\ldots, x_n \in \MdR\}$ ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum.\\
-$e_1:=(1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \in \MdR^n$.
+$e_1 := (1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \in \MdR^n$.
 
 \begin{definition}
 Seien $x=(x_1, \ldots, x_n), y=(y_1, \ldots, y_n) \in \MdR^n$
@@ -1858,8 +1858,8 @@ In Analysis III werden wir für gewisse Mengen $A\subseteq\MdR^n$ und gewisse Fu
 $f:A\to\MdR$ folgendes Integral definieren:
 \[\int_A f(x)\text{d}x=\int_A f(x_1,\ldots,x_n)\text{ d}(x_1,\ldots,x_n)\]
 In diesem Paragraphen geben wir "`Kochrezepte"' an, wie man solche Integrale
-für spezielle Mengen $A\subset\MdR^2$ (bzw. $A\subset\MdR^3$) und stetige Funktionen
-$f:A\to\MdR$ berechnen kann.
+für spezielle Mengen $A \subseteq \MdR^2$ (bzw. $A \subseteq \MdR^3$) 
+und stetige Funktionen $f:A \to \MdR$ berechnen kann.
 
 \renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
 \renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
@@ -1942,7 +1942,7 @@ Normalbereiche bzgl der $x$-$z$- und $y$-$z$-Ebene werden analog definiert.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Integral über Normalbereiche im $\MdR^3$]
-Sei $B$ wie oben und $f:B\to\MdR$ stetig, dann gilt:
+Sei $B, g_1, g_2$ wie oben und $f:B\to\MdR$ stetig, dann gilt:
 \[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\]
 \end{satz}
 
@@ -1957,7 +1957,7 @@ heißt \textbf{Volumen} von $B$.
 \end{definition}
 
 \begin{beispiele}
-\item[(1)] Sei $B:=[a,b]\times[c,d]\times[\alpha,\beta]$, dann gilt:
+\item[(1)] Sei $B:=\overbrace{[a,b]\times[c,d]}^{:= A}\times[\alpha,\beta]$, dann gilt:
 \begin{align*}
 \int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) &= \int_A\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\\
 &=\int_a^b\left(\int_c^d\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}y\right)\text{ d}x
@@ -2082,8 +2082,8 @@ Seien $z,w\in\MdC, z=x+iy$ mit $x,y\in\MdR$. Es gilt:
 \item $e^{iy}=\cos y+i\sin y$, insbesondere ist: $|e^{iy}|=1$
 \item $e^z=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$
 \item $ \cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$\\
-Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2}, 
-\sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i}$\\
+Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} \infty, 
+\sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} - \infty$\\
 Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt.
 \item $\forall k\in\MdZ:e^{z+2\pi i k}=e^z$
 \item $e^z=1 \iff \exists k\in\MdZ:z=2k\pi i$
@@ -2099,9 +2099,10 @@ Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt.
 \item Es gilt:
 \begin{align*}
 e^{z+2k\pi i} &\stackrel{(1)}{=}e^ze^{2k\pi i}\\
-&\stackrel{(2)}{=}e^z(\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi))\\
+&\stackrel{(2)}{=}e^z(\underbrace{\cos(2k\pi)}_{=1}+i\underbrace{\sin(2k\pi)}_{=0})\\
 &= e^z
 \end{align*}
+$\Rightarrow e^z$ ist auf $\mathbb{C}$ nicht injektiv!
 \item
 Die Äquivalenz folgt aus Implikation in beiden Richtungen:
 \begin{enumerate}

tikz/cubic-function/cubic-function.tex

@@ -20,8 +20,8 @@
 \begin{preview}
 \begin{tikzpicture}
     \begin{axis}[
-    axis x line=middle,
-    axis y line=middle,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
         width=15cm, height=15cm,     % size of the image
         grid = major,
         grid style={dashed, gray!30},

tikz/sin(1:x)/sin(1:x).tex

@@ -11,14 +11,14 @@
 
 \begin{tikzpicture}
     \begin{axis}[
-        %axis lines=middle,
+        axis x line=middle,
         xmode=log, % Logarithmic x axis
         xmin=0.01, xmax=1, % Positive domain...
         xticklabel=\pgfmathparse{exp(\tick)}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult},
         xticklabel style={/pgf/number format/.cd,fixed}, % Use fixed point notation
         width=15cm, height=8cm,     % size of the image
         grid = major,
-        grid style={gray!30},
+        grid style={dashed, gray!30},
         ymin=-1,      % start the diagram at this y-coordinate
         ymax= 1,      % end   the diagram at this y-coordinate
         axis background/.style={fill=white},