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documents/Analysis II/Analysis-II.tex
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@ -1,5 +1,5 @@
% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/SS10/Ana2Bachelor.tex
\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=twolinechapter]{scrbook}
\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=onelinechapter]{scrbook}
\usepackage{mathe}
\usepackage{saetze-schmoeger}
@ -14,7 +14,7 @@
\hypersetup{
pdfauthor = {Die Mitarbeiter von http://mitschriebwiki.nomeata.de/ und GitHub-Beiträge},
pdfkeywords = {Analysis},
pdftitle = {Analysis I}
pdftitle = {Analysis II}
}
\begin{document}
@ -2819,7 +2819,7 @@ Klar: $y(x_0) = y_0$. Also löst $y$ das AwP.
\index{Lipschitz-Bedingung!lokale}\index{lokal!Lipschitz-Bedingung}
Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion.
\begin{enumerate}
\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung (LB) bezüglich \boldmath \(y\)}
\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)}
\[
:\iff
\exists L \ge 0:
@ -2830,7 +2830,7 @@ Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion.
\[
:\iff
\forall a \in D \exists \text{Umgebung } U_a:
f_{|_{D \cap U}} \text{ genügt einer LB bzgl. } y
f_{|_{D \cap U}} \text{ genügt einer Lipschitz-Bedingung bzgl. } y
\]
\end{enumerate}
\end{definition}
@ -2871,7 +2871,7 @@ wenn $(g_k)$ eine Cauchy-Folge in $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\infty)$ ist.
\textbf{Bezeichnung:} EuE = Existenz und Eindeutigkeit.
\index{Existenz und Eindeutigkeit}
\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version I)]
Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer LB bezüglich $y$. Dann ist das
Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$. Dann ist das
\begin{align*}\text{AwP}
\begin{cases}
y'=f(x,y)\\
@ -2983,7 +2983,7 @@ auf \(J\) genau eine Lösung.
\textbf{Ohne} Beweis:
\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version III)]
Es sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ \textbf{offen}, $(x_0, y_0) \in D, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer \textbf{lokalen} LB bezüglich $y$.
Es sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ \textbf{offen}, $(x_0, y_0) \in D, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer \textbf{lokalen} Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.
Dann hat das
\begin{align*}
@ -3055,8 +3055,9 @@ Neben (S) betrachten wir auch noch das zu (S) gehörige \textbf{homogene System}
\begin{align*}
y'=A(x)y\tag{H}
\end{align*}
und das \textbf{AwP}
und das
\begin{align*}
\text{AwP}
\tag{A}
\begin{cases}
y'=A(x)y+b(x)\\