diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf index 26ee049..4f5fcbe 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel3-UB.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel3-UB.tex index 8c5baa4..c8980bd 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel3-UB.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel3-UB.tex @@ -1,13 +1,16 @@ -\clearpage -\section*{Übungsaufgaben} -\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben} +%\clearpage +%\section*{Übungsaufgaben} +%\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben} -\begin{aufgabe}\label{ub7:aufg1} - Berechnen Sie die Homologiegruppen von $S^1$ und $S^2$, indem Sie - zu $S^1$ bzw. $S^2$ homöomorphe Simplizialkomplexe betrachten. -\end{aufgabe} +%Die Lösung ist zu lang (vgl. Loesungen.tex) +%\begin{aufgabe}\label{ub7:aufg1} +% Berechnen Sie die Homotogiegruppen von $S^1$ und $S^2$, indem Sie +% zu $S^1$ bzw. $S^2$ homöomorphe Simplizialkomplexe betrachten. +%\end{aufgabe} -\begin{aufgabe}\label{ub7:aufg3} - Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $e$ ihr neutrales - Element. Man beweise, dass $\pi_1(G,e)$ abelsch ist. -\end{aufgabe} + +% Auch diese Aufgabe ist zu lang... +%\begin{aufgabe}\label{ub7:aufg3} +% Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $e$ ihr neutrales +% Element. Man beweise, dass $\pi_1(G,e)$ abelsch ist. +%\end{aufgabe} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex index 225c781..368c559 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex @@ -34,8 +34,8 @@ aufgestellt. \item Parallelenaxiom: Euklid:\\ Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die Summe der Innenwinkel zwei Rechte ist, dann schneiden sich - diese Geraden auf der Seite dieser Winkel. - \todo[inline]{Bild} + diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\ + \\ Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist, wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen. \end{itemize} diff --git a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex b/documents/GeoTopo/Loesungen.tex index c16f102..dbd3839 100644 --- a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex +++ b/documents/GeoTopo/Loesungen.tex @@ -184,10 +184,31 @@ \end{enumerate} \end{solution} -\begin{solution}[\ref{ub7:aufg1}] - \todo[inline]{Kommt noch.} -\end{solution} +%Das scheint mir etwas zu lang zu sein... +%\begin{solution}[\ref{ub7:aufg1}] +% \textbf{Beh.:} $H_k = \begin{cases}\mdr &\text{für } k\in \Set{0,1}\\ +% 0 &\text{für } k \geq 2$ +% \newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{figures/triangleSimplizialkomplex.pdf}}} +% \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex +% $X = \triangleSimplizialkomplex$, d.~h. dem Rand +% von $\Delta^2$. Es gilt: +% \[X = \Set{\underbrace{v_0, v_1, v_2}_{A_0(X)}, \underbrace{\Delta (v_1, v_2)}_{=: a_0}, \underbrace{\underbrace{\Delta (v_0, v_2)}_{=: a_1}, \underbrace{\Delta(v_0, v_1)}_{=: a_2}}_{A_1(X)}}\] +% Damit folgt: +% \begin{enumerate} +% \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen +% Dimensionen keine Simplizes gibt, d.~h. $A_k(X) = \emptyset$ gilt.\\ +% Also: $H_k(X) \cong 0 \; \forall k \geq 2$ +% \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da +% $A_0(x)$ Basis von $C_0(X)$ ist;\\ +% $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da +% $A_1(X)$ Basis von $C_1(X)$ ist. +% \item Für die Randabbildungen $d_i: C_i(X) \rightarrow C_{i-1}(X)$ gilt: +% $d_0 \equiv 0$, $d_1: C_1(X) \rightarrow C_0(X)$ ist definiert durch +% $d_1(a_k) = \sum_{i=0}^1 (-1)^i \partial_i(a_k) = \partial_0 (a_k) - \partial_1(a_k) \; \forall k \in \Set{0,1,2}$ +% \end{enumerate} +%\end{solution} -\begin{solution}[\ref{ub7:aufg3}] - \todo[inline]{Kommt noch.} -\end{solution} +%Auch diese Aufgabe ist zu lang +%\begin{solution}[\ref{ub7:aufg3}] +% +%\end{solution} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0c1b58a --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile @@ -0,0 +1,31 @@ +SOURCE = topology-oriented-triangle +DELAY = 80 +DENSITY = 300 +WIDTH = 512 + +make: + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot + +gif: + pdfcrop $(SOURCE).pdf + convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif + make clean + +png: + make + make svg + inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png + +transparentGif: + convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif + make clean + +svg: + #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg + # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: + inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Readme.md b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Readme.md new file mode 100644 index 0000000..1de15f1 --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Readme.md @@ -0,0 +1,3 @@ +Compiled example +---------------- +![Example](topology-oriented-triangle.png) diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex new file mode 100644 index 0000000..1ef8c3d --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{calc,shadings} +\usepackage{pgfplots} + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[scale=0.5] + \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] + \node (a)[point,label={[label distance=0cm]180:$v_0$}] at (210:1cm) {}; + \node (b)[point,label={[label distance=0cm]0:$v_2$}] at (330:1cm) {}; + \node (c)[point,label={[label distance=-0.1cm]90:$v_1$}] at (90:1cm) {}; + + \draw[very thick] (a) edge node {} (b); + \draw[very thick] (b) edge node {} (c); + \draw[very thick] (c) edge node {} (a); +\end{tikzpicture} +%\newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{triangle.pdf}}} +%Es gilt $x=\triangleSimplizialkomplex$ und +\end{document}